В прямоугольном параллелепипеде abcda1b1c1d1 известно что bb1 11 c1d1 16 b1c1 12

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

В прямоугольном параллелепипеде abcda1b1c1d1 известно что bb1 11 c1d1 16 b1c1 12

На ребре прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E = 4EA. Точка T — середина ребра B₁C₁. Известно, что AD = 16, AA₁ = 20.

а) Докажите, что плоскость ETD₁ делит ребро BB₁ в отношении 3 : 2.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ETD₁.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E = 6EA. Точка T — середина ребра B₁C₁. Известно, что AD = 12, AA₁ = 14.

а) Докажите, что плоскость ETD₁ делит ребро BB₁ в отношении 4 : 3.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ETD₁.

а) Проведём отрезок и в плоскости грани проведём через точку T прямую, параллельную Эта прямая пересечёт ребро в точке Точка F лежит в плоскости Треугольники и подобны, как треугольники с параллельными сторонами, следовательно,

Таким образом, Тогда и

б) Четырёхугольник — сечение параллелепипеда плоскостью Поскольку стороны FT и параллельны, но не равны. Четырёхугольник — трапеция. Продолжим боковые стороны EF и до пересечения в точке Точка T — середина поэтому отрезок FT — средняя линия треугольника Из равенства треугольников и получаем откуда то есть трапеция — равнобедренная.

Найдём стороны трапеции:

Высота равнобедренной трапеции

Тогда

Источник

В прямоугольном параллелепипеде abcda1b1c1d1 известно что bb1 11 c1d1 16 b1c1 12

На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA = 5 : 3, на ребре BB₁ — точка F так, что B₁F : FB = 5 : 11, а точка T − середина ребра B₁C₁. Известно, что AD = 10, AA₁ = 16.

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D₁.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.

Значит, треугольники D₁A₁E и TB₁F подобны, причём прямые D₁A₁ и B₁C₁ параллельны, прямые A₁E и B₁F тоже параллельны. Поэтому прямые ED₁ и FT также параллельны. Если плоскость EFT не проходит через точку D₁, то получается, что в плоскости AA₁D₁D через точку E проходят две различные прямые, параллельные прямой FT. Получили противоречие.

б) Сечение параллелепипеда плоскостью EFT — трапеция. Проведём через точку F прямую, параллельную прямой AB. Получим точку P на ребре AA₁.

Следовательно, EF = D₁T, и трапеция EFTD₁ равнобедренная. Проведём в ней высоту TH.

Тогда