В прямоугольном параллелепипеде abcda1b1c1d1 известно что ab 5 ad 12 cc1 7

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

В прямоугольном параллелепипеде abcda1b1c1d1 известно что ab 5 ad 12 cc1 7

В прямоугольном параллелепипеде известно, что Найдите длину ребра

По теореме Пифагора

Тогда длина ребра равна AB

В пространстве с L2-метрикой просто выражаете один из компонентов вектора через его длину, ну, типа,

Так мы так и делаем, только длину одной из компонент предварительно ищем по теореме Пифагора.

В прямоугольном параллелепипеде известно, что Найдите длину ребра

По теореме Пифагора

Тогда длина ребра BA равна

В прямоугольном параллелепипеде известно, что Найдите длину ребра

По теореме Пифагора

Тогда длина ребра CD равна

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений. По условию даны длины двух измерений и длина диагонали. Осталось подставить в формулу и сосчитать.

На картинке показана диагональ BD1, ее подразумевают в решении, но пишут другую-DB1

Эти диагонали равны.

В прямоугольном параллелепипеде известно, что Найдите длину ребра

По теореме Пифагора

Тогда длина ребра равна

Приведем другое решение.

В прямоугольном параллелепипеде известно, что Найдите длину ребра

Найдем диагональ BD прямоугольника ABCD по теореме Пифагора:

Рассмотрим прямоугольный треугольник По теореме Пифагора

Таким образом,

В прямоугольном параллелепипеде известно, что Найдите длину ребра

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

В прямоугольном параллелепипеде известно, что Найдите длину ребра

Найдем диагональ BD прямоугольника ABCD по теореме Пифагора:

Рассмотрим прямоугольный треугольник По теореме Пифагора

Источник

В прямоугольном параллелепипеде abcda1b1c1d1 известно что ab 5 ad 12 cc1 7

БАЗА ЗАДАНИЙ

Задание № 5. Стереометрия.

1. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 8. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

2. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

3. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в три раза?

4. Площадь поверхности куба равна 24. Найдите его объем.

5. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 30. Найдите ребро куба.

6. Площадь поверхности куба равна 8. Найдите его диагональ.

7. Объем куба равен 24√3. Найдите его диагональ.

8. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5. Объем призмы равен 30. Найдите ее боковое ребро.

9. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. Площадь ее поверхности равна 132. Найдите высоту призмы.

10. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

11. Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 20, а площадь поверхности равна 1760.

12. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8, и боковым ребром, равным 10.

13. В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 9 и 12. Площадь ее поверхности равна 468. Найдите боковое ребро этой призмы.

14. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Объем параллелепипеда равен 6. Найдите площадь его поверхности.

15. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4, 6, 9. Найдите ребро равновеликого ему куба.

16. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 3. Объем параллелепипеда равен 36. Найдите его диагональ.

17. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда.

18. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

19. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна √8 и образует углы 30°,30° и 45° с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.

20. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 известно, что BB 1 =32, AB=12, AD=9. Найдите площадь сечения проходящее через вершины A, A 1 , C.

22. Дана правильная четырёхугольная призма ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 7. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B 1 .

25. В правильной треугольной призме ABCA ₁ B ₁ C ₁ все ребра равны 3. Найдите угол между прямыми AA₁и BC₁. Ответ дайте в градусах.

27. Объём куба равен 16. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

28. Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

29. Объем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равен 4,5. Найдите объем треугольной пирамиды AD 1 CB 1 .

30. Объем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равен 1,5. Найдите объем треугольной пирамиды ABCB 1 .

31. Найдите объем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , если объем треугольной пирамиды ABDA 1 равен 3.

32. Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60°. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол 60° и равно 2. Найдите объем параллелепипеда.

38. В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 2, боковое ребро равно 5. Найдите её объём.

39. В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 7,5, а сторона основания равна 10. Найдите высоту пирамиды.

40. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.

41. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.

42. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 7, а сторона основания равна 10,5. Найдите высоту пирамиды.

Источник

В прямоугольном параллелепипеде abcda1b1c1d1 известно что ab 5 ad 12 cc1 7

а) Докажите, что плоскость КМР перпендикулярна прямой DВ₁.

б) Найдите объем пирамиды, основанием которой является сечение параллелепипеда плоскостью КМР, а вершиной — точка D.

Введем координаты с началом в точке A и с осями направленными вдоль прямых соответственно. Тогда координаты точек будут такими: Допустим уравнение плоскости KMP имеет вид тогда

Пусть тогда и получаем уравнение

а) Поскольку вектор имеет координаты он перпендикулярен данной плоскости (ее вектор нормали ).

