В классе 25 учеников докажите что есть такой месяц в году
Задачи на принцип Дирихле 4 класс с решением
Факультатив по математике для 4 класса. Тема: Принцип Дирихле
Цель: продолжить разбор задач, решаемых по принципу «в худшем случае», и с его помощью научить выявлять и решать определенный вид задач, развивающий логическое мышление, нестандартность рассуждений, умение обосновывать свое решение.
Ход занятия
Учитель. Если 101 кролика рассадить в 100 клеток, то по крайней мере в одной клетке будет 2 кролика. Понятно почему: ведь в худшем случае, если бы в каждой клетке сидело не больше одного кролика, в 100 клетках их было бы не больше 100.
А если бы было 35 клеток и 743 кролика, то можно было бы утверждать, что даже в худшем случае, если бы в каждой клетке сидело по 21 кролику, еще 8 кроликов резвилось бы на свободе. Следовательно, если рассадить всех кроликов, то по крайней мере в одной клетке будет сидеть не меньше 22 кроликов.
Задача 1. В школе 20 классов. В ближайшем доме живет 23 ученика этой школы. Можно ли утверждать, что среди них обязательно найдутся хотя бы 2 одноклассника?
Даже если считать, что в худшем случае в каждом классе учится по 1 ученику, живущему в ближайшем доме, то останется еще 3 ученика, каждый из которых учится вместе с кем-то из уже имеющихся в классе, то есть найдется класс, в котором будет 2 ученика из соседнего дома.
Задача 2. В школе учится 370 человек. Докажите, что среди всех учащихся найдутся 2 человека, празднующих свой день рождения в один и тот же день. (Решается учащимися самостоятельно.)
Задача 3. Коля подсчитал, что за день в завтрак, обед и ужин он съел 10 конфет. Докажите, что хотя бы один раз он съел не меньше четырех конфет. (Решается учащимися самостоятельно.)
Задача 4. В классе 37 человек. Докажите, что среди них найдутся 4 человека, родившиеся в один и тот же месяц.
Задача 5. В коллекции имеется 25 монет по 1, 2, 3, 5 копеек. Имеется ли среди них 7 монет одинакового достоинства? (Решается учащимися самостоятельно.)
Задача 6. Пять мальчиков собрали вместе 14 грибов, причем каждый нашел хотя бы один гриб. Докажите, что хотя бы два мальчика нашли одинаковое число грибов.
В худшем случае у пяти мальчиков могло быть различное число грибов, а всего 1+2 + 3 + 4 + 5 = 15. Но грибов было 14, следовательно, кто-то один, кроме первого, нашел на один гриб меньше. Тогда найдутся 2 мальчика, которые нашли одинаковое число грибов.
Докажите, что среди 28 учащихся, допустивших ошибки, найдутся 3 человека с одинаковым числом ошибок.
Из 28 учащихся найдутся трое, имеющих одинаковое число ошибок.
Задача 8. В первенстве по футболу участвует 18 команд. Первенство разыгрывается в один круг, любые две команды встречаются только один раз. Известно, что каждая команда сыграла какое-то число игр. Докажите, что найдутся две команды, сыгравшие одинаковое число игр. (Решается учащимися самостоятельно.)
Задача 9. В городе живет 200 тыс. жителей. Докажите, что в городе найдутся хотя бы 2 человека с одинаковым числом волос на голове, если считать, что у человека на голове не больше 150 тыс. волос. (Решается учащимися самостоятельно.)
Задача 10. В классе 25 учащихся. Из них 20 занимаются английским языком, 17 увлекаются плаванием, 14 посещают математический кружок. Докажите, что хотя бы один ученик занимается всем этим вместе.
Принцип Дирихле
- Образовательная цель: познакомить учащихся с принципом Дирихле и типами задач, решаемых этим методом Развивающая цель: через решение задач с помощью метода Дирихле развивать умение анализировать, синтезировать, обобщать Воспитательная цель: посредством организации занятия воспитывать усидчивость, настойчивость в достижении цели, интерес к математике.
- Вступительная беседа Объяснение нового материала Закрепление Итог занятия Малая олимпиада Домашнее задание
Что отличает урок математики от других уроков? Книгу по математике от книг по какому-то другому предмету? Большое количество вычислений? Формул? Но они есть и в других учебниках: в естествознании, физике, химии, астрономмии. Наличие доказательств – вот что прежде всего отличает математику от других областей знания. Конечно, доказательства встречаются и в других сферах человеческой деятельности, например, в юриспруденции. Однако математические доказательства убедительнее тех, которые можно слышать в суде. Математичекие доказательства признаются эталоном бесспорности.
Что же такое доказательство в математике? Доказательство – это такое рассуждение, которое убеждает нас настолько, что мы готовы убеждать других, используя то же рассуждение. В математике большое значение имеют так называемые доказательства существования. Самый простой способ доказатьсуществование объекта с заданными свойствами – это указать его и, разумеется, убедиться, что он обладает нужными свойствами. Например, чтобы убедиться, что уравнение имеет решение, достаточно привести какое-либо его решение. Такие доказательства называются прямыми. Но бывают и косвенные доказательства, когда обоснование того, что объект существует, происходит без прямого указания на сам объект.
Объяснение нового материала.
Рассмотрим пример. В классе 34 ученика. Докажите, что среди них обязательно найдутся по крайней мере два ученика, у которых фамиля начинается с одной буквы.
Доказательство простое. В русском языке алфавит содержит 33 буквы. Предположим, что нет таких учеников, у которых бы фамилия начиналась с одной буквы. Тогда учеников должно быть не более 33, а их 34.
Логический прием, который был использован прирешении этой задачи, называется принципом Дирихле. Дирихле (1805-1859) – немецкий математик, иностранный член Петербургской Академии наук, член многих академий. Дирихле –автор многих достижений в области математики, одна из его заслуг – принцип доказательства, названный его именем.
Существует несколько формулировок этого принципа. Самая популярная следующая: «Если в п клетках сидят т зайцев, причем т>п, то хотя бы в одной клетке сидят, по крайней мере, два зайца»
Например, если 4 кролика разместить в 3 клетках, то найдется хотя бы одна клетка, в которой будет не менее 2 кроликов (сделать рисунок). Предположим, что не существует клетки, где сидят два кролика. Тогда в трех клетках окажется не более 3 кроликов (сделать рисунок), а их 4 – противоречие.
Запишем принцип Дирихле: если по N разложить предметы, число которых M больше N, то найдется ящик, в котором будет находится больше одного предмета.
На первый взгляд непонятно, почему это совершенно очевидное предложение, тем не менее, является мощным математическим методом решения задач, причем, самых разнообразных. Дело в том, что в каждой конкретной задаче нелегко понять, что же здесь выступает в роли «предметов», а что – в роли «ящиков».
Вернемся к первой задаче. Что в ней предметы? (ученики, M=34). Что в ней ящики? (количество букв в алфавите, N =33). M>N, то по принципу Дирихле хотя бы на одну букву будет приходится две фамилии.
Вернемся ко второй задаче. Что в ней предметы? (кролики, M= 4). Что в ней ящики? (клетки, N=3).M>N, то по принципу Дирихле хотя бы в одной клетке окажется два кролика.
1тип «Сколько нужно взять. »
1.В мешке лежат шарики двух разных цветов. Какое наименьшее число шариков нужновынуть из мешка, чтобы среди ни обязательно оказались два шарика одного цвета?
2.В коробке лежат карандаши: 7 красных и 5 синих. В темноте берут карандаши. Сколько карандашей надо взять, чтобы среди них было не менее 2 красных и не менее 3 синих?
Решение: Если предположить, что сначала будут попадаться только красные карандаши, то для того, чтобы было 3 синих, нужно взять 7(красные)+3(N)=10. Это «худший» варианнт развития событий, т. к. красных карандашей больше.
3.В мешке лежат 10 черных и 10 белых шаров. Они тщательно перемешены и неразлечимы на ощупь. Какое наименьшеее количество шаров нужно вынуть из мешка, чтобы среди них наверняка оказались два шара 1) одного цвета, 2)разного цвета, 3) белого цвета.
2)если предположить, что сначала будут попадаться шары только одного цвета, то N=10,следовательно, М=11
3)если предположить, что все время будут попадаться шары черного цвета, то М=12.
2тип «Докажите, что найдутся двое. »
4.При каком наименьшем количестве учеников школы среди них обязательно найдутся двое, у которых день и месяц рождения совпадают?
Решение: Дней в году N=365 или 366,то принципу Дирихле М= 366 или 367.
5.В лесу растет миллион елок. Известно, что на каждой из них не более 600 000 иголок. Докажите, что в лесу найдутся хотя бы две елки с одинаковым числом иголок.
Решение: Если предположить, что у всех елок разное количество иголок, то таких елок 600 000 (это ящики, N= 600 000), а по условию елок 1000 000=М, то М>N, по принципу Дирихле найдутся хотя бы две елки «в одном ящике», т. те с одинаковым количеством иголок.
6.В городе Санкт-Петербурге живет более 4млн. человек. Докажите, что у каких-то двух из них одинаковое количество волос на голове, если известно, что у любого человека на голове не более миллиона волос.
Решение: Если предположить, что у всех людей разное количество волос, то таких людей N=1000 000 (ящики), а по условию людей М=4 000 000. М>N, то по принципу Дирихле найдутся хотя бы два человека в одинаковым количеством волос.
3 тип. Обобщенный принцип Дирихле: если по N ящикам разложить предметы, число которых М больше, чем N (где к – натуральное число), то найдется ящик, в котором находятся более к предметов.
7.В магазин привезли 25 ящиков с яблоками трех сортов, причем в каждом ящике лежали яблоки какого-то одного сорта. Можно ли найти 9 ящиков с яблоками одного сорта?
Решение. 25:3=8 (ост.1). 25=8*3+1. к=3, N=8, M>N, то принципу Дирихле найдутся хотя бы один ящик, в котором находятся более, чем к=3 предметов, т. е. 4 предмета.
8.На площадке 20 собак восьми разных пород. Докажите, что среди них есть не менее трех собак одной породы.
Решение: 20:8=2(ост. 4), 20=8*2+4. к=2,N=8, М>N, то по принципу Дирихле найдутся хотя бы три собаки одной породы.
9.В классе 27 учеников. Найдется ли месяц, в котором отмечают свои дни рождения не меньше, чем три ученика этого класса?
Решение: В году 12 месяцев. 27:12=2(ост.3), 27=12*2+3. к=2,N=12,M>N, то по принципу Дирихле найдутся хотя бы три ученика, у которых дни рождения в одном месяце.
Таким образом, применяя данный метод, необходимо:
1)Определить, что удобно взадаче принять за «предметы», а что за «ящики».
2)получит «ящики».Чаще всего, их должнобыть больше, чем предметов.
3)выбрать для решения требуемую формулировку принципа Дирихле.
1. В ящике лежат носки четырех цветов. Какое наименьшеее количество носков надо вытащить, чтобы из них можно было составить хотя бы одну пару?
Решение: N=4 (это количество цветов), То М=5.
2.В темной кладовой лежат ботинки одного размера: 10 пар черных и 10 пар коричневых. Найдите наименьшее число ботинок, которое нужно взять из кладовой, чтобы среди них оказалась хотя бы одна пара (левый и правый) одного цвета. В темноте нельзя определить не только цвет ботинок, но и левой от правого.
Решение: Если предположить (худший вариант), что подряд попадаются ботинки на одну ногу (20), а затем ботинок на другую ногу, то20+1=21, среди них будут ботинки на одну ногу.
3.В школе учится 1200 учеников. Найдется ли день, в который отмечают свои дни рождения не меньше, чем 4 ученика данной школы?
Решение: 1200:366 =3(ост. 102),к = 3, N=366-количество дней в високосном году, M>N, то по обощенному принципу Дирихле найдутся хотя бы 4>к ученика, у которых дни рождения в один день.
4.В классе 26 учеников, из них более половины мальчики. Докажите, что какие-то 2 мальчика сидят за одним столом (в классе 13 столов).
Решение: Мальчиков более половины, т. е. более 13, М>13, то М :13=1(остатка есть), М=13*1+ ост, к=1, N=13 – количество столов, то по обощенному принципу Дирихле хотя бы 2 мальчика сидят за одним столом.
1.На дискотеку в студенческое общежитие, в котором 42 комнаты, пришли 36 гостей. Докажите, что найдется комната, в которую не пришел ни один гость.
Решение. Обозначив комнаты как предметы (М), а гостей как ящики (N), получим М>N, то по принципу Дирихле найдутся хотя бы две комнаты, в которые должен был прийти один и тот же гость, т. е.пустые комнаты.
2.В классе 37 учеников. Докажите, что среди них найдутся 4 ученика, отмечающие свой день рождения в одном месяце.
Решение: 37:12=3(ост. 1),37=12*3+1. к=3, N=12-количество месяцев в году. M>N, то по обощенному принципу Дирихле найдется болеек, т. е.более 3,значит,4 ученика с днем рождения в одном месяце.
3. В доме живут 5 кошек. У них 16 котят. Докажите, что хотя бы у одной кошки не менее четырех котят.
Решение. 16:5=3(ост.1), 16=5*3+1. к=3, N=5. M>N, то по обощенному принципу Дирихле найдется хотя бы две кошки, у которых более 3, т. е. не менее 4 котят.
4.В ящике 25 белых шаров, 25 черных, 20 синих и 10 красных. На ощупь шары неотличимы друг от друга. Шары вынимают из ящика в темноте. Какое наименьшее количество шаров нужно вынуть, чтобы среди них обязательно оказалось: 1)10 шаров одного цвета; 2) 10 белых шаров?
Решение: 1)в худшем случае это будут 9 белых шаров+9 черных шаров+9 синих+9 красных=36 шаров. В любом случае, следующий шар будет иметь цвет, который станет 10. М=37.
2)В худшем случае это будут 25 черных + 20 синих + 10 красных + 10 белых шаров =65 шаров.
Задания для решения на занятии
1.В мешке лежат шарики двух разных цветов. Какое наименьшее число шариков нужновынуть из мешка, чтобы среди ни обязательно оказались два шарика одного цвета?
2.В коробке лежат карандаши: 7 красных и 5 синих. В темноте берут карандаши. Сколько карандашей надо взять, чтобы среди них было не менее 2 красных и не менее 3 синих?
3.В мешке лежат 10 черных и 10 белых шаров. Они тщательно перемешены и неразлечимы на ощупь. Какое наименьшеее количество шаров нужно вынуть из мешка, чтобы среди них наверняка оказались два шара 1) одного цвета, 2)разного цвета, 3) белого цвета.
4.При каком наименьшем количестве учеников школы среди них обязательно найдутся двое, у которых день и месяц рождения совпадают?
5.В лесу растет миллион елок. Известно, что на каждой из них не более 600 000 иголок. Докажите, что в лесу найдутся хотя бы две елки с одинаковым числом иголок.
6.В городе Санкт-Петербурге живет более 4млн. человек. Докажите, что у каких-то двух из них одинаковое количество волос на голове, если известно, что у любого человека на голове не более миллиона волос.
7.В магазин привезли 25 ящиков с яблоками трех сортов, причем в каждом ящике лежали яблоки какого-то одного сорта. Можно ли найти 9 ящиков с яблоками одного сорта?
8.На площадке 20 собак восьми разных пород. Докажите, что среди них есть не менее трех собак одной породы.
9.В классе 27 учеников. Найдется ли месяц, в котором отмечают свои дни рождения не меньше, чем три ученика этого класса?
1. В ящике лежат носки четырех цветов. Какое наименьшеее количество носков надо вытащить, чтобы из них можно было составить хотя бы одну пару?
2.В темной кладовой лежат ботинки одного размера: 10 пар черных и 10 пар коричневых. Найдите наименьшее число ботинок, которое нужно взять из кладовой, чтобы среди них оказалась хотя бы одна пара (левый и правый) одного цвета. В темноте нельзя определить не только цвет ботинок, но и левой от правого.
3.В школе учится 1200 учеников. Найдется ли день, в который отмечают свои дни рождения не меньше, чем 4 ученика данной школы?
4.В классе 26 учеников, из них более половины мальчики. Докажите, что какие-то 2 мальчика сидят за одним столом (в классе 13 столов).
Семинар ДООМ Кружок 5-8, Принцип Дирихле
Предлагаю ряд статей, обьединенных в цикл «олимпиадные задачи. Кружок 5-8.» Все они вошли в состав сборников, один из которых вышел издательстве Легион (Е.Г. Коннова. Математика. Серия «Готовимся к олимпиаде». Ростов н/Д: Легион, 2008.), а второй готовится к печати.
