Что такое линейность в математике
Линейная алгебра: пробный заезд
Аналит, линейка, линал — эти слова ассоциируются скорее с фразой «сдать и забыть», а не с тем, для чего на самом деле нужен замечательный раздел математики под названием линейная алгебра. Давайте попробуем посмотреть на него с разных сторон и разберемся, что же в нем хорошего и почему он так полезен в приложениях.
Часто первое знакомство с линейной алгеброй выглядит как-то так:
Не очень вдохновляет, правда? Сразу возникает два вопроса: откуда это все взялось и зачем оно нужно.
Начнем с практики
Когда я занимался вычислительной гидродинамикой (CFD), один из коллег говорил: «Мы не решаем уравнения Навье-Стокса. Мы обращаем матрицы.» И действительно, линейная алгебра — «рабочая лошадка» вычислительной математики:
Попробую проиллюстрировать эту связь на более простом примере, чем гидродинамика.
Пусть у нас есть тонкий металлический стержень с закрепленными концами, температура которых поддерживается равной нулю. Начнем греть стержень с помощью распределенного источника тепла, выделяющего q(x) Джоулей в секунду на единицу длины стержня в окрестности точки x. Какая температура t=t(x) установится? Сделаем очень грубый набросок модели. Когда установится равновесие, для каждого отрезка [x-h, x+h] нашего стержня приток тепла от источника должен быть равен сумме потоков тепла через границы отрезка. Если h достаточно мало, то с точностью до констант (в которые войдет h, да простят мне это читатели) это равенство можно записать так:
где Qx-h — поток тепла через левую границу, а Qx+h — через правую. Согласно закону Фурье тепловой поток пропорционален разности температур (ведь если нырнуть в бассейн, то в первые секунды будет холоднее всего). Поэтому (с точностью до констант, содержащих h)
где мы уже учли граничные условия, а qi=q(xi). Ну вот мы и получили систему линейных уравнений:
В качестве еще одного примера приведу известную задачу о ссылочном ранжировании страниц одного сайта (или интернета в целом).
Есть N страниц, каждая из которых может содержать ссылки на другие страницы. Требуется определить, какие страницы являются наиболее важными. Как именно измерять «важность» — часть задачи. Мы будем представлять ее количественно в виде неотрицательного числа (веса). Начнем с естественного предположения: чем больше ссылок на данную страницу, тем больше ее вес. В этом подходе есть следующий недостаток: мы не учитываем вес ссылающихся страниц. Логично, что ссылка со страницы, имеющий больший вес, должна иметь большее значение. Эти рассуждения приводят нас к такой модели:
где aij — количество ссылок на i-ую страницу с j-ой, разделенное на общее количество ссылок с j-й страницы. Эту формулу можно читать так: вес i-й страницы равен сумме произведений веса j-й страницы на долю ссылок с j-й страницы на i-ую. Таким образом, мы свели нашу задачу к системе линейных уравнений. Более того, вектор весов p оказывается собственным вектором матрицы A, отвечающим собственному значению 1:
Существование этого вектора (строго говоря, для немного модифицированной матрицы A) гарантируется теоремой Фробениуса-Перрона. А найти его можно методом простых итераций.
Итак, линейная алгебра — это очень универсальный набор идей и инструментов, которые можно применять в самых разных областях. Но бесплатен только сыр в мышеловке, и за универсальность приходится платить: некоторые определения и теоремы могут показаться излишне абстрактными и запутанными. Но это не так: на самом деле, многие абстракции призваны упрощать жизнь, а не усложнять ее. «Если это выглядит как утка, плавает как утка и крякает как утка, то, вероятно, это утка» — по сути абстракция, причем весьма удобная, если к ней привыкнуть. То же самое с линейной алгеброй. Чтобы проиллюстрировать этот момент немного конкретнее, давайте дополним наш «внешний осмотр» кратким обсуждением того, что внутри.
