Что такое область определения функции на графике
Область определения функции
Прежде чем перейти к изучению области определения функции внимательно изучите уроки
«Что такое функция в математике» и «Как решать задачи на функцию».
Вспомним кратко основные определения функции в математике.
Функция — это зависимость переменной « y » от независимой переменной « x ».
Функцию можно задать через формулу (аналитически). Например:
Вместо « x » (аргумента функции) в формулу « у = 2x » подставляем произвольные числовые значения и по заданной формуле вычисляем
значение « y ».
Подставим несколько числовых значений вместо « x » в формулу « у = 2x » и запишем результаты в таблицу.
| x | y = 2 x | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x = −2 | у = 2 · (−2) = −4 | ||||||
| x = 0 | y = 2 · 0 = 0 | ||||||
x =
| y = 2 ·
=
= 1 | ||||||
| x = 3 | y = 2 · 3 = 6 |
Область определения функции — это множество числовых значений, которые можно подставить вместо « x » (аргумента функции).
Обозначают область определения функции как:
Вернемся к нашей функции « у = 2x » и найдем её область определения.
Посмотрим ещё раз на таблицу функции « y = 2x », где мы подставляли произвольные числа вместо « x », чтобы найти « y ».
| x | y = 2x | ||
|---|---|---|---|
| −2 | −4 | ||
| 0 | 0 | ||
| 1 | ||
| 3 | 6 |
Так как у нас не было никаких ограничений на числа, которые можно подставить вместо « x », можно утверждать, что вместо « x » мы могли подставлять любое действительное число.
Другими словами, вместо « x » можно подставить любые числа, например:
В нашей функции « у = 2x » вместо « x » можно подставить любое число, поэтому область определения функции « у = 2x » — это любые действительные числа.
Запишем область определения функции « у = 2x » через математические обозначения.
Ответ выше написан словами без использования специального математического языка. Заменим лишние слова на математические символы. Для этого вспомним понятие числовой оси.
Заштрихуем область на числовой оси, откуда можно брать значения для « x » в функции « у = 2x ». Так как в функции
« у = 2x » нет ограничений для « x », заштрихуем всю числовую ось от минус бесконечности « −∞ » до плюс бесконечности « +∞ ».
Запись выше читается как: « x » принадлежит промежутку от минус бесконечности до плюс бесконечности.
Запишем окончательный ответ для области определения функции.
По-другому промежуток
« x ∈ (−∞ ; +∞) » можно записать
как « x ∈ R ».
Читается « x ∈ R » как: « x » принадлежит всем действительным числам».
Записи « x ∈ (−∞ ; +∞) » и
« x ∈ R » одинаковы по своей сути.
Область определения функции с дробью
Разберем пример сложнее, когда в задании на поиск области определения функции есть дробь с « x » в знаменателе.
№ 233 (2) Мерзляк 8 класс
Найдите область определения функции:
Задание «Найдите область определения функции» означает, что нам нужно определить все числовые значения, которые может принимать « x » в функции
« f(x) =
| 8 |
| x + 5 |
».
По законам математики из школьного курса мы помним, что на ноль делить нельзя. Иначе говоря, знаменатель (нижняя часть дроби) не может быть равен нулю.
Переменная « x » находится в знаменателе функции « f(x) =
| 8 |
| x + 5 |
». Так как на ноль делить нельзя, запишем, что знаменатель не равен нулю.
Получается, что « x » может принимать любые числовые значения кроме « −5 ». На числовой оси заштрихуем все доступные значения для « x ».
Число « −5 » отмечено «пустой» точкой на числовой оси, так как не входит в область допустимых значений.
Запишем заштрихованную область на числовой оси через знаки неравенства.
Запишем промежутки через математические символы. Так как число « −5 » не входит в область определения функции, при записи ответа рядом с ним будет стоять круглая скобка.
Вспомнить запись ответа через математические символы можно в уроке «Как записать ответ неравенства».
Запишем окончательный ответ для области определения функции
« f(x) =
| 8 |
| x + 5 |
».
