В каком случае говорят что углу а соответствует точка м единичной полуокружности
Геометрия
А Вы уже инвестируете?
Слышали про акцию в подарок?
Зарегистрируйся по этой ссылке
и получи акцию до 100.000 руб
План урока:
Тригонометрические функции тупых углов
Впервые с тригонометрическими функциями мы познакомились в 8 классе. Определить их значение можно было с помощью прямоугольного треугольника, рассматривая отношения его сторон (катетов и гипотенуз). Но такой способ определения тригонометрических функций подходит только для острых углов, попадающих в интервал от 0 до 90°. Оказывается, есть способ для вычисления значений тригонометрических функций и от больших углов.
Построим на координатной плоскости полуокружность, центр которой располагается в начале координат, а радиус равен единице. Ее называют единичной полуокружностью. Проведем из точки (0; 0) луч под некоторым углом α, который пересечет полуокружность в некоторой точке М с координатами (х; у). Заметим, что каждому значению α соответствует своя точка М на единичной полуокружности:
Опустим из М перпендикуляр на ось Ох в некоторую точку D. Тогда, если угол α острый,получается прямоугольный треугольник МOD, длины сторон которого можно определить так:
Получается, что координаты точки M как раз и являются синусом и косинусом угла α. Логично считать, что если α – не острый угол, то всё равно координаты точки M будут определять синус и косинус угла α.
Видно, что при тупом угле α точка М оказывается левее оси Оу, поэтому ее абсцисса становится отрицательной. Получается, что косинус может принимать отрицательные значения.
С помощью единичной полуокружности несложно выяснить значения синусов и косинусов для углов 0°, 90° и 180°. Они соответствуют координатам точек А, В и С на рисунке:
Так как эти точки имеют координаты (1; 0), (0; 1) и (– 1; 0), то можно записать следующее:
Используя это определение, найдем тангенс для углов 0° и 180°:
Заметим, что для 90° использовать эту формулу не удастся, так как это приведет к делению на ноль. Поэтому считается, что для 90° значение тангенса не определено, то есть его нельзя вычислить.
Единичная полуокружность является дугой окружности, чей радиус равен единице, а центр находится в начале координат. То есть она может быть задана уравнением
Тем самым мы доказали, что это тождество, которое показывает связь тригонометрических функций друг с другом, выполняется не только для острых углов, но и для всех углов из диапазона 0° ≤α ≤ 180°.
Для вычисления значений тригонометрических углов тупых углов удобно пользоваться так называемыми формулами приведения. Их довольно много, и изучаются они в основном в 10 классе, нам же хватит всего двух формул:
Например, пусть надо вычислить синус для угла 120°. Для этого мы представляем угол в виде разности, где в качестве уменьшаемого используется угол 180°:
Убедиться в справедливости этих двух формул приведения можно с помощью такого построения:
Точка М соответствует углу α, а точка K – углу (180° – α). Опустим из этих точек перпендикуляры МС и KD. Так как
Получается, что ∆OKD и ∆ОМС – прямоугольные, у них есть одинаковый острый угол α, и их гипотенузы ОК и ОМ также одинаковы как радиусы одной окружности. Тогда эти треугольники равны, и поэтому
Знак минус в первом из этих равенств показывает, что точки K отрицательная абсцисса. В итоге мы доказали две формулы приведения.
Задание. Вычислите sin 150°.
Решение. Представим угол 150° в виде разности:
Вычисление координат точки
Пусть есть некоторая точка А(х;у) с неотрицательной ординатой. Соединим ее с началом координат прямой, которая образует угол α с осью Ох. Посмотрим, как связаны координаты А со значением α.
Пусть луч ОА пересечет единичную окружность в точке М. Опустим из М и А перпендикуляры на Ох, в точки Н и С соответственно. Теперь сравним ∆ОМН и ∆ОАС. Они прямоугольные, и у них есть одинаковый угол α, следовательно, они подобны. Коэффициент подобия можно найти, поделив ОА на ОМ, при этом учтем, что ОМ = 1, так как М лежит на единичной полуокружности:
Примечание. Данное доказательство не рассматривает частные случаи, когда точка А лежит непосредственно на осях Ох и Оу, и тогда подобные треугольники ∆ОМН и ∆ОАС построить не удается. Эти случаи можно рассмотреть отдельно и показать, что для них выведенные формулы также справедливы.