Теперь немного теории
Линейная алгебра изучает векторные пространства и функции, которые отображают одно векторное пространство в другое. В основном рассматриваются линейные функции (удовлетворяющие соотношению f(α · x + β · y) = α · f(x) + β · f(y) для любых чисел α и β и любых векторов x и y). Бывают и нелинейные (например, квадратичные формы). Но прежде всего нужно понимать что такое вектор (и векторное пространство). И это не так тривиально, как могло бы показаться.
В учебниках и курсах обычно приводится абстрактное определение из 8 пунктов. Еще иногда говорят, что векторное пространство — это аддитивно записанная абелева группа в которой определено умножение на скаляры, удовлетворяющее 4 аксиомам. Но тем, кто впервые изучает линейную алгебру, это вряд ли поможет разобраться. Гораздо проще рассмотреть несколько конкретных примеров, и увидеть в них аналогию. А определение из 8 пунктов — всего лишь формализация этой аналогии. Поэтому перейдем сразу к примерам.
Знакомые всем со школы направленные отрезки конечно же являются векторами. Множество направленных отрезков — пример векторного пространства. Теперь рассмотрим многочлены. Их можно складывать друг с другом и умножать на числа. Обратите внимание: с точки зрения алгебры эти операции сложения многочленов и умножения многочлена на число работают точно по тем же правилам, что и для направленных отрезков. Например, равенство x+y = y+x (коммутативность) выполняется как для направленных отрезков, так и для многочленов. Поэтому множество многочленов является векторным пространством, а многочлены — векторами.
Если векторы не являются линейно зависимыми, то они называются линейно независимыми. (Понятие линейной зависимости обобщает понятия параллельных и компланарных векторов: два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они параллельны. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.)
Теперь у нас есть строгое определение координат. Но смысл не только в этом: по пути мы столкнулись с более фундаментальными (и менее заметными) понятиями линейной комбинации и линейной зависимости. А еще мы узнали что в n-мерном линейном пространстве не может быть больше, чем n линейно независимых векторов. Этот факт — один из краеугольных камней линейной алгебры.
Казалось бы, мы все еще знаем слишком мало, чтобы извлечь из этого хоть какую-то пользу. Однако уже сейчас мы можем решать задачи, на первый взгляд не имеющие отношения к линейной алгебре. Например, такую: даны многочлены p и q; существует ли многочлен от двух переменных R=R(x,y) такой, что R(p(t), q(t))=0 при всех t?
Тем временем наш «пробный заезд» подходит к концу. Но остается еще коротко обсудить различные способы изучения линейной алгебры. Ограничусь здесь небольшим обзором своего собственного опыта и попробую дать на основе него пару советов.
Википедия Книга — лучший источник знаний
Мое знакомство с линейной алгеброй началось с самостоятельного изучения книги О.В. Мантурова и Н.М. Матвеева «Курс высшей математики», когда я учился в школе. Эта книга — далеко не лучший (но и не худший) источник знаний в данной области. Просто она стала первым учебником по высшей математике, попавшим в мои руки, и ее содержание показалась мне более интересным, чем школьная программа. Хотя сейчас можно с уверенностью сказать: есть куча других книг, которые школьникам стоит (и будет не менее интересно) изучить в первую очередь. Например, «Как решают нестандартные задачи» (Канель-Белов А.Я., Ковальджи А.К.) или «Ленинградские математические кружки» (Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.). Если же Вы возьметесь изучать линейную алгебру по книгам, то стоит запастись терпением: для достижения желаемого результата может потребоваться больше времени, чем кажется.
Своими основными знаниями линейной алгебры (и многих других разделов математики) я все же обязан Л.И. Коваленко — легендарному преподавателю МФТИ, семинары и консультации которой всегда собирали аншлаг. Сложно переоценить то внимание, которое она оказывала каждому студенту, до позднего вечера принимая задания и так называемые «карточки» — индивидуальные задачи. А еще во время этих сдач мы активно общались друг с другом. Все это позволяло не только быстрее освоить то, что написано в учебниках, но и то, чего там нет — интуицию, хитрые приемы и прочее.