Занятие 3. Знакомство с принципом Дирихле.
Приведенные рассуждения достаточно стандартны и основываются на применении свойств неравенств и методе доказательства «от противного». Рекомендуется при решении простых задач этого типа проводить рассуждения, не упоминая о принципе Дирихле, так как в школьной программе нет такой темы и при решении задач ссылки на этот принцип неоправданны. Принцип Дирихле состоит в следующем: «Если в n клеток посадить n+1 зайцев, то найдется хотя бы одна клетка, в которой находятся не менее чем 2 зайца».
Обобщенный принцип Дирихле: «Если в n клеток посадить kn+1 зайцев, то найдется хотя бы одна клетка, в которой находятся не менее чем k+1 заяц».
Докажем обобщенный принцип Дирихле.
Доказательство от противного. Предположим, что не найдется такой клетки. Значит, в каждой клетке находится не более чем k зайцев. Тогда в n клетках не более чем kn зайцев. Но по условию у нас было kn+1 зайцев. Получилось противоречие, значит наше предположение неверно. Следовательно, найдется хотя бы одна клетка, в которой находятся не менее чем k+1 заяц. Безусловно, начинать эту тему стоит с задач, в которых нужно работать с конкретными числами. Обязательно в процессе решения нужно обращать внимание, что мы должны говорить «не более», «не менее», а не обсуждать «лучший» («худший») случай, так как доказать это часто достаточно сложно.
В городе Формалюнске 15 школ. В них обучается 6015 школьников. В концертном зале городского Дворца Культуры 400 мест. Доказать, что найдется школа, ученики которой не поместятся в этот зал.
Предположим, что в каждой школе не более 400 учеников. Значит, в 15 школах не более 15 •400=6 000 школьников. Но по условию в школах обучается 6015 человек. Значит, найдется школа, в которой больше 400 учеников. Поэтому ученики этой школы не поместятся в зал на 400 мест.
В школьном совете 17 парламентеров. За время заседаний часть из них поссорились между собой. Доказать, что найдутся два участника совета, которые поссорились с одинаковым количеством парламентеров.
Предположим, что все парламентеры поссорились с различным количеством своих коллег. Посчитаем, сколько может быть различных вариантов. Можно не поссориться ни с кем, поссориться с одним человеком, с двумя, с тремя и так далее до 16 (если поссорился со всеми). Всего получается 17 вариантов поссориться, но если кто-то поссорился со всеми, то не может одновременно быть парламентера, который ни с кем не поссорился. Значит, остается 16 различных вариантов для 17 человек, и найдутся два участника совета, которые поссорились с одинаковым количеством парламентеров.
Предположим, что в каждом месяце родилось не более 13 учеников (год рождения не учитывается). Значит, за 12 месяцев родилось не более 12 •13=156 школьников. Но по условию в пяти классах этой школы обучается 5*32=160 человек. Получили противоречие. Значит, найдется месяц, в котором родилось больше 13 учеников, то есть хотя бы 14.
В 3″А» классе учится 27 школьников, знающих (всего) 109 стихотворений. Докажите, что найдется школьник, знающий не менее пяти стихотворений.
Предположим, что каждый школьник знает не более 4 стихотворений. Значит, 27 школьников знают не более 4 •27=108 стихотворений. Но по условию они знают 109 стихотворений. Получили противоречие. Значит, найдется школьник, который знает хотя бы 5 стихотворений.
По дороге в школу третьеклассник Коля преодолел 27 луж. Дорога в школу заняла у него 15 минут. Докажите, что найдутся две лужи с паузой менее чем в 35 секунд.
Если бы между всеми лужами были паузы не менее чем в 35 секунд, то Коля затратил бы на них не менее 35*26=910 секунд, это больше чем 15 минут, что противоречит условию. (26 промежутков, если первая и последние лужи находятся на концах пути.)
На окно кабинета математики размером 40 см на 30 см село 25 мух. Доказать, что квадратной мухобойкой 11*11 см можно прихлопнуть сразу трех мух.
Разделим окно на 12 квадратов размером 10 см на 10 см. Если в каждом квадрате не более двух мух, то всего на окне не более 2 •12=24 мух, а по условию мух 25, значит в каком-то квадрате сидит хотя бы 3 мухи. Мухобойка закроет этот квадрат. Значит, такой мухобойкой можно прихлопнуть сразу трех мух.