Задание. Точка А находится на расстоянии 3 от начала координат (точки О), причем луч ОА образует с осью Ох угол 135°. Найдите координаты точки А.
Решение. Используя выведенные формулы, мы можем записать:
Вычисление площади треугольника
В 8 классе мы уже познакомились с одной из формул для определения площади треугольника. Однако на практике возникают ситуации, когда удобнее использовать другие формулы, одну из которых мы сейчас выведем.
Пусть в произвольном ∆АВС известны две стороны, например, ВС (обозначим ее буквой а) и АС (ее обозначим как b). Также известна величина угла между ними:
Разместим этот треугольник в системе координат так, чтобы точка С совпала с началом координат, в находилась на оси Ох и имела положительную абсциссу, А располагалась в первой четверти:
В этом случае координаты А будут определяться формулами:
Найдите площадь ∆МКН.
Решение. Подставляя числа в формулу, получаем:
Задание. Диагонали прямоугольника пересекаются под углом 30°, причем они равны 10 см. Вычислите площадь этого прямоугольника.
Заметим, что диагонали прямоугольника при пересечении образуют не один, а два угла. Пусть в прямоугольнике АВСD диагонали пересекаются в точке О, и ∠АОВ = 30°. Тогда можно найти ∠ВОС, ведь он смежный с ∠АОВ:
Чтобы найти площадь прямоугольника, мы можем найти площади 4 треугольников, из которых он состоит, и потом сложить их. Для каждого из этих треугольников нам известны две стороны (они составляют по 5 см) и угол между ними:
Площадь параллелограмма
Из выведенной нами формулы площади треугольника вытекает и новая формула для площади параллелограмма. Пусть в параллелограмме нам известны смежные и угол между ними:
На рисунке смежные стороны АВ и AD обозначены буквами a и b, а угол между ними обозначен как α. Проведем диагональ BD. Площадь ∆ABD можно вычислить:
Задание. Стороны параллелограмма имеют длины 8 и 11 см, а один из углов параллелограмма равен 30°. Какова площадь этого параллелограмма?
Решение. Просто подставляем данные в формулу
Задание. Известна площадь параллелограмма MNEF, одна из его сторон и угол:
Так как противоположные стороны в параллелограмме одинаковы, то MF также имеет длину 5:
Запишем формулу для площади и подставим в нее известные данные:
Теорема синусов
Пусть есть некоторый ∆АВС, в котором стороны мы обозначим буквами:
Посчитаем его площадь, используя стороны b и c:
Также площадь треугольника можно выразить через а и с:
Полученная формула показывает, что в каждом треугольнике отношение стороны к синусу противолежащего угла – это константа, не зависящая от выбора стороны. Другими словами,в любом треугольнике стороны пропорциональны синусам углов, которые лежат против них. Это утверждение именуют теоремой синусов.
В большинстве задач достаточно выведенной формулы
Однако можно дополнить теорему синусов, выяснив, чему же именно равны все эти три отношения. Для этого впишем треугольник в окружность, после чего построим диаметр BD:
Пусть радиус этой окружности равен R, тогда диаметр BD будет вдвое больше:
Теперь рассмотрим ∆ВСD. ∠С здесь – прямой, ведь это вписанный угол, опирающийся на полуокружность, то есть дугу в 180°. По определению синуса, которое мы давали ещё в 8 классе, можно записать:
C учетом уже выведенного равенства (6) теорема синусов примет вид:
С помощью теоремы синусов у любого треугольника можно найти две неизвестные стороны, если известны третья сторона и два угла. Процесс нахождение неизвестных элементов треугольника по уже известным элементам именуется решением треугольника. Всего у треугольника 6 элементов – три стороны и три угла. Для нахождения всех элементов в общем случае достаточно знать только 3 из них, а остальные можно найти, используя теорему синусов или иные геометрические соображения.
Задание. Решите треугольник, если одна из его сторон равна 14, а прилегающие к ней углы имеют величину 60° и 40°.
Обозначим описанный в условии треугольник как ∆МВК. Пусть МК = 14, ∠М = 60° и∠К = 40°. Тогда нам надо найти ∠В, МВ и ВК. Проще всего найти∠В, ведь в любом треугольнике все углы в сумме дают 180°:
Обратите внимание, что так как углы 40° и 80° не являются табличными, то их значения надо вычислять на калькуляторе, а результат вычисления получается приближенным. В данном случае мы округлили его до сотых.
Осталось найти сторону ВК, это также делается с помощью теоремы синусов:
Задание. В ∆SRT∠S = 30°, ∠R = 45°, а высота RM, опущенная на сторону TS, имеет длину 6. Решите ∆SRT.
Теперь надо найти какую-нибудь сторону в ∆SRT. Для этого рассмотрим ∆RMS. Он прямоугольный, а потому для него можно записать:
Для нахождения двух оставшихся сторон можно использовать теорему синусов:
Задание. В параллелограмме MNEF∠MFE составляет 120°, а диагональ NF равна 24 и образует со стороной NE угол 40°. Найдите длину МN и MF.
Далее заметим, что ∠FNE и ∠MFN одинаковы, ведь они накрест лежащие при параллельных отрезках NE и MF и секущей NF:
Теперь в ∆MNF известна сторона NF и все три угла. Это позволяет с помощью теоремы синусов найти и остальные две стороны:
Задание. В окружности радиусом 5 построен вписанный угол величиной 30°. Определите длину хорды, на которую он опирается.
Решение. По теореме синусов мы можем записать, что
Теорема косинусов
Теорема синусов помогает решать треугольники, в которых известны хотя бы два угла, а также одна из сторон. Но что делать в случае, если наоборот, даны две стороны, но только один угол? Здесь необходима другая теорема, которую именуют теоремой косинусов.
Возьмем произвольный треугольник со сторонами а, b и c и поместим его на координатной плоскости так, как показано на рисунке:
Обозначим угол между а и b как α. Тогда координаты А будут определяться так:
Точка В в свою очередь будет иметь координаты (а; 0). Зная координаты А и В, мы можем найти квадрат расстояния между ними, то есть величину с 2 :
Полученное соотношение как раз и является теоремой косинусов.
Данная формула позволяет находить третью сторону треугольника, если известны две другие, а также угол между ними. Однако ее можно переписать так, чтобы с ее помощью можно было вычислять косинус угла, зная все три стороны треугольника:
Это позволяет решать те треугольники, для которых теоремы синусов недостаточно.
Легко заметить, что теорема косинусов похожа на теорему Пифагора. Более того, если угол α = 90°, то формула теоремы косинусов превращается в теорему Пифагора, которая, таким образом, является ее частным случаем. По этой причине иногда теорему косинусов именуют обобщенной теоремой Пифагора.
Задание. Решите ∆MNE, если
Решение. По теореме косинусов находим сторону NE:
Осталось найти ∠N и ∠Е. Для этого запишем теорему косинусов так, чтобы в ней фигурировал ∠N:
Мы нашли cosN. Чтобы вычислить сам ∠N, следует использовать особую функцию на калькуляторе или компьютере, которая называется арккосинусом и является обратной для операции «извлечение косинуса». Более подробно она изучается уже в 10 классе. С ее помощью мы узнаем, что
Обратите внимание, что обычно калькулятор выдает результат, показывая десятые и сотые доли градусы, не переводя их в минуты и секунды. Можно оставить ответ и в таком виде. При желании перевести сотые доли в минуты следует дробную часть умножить на 60:
Задание. На различных сторонах угла∠А, равного 45°, отложены точки В и С так что
Задание. Решите треугольник, если его стороны имеют длину 14, 18 и 20.
Решение. Здесь надо дважды применить теорему косинусов, чтобы найти какие-нибудь два угла в ∆АВС:
∠C также можно найти через теорему косинусов, но проще просто вычесть из 180° два уже вычисленных угла:
Во всех рассмотренных задачах на решение треугольника мы знали три элемента треугольника и по ним однозначно вычисляли три других элемента. Однако иногда это невозможно. Так, если в задаче помимо двух сторон указан угол, который НЕ лежит между ними, то в итоге задача может иметь два решения.
Задание. В ∆MNE ∠M составляет 60°, а стороны МЕ и NE имеют длины 10 и 9 соответственно. Какова длина MN?
Решение. Теорему синусов здесь применить не удастся, так как для нее необходимо знать хотя бы два угла. Поэтому остается только записать теорему косинусов так, чтобы в ней использовался ∠M:
Получили квадратное уравнение, решить его можно через дискриминант:
В рамках данного урока мы узнали про теоремы синусов и косинусов и научились использовать их для решения треугольников. Также мы познакомились с новыми формулами для вычисления площадей треугольника и параллелограмма.
