Смотреть что такое «Нормальное сечение» в других словарях:
нормальное сечение — Сечение, перпендикулярное базовой поверхности. [ГОСТ 25142 82 (СТ СЭВ 1156 78)] Тематики обработка резанием Обобщающие термины поверхность, профиль и базы отсчета EN nominal section FR coupe nominale … Справочник технического переводчика
Нормальное сечение — 1.4. Нормальное сечение Сечение, перпендикулярное базовой поверхности (черт. 3) Черт. 3 Источник: ГОСТ 25142 82: Шероховатость поверхности. Термины и определения … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Нормальное сечение — Пример простой поверхности Поверхность традиционное название для двумерного многообразия в пространстве. Поверхности определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют определённому виду уравнений: Если функция непрерывна в… … Википедия
нормальное сечение — Сечение трубки тока по нормали к вектору средней местной скорости в каждой точке пространства … Политехнический терминологический толковый словарь
НОРМАЛЬНОЕ СЕЧЕНИЕ — гладкой поверхности Фв точке Рв направлении l сечение поверхности Ф плоскостью, проходящей через нормаль к поверхности в точке Ри через направление lв касательной плоскости к Ф в точке Р. Задачу об изучении локальной структуры поверхности можно… … Математическая энциклопедия
нормальное сечение боковой поверхности зуба конического зубчатого колеса — нормальное сечение боковой поверхности зуба Сечение боковой поверхности зуба конического зубчатого колеса плоскостью нормальной к теоретической линии зуба. Примечание При отсутствии указаний нормальное сечение боковой поверхности зуба нормально к … Справочник технического переводчика
нормальное сечение зубa (впадины) конического зубчатого колеса — нормальное сечение зуба (впадины) Сечение зуба (впадины) конического зубчатого колеса плоскостью нормальной к средней линии зуба (впадины) в заданной точке. Примечания 1. Различают внешнее, среднее, внутреннее и др. нормальные сечения зуба… … Справочник технического переводчика
нормальное сечение зубчатой рейки — нормальное сечение Сечение зубчатой рейки плоскостью, нормальной к теоретическим линиям ее зубьев (3.1.1). [ГОСТ 16531 83] Тематики передачи зубчатые цилиндрические Обобщающие термины сечения зубчатой рейки Синонимы нормальное сечение … Справочник технического переводчика
нормальное сечение витка (впадины) — Сечение витка (впадины) цилиндрического червяка плоскостью, нормальной к средней линии витка (впадины) червяка. Примечание При отсутствии указаний нормальное сечение витка (впадины) соответствует средней делительной линии витка (впадины) червяка … Справочник технического переводчика
нормальное сечение зуба плоского колеса — Сечение боковой поверхности зуба плоского колеса плоскостью нормальной к делительной теоретической линии зуба. Примечание Различают внешнее, среднее, внутреннее и другие нормальные сечения плоского колеса, соответствующие точкам пересечения… … Справочник технического переводчика
Сечение зубчатой рейки плоскостью, нормальной к теоретическим линиям ее зубьев (черт. 15).
Полезное
Смотреть что такое «Нормальное сечение» в других словарях:
нормальное сечение — Сечение, перпендикулярное базовой поверхности. [ГОСТ 25142 82 (СТ СЭВ 1156 78)] Тематики обработка резанием Обобщающие термины поверхность, профиль и базы отсчета EN nominal section FR coupe nominale … Справочник технического переводчика
Нормальное сечение — Пример простой поверхности Поверхность традиционное название для двумерного многообразия в пространстве. Поверхности определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют определённому виду уравнений: Если функция непрерывна в… … Википедия
нормальное сечение — Сечение трубки тока по нормали к вектору средней местной скорости в каждой точке пространства … Политехнический терминологический толковый словарь
НОРМАЛЬНОЕ СЕЧЕНИЕ — гладкой поверхности Фв точке Рв направлении l сечение поверхности Ф плоскостью, проходящей через нормаль к поверхности в точке Ри через направление lв касательной плоскости к Ф в точке Р. Задачу об изучении локальной структуры поверхности можно… … Математическая энциклопедия
Нормальное сечение — поверхности S в данной её точке М линия пересечения S с плоскостью, проведённой через нормаль в точке М. С помощью Н. с. изучается искривление поверхности S в различных (касательных) направлениях, выходящих из точки М. Среди этих… … Большая советская энциклопедия
нормальное сечение боковой поверхности зуба конического зубчатого колеса — нормальное сечение боковой поверхности зуба Сечение боковой поверхности зуба конического зубчатого колеса плоскостью нормальной к теоретической линии зуба. Примечание При отсутствии указаний нормальное сечение боковой поверхности зуба нормально к … Справочник технического переводчика
нормальное сечение зубa (впадины) конического зубчатого колеса — нормальное сечение зуба (впадины) Сечение зуба (впадины) конического зубчатого колеса плоскостью нормальной к средней линии зуба (впадины) в заданной точке. Примечания 1. Различают внешнее, среднее, внутреннее и др. нормальные сечения зуба… … Справочник технического переводчика
нормальное сечение зубчатой рейки — нормальное сечение Сечение зубчатой рейки плоскостью, нормальной к теоретическим линиям ее зубьев (3.1.1). [ГОСТ 16531 83] Тематики передачи зубчатые цилиндрические Обобщающие термины сечения зубчатой рейки Синонимы нормальное сечение … Справочник технического переводчика
нормальное сечение витка (впадины) — Сечение витка (впадины) цилиндрического червяка плоскостью, нормальной к средней линии витка (впадины) червяка. Примечание При отсутствии указаний нормальное сечение витка (впадины) соответствует средней делительной линии витка (впадины) червяка … Справочник технического переводчика
нормальное сечение зуба плоского колеса — Сечение боковой поверхности зуба плоского колеса плоскостью нормальной к делительной теоретической линии зуба. Примечание Различают внешнее, среднее, внутреннее и другие нормальные сечения плоского колеса, соответствующие точкам пересечения… … Справочник технического переводчика
С помощью кривизн Н. с. изучаются также кривизны наклонных сечений поверхности. Именно, кривизна k наклонного сечения плоскостью a, проходящей через данную касательную прямую а, выражается формулой Менье:
1.4. Нормальное сечение
Сечение, перпендикулярное базовой поверхности (черт. 3)
3.17 нормальное сечение: Сечение элемента плоскостью, перпендикулярной к его продольной оси.
3. Нормальное сечение
Сечение, перпендикулярное базовой поверхности
Смотри также родственные термины:
55. Нормальное сечение боковой поверхности зуба конического зубчатого колеса
Пове́рхность — традиционное название для двумерного многообразия в пространстве.
Поверхности определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют определённому виду уравнений:
Если функция непрерывна в некоторой точке и имеет в ней непрерывные частные производные, по крайней мере одна из которых не обращается в нуль, то в окрестности этой точки поверхность, заданная уравнением (1), будет правильной поверхностью.
Помимо указанного выше неявного способа задания поверхность может быть определена явно, если одну из переменных, например z, можно выразить через остальные:
Также существует параметрический способ задания. В этом случае поверхность определяется системой уравнений:
Содержание
Понятие о простой поверхности
Более точно, простой поверхностью называется образ гомеоморфного отображения (то есть взаимно однозначного и взаимно непрерывного отображения) внутренности единичного квадрата. Этому определению можно дать аналитическое выражение.
Пусть на плоскости с прямоугольной системой координат u и v задан квадрат, координаты внутренних точек которого удовлетворяют неравенствам 0 Поверхность в дифференциальной геометрии
В дифференциальной геометрии исследуемые поверхности обычно подчинены условиям, связанным с возможностью применения методов дифференциального исчисления. Как правило, это — условия гладкости поверхности, то есть существования в каждой точке поверхности определённой касательной плоскости, кривизны и т. д. Эти требования сводятся к тому, что функции, задающие поверхность, предполагаются однократно, дважды, трижды, а в некоторых вопросах — неограниченное число раз дифференцируемыми или даже аналитическими функциями. При этом дополнительно накладывается условие регулярности.
Случай параметрического задания. Зададим поверхность векторным уравнением , или, что то же самое, тремя уравнениями в координатах:
Эта система уравнений задаёт гладкую регулярную поверхность, если выполнены условия:
Геометрически последнее условие означает, что векторы нигде не параллельны.
Параметры u, v можно рассматривать как внутренние координаты точек поверхности. Фиксируя одну из координат, мы получаем два семейства координатных кривых, покрывающих поверхность координатной сеткой.
Случай явного задания. Поверхность S может быть определена как график функции z = f(x,y) ; тогда S является гладкой регулярной поверхностью, если функция f дифференцируема. Этот вариант можно рассматривать как частный случай параметрического задания: .
Касательная плоскость
Касательная плоскость в точке гладкой поверхности — это плоскость, имеющая максимальный порядок соприкосновения с поверхностью в этой точке. Эквивалентный вариант определения: касательная плоскость есть плоскость, содержащая касательные ко всем гладким кривым, проходящим через эту точку.
Пусть гладкая кривая на параметрически заданной поверхности задана в виде:
.
Направление касательной к такой кривой даёт вектор:
Отсюда видно, что все касательные ко всем кривым в данной точке лежат в одной плоскости, содержащей векторы , которые мы выше предположили независимыми.
Уравнение касательной плоскости в точке имеет вид:
(смешанное произведение векторов).
В координатах уравнения касательной плоскости для разных способов задания поверхности приведены в таблице:
касательная плоскость к поверхности в точке
неявное задание
явное задание
параметрическое задание
Метрика и внутренняя геометрия
Вновь рассмотрим гладкую кривую:
.
Элемент её длины определяется из соотношения:
,
где .
Эта квадратичная форма называется первой квадратичной формой и представляет собой двумерный вариант метрики поверхности. Для регулярной поверхности её дискриминант EG − F 2 > 0 во всех точках. Коэффициент в точке поверхности тогда и только тогда, когда в этой точке координатные кривые ортогональны. В частности, на плоскости с декартовыми координатами получается метрика ds 2 = du 2 + dv 2 (теорема Пифагора).
Метрика не определяет однозначно форму поверхности. Например, метрика геликоида и катеноида, параметризованных соответствующим образом, совпадает, то есть между их областями существует соответствие, сохраняющее все длины (изометрия). Свойства, сохраняющиеся при изометрических преобразованиях, называются внутренней геометрией поверхности. Внутренняя геометрия не зависит от положения поверхности в пространстве и не меняется при её изгибании без растяжения и сжатия (например, при изгибании цилиндра в конус).
Метрические коэффициенты определяют не только длины всех кривых, но и вообще результаты всех измерений внутри поверхности (углы, площади, кривизна и др.). Поэтому всё, что зависит только от метрики, относится к внутренней геометрии.
Нормаль и нормальное сечение
Одной из основных характеристик поверхности является её нормаль — единичный вектор, перпендикулярный касательной плоскости в заданной точке:
.
Знак нормали зависит от выбора координат.
Сечение поверхности плоскостью, содержащей нормаль (в данной точке), образует некоторую кривую на поверхности, которая называется нормальным сечением поверхности. Главная нормаль для нормального сечения совпадает с нормалью к поверхности (с точностью до знака).
Координаты орта нормали для разных способов задания поверхности приведены в таблице:
Координаты нормали в точке поверхности
неявное задание
явное задание
параметрическое задание
Здесь .
Кривизна
Для разных направлений в заданной точке поверхности получается разная кривизна нормального сечения, которая называется нормальной кривизной; ей приписывается знак плюс, если главная нормаль кривой идёт в том же направлении, что и нормаль к поверхности, или минус, если направления нормалей противоположны.
называется гауссовой кривизной, полной кривизной или просто кривизной поверхности. Встречается также термин скаляр кривизны, который подразумевает результат свёртки тензора кривизны; при этом скаляр кривизны вдвое больше, чем гауссова кривизна.
Гауссова кривизна может быть вычислена через метрику, и поэтому она является объектом внутренней геометрии поверхностей (отметим, что главные кривизны к внутренней геометрии не относятся). По знаку кривизны можно классифицировать точки поверхности (см. рисунок). Кривизна плоскости равна нулю. Кривизна сферы радиуса R всюду равна . Существует и поверхность постоянной отрицательной кривизны — псевдосфера.
Геодезические линии, геодезическая кривизна
Эквивалентное определение: у геодезической линии проекция её главной нормали на соприкасающуюся плоскость есть нулевой вектор. Если кривая не является геодезической, то указанная проекция ненулевая; её длина называется геодезической кривизнойkg кривой на поверхности. Имеет место соотношение:
,
Геодезические линии относятся к внутренней геометрии. Перечислим их главные свойства.
Площадь
Ещё один важный атрибут поверхности — её площадь, которая вычисляется по формуле:
Здесь .
В координатах получаем:
явное задание
параметрическое задание
выражение для площади
Ориентация
Также важной характеристикой поверхности является её ориентация.
Поверхность называется двусторонней, если на всей её протяжённости она обладает непрерывным вектором нормали. В противном случае поверхность называют односторонней.
Ориентированной называется двусторонняя поверхность с выбранным направлением нормали.
Примерами односторонних, а следовательно и неориентируемых поверхностей являются бутылка Клейна или лента Мёбиуса.
Типы поверхностей
С точки зрения топологического строения, поверхности как двумерные многообразия бывают:
Обобщение
О многомерных аналогах теории см.:
Литература
Полезное
Смотреть что такое «Нормальное сечение» в других словарях:
нормальное сечение — Сечение, перпендикулярное базовой поверхности. [ГОСТ 25142 82 (СТ СЭВ 1156 78)] Тематики обработка резанием Обобщающие термины поверхность, профиль и базы отсчета EN nominal section FR coupe nominale … Справочник технического переводчика
Нормальное сечение — 1.4. Нормальное сечение Сечение, перпендикулярное базовой поверхности (черт. 3) Черт. 3 Источник: ГОСТ 25142 82: Шероховатость поверхности. Термины и определения … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
нормальное сечение — Сечение трубки тока по нормали к вектору средней местной скорости в каждой точке пространства … Политехнический терминологический толковый словарь
НОРМАЛЬНОЕ СЕЧЕНИЕ — гладкой поверхности Фв точке Рв направлении l сечение поверхности Ф плоскостью, проходящей через нормаль к поверхности в точке Ри через направление lв касательной плоскости к Ф в точке Р. Задачу об изучении локальной структуры поверхности можно… … Математическая энциклопедия
Нормальное сечение — поверхности S в данной её точке М линия пересечения S с плоскостью, проведённой через нормаль в точке М. С помощью Н. с. изучается искривление поверхности S в различных (касательных) направлениях, выходящих из точки М. Среди этих… … Большая советская энциклопедия
нормальное сечение боковой поверхности зуба конического зубчатого колеса — нормальное сечение боковой поверхности зуба Сечение боковой поверхности зуба конического зубчатого колеса плоскостью нормальной к теоретической линии зуба. Примечание При отсутствии указаний нормальное сечение боковой поверхности зуба нормально к … Справочник технического переводчика
нормальное сечение зубa (впадины) конического зубчатого колеса — нормальное сечение зуба (впадины) Сечение зуба (впадины) конического зубчатого колеса плоскостью нормальной к средней линии зуба (впадины) в заданной точке. Примечания 1. Различают внешнее, среднее, внутреннее и др. нормальные сечения зуба… … Справочник технического переводчика
нормальное сечение зубчатой рейки — нормальное сечение Сечение зубчатой рейки плоскостью, нормальной к теоретическим линиям ее зубьев (3.1.1). [ГОСТ 16531 83] Тематики передачи зубчатые цилиндрические Обобщающие термины сечения зубчатой рейки Синонимы нормальное сечение … Справочник технического переводчика
нормальное сечение витка (впадины) — Сечение витка (впадины) цилиндрического червяка плоскостью, нормальной к средней линии витка (впадины) червяка. Примечание При отсутствии указаний нормальное сечение витка (впадины) соответствует средней делительной линии витка (впадины) червяка … Справочник технического переводчика
нормальное сечение зуба плоского колеса — Сечение боковой поверхности зуба плоского колеса плоскостью нормальной к делительной теоретической линии зуба. Примечание Различают внешнее, среднее, внутреннее и другие нормальные сечения плоского колеса, соответствующие точкам пересечения… … Справочник технического переводчика
непрерывна в некоторой точке и имеет в ней непрерывные частные производные, по крайней мере одна из которых не обращается в нуль, то в окрестности этой точки поверхность, заданная уравнением (1), будет правильной поверхностью.
, или, что то же самое, тремя уравнениями в координатах:
нигде не параллельны.
.
.
касательной к такой кривой даёт вектор:
имеет вид:
(смешанное произведение векторов).
,
.
в точке поверхности тогда и только тогда, когда в этой точке координатные кривые ортогональны. В частности, на плоскости с декартовыми координатами 
получается метрика ds 2 = du 2 + dv 2 (теорема Пифагора).
определяют не только длины всех кривых, но и вообще результаты всех измерений внутри поверхности (углы, площади, кривизна и др.). Поэтому всё, что зависит только от метрики, относится к внутренней геометрии.
.
.
. Существует и поверхность постоянной отрицательной кривизны — псевдосфера.
,
.