Семинар ДООМ 2008 «Формула текста»
Семинар ДООМ Кружок 5-8, Принцип Дирихле
Семинар ДООМ 2007 «Графы»
Элективный курс Графы 6-8 класс Программа курса 18 часов
Задачи и их решения на принцип «Дирихле»
Тема: Задачи на принцип Дирихле
Наиболее распространена следующая формулировка :
Если кролики рассажены в клетки, причем число кроликов больше числа клеток, то хотя бы в одной из клеток находится более одного кролика.
В подобных задачах всегда рассматриваем наихудший случай
При каком наименьшем количестве учеников школы среди них обязательно найдутся двое, у которых день и месяц рождения совпадают?
Дней в году 365 или 366. В наихудшем случае все 366 учеников родились в разные дни. Значит,
(В високосном году 366 дней. Т.е. берем 366 клеток. Чтобы в одной клетке было не менее 2 кроликов 366+1=367)
Ответ: 367 учеников
На площадке гуляет 20 собак восьми разных пород. Докажите, что среди них есть не менее трех собак одной породы.
1) Предположим, у нас нет 3-х собак одной породы. Тогда получается, что гуляет
2*8=16 собак. А по условию у нас 20 собак. Противоречие.
20>16, значит есть 3 собаки одной породы.
2) 20=8*2+4 по принципу Дирихле найдутся хотя бы три собаки одной породы.
В классе 37 учеников. Докажите, что среди них найдутся 4 ученика, отмечающие свой день рождения в одном месяце.
1) Предположим, что в классе нет 4-х учеников, родившихся в одном месяце. Значит, в классе не более
(12-месяцев, 3- кол-во рожденных в данном месяце. Всегда рассматриваем наихудший случай )
А по условию учеников 37, 37>36. Противоречие. Задача доказана.
2) 37=12*3+1 по принципу Дирихле найдется более 3 учеников с днем рождением в одном месяце.
В поход пошли 20 туристов. Самому старшему из них 35 лет, а самому младшему 20 лет. Верно ли, что среди туристов есть одногодки?
Поэтому, если предположить, что возраст любых двух туристов различен, то в группе не больше 16 человек.
Но по условию задачи их 20. Значит, в группе обязательно есть одногодки.
Обязательно ли среди двадцати пяти монет достоинством 1, 2, 3, 5 коп. найдётся семь монет одинакового достоинства?
Подумайте, сколько будет монет, если каждого из четырех типов монет не более шести?
Если бы каждого из четырех типов монет было не более 6, то всего монет было бы не более 6×4 = 24,
5 мальчиков собирали ракушки на пляже. Всего они собрали 14 ракушек. Они решили разложить ракушки на 5 кучек, чтобы в каждой было разное количество ракушек. Удастся ли им это сделать?
Предположим, им это удалось. Упорядочим кучки по возрастанию количества ракушек. Тогда в первой кучке должно быть не меньше одной ракушки, во второй — не меньше двух, в третьей — не меньше трех и т. д. Всего ракушек должно быть не меньше, чем
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 шт.
А по условию только 14. Противоречие.
6 девочек решали задачи. У них было 20 конфет. Они договорились, что первая, кто решит задачи, возьмет себе наибольшее число конфет, вторая – на одну меньше, третья – еще на одну меньше и т.д. Для этого им надо все конфеты разложить так, чтобы в кучках было разное количество. Смогут ли они это сделать?
(Если решают одновременно, первой из них будет та, у которой решение написано более полно и аккуратно).
Предположим, это возможно. Тогда в первой кучке должно быть не меньше 6 конфет, во второй — не меньше 5, в третьей — не меньше 4 и т. д. Всего конфет должно быть не меньше, чем
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 конфета
А у нас только 20. Противоречие.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-1564280
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Итоговое сочинение успешно написали более 97% выпускников школ
Время чтения: 2 минуты
Минпросвещения создает цифровую психологическую службу для школьников
Время чтения: 1 минута
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
В России утвердили новый порядок формирования федерального перечня учебников
Время чтения: 1 минута
В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников
Время чтения: 1 минута
Минздрав включил вакцинацию подростков от ковида в календарь прививок
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.