Конспект лекций (раздаточный материал) по учебной дисциплине «Математика: Алгебра» по теме » Тригонометрические формулы» (часть 1)
Выбранный для просмотра документ Конспект декций Тригонометрические формулы ч.1.docx
МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«ВОЛЖСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, ПЕДАГОГИКИ И ПРАВА»
Волжский социально-педагогический колледж
Математика: Алгебра (10-11кл., 1 курс СПО)
Конспект лекций (раздаточный материал) по разделу
«Тригонометрические формулы» (часть 1)
Автор: Бондаренко Людмила Валентиновна
Место работы: Волжский социально-педагогический колледж – структурное подразделение ВИЭПП
С оответствия между точками числовой прямой и точками окружности. 
Таким образом, каждой точке прямой ставится в соответствие некоторая точка окружности.
Рассмотрим окружность радиуса R и отметим на ней дугу РМ длины R и угол РОМ. 
Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в один радиан и обозначается 1 рад.
Обычно при обозначении меры угла в радианах наименование « рад » опускают.
Поворот точки единичной окружности вокруг начала координат.
Покажем теперь, как можно установить соответ ствие между действительными числами и
Рассмотрим на координатной плоскости окруж ность радиуса 1 с центром в начале координат . Ее называют единичной окружностью ( тригонометрической окружностью ). Введем понятие поворота точки единичной окружности вокруг начала координат на угол α рад, где α — любое действительное число.
За положительное направление на единичной окружности принимают направление вращения против часовой стрелки.
За отрицательное направление на единичной окружности принимают направление вращение по часовой стрелке.
Посмотрите таблицу поворотов на некоторые углы, выраженные в 
* каждому действительному числу а соответствует единственная точка единичной окружности, получаемая поворотом точки Р(1;0) на угол α рад;
Определение синуса, косинуса и тангенса угла
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. sin A= a /b; sin C= c /b. 
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos A= c /b; cos C= a /b.
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему: tg A= a /c; tg C= c /a.
В тригонометрии рассматриваются произвольные углы. Как определить синус, косинус в этом случае? Рассмотрим единичную окружность, т.е. окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1.
Определение 1. Синусом угла α называется ордината точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол α (обозначается sin α ), т.е. sin α = у
Определение 2 . Косинусом угла α называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол α (обозначается cos α ), т.е. cos α = х 
Знаки синуса и косинуса и тангенса
Знаки тангенса. По определению
Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла
Выясним зависимость между синусом и косинусом .
Равенство ( 1 ) выполняется при любых значениях α и называется основным тригонометрическим тождеством.
Из равенства (1) можно sin α выразить через cos α и cos α через sin α : 
В этих формулах знак перед корнем определяется знаком выражения, стоящего в левой части формулы, т.е. от того, в какой четверти расположен угол.
Поэтому в формуле ( 3 ) перед корнем нужно поставить знак «+» :
Из равенства ( 4 ) можно выразить tg α через ctg α и наоборот: 
Следовательно 
Получим равенство 
, откуда 
Тангенс во второй четверти отрицателен, поэтому tg α = — .
При решении задач 1—3 использовались следующие способы доказательства тождеств :
преобразование правой части к левой; преобразование левой части к правой; установление того, что разность между правой и левой частями равна нулю. Иногда удобно доказательство тождества провести преобразованием его левой и правой частей к одному и тому же выражению.
Задача 5. Упростить выражение 
Решение 
Решение задач по теме « Тригонометрические тождества»
Используя определение тангенса, имеем 
Например : 
sin 45 0 sin 30 0 = · + · = 
Задача 3. Доказать формулы 
При α = по формуле ( 2 ) получаем 
т.е. 
( 4 )
Заменив в этой формуле β на α, получим 
Полагая в формуле ( 4 ) β = – α, имеем 
Используя формулы ( 1 ) – ( 4 ), выведем формулы сложения для синуса : 
Заменяя в формуле ( 5 ) β на – β, получаем 
Задача 5. Вычислить 
Решение. 
Для получения формулы тангенса суммы и тангенса разности достаточно применить основное тригонометрическое тождество и разделить числитель и знаменатель полученной дроби на cos α cos β , где cos α ≠ 0 и cos β ≠ 0. 
( 7 )