Что такое интервальный счет
Интервальная арифметика
Эта обработка обычно ограничивается реальными интервалами, поэтому количество форм
Как и в случае традиционных вычислений с действительными числами, сначала необходимо определить простые арифметические операции и функции на элементарных интервалах. [1] Из этих основных элементов можно вычислить более сложные функции. [1]
Пример
Ошибка в этом случае не влияет на вывод (нормальный вес), но это не всегда так. Если мужчина был немного тяжелее, диапазон ИМТ может включать пороговое значение 25. В этом случае точность шкалы была недостаточной, чтобы сделать окончательный вывод.
Интервальная арифметика явно указывает диапазон возможных результатов. Результаты больше не указываются в виде чисел, а в виде интервалов, которые представляют неточные значения. Размер интервалов аналогичен планкам погрешностей при выражении степени неопределенности.
Несколько интервалов
В этом случае мужчина может иметь нормальный вес или иметь избыточный вес; измерения веса и роста были недостаточно точными, чтобы сделать окончательный вывод. Это демонстрирует способность интервальной арифметики правильно отслеживать и распространять ошибки.
Для практических приложений это можно еще упростить:
Интервальное умножение часто требует только двух умножений. Если Икс 1 <\ displaystyle x_ <1>> 
, у 1 <\ displaystyle y_ <1>> неотрицательны,
Умножение можно интерпретировать как площадь прямоугольника с разными краями. Интервал результатов охватывает все возможные области, от наименьшей до наибольшей.
Обозначение
Для уменьшения обозначения интервалов в формулах можно использовать скобки.
Элементарные функции
Также могут быть определены интервальные функции помимо четырех основных операторов.
Исходя из этого, можно легко определить следующие основные характеристики интервальных функций:
Интервальные расширения общих функций
Для реального выражения его естественное расширение интервала достигается за счет использования интервального расширения каждого из его подвыражений, функций и операторов.
Основные алгебраические операции с вещественными интервальными числами (действительными отрезками) могут быть расширены до комплексных чисел. Поэтому неудивительно, что комплексная интервальная арифметика похожа на обычную комплексную арифметику, но не то же самое. [4] Можно показать, что, как и в случае с вещественной интервальной арифметикой, нет распределенности между сложением и умножением комплексных интервальных чисел, за исключением некоторых особых случаев, а обратные элементы не всегда существуют для комплексных интервальных чисел. [4] Два других полезных свойства обычной комплексной арифметики не соблюдаются в арифметике комплексных интервалов: аддитивные и мультипликативные свойства обычных комплексных сопряжений не выполняются для сопряженных комплексных интервалов. [4]
Методы классического численного анализа нельзя однозначно перевести в интервальные алгоритмы, так как зависимости между численными значениями обычно не учитываются.
Арифметика с округленными интервалами
Проблема зависимости
Так называемая проблема зависимости является серьезным препятствием для применения интервальной арифметики. Хотя интервальные методы могут очень точно определять диапазон элементарных арифметических операций и функций, это не всегда верно для более сложных функций. Если интервал встречается несколько раз в вычислении с использованием параметров, и каждое вхождение берется независимо, это может привести к нежелательному расширению результирующих интервалов.
Таким образом, подходящий интервал для расчета
и дает правильные значения.
Зависимость проблемы, вызывающая завышение диапазона значений, может доходить до большого диапазона, не позволяя делать более значимые выводы.
Дополнительное увеличение диапазона связано с решением областей, не принимающих форму интервального вектора. Множество решений линейной системы
Линейные интервальные системы
можно определить переменной Икс я <\ displaystyle x_ > если разделение 1 / [ а я я ] <\ displaystyle 1 / [a_ разрешено. Поэтому одновременно
Итак, теперь мы можем заменить [ Икс j ] <\ displaystyle [x_ от
Интервальный метод Ньютона
Биссекция и крышки
Различные методы интервалов дают консервативные результаты, поскольку не учитываются зависимости между размерами различных расширений интервалов. Однако проблема зависимости становится менее значительной для более узких интервалов.
тогда действительно для диапазона значений
Таким образом, для описанных выше расширений интервалов выполняется следующее:
С [ ж ] ( [ Икс ] ) <\ Displaystyle [е] ([\ mathbf <х>])> часто является подлинным надмножеством правой части, это обычно приводит к улучшенной оценке.
Анализ ошибок округления
Интервальная арифметика используется при анализе ошибок для контроля ошибок округления, возникающих при каждом вычислении. Преимущество интервальной арифметики в том, что после каждой операции есть интервал, который достоверно включает истинный результат. Расстояние между границами интервалов напрямую дает текущий расчет ошибок округления:
Анализ толерантности
Параметры, для которых невозможно выделить точные цифры, часто возникают при моделировании технических и физических процессов. Процесс производства технических компонентов допускает определенные допуски, поэтому некоторые параметры колеблются в определенных интервалах. Кроме того, многие фундаментальные константы точно неизвестны. [2]
Арифметика с нечеткими интервалами
можно аппроксимировать последовательностью
Компьютерное доказательство
Независимо в 1956 году Мечислав Вармус предложил формулы для вычислений с интервалами [16], хотя Мур нашел первые нетривиальные приложения.
Журнал Reliable Computing (первоначально Interval Computations ) издается с 1990-х годов и посвящен надежности компьютерных вычислений. В качестве ведущего редактора Р. Бейкер Кирфотт, помимо своей работы по глобальной оптимизации, внес значительный вклад в унификацию обозначений и терминологии, используемых в интервальной арифметике. [20]
Существует множество программных пакетов, позволяющих разрабатывать численные приложения с использованием интервальной арифметики. [22] Обычно они предоставляются в виде программных библиотек. Существуют также компиляторы C ++ и Fortran, которые обрабатывают интервальные типы данных и подходящие операции в качестве расширения языка, поэтому интервальная арифметика поддерживается напрямую.
Еще одна библиотека классов C ++ была создана в 1993 году в Гамбургском технологическом университете под названием Profil / BIAS (оптимизированная во время выполнения программа для быстрой интервальной библиотеки, базовая интервальная арифметика), которая сделала обычные интервальные операции более удобными для пользователя. Он подчеркнул эффективное использование оборудования, портативность и независимость конкретного представления интервалов.
Коллекция библиотек C ++ Boost содержит шаблонный класс для интервалов. Его авторы стремятся использовать интервальную арифметику на стандартном языке C ++. [24]
Библиотека Мура [26] представляет собой эффективную реализацию интервальной арифметики в C ++. Он предоставляет интервалы с конечными точками произвольной точности и основан на «концептуальной» особенности C ++.
В языке программирования Julia [27] есть реализация интервальной арифметики вместе с высокоуровневыми функциями, такими как поиск корня (как для вещественных, так и для комплексных функций) и программирование интервальных ограничений через пакет ValidatedNumerics.jl. [28]
Библиотека функционального языка OCaml была написана на ассемблере и C. [32]
Минимальное подмножество стандарта, IEEE Std 1788.1-2017, было одобрено в декабре 2017 года и опубликовано в феврале 2018 года. Это должно быть проще в реализации и может ускорить производство реализаций. [37]
Ежегодно в мире проводится несколько международных конференций или семинаров. Основной конференцией, вероятно, является SCAN (Международный симпозиум по научным вычислениям, компьютерной арифметике и проверенным численным вычислениям), но есть также SWIM (небольшой семинар по интервальным методам), PPAM (Международная конференция по параллельной обработке и прикладной математике), REC (Международный Практикум по надежным инженерным вычислениям.
СОДЕРЖАНИЕ
Вступление
Эта обработка обычно ограничивается реальными интервалами, поэтому количество форм
Как и в случае традиционных вычислений с действительными числами, сначала необходимо определить простые арифметические операции и функции на элементарных интервалах. Из этих основных элементов можно вычислить более сложные функции.
Пример
Ошибка в этом случае не влияет на вывод (нормальный вес), но это не всегда так. Если мужчина был немного тяжелее, диапазон ИМТ может включать пороговое значение 25. В этом случае точность шкалы была недостаточной, чтобы сделать окончательный вывод.
Интервальная арифметика явно указывает диапазон возможных результатов. Результаты больше не указываются в виде чисел, а в виде интервалов, которые представляют неточные значения. Размер интервалов аналогичен планкам погрешностей при выражении степени неопределенности.
Несколько интервалов
В этом случае мужчина может иметь нормальный вес или иметь избыточный вес; измерения веса и роста были недостаточно точными, чтобы сделать окончательный вывод. Это демонстрирует способность интервальной арифметики правильно отслеживать и распространять ошибки.
Операторы интервалов
Для практических приложений это можно еще упростить:
Умножение можно интерпретировать как площадь прямоугольника с разными краями. Интервал результатов охватывает все возможные области, от наименьшей до наибольшей.
Обозначение
Для уменьшения обозначения интервалов в формулах можно использовать скобки.
Элементарные функции
Также могут быть определены интервальные функции помимо четырех основных операторов.
Исходя из этого, можно легко определить следующие основные характеристики интервальных функций:
Интервальные расширения общих функций
Для реального выражения его естественное расширение интервала достигается за счет использования интервального расширения каждого из его подвыражений, функций и операторов.
Комплексная интервальная арифметика
Основные алгебраические операции с вещественными интервальными числами (действительными отрезками) могут быть расширены до комплексных чисел. Поэтому неудивительно, что комплексная интервальная арифметика похожа на обычную комплексную арифметику, но не то же самое. Можно показать, что, как и в случае с вещественной интервальной арифметикой, нет распределенности между сложением и умножением комплексных интервальных чисел, за исключением некоторых особых случаев, а обратные элементы не всегда существуют для комплексных интервальных чисел. Два других полезных свойства обычной комплексной арифметики не соблюдаются в комплексной интервальной арифметике: аддитивные и мультипликативные свойства обычных комплексных сопряжений не выполняются для комплексных интервальных сопряжений.
Интервальные методы
Методы классического численного анализа нельзя однозначно перевести в интервальные алгоритмы, так как зависимости между численными значениями обычно не учитываются.
Арифметика с округленными интервалами
Проблема зависимости
Так называемая проблема зависимости является серьезным препятствием для применения интервальной арифметики. Хотя интервальные методы могут очень точно определять диапазон элементарных арифметических операций и функций, это не всегда верно для более сложных функций. Если интервал встречается несколько раз в вычислении с использованием параметров, и каждое вхождение берется независимо, это может привести к нежелательному расширению результирующих интервалов.
Таким образом, подходящий интервал для расчета
и дает правильные значения.
Зависимость проблемы, вызывающая завышение диапазона значений, может доходить до большого диапазона, не позволяя делать более значимые выводы.
Дополнительное увеличение диапазона связано с решением областей, не принимающих форму интервального вектора. Множество решений линейной системы
Линейные интервальные системы
может быть определено переменной, если разделение разрешено. Поэтому одновременно Икс я <\ displaystyle x_ > 1 / [ а я я ] <\ displaystyle 1 / [a_
Итак, теперь мы можем заменить на [ Икс j ] <\ displaystyle [x_
Интервальный метод Ньютона
Биссекция и крышки
Различные методы интервалов дают консервативные результаты, поскольку не учитываются зависимости между размерами различных расширений интервалов. Однако проблема зависимости становится менее значительной для более узких интервалов.
тогда действительно для диапазона значений
Таким образом, для описанных выше расширений интервалов выполняется следующее:
Поскольку часто это подлинное надмножество правой части, это обычно приводит к улучшенной оценке. [ ж ] ( [ Икс ] ) <\ Displaystyle [е] ([\ mathbf <х>])>
заявка
Анализ ошибок округления
Интервальная арифметика используется при анализе ошибок для контроля ошибок округления, возникающих при каждом вычислении. Преимущество интервальной арифметики в том, что после каждой операции есть интервал, который надежно включает истинный результат. Расстояние между границами интервалов напрямую дает текущий расчет ошибок округления:
Анализ толерантности
Параметры, для которых невозможно выделить точные цифры, часто возникают при моделировании технических и физических процессов. Процесс производства технических компонентов допускает определенные допуски, поэтому некоторые параметры колеблются в определенных интервалах. Кроме того, многие фундаментальные константы точно неизвестны.
Арифметика с нечеткими интервалами
можно аппроксимировать последовательностью
Компьютерное доказательство
История
Рождение современной интервальной арифметики ознаменовалось появлением в 1966 году книги Рамона Э. Мура « Интервальный анализ ». Идея пришла ему в голову весной 1958 года, а через год он опубликовал статью о компьютерной интервальной арифметике. Его заслуга заключалась в том, что, исходя из простого принципа, он предоставлял общий метод автоматического анализа ошибок, а не только ошибок, возникающих в результате округления.
Независимо в 1956 году Мечислав Вармус предложил формулы для вычислений с интервалами, хотя Мур нашел первые нетривиальные приложения.
Журнал Reliable Computing (первоначально Interval Computations ) издается с 1990-х годов и посвящен надежности компьютерных вычислений. В качестве ведущего редактора Р. Бейкер Кирфотт, помимо своей работы по глобальной оптимизации, внес значительный вклад в унификацию обозначений и терминологии, используемых в интервальной арифметике.
Реализации
Существует множество программных пакетов, позволяющих разрабатывать численные приложения с использованием интервальной арифметики. Обычно они предоставляются в виде программных библиотек. Существуют также компиляторы C ++ и Fortran, которые обрабатывают интервальные типы данных и подходящие операции в качестве расширения языка, поэтому интервальная арифметика поддерживается напрямую.
Еще одна библиотека классов C ++ была создана в 1993 году в Гамбургском технологическом университете под названием Profil / BIAS (оптимизированная во время выполнения программа для быстрой интервальной библиотеки, базовая интервальная арифметика), которая сделала обычные интервальные операции более удобными для пользователя. Он подчеркнул эффективное использование оборудования, портативность и независимость конкретного представления интервалов.
Коллекция библиотек C ++ Boost содержит шаблонный класс для интервалов. Его авторы стремятся использовать интервальную арифметику на стандартном языке C ++.
Библиотека функционального языка OCaml была написана на ассемблере и C.
Стандарт IEEE 1788
Минимальное подмножество стандарта, IEEE Std 1788.1-2017, было одобрено в декабре 2017 года и опубликовано в феврале 2018 года. Это должно быть проще в реализации и может ускорить производство реализаций.
Конференции и семинары
Ежегодно в мире проводится несколько международных конференций или семинаров. Основной конференцией, вероятно, является SCAN (Международный симпозиум по научным вычислениям, компьютерной арифметике и проверенным численным вычислениям), но есть также SWIM (небольшой семинар по интервальным методам), PPAM (Международная конференция по параллельной обработке и прикладной математике), REC (Международный Практикум по надежным инженерным вычислениям.
СОДЕРЖАНИЕ
Вступление
Эта обработка обычно ограничивается реальными интервалами, поэтому количество форм
Как и в случае традиционных вычислений с действительными числами, сначала необходимо определить простые арифметические операции и функции на элементарных интервалах. Из этих основных элементов можно вычислить более сложные функции.
Пример
Ошибка в этом случае не влияет на вывод (нормальный вес), но это не всегда так. Если мужчина был немного тяжелее, диапазон ИМТ может включать пороговое значение 25. В этом случае точность шкалы была недостаточной, чтобы сделать окончательный вывод.
Интервальная арифметика явно указывает диапазон возможных результатов. Результаты больше не указываются в виде чисел, а в виде интервалов, которые представляют неточные значения. Размер интервалов аналогичен планкам погрешностей при выражении степени неопределенности.
Несколько интервалов
В этом случае мужчина может иметь нормальный вес или иметь избыточный вес; измерения веса и роста были недостаточно точными, чтобы сделать окончательный вывод. Это демонстрирует способность интервальной арифметики правильно отслеживать и распространять ошибки.
Операторы интервалов
Для практических приложений это можно еще упростить:
Умножение можно интерпретировать как площадь прямоугольника с разными краями. Интервал результатов охватывает все возможные области, от наименьшей до наибольшей.
Обозначение
Для уменьшения обозначения интервалов в формулах можно использовать скобки.
Элементарные функции
Также могут быть определены интервальные функции помимо четырех основных операторов.
Исходя из этого, можно легко определить следующие основные характеристики интервальных функций:
Интервальные расширения общих функций
Для реального выражения его естественное расширение интервала достигается за счет использования интервального расширения каждого из его подвыражений, функций и операторов.
Комплексная интервальная арифметика
Основные алгебраические операции с вещественными интервальными числами (действительными отрезками) могут быть расширены до комплексных чисел. Поэтому неудивительно, что комплексная интервальная арифметика похожа на обычную комплексную арифметику, но не то же самое. Можно показать, что, как и в случае с вещественной интервальной арифметикой, нет распределенности между сложением и умножением комплексных интервальных чисел, за исключением некоторых особых случаев, а обратные элементы не всегда существуют для комплексных интервальных чисел. Два других полезных свойства обычной комплексной арифметики не соблюдаются в комплексной интервальной арифметике: аддитивные и мультипликативные свойства обычных комплексных сопряжений не выполняются для комплексных интервальных сопряжений.
Интервальные методы
Методы классического численного анализа нельзя однозначно перевести в интервальные алгоритмы, так как зависимости между численными значениями обычно не учитываются.
Арифметика с округленными интервалами
Проблема зависимости
Так называемая проблема зависимости является серьезным препятствием для применения интервальной арифметики. Хотя интервальные методы могут очень точно определять диапазон элементарных арифметических операций и функций, это не всегда верно для более сложных функций. Если интервал встречается несколько раз в вычислении с использованием параметров, и каждое вхождение берется независимо, это может привести к нежелательному расширению результирующих интервалов.
Таким образом, подходящий интервал для расчета
и дает правильные значения.
Зависимость проблемы, вызывающая завышение диапазона значений, может доходить до большого диапазона, не позволяя делать более значимые выводы.
Дополнительное увеличение диапазона связано с решением областей, не принимающих форму интервального вектора. Множество решений линейной системы
Линейные интервальные системы
может быть определено переменной, если разделение разрешено. Поэтому одновременно Икс я <\ displaystyle x_ > 1 / [ а я я ] <\ displaystyle 1 / [a_
Итак, теперь мы можем заменить на [ Икс j ] <\ displaystyle [x_
Интервальный метод Ньютона
Биссекция и крышки
Различные методы интервалов дают консервативные результаты, поскольку не учитываются зависимости между размерами различных расширений интервалов. Однако проблема зависимости становится менее значительной для более узких интервалов.
тогда действительно для диапазона значений
Таким образом, для описанных выше расширений интервалов выполняется следующее:
Поскольку часто это подлинное надмножество правой части, это обычно приводит к улучшенной оценке. [ ж ] ( [ Икс ] ) <\ Displaystyle [е] ([\ mathbf <х>])>
заявка
Анализ ошибок округления
Интервальная арифметика используется при анализе ошибок для контроля ошибок округления, возникающих при каждом вычислении. Преимущество интервальной арифметики в том, что после каждой операции есть интервал, который надежно включает истинный результат. Расстояние между границами интервалов напрямую дает текущий расчет ошибок округления:
Анализ толерантности
Параметры, для которых невозможно выделить точные цифры, часто возникают при моделировании технических и физических процессов. Процесс производства технических компонентов допускает определенные допуски, поэтому некоторые параметры колеблются в определенных интервалах. Кроме того, многие фундаментальные константы точно неизвестны.
Арифметика с нечеткими интервалами
можно аппроксимировать последовательностью
Компьютерное доказательство
История
Рождение современной интервальной арифметики ознаменовалось появлением в 1966 году книги Рамона Э. Мура « Интервальный анализ ». Идея пришла ему в голову весной 1958 года, а через год он опубликовал статью о компьютерной интервальной арифметике. Его заслуга заключалась в том, что, исходя из простого принципа, он предоставлял общий метод автоматического анализа ошибок, а не только ошибок, возникающих в результате округления.
Независимо в 1956 году Мечислав Вармус предложил формулы для вычислений с интервалами, хотя Мур нашел первые нетривиальные приложения.
Журнал Reliable Computing (первоначально Interval Computations ) издается с 1990-х годов и посвящен надежности компьютерных вычислений. В качестве ведущего редактора Р. Бейкер Кирфотт, помимо своей работы по глобальной оптимизации, внес значительный вклад в унификацию обозначений и терминологии, используемых в интервальной арифметике.
Реализации
Существует множество программных пакетов, позволяющих разрабатывать численные приложения с использованием интервальной арифметики. Обычно они предоставляются в виде программных библиотек. Существуют также компиляторы C ++ и Fortran, которые обрабатывают интервальные типы данных и подходящие операции в качестве расширения языка, поэтому интервальная арифметика поддерживается напрямую.
Еще одна библиотека классов C ++ была создана в 1993 году в Гамбургском технологическом университете под названием Profil / BIAS (оптимизированная во время выполнения программа для быстрой интервальной библиотеки, базовая интервальная арифметика), которая сделала обычные интервальные операции более удобными для пользователя. Он подчеркнул эффективное использование оборудования, портативность и независимость конкретного представления интервалов.
Коллекция библиотек C ++ Boost содержит шаблонный класс для интервалов. Его авторы стремятся использовать интервальную арифметику на стандартном языке C ++.
Библиотека функционального языка OCaml была написана на ассемблере и C.
Стандарт IEEE 1788
Минимальное подмножество стандарта, IEEE Std 1788.1-2017, было одобрено в декабре 2017 года и опубликовано в феврале 2018 года. Это должно быть проще в реализации и может ускорить производство реализаций.
Конференции и семинары
Ежегодно в мире проводится несколько международных конференций или семинаров. Основной конференцией, вероятно, является SCAN (Международный симпозиум по научным вычислениям, компьютерной арифметике и проверенным численным вычислениям), но есть также SWIM (небольшой семинар по интервальным методам), PPAM (Международная конференция по параллельной обработке и прикладной математике), REC (Международный Практикум по надежным инженерным вычислениям.