В правильной четырехугольной призме авсда1в1с1д1 известно что ас1 2вс
В правильной четырехугольной призме авсда1в1с1д1 известно что ас1 2вс
В правильной четырёхугольной призме 
известно, что 
Найдите угол между диагоналями 
и 
Ответ дайте в градусах.
Правильная четырёхугольная призма является прямоугольным параллелепипедом, диагонали прямоугольного параллелепипеда равны, диагональное сечение является прямоугольником. Углом между пересекающимися неперпендикулярными прямыми называется меньший из образованных ими углов, поэтому необходимо найти острый угол между диагоналями этого прямоугольника.
Рассмотрим прямоугольный треугольник A1BC: в нем катет BC вдвое меньше гипотенузы A1C, поэтому угол A1CB равен 60°. Аналогично в треугольнике D1CB угол D1BC равен 60°.
Сумма углов треугольника BGC равна 180° получаем, поскольку два его угла равны 60°, третий угол тоже равен 60°.
В правильной четырехугольной призме авсда1в1с1д1 известно что ас1 2вс
При выполнении заданий с кратким ответом впишите в поле для ответа цифру, которая соответствует номеру правильного ответа, или число, слово, последовательность букв (слов) или цифр. Ответ следует записывать без пробелов и каких-либо дополнительных символов. Дробную часть отделяйте от целой десятичной запятой. Единицы измерений писать не нужно.
Если вариант задан учителем, вы можете вписать или загрузить в систему ответы к заданиям с развернутым ответом. Учитель увидит результаты выполнения заданий с кратким ответом и сможет оценить загруженные ответы к заданиям с развернутым ответом. Выставленные учителем баллы отобразятся в вашей статистике.
Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2, а диагональ боковой грани равна 
а) Докажите, что объем пирамиды 
вдвое больше объема пирамиды 
.
б) Найдите угол между плоскостью A1BC и плоскостью основания призмы.
В прямоугольном параллелепипеде 
известны рёбра: 
Точка O принадлежит ребру 
и делит его в отношении 
считая от вершины 
Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки 
и 
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 точка K делит боковое ребро AA1 в отношении AK : KA1 = 1 : 2. Через точки B и K проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая ребро DD1 в точке M.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро DD1 в отношении DM : MD1 = 2 : 1.
б) Найдите площадь сечения, если известно, что AB = 4, AA1 = 6.
В правильной треугольной призме ABCA’B’C’ стороны основания равны 6, а боковые ребра равны 4. Изобразите сечение, проходящее через вершины A, B и середину ребра A’C’. Найдите его площадь
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 1, боковые ребра равны 2, точка D — середина ребра CC1.
а) Докажите, что плоскость 
делит объем призмы пополам.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.
Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды 144.
а) Докажите, что угол между плоскостью SAC и плоскостью, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны AB и центр основания, равен 45°.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью SAC.
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC угол ASB равен 36°. На ребре SC взята точка M так, что AM — биссектриса угла SAC.
а) Докажите, что 
.
б) Площадь сечения пирамиды, проходящего через точки A, M и B, равна 
Найдите сторону основания.
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 8 и BC = 6. Длины боковых рёбер пирамиды 
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания 
а боковое ребро AA1 = 5.
а) Найдите длину отрезка A1K, где K — середина ребра BC.
В правильной четырёхугольной призме АВСDА1В1С1D1 сторона АВ основания равна 6, а боковое ребро АА1 равно 
На ребрах BC и C1D1 отмечены точки К и L соответственно, причём ВК = 4, C1L = 5. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки К и L.
а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки B1 до плоскости γ.
а) Докажите, что точка М является серединой ребра CC1.
б) Найдите расстояние от точки С до плоскости APQ.
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит квадрат ABCD со стороной 2, а высота призмы равна 1. Точка E лежит на диагонали BD1, причём BE = 1.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины ребер АВ и ВС и вершину S.
а) Докажите, что указанное сечение делит объем пирамиды в отношении 
.
б) Найдите площадь этого сечения, если все ребра пирамиды равны 8.
а) Докажите, что прямая BD1 перпендикулярна плоскости ACB1.
В правильной треугольной призме 
стороны основания равны 3, боковые ребра равны 4, точка D — середина ребра 
Найдите угол между плоскостями ABC и 
Основанием прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 является квадрат ABCD со стороной 
высота призмы равна 
Точка K — середина ребра BB1. Через точки K и C1 проведена плоскость α параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольник.
б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α.
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 20, а боковое ребро AA1 = 7. Точка M принадлежит ребру A1D1 и делит его в отношении 2 : 3, считая от вершины D1.
а) Докажите, что сечение этой призмы плоскостью, проходящей через точки B, D и M, является равнобедренной трапецией.
б) Найдите площадь этой трапеции.
В параллелепипеде 
точка M середина ребра C1D1, а точка K делит ребро AA1 в отношении 
Через точки K и M проведена плоскость α, параллельная прямой BD и пересекающая диагональ A1C в точке O.
а) Докажите, что плоскость α делит диагональ A1C в отношении 
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью (АВС), если дополнительно известно, что ― куб.
а) Докажите, что точка М является серединой ребра CC1.
б) Найдите расстояние от точки С1 до плоскости A1PQ.
а) Докажите, что плоскости 
и 
параллельны.
б) Пусть дополнительно известно, что параллелепипед прямоугольный, кроме того AB = 4, BC = 6, CC1 = 4. Найдите тангенс угла между плоскостями CDD1 и BDA1.
В правильной четырёхугольной призме сторона основания равна 
а боковое ребро 
Точка K принадлежит ребру 
и делит его в отношении 
считая от вершины 
Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки 
и 
В правильной четырехугольной призме авсда1в1с1д1 известно что ас1 2вс
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона AB основания равна 8, а боковое ребро AA1 равно 
На рёбрах BC и C1D1 отмечены точки K и L соответственно, причём BK = C1L = 2. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости γ.
а) Проведём через точки K и L прямые, параллельные BD. Пусть эти прямые пересекают рёбра CD и B1C1 в точках K1 и L1 соответственно (рисунок 1). Тогда трапеция KL1LK1 является сечением исходной призмы плоскостью γ. Рассмотрим плоскость ACC1. Пусть эта плоскость пересекает прямые KK1 и LL1 в точках E и F соответственно. Четырёхугольник AA1C1C — прямоугольник, причём
Кроме того, 
откуда 
Пусть FP — высота трапеции EFC1C (рисунок 2), тогда 
Поскольку 
то есть прямые EF и A1C перпендикулярны.
Прямая KK1 параллельна прямой BD, которая перпендикулярна плоскости AA1C. Значит, прямые KK1 и EF перпендикулярны прямой A1C, поэтому прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.
б) Пусть N — точка пересечения AC и BD. Поскольку прямая BD параллельна плоскости γ, расстояние от точки B до плоскости γ равно расстоянию от точки N до прямой EF. Опустим из точки N перпендикуляр NH на прямую EF. Тогда
Ответ: 
Аналоги к заданию № 514474: 514527 514534 514653 Все
В правильной четырехугольной призме авсда1в1с1д1 известно что ас1 2вс
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 4, боковые рёбра равны 6. Точка M — середина ребра СС1, на ребре BB1 отмечена точка N, такая, что BN : NB1 = 1 : 2.
а) В каком отношении плоскость AMN делит ребро DD1?
б) Найдите угол между плоскостями ABC и AMN.
а) Пусть K — точка пересечения плоскости AMN с ребром DD1. Грани AA1D1D и BB1C1C параллельны, следовательно, прямые AK и NM параллельны. Проведем NN1 параллельно BC и AD, тогда треугольник KAD равен треугольнику MNN1, откуда
Таким образом, отрезки KD и KD1 относятся как 1 к 5.
б) Заметим, что проекцией прямой NK на плоскость ABC является диагональ BD. Пусть L — точка пересечения прямой NK с плоскостью ABC. Тогда плоскости ABC и AMN пересекаются по прямой AL. Из точки K на AL опустим перпендикуляр KH. По теореме о трех перпендикулярах его проекция DH также перпендикулярна AL.
Таким образом, угол KHD — линейный угол искомого утла. Найдем его. Заметим, что треугольники LBN и LDH подобны, причем
Рассмотрим треугольники LDH и LAO, где O — центр основания призмы. Эти треугольники подобны, как прямоугольные треугольники с общим углом. Тогда
По теореме Пифагора для треугольника LHD имеем:
Найдем искомый угол из треугольника KHD:
Ответ: а) 1:5; б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, В правильной четырехугольной призме авсда1в1с1д1 известно что ас1 2всВ основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 12 и а) Докажите, что SA — высота пирамиды. б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC. а) Заметим, что б) Опустим из A перпендикуляр на SB. Он будет перпендикулярен также BC, поскольку
Ответ: В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 4, точка N — середина ребра AC, точка O центр основания пирамиды, точка P делит отрезок SO в отношении 3 : 1, считая от вершины пирамиды. а) Докажите, что прямая NP перпендикулярна прямой BS. б) Найдите расстояние от точки B до прямой NP. а) Точка O принадлежит отрезку BN, значит, точка P, лежащая на отрезке SO, находится в плоскости SBN. Значит, прямая NP также лежит в плоскости SBN и пересекает прямую SB в точке K. Треугольник SNB равнобедренный, поскольку отрезки SN и BN — медианы одинаковых равносторонних треугольников SAC и BAC. Поэтому SN = BN. В точке O пересекаются медианы основания, значит, б) Так как BS перпендикулярно NK, то искомое расстояние равно длине отрезка BK. Так как NK является медианой треугольника SNB, то В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 5. На рёбрах SA, AB, BC взяты точки P, Q, R соответственно так, что PA = AQ = RC = 2. а) Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна ребру SD. б) Найдите расстояние от вершины D до плоскости PQR. а) Стороны треугольника SBD равны 5, 5 и б) Пусть плоскость PQR пересекает ребро SD в точке E. Из доказанного следует, что прямая PE перпендикулярна прямой SD, откуда