б) Продлевая прямую KM до пересечения с прямыми DC и DA и соединяя затем полученные точки с точкой P мы получим требуемое сечение. То есть оно представляет собой пятиугольник с вершинами и еще двумя на ребрах и Поэтому его проекция на плоскость ABCD — пятиугольник ADCMK площади Кроме того,

Тогда

Ответ:

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны ребра АВ = 6, AD = 12, AA₁ = 10. Точка Е принадлежит отрезку BD, причем ВЕ : ED = 1 : 2. Плоскость α проходит через точки А, Е и середину ребра ВВ₁.

а) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью α является равнобедренным треугольником.

б) Найдите расстояние от точки В₁ до плоскости сечения.

а) Пусть продолжение AE пересекает ребро BC в точке Тогда сечение — треугольник Треугольники EAB и END подобны с коэффициентом Значит, тогда и треугольник равнобедренный.

б) где O — середина AN, поскольку перпендикуляр из B к MO перпендикулярен и к AN (его проекция — BO — перпендикулярна к AN).

Ответ: б)

а) Докажите, что прямые ВС и КС₁ перпендикулярны.

б) Найдите отношение объемов, на которые делится прямоугольный параллелепипед плоскостью ВКС₁.

а) Очевидно проекция на плоскость нижнего основания — прямая DC, перпендикулярная По теореме о трех перпендикулярах что и требовалось.

б) Пусть T — середина AD, тогда поэтому — сечение. Вычислим объем одной из частей по формуле для объема усеченной пирамиды.

поэтому отношение объемов Размеры параллелепипеда в этой задаче неважны.

Ответ:

а) Докажите, что прямая BD₁ параллельна плоскости CKM.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью CKM.

а) Поместим заданный параллелепипед в декартову систему координат, как показано на рисунке. Найдем координаты точек: K(3; 0; 0), C(0; 8; 0), M(0; 0; 4), B(6; 8; 0), D₁(0; 0; 12).

Будем искать уравнение плоскости CKM.

Нормальный вектор (CKM):

Таким образом, а это значит, что

б) Теперь найдем косинус угла между плоскостью CKM и нижним основанием параллелепипеда, уравнение которого имеет вид: z = 0. Нормальный вектор этой плоскости, т. е. нижнего основания параллелепипеда:

Если φ — искомый угол, то:

Ответ: б)

а) Докажите, что плоскость MPC делит объем параллелепипеда в отношении 1 : 11.

б) Найдите расстояние от точки D до плоскости MPC.

а) Построим последовательно:

2. Продолжим отрезок СР до пересечения с прямой AD. CP ∩ AD = K.

4. Отрезок PQ. PQMC — искомое сечение. Так как точки М, Р, С по построению лежат в плоскости сечения, то полученное сечение удовлетворяет условию задачи.

Плоскость МРС делит параллелепипед на два тела. Назовем их условно: нижнее и верхнее. Нижнее тело состоит из двух пирамид: четырехугольной PAQMD (основание AQMD, высота AP) и треугольной MDPC (основание Δ DPC, высота MD ).

Вычислим объем каждой из названных пирамид.

AQMD — трапеция, у которой основания AQ = 1; MD = 2, высота AP = 3.

=

Теперь найдем искомое отношение. что и требовалось доказать.

б) Для нахождения расстояния от точки D до плоскости МРС воспользуемся методом объемов. Выше мы уже рассматривали пирамиду MDPC. Если за ее основание принять Δ MPC, то ее высота и будет расстоянием от точки D до плоскости MPC.

Найдем площадь Δ MPC.

Ответ: б)

а) Докажите, что прямая ВD₁ параллельна плоскости MPC.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью MPC.

Введем координаты с началом в точке A и осями, направленными вдоль ребер AB, AD, Тогда нетрудно найти координаты точек

а) Составим уравнение плоскости Пусть это тогда, подставляя все три точки, находим: Возьмем Тогда и уравнение плоскости Ее вектор нормали а координаты вектора это Поэтому их скалярное произведение равно они перпендикулярны, и прямая параллельна плоскости.

б) Пусть — точка пересечения плоскости с ребром Подставляя в уравнение плоскости, получаем: Сечение — четырехугольник Его проекция на плоскость ABCD — четырехугольник PADC, площадь которого равна Косинус угла между плоскостью сечения и плоскостью основания равен:

Значит, по теореме о площади проекции фигуры.

Ответ: б)

Комментарий. Очевидно, KMCP — трапеция (прямая MC параллельна прямой KP как прямые пересечения плоскости с параллельными плоскостями), все стороны которой можно вычислить, а зная стороны трапеции можно найти ее площадь. Но поскольку вся подготовительная работа уже проделана в пункте а) — глупо было бы им не пользоваться. Найти точку K стоило — без нее мы не были уверены в форме сечения.

Источник

• ← В прямоугольном параллелепипеде abcda1b1c1d1 известно что ab 5 aa1 5
• В прямоугольном параллелепипеде abcda1b1c1d1 известно что ac1 13 c1d1 3 b1c1 12 →