Живое общение студентов с преподавателями (и друг с другом) ничто не заменит, и в этом преимущество традиционных курсов. Но когда я сам работал ассистентом и вел семинары, часто возникало желание некоторые вещи автоматизировать, чтобы на содержательное общение оставалось больше времени. Нужно ли студенту ждать встречи с преподавателем, чтобы получить стандартный ответ на стандартный вопрос? Или узнать правильно ли решена такая-то стандартная задача? Впрочем, не нужно недооценивать студентов: по большей части, они сами хорошо чувствуют когда делают «почти бессмысленную работу», и их это тоже демотивирует. Проверка доказательства или метода решения — это одно, но вот, скажем, проверку решения системы линейных уравнений можно практически полностью доверить компьютеру. Более того, во многих случаях можно автоматизировать не только проверку ответа, но и часть самого решения — например, элементарные преобразования матриц.
График линейной функции, его свойства и формулы
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие функции
Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:
График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.
Понятие линейной функции
Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.
Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.
Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.
Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.
Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:
Графиком линейной функции является прямая линия. Для его построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.
Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.
Буквенные множители «k» и «b» — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.
Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты «k» и «b».
| Функция | Коэффициент «k» | Коэффициент «b» |
|---|---|---|
| y = 2x + 8 | k = 2 | b = 8 |
| y = −x + 3 | k = −1 | b = 3 |
| y = 1/8x − 1 | k = 1/8 | b = −1 |
| y = 0,2x | k = 0,2 | b = 0 |
Может показаться, что в функции «y = 0,2x» нет числового коэффициента «b», но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа «y = kx + b» есть коэффициенты «k» и «b».
Еще не устали? Изучать математику веселее с опытным преподавателем на курсах по математике в Skysmart!
Свойства линейной функции
Построение линейной функции
В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида «у = kx + b», достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции y = 1 /3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:
В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:
Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.
В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).
В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая.
Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).
Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые.
При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.
Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.
Если k 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>
Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>
Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:
Решение задач на линейную функцию
Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!
Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).
Линейность
Содержание
По математике [ править ]
Линейные многочлены [ править ]
В другом использовании к приведенному выше определению полином степени 1 называется линейным, потому что график функции этой формы представляет собой прямую линию. [2]
Линейное уравнение над вещественными числами является одной из форм:
Логические функции [ править ]
Булева функция является линейной, если для таблицы истинности функции выполняется одно из следующих условий :
Другой способ выразить это: каждая переменная всегда влияет на истинное значение операции или никогда не имеет значения.
Физика [ править ]
Линейность однородного дифференциального уравнения означает, что если две функции f и g являются решениями уравнения, то любая линейная комбинация af + bg тоже.
В приборостроении линейность означает, что данное изменение входной переменной дает такое же изменение выходного сигнала измерительного устройства: это очень желательно в научной работе. В общем, инструменты близки к линейным в определенном диапазоне и наиболее полезны в этом диапазоне. В отличие от этого, человеческие чувства очень нелинейны: например, мозг полностью игнорирует входящий свет, если он не превышает определенное абсолютное пороговое количество фотонов.
Электроника [ править ]
Интегральная линейность [ править ]
Для электронного устройства (или другого физического устройства), которое преобразует количество в другое количество, Бертрам С. Кольтс пишет: [5] [6]
Обычно используются три основных определения интегральной линейности: независимая линейность, линейность с отсчетом от нуля и конечная, или конечная точка, линейность. В каждом случае линейность определяет, насколько фактическая производительность устройства в указанном рабочем диапазоне приближается к прямой. Линейность обычно измеряется в единицах отклонения или нелинейности от идеальной прямой линии и обычно выражается в процентах от полной шкалы., или в ppm (миллионных долях) полной шкалы. Обычно прямую линию получают путем аппроксимации данных методом наименьших квадратов. Эти три определения различаются по способу расположения прямой линии относительно фактических характеристик устройства. Кроме того, все три из этих определений игнорируют любые ошибки усиления или смещения, которые могут присутствовать в фактических рабочих характеристиках устройства.