Значит, Ответ: б) Отсутствие обоснования сечения-значительно ухудшает качество решения и на экзамене такое решение не примут. В этой задаче нет ни слова о сечении, ни в условии, ни в решении. Зачем же обосновывать, то чего в задаче нет?))) В правильной треугольной призме АВСА′B′C′ сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро АА′ равно 3. На ребре АВ отмечена точка К так, что АК = 1. Точки М и L — середины рёбер А′С′ и В′С′ соответственно. Плоскость γ параллельна прямой АС и содержит точки К и L. а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости γ. б) Найдите расстояние от точки С до плоскости γ. а) Построим сечение призмы плоскостью γ. Проведём КР || АС, Введём систему координат, как показано на рисунке. В этой системе координат: В(0; 0; 0), С(0; 6; 0), В’(0; 0; 3), C’(0; 6; 3),
Так как б) Далее заметим, что плоскость сечения перпендикулярна вектору Найдём свободный член D в уравнении плоскости Упростив уравнение плоскости, получим: Тогда для искомого расстояния получаем:
Приведем другое решение. а) Четырёхугольник RLPK — искомое сечение. Проведём плоскость B’MTB. Имеем: Рассмотрим прямоугольник BB’MT. Заметим, что LR — средняя линия треугольника A’B’C’, тогда F’ — середина B’M, тогда
Пусть теперь На продолжении TB за точку B отметим точку F», такую, что По обратной теореме Пифагора, треугольник FF’F» прямоугольный б) Заметим, что так как Ответ: б) Еще один подход к решению задачи, не использующий метод координат, укажем на примере задачи 514653. В правильной четырёхугольной призме АВСDА1В1С1D1 сторона АВ основания равна 6, а боковое ребро АА1 равно а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости γ. б) Найдите расстояние от точки B1 до плоскости γ. а) Так как плоскость Для того, чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, необходимо, чтобы она была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Заметим, что проекцией прямой AC1 на плоскость ABCD является прямая AC. Кроме того, Рассмотрим плоскость AA1C1C. Пусть эта плоскость пересекает прямые KK1 и LL1 в точках E и F соответственно. O — точка пересечения EF и AC1. Четырёхугольник AA1C1C — прямоугольник, причём Так как AA1C1C прямоугольник, Тогда по обратной теореме Пифагора б) Расстояние от точки B1 до плоскости Ответ: б)
|
Длины боковых рёбер пирамиды SA = 5, SB = 13, SD = 10.
и 
поэтому 
значит, 
Поэтому его длина и есть расстояние от A до плоскости SBC. Вычислим ее
Опустим перпендикуляр из точки P на сторону SN. Пусть он пересекает SN в точке M. Треугольники SPM и SNO подобны, поэтому 
Значит, 
Следовательно, треугольники NPO и NPM равны и PN — биссектриса угла SNB. В равнобедренном треугольнике биссектриса является медианой и высотой. Значит, NK ⊥ BS.
Поскольку плоскость PQR перпендикулярна ребру SD, искомое расстояние равно DE.
CP = 1. Проведём PL, проведём LR || AC, 
Проведём RK. Трапеция LPKR — искомое сечение. Сечение параллельно АС по признаку параллельности прямой к плоскости.
P(0; 5; 0), 
и 
получаем, что 
найдем уравнение плоскости и вычислим расстояние от точки до плоскости:
подставив координаты точки К:
поэтому 
(ΔBKF
Тогда 
Тогда 
и 
следовательно, 
то 
Пусть основанием перпендикуляра опущенного из T на γ будет являться точка S. Тогда TS || BM || F»F’. Таким образом, треугольники FTS и FF»F’ будут подобны. Следовательно, 
откуда 
параллельна диагонали основания BD, то пересекает основание ABCD по прямой KK1 параллельной BD, K1 лежит на CD. Так как, 
прямая сечения LL1 параллельна BD, где L1 лежит на B1C1. Сечением призмы будет трапеция 
как диагонали квадрата таким образом по теореме о трех перпендикулярах 
следовательно, 
Значит, 
Таким образом,
следовательно, треугольник 
прямоугольный, 
Таким образом, 
в плоскости AA1C1C опустим перпендикуляр MH на прямую EF. Так как, по доказанному в п. а) 
плоскость 
следовательно, указанный перпендикуляр — искомое расстояние. Найдем 
Заметим, 
Таким образом, 
