В треугольник вписана окружность доказать что треугольник прямоугольный
Треугольник вписанный в окружность
Определение
Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.
На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.
ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.
O — центр вписанной в треугольник окружности.
Формулы
Радиус вписанной окружности в треугольник
r — радиус вписанной окружности.
Радиус описанной окружности около треугольника
R — радиус описанной окружности.
Площадь треугольника
S — площадь треугольника.
\[ S = \frac<1><2>ab \cdot \sin \angle C \]
Периметр треугольника
P — периметр треугольника.
Сторона треугольника
a — сторона треугольника.
Средняя линия треугольника
l — средняя линия треугольника.
Высота треугольника
h — высота треугольника.
\[ h = b \cdot \sin \alpha \]
Свойства
Доказательство
Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.
окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.
окружность описана
около треугольника.
окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.
Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.
В треугольник вписана окружность доказать что треугольник прямоугольный
В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причём AD = R.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и F. Найдите площадь треугольника BEF, если известно, что R = 2 и CD = 10.
а) Пусть O — центр вписанной окружности треугольника ABC.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, значит, AO — биссектриса угла BAC. Треугольник AOD прямоугольный и равнобедренный, поэтому ∠OAD = 45°. Следовательно, ∠BAC = 90°.
Ответ : 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Аналоги к заданию № 502296: 502316 511378 Все
Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов
Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.
Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.
Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.
Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.
Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.
Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?
В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.
Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.
Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.
— радиус окружности, вписанной в треугольник.
Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :
где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.
Для любого треугольника верна теорема синусов:
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:
. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.
По теореме синусов,
Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.
В треугольник вписана окружность доказать что треугольник прямоугольный
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
а) Пусть вписанная окружность касается стороны BC в точке K. Обозначим BK = x. Пусть S — площадь треугольника, p — полупериметр. Тогда
С другой стороны, по формуле Герона
Из уравнения 
получаем, что R = x. Стороны треугольника ABC равны 5R, 4R и 3R, следовательно, этот треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине B.
б) Пусть I и O — центры соответственно вписанной и описанной окружностей треугольника ABC. Точка O — середина гипотенузы AC = 5R = 10, и OM = AO − AM = 5 − 2R = 1.
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Теорема синусов
Статья находится на проверке у методистов Skysmart. Доказательство теоремы синусовТеорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой: Формула теоремы синусов: Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла. Из этой формулы мы получаем два соотношения: Из этих двух соотношений получаем: Теорема синусов для треугольника доказана. Эта теорема пригодится, чтобы найти: Доказательство следствия из теоремы синусовУ теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.
где R — радиус описанной около треугольника окружности. Так образовались три формулы радиуса описанной окружности: Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле: Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла. Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая. 1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС. Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС. Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1. Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла. BA1 = 2R, где R — радиус окружности Следовательно: R = α/2 sinα Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана. 2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС. Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°. Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника: В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом: Следовательно: R = α/2 sinα Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана. Часто используемые тупые углы: 3. Угол ∠А = 90°. В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности. Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана. Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике. Теорема о вписанном в окружность углеИз теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно. Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее. Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. ∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC. Формула теоремы о вписанном угле: Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. ∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB). Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим: На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности. Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые. ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°. Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что: Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле. Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ. Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°. Следовательно: α + γ = 180°. Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть: Примеры решения задачТеорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал. Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC. Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета. В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так: Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°. Ответ: угол составляет примерно 53,1°. ЗапоминаемОбычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. > |