Военно-тактические соединения [ править ]
Искусство [ править ]
Музыка [ править ]
Измерение [ править ]
При измерении термин «линейный фут» относится к количеству футов на прямой линии материала (такого как брус или ткань), как правило, без учета ширины. Иногда это неправильно называют «прямой ногой»; тем не менее, «lineal» обычно используется для обозначения линий происхождения или наследственности. [1]
Свойство «линейности» и его значение. Линейные и нелинейные отображения (операторы)
Primary tabs
Forums:
«Cвойство линейности» для отображения (отсюда):
— смысл данных свойств в сохранении соотношений между элементами, участвующими в операциях/выражениях (в данном случае сложения векторов и умножения на число).
Key Words for FKN + antitotal forum (CS VSU):
Нелинейный оператор.»свойство линейности» для «линейной» функции
. линейная алгебра возникла в рамках исследования вопроса о системах линейных уравнений.
В свою очередь, уравнения получили такое название ввиду того, что графиком функций вида y=kx является прямая линия. Слово «прямая» исчезло, и все эффекты, связанные с зависимостями такого вида (наподобие f(x+y)=f(x)+f(y) или f(kx)=kf(x)) стали называть «линейными».
Надо иметь в виду, что математические термины очень часто не отражают сути того, что они называют, а являются итогом каких-то исторических случайностей.
Проверим цитату выше для (относительно) определения линейного оператора, а именно нас «свойство линейности» для отображения:
— как видим соотношение между элементами изменилось, теперь их сумма равна не нулю, а другому числу (-5), это и есть практическая демонстрация нелинейности преобразования
_____________
матфак вгу и остальная классика =)
СОДЕРЖАНИЕ
По математике
Линейные многочлены
В другом использовании по сравнению с приведенным выше определением полином степени 1 называется линейным, потому что график функции этой формы представляет собой прямую линию.
Линейное уравнение над вещественными числами является одной из форм:
Логические функции
Булева функция является линейной, если для таблицы истинности функции выполняется одно из следующих условий :
Физика
Линейность однородного дифференциального уравнения означает, что если две функции f и g являются решениями уравнения, то любая линейная комбинация af + bg тоже.
В приборостроении линейность означает, что данное изменение входной переменной дает такое же изменение выходного сигнала измерительного устройства: это очень желательно в научной работе. В общем, инструменты близки к линейным в определенном диапазоне и наиболее полезны в этом диапазоне. Напротив, человеческие чувства очень нелинейны: например, мозг полностью игнорирует входящий свет, если он не превышает определенное абсолютное пороговое количество фотонов.
Электроника
Интегральная линейность
Для электронного устройства (или другого физического устройства), которое преобразует количество в другое количество, Бертрам С. Кольтс пишет:
Обычно используются три основных определения интегральной линейности: независимая линейность, линейность с отсчетом от нуля и конечная, или конечная точка, линейность. В каждом случае линейность определяет, насколько хорошо фактическая производительность устройства в указанном рабочем диапазоне приближается к прямой. Линейность обычно измеряется в единицах отклонения или нелинейности от идеальной прямой линии и обычно выражается в процентах от полной шкалы или в миллионных долях от полной шкалы. Обычно прямая линия получается путем аппроксимации данных методом наименьших квадратов. Эти три определения различаются по способу расположения прямой линии относительно фактических характеристик устройства. Кроме того, все три из этих определений игнорируют любые ошибки усиления или смещения, которые могут присутствовать в фактических рабочих характеристиках устройства.