Область определения функции с корнем
Рассмотрим другой пример. Требуется определить область определения функции, в которой содержится квадратный корень.
№ 98 (5) Колягин (Алимов) 8 класс
Найти область определения функции:
Из урока «Квадратный корень» мы помним, что подкоренное выражение корня чётной степени должно быть больше или равно нулю.
Найдём, какие значения может принимать « x » в функции
« у = √ 6 − x ». Подкоренное выражение
« 6 − x » должно быть больше или равно нулю.
Решим линейное неравенство по правилам урока «Решение линейных неравенств».
Запишем полученный ответ, используя числовую ось и математические символы. Число « 6 » отмечено «заполненной» точкой на числовой оси, так как входит в область допустимых значений.
Правило для определения области определения функции
Чтобы найти область определения функции нужно проверить формулу функции по двум законам школьного курса математики:
При нахождении области определения функции необходимо всегда задавать себе два вопроса:
Если на оба вопроса вы получаете отрицательный ответ, то область определения функции — это все действительные числа.
Рассмотрим пример поиска области определения функции с корнем и дробью.
№ 242 (3) Мерзляк 8 класс
Найдите область определения функции:
Идем по алгоритму. Задаём себе первый вопрос, есть ли в функции дробь с « x » в знаменателе. Ответ: да, есть.
В функции « f(x) = √ x + 3 +
| 1 |
| x 2 − 9 |
» есть дробь «
| 1 |
| x 2 − 9 |
», где « x » расположен в знаменателе. Запишем условие, что знаменатель « x 2 − 9 » не может быть равен нулю.
Решаем квадратное уравнение через формулу квадратного уравнения.
x1;2 =
| −b ± √ b 2 − 4ac |
| 2a |
x1;2 =
| −0 ± √ 0 2 − 4 · 1 · (−9) |
| 2 · 1 |
x1;2 ≠
| −0 ± √ 0 − (−36) |
| 2 |
Запомним полученный результат. Задаем себе второй вопрос. Проверяем, есть ли в формуле функции
« f(x) = √ x + 3 +
| 1 |
| x 2 − 9 |
» корень четной степени. В формуле есть квадратный корень « √ x + 3 ». Подкоренное выражение « x + 3 » должно быть больше или равно нулю.
Решим линейное неравенство.
Объединим полученные ответы по обоим вопросам:
Объединим все полученные результаты на числовых осях. Сравнивая полученные множества, выберем только те промежутки, которые удовлетворяют обоим условиям.
Выделим красным заштрихованные промежутки, которые совпадают на обеих числовых осях. Обратим внимание, что числа « −3 » и « 3 » отмечены «пустыми» точками и не входят в итоговое решение.
Получаем два числовых
промежутка « −3 » и « x > 3 », которые являются областью определения функции
« f(x) = √ x + 3 +
| 1 |
| x 2 − 9 |
». Запишем окончательный ответ.
Примеры определения области определения функции
№ 101 Колягин (Алимов) 8 класс
Найти область определения функции:
Для поиска области определения функций задаем себе первый вопрос. Есть ли знаменатель, в котором содержится « x »?
Ответ: в формуле функции
« y = 6 √ x + 5 √ 1 + x » нет дробей.
Задаем второй вопрос. Есть ли в функции корни четной степени?
Ответ: в функции есть корень шестой степени: « 6 √ x ». Степень корня — число « 6 ». Число « 6 » — чётное, поэтому подкоренное выражение корня « 6 √ x » должно быть больше или равно нулю.
В формуле функции « y = 6 √ x + 5 √ 1 + x » также есть корень пятой степени
« 5 √ 1 + x ». Степень корня « 5 » — нечётное число, значит, никаких ограничений на подкоренное выражение « 1 + x » не накладывается.
Получается, что единственное ограничение области определения функции
« y = 6 √ x + 5 √ 1 + x » — это ограничение подкоренного выражения « 6 √ x ».
Нарисуем область определения функции на числовой оси и запишем ответ.
№