В выпуклом четырехугольнике abcd известно что угол adc равен 60
В выпуклом четырехугольнике abcd известно что угол adc равен 60
В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB = 3, BC = CD = 5, AD = 8, AC = 7.
а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
Найдём косинусы углов ABC и ADC в треугольниках ABC и ADC соответственно:
Далее, 
Тем самым сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, поэтому вокруг него можно описать окружность. Для вписанного четырёхугольника справедлива теорема Птолемея: произведение диагоналей четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон. Тогда 
то есть 
откуда 
Ответ: б) 
Приведем решение пункта б) Тофига Алиева без использования теоремы Птолемея.
Заметим, что 
поскольку 
Пусть 
тогда в треугольнике BAD по теореме косинусов
В треугольнике BCD по теореме косинусов
Приведем идею решения Юрия Зорина.
Углы BAC и BDC равны как вписанные углы, опирающиеся на дугу BC. По теореме косинусов найдём косинус угла BAC (он равен 11/14). Далее, зная, что косинусы равных углов равны, из треугольника BDC найдем по теореме косинусов искомый отрезок BD.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы | ||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 | ||||||||||||||||
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 | ||||||||||||||||
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, В выпуклом четырехугольнике abcd известно что угол adc равен 60В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что ∠A + ∠D = 120° и AB = BC = CD. РешениеОбозначим ∠CAD = α, ∠ADB = β, ∠BDC = ∠DBC = γ, ∠ACB = ∠BAC = δ. Второй способ. Заметим, что ∠B + ∠C = 240°, ∠OBC + ∠OCB = 60°. Поэтому ∠ABD + ∠ACD = 180°. На продолжении отрезка DB за точку B отложим отрезок BK = CA. Тогда треугольник ABK равен треугольнику DCA по двум сторонам и углу между ними. Поэтому AK = AD, Источники и прецеденты использования
В выпуклом четырехугольнике abcd известно что угол adc равен 60Диагонали АС и ВD выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Р. Известно, что угол DAC равен 90°, а в 2 раза больше угла ADB. Сумма угла DBС и удвоенного угла ADС равна 180°. а) Докажите, что ВР = 2AP. б) Найдите площадь четырёхугольника AВCD, если BD = 8 и точка Р является серединой диагонали BD. а) Пусть биссектриса угла РСВ пересекает отрезок РВ в точке М. Обозначим буквой β угол ADB. Получаем, что
Так как В треугольнике DBC:
Из этого равенства и из того, что б) Точка Р является серединой отрезка BD, поэтому
Ответ: б)
| |||||||||||||||||
по свойству вертикальных углов, треугольники APD и МРС подобны, поэтому ∠PMC = 90°. Таким образом, в треугольнике ВСР биссектриса СМ является высотой, а значит, треугольник ВСР равнобедренный и PM = MB, CP = CB.
следует, что ∠PCD = ∠PDC. Поэтому треугольник PCD равнобедренный и PD = PC. Значит, треугольники APD и МРС равны, поэтому 
откуда следует, что BP = 2AP.
Отсюда следует, что треугольник ВСР равносторонний, поэтому ∠BPC = 60°. Из равенства 
получаем, что AP = 2 и 
Теперь найдём площадь четырёхугольника AВCD:
