теорема виета примеры для тренировки

Теорема Виета

Теорема Виета:

Сумма корней приведённого квадратного уравнения

равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену

Если приведённое квадратное уравнение имеет вид

то его корни равны:

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки,

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки,

а теперь найдём их произведение:

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Равенства, показывающие зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения:

называются формулами Виета.

Примечание: если дискриминант равен нулю (D = 0), то подразумевается, что уравнение имеет не один корень, а два равных корня.

Обратная теорема

Теорема:

Если сумма двух чисел равна -p, а их произведение равно q, то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения:

Это доказывает, что число x1 является корнем уравнения x 2 + px + q = 0. Точно так же можно доказать, что и число x2 является корнем для этого уравнения.

Решение примеров

Зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения позволяет в некоторых случаях находить корни уравнения устно, не используя формулу корней.

Пример 1. Найти корни уравнения:

очевидно, что корни равны 1 и 2:

Подставив числа 1 и 2 в уравнение, убедимся, что корни найдены правильно:

Пример 2. Найти корни уравнения:

С помощью теоремы, обратной теореме Виета, можно составлять квадратное уравнение по его корням.

Пример 1. Составить квадратное уравнение по его корням:

Следовательно, искомое уравнение:

Пример 2. Записать приведённое квадратное уравнение, имеющее корни:

Источник

Теорема Виета для квадратного уравнения

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Основные понятия

Квадратное уравнение — это ax 2 + bx + c = 0, где a — первый коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Существует три вида квадратных уравнений:

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Формула для его поиска записывается так: D = b 2 − 4ac. Его свойства:

В математике теоремой принято называть утверждение, у которого ранее было сформулировано доказательство.

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

Сумма корней x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:
теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Доказательство теоремы Виета

Дано квадратное уравнение x 2 + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Докажем, что следующие равенства верны

Чтобы найти сумму корней x₁ и x₂ подставим вместо них то, что соответствует им из правой части формул корней. Напомним, что в данном квадратном уравнении x 2 + bx + c = 0 старший коэффициент равен единице. Значит после подстановки знаменатель будет равен 2.

Мы доказали: x₁ + x₂ = −b.

Далее произведем аналогичные действия, чтобы доказать о равенстве x₁ * x₂ свободному члену c.

Мы доказали: x₁ * x₂ = c.

Значит сумма корней приведённого квадратного уравнения x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком (x₁ + x₂ = −b), а произведение корней равно свободному члену (x₁ * x₂= c). Теорема доказана.

Обратная теорема Виета

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Она формулируется так:

Обратная теорема Виета

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x 2 + bx + c = 0.

Обратные теоремы зачастую сформулированы так, что их утверждением является заключение первой теоремы. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это является утверждением.

Докажем теорему, обратную теореме Виета

Корни x₁ и x₂ обозначим как m и n. Тогда утверждение будет звучать следующим образом: если сумма чисел m и n равна второму коэффициенту x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену, то числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0.

Зафиксируем, что сумма m и n равна −b, а произведение равно c.

Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения, нужно поочередно подставить буквы m и n вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0.

При x = m получается верное равенство. Значит число m является искомым корнем.

Мы доказали: числа m и n являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0.

Примеры

Для закрепления знаний рассмотрим примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета.

Дано: x 2 − 6x + 8 = 0.

Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.
2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/tFokx3SM93Hwlr7ZM9BqX1xiHKv_2dUIB9MoNa8RAwSTmQKXdCcqcFXxTZmxNGw7bOVek-RzRXqBkoCqnYMiqIYVwKhfnHeU-7mA03feEqJTlyKB7e-OsTTKgPaOlddfiaTGszcv» width=»99″>

Имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять как равенству обоим равенствам системы.

Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. Значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 являются корнями уравнения x 2 − 6x + 8 = 0.
2 − 6x + 8 = 0″ height=»57″ src=»https://lh3.googleusercontent.com/rohB7Bvd-elMhTxEUuOhKqLJjqLAvo9VlJxZvOnMeDAHARfKT-SYOWb1WXTTWEN2h0oKbLl6wH7lc0IWL_vH3Si2AJGAGXVn8TPFDT_J1Wu2WeoQ-WP1qgXjCnZ99tWUkK2BOvF2″ width=»64″>

Неприведенное квадратное уравнение

Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым, то есть его первый коэффициент равен единице:

ax 2 + bx + c = 0, где а = 1.

Источник

Теорема Виета

Что называют теоремой?

Если человек обнаружил в математике какую-нибудь закономерность, позволяющую быстро решить ту или иную задачу, то ему не следует говорить о том, что он сделал открытие. Потому что может случиться так, что эта закономерность работает только для определённых случаев, а для других не работает или вовсе решает задачу неправильно.

Чтобы поделиться своим открытием с другими людьми, найденную закономерность следует сформулировать в виде утверждения, а затем доказать это утверждение, приводя неоспоримые факты.

Сформулированное утверждение называют теоремой. А доказательство теоремы состоит из фактов, логических рассуждений и вычислений, которые не оспариваются.

Например, теоремой можно назвать следующее утверждение:

«Если числитель и знаменатель обыкновенной дроби умнóжить на какое-нибудь число, то значение данной дроби не измéнится».

А затем привести такое доказательство:

Для доказательства этого равенства воспользуемся основным свойством пропорции:

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

От перестановки мест сомножителей произведение не меняется. Поэтому в получившемся равенстве можно упорядочить правую часть по алфавиту:

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Поскольку равенство теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировкиявляется пропорцией, а пропорция это равенство двух отношений, то дроби теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировкии теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировкиравны. Теорема доказана.

Теорема Виета

Французский математик Франсуа Виет выявил интересную взаимосвязь между коэффициентами приведённого квадратного уравнения и корнями этого же уравнения. Эта взаимосвязь представлена в виде теоремы и формулируется так:

Сумма корней приведённого квадратного уравнения x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком, а произведение корней равно свободному члену.

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Знак системы (фигурная скобка) говорит о том, что значения x1 и x2 удовлетворяют обоим равенствам.

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Значит выражение теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировкиявляется справедливым.

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Значит выражение теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировкиявляется справедливым.

Замечание. Чтобы теорема Виета выполнялась, квадратное уравнение обязательно должно быть приведённым и иметь корни.

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

А значит записывать выражение теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировкине имеет смысла.

Теорема Виета полезна тем, что позволяет до начала решения узнать знаки корней уравнения.

Например, запишем для уравнения x 2 − 5x + 6 = 0 сумму и произведение его корней. Сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Доказательство теоремы Виета

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Вспомним формулы корней квадратного уравнения:

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Запишем правую часть в виде дроби с одним знаменателем:

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Раскроем скобки в числителе и приведём подобные члены:

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Подставим вместо x1 и x2 соответствующие выражения из формул корней квадратного уравнения. Не забываем, что коэффициент a всё ещё равен единице:

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Чтобы перемнóжить дроби, нужно перемнóжить их числители и знаменатели:

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

В получившемся выражении раскроем скобки в числителе и приведём подобные члены:

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Сократим получившуюся дробь на 4

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Таким образом, сумма корней приведённого квадратного уравнения x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком ( x1 + x2 = −b ), а произведение корней равно свободному члену ( x1 × x2 = c ). Теорема доказана.

Теорема, обратная теореме Виета

Когда записана сумма и произведение корней приведённого квадратного уравнения, обычно начинается подбор подходящих корней к этому уравнению. В этот момент в работу включается так называемая теорема, обратная теореме Виета. Она формулируется так:

Если числа x1 и x2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знáком, а произведение чисел x1 и x2 равно свободному члену уравнения x 2 + bx + c = 0, то числа x1 и x2 являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0.

Обратные теоремы бывают поставлены так, что их утверждением является заключение первой теоремы.

Ранее мы решили уравнение x 2 − 5x + 6 = 0 и написали для него такую сумму и произведение корней:

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Пример 2. Решить квадратное уравнение x 2 − 6x + 8 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Число 8 можно получить если перемножить числа 4 и 2 либо 1 и 8.

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Если числа m и n таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знáком, а произведение чисел m и n равно свободному члену уравнения x 2 + bx + c = 0, то числа m и n являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Видим, что при x = n тоже получается верное равенство. Значит число n является корнем уравнения.

Примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета

Пример 1. Решить квадратное уравнение x 2 − 4x + 4 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму корней x1 и x2 и приравняем её к второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Также запишем произведение корней x1 и x2 и приравняем его к свободному члену :

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Данный пример показывает, что теорема обратная теореме Виета, работает и для уравнений, имеющих только один корень. Признаком того, что квадратное уравнение имеет только один корень является то, что значения x1 и x2 совпадают.

Пример 2. Решить уравнение x 2 + 3x + 2 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Сумма бывает отрицательной если оба слагаемых отрицательны либо отрицательным является одно слагаемое, модуль которого больше.

Очевидно, что корнями являются два отрицательных числа. Произведение отрицательных чисел есть положительное число. А сумма отрицательных чисел есть отрицательное число.

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Итак, корнями являются числа −1 и −2

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Пример 3. Решить уравнение x 2 + 16x + 15 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Как и в прошлом примере сумма корней равна отрицательному числу, а произведение корней — положительному числу.

Произведение бывает положительным если оба сомножителя положительны либо оба сомножителя отрицательны. Первый вариант отпадает сразу, поскольку сумма корней равна отрицательному числу. Тогда получается, что оба корня будут отрицательными. Попробуем подобрать их.

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Пример 4. Решить уравнение x 2 − 10x − 39 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.

Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Значит корнями уравнения x 2 − 10x − 39 = 0 являются числа −3 и 13

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

По теореме Виета произведение корней приведённого квадратного уравнения равно свободному члену. В данном случае это произведение равно 45

Этот второй корень также можно было бы получить, выразив из равенства 15 × x2 = 45 переменную x2

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

По теореме Виета сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Если сумма корней равна 18, а 18 это положительное число, то в самóм уравнении этот коэффициент будет отрицательным:

Обычно решение к такой задаче записывают так. Сначала записывают основную теорему Виета в виде суммы и произведения корней:

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Из этой системы мы видим, что x2 равно 3. Подставим его в первое равенство:

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Теперь из первого равенства мы видим, что −b равно 18

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Этот же результат можно получить если в выражении теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировкиумножить первое равенство на −1

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Теперь возвращаемся к исходному уравнению x 2 + bx + 45 = 0 и подставляем найденное значение b

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Запишем сумму и произведение корней:

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Пример 7. Используя теорему Виета, написать приведённое квадратное уравнение, корнями которых являются числа теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировкии теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки.

Запишем сумму и произведение корней:

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Сумма корней равна 2. Тогда в уравнении второй коэффициент будет равен −2. А произведение корней равно −1. Значит свободный член будет равен −1. Тогда:

Когда квадратное уравнение неприведённое

Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым.

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Получилось уравнение теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки, которое является приведённым. В нём второй коэффициент равен теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки, а свободный член равен теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки. Тогда сумма и произведение корней будут выглядеть так:

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Получили приведённое квадратное уравнение. В нём второй коэффициент равен теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки, а свободный член теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки. Тогда по теореме Виета имеем:

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Отсюда методом подбора находим корни −1 и

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Возможно этот метод вы редко будете использовать при решении квадратных уравнений. Но знать о нём не помешает.

Пример 2. Решить квадратное уравнение 3x 2 − 7x + 2 = 0

Данное уравнение не является приведённым, а значит его пока нельзя решить по теореме, обратной теореме Виета.

Сделаем данное уравнение приведенным. Разделим обе части на коэффициент, который располагается перед x 2

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Получили уравнение теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки. Запишем сумму и произведение корней этого уравнения:

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Отсюда методом подбора находим корни 2 и теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Пример 3. Решить квадратное уравнение 2x 2 − 3x − 2 = 0

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Прирáвниваем получившееся выражение к нулю:

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Теперь применяем теорему Виета. Сумма корней будет равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком, а произведение корней свободному члену:

теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Отсюда методом подбора находим корни 2 и теорема виета примеры для тренировки. Смотреть фото теорема виета примеры для тренировки. Смотреть картинку теорема виета примеры для тренировки. Картинка про теорема виета примеры для тренировки. Фото теорема виета примеры для тренировки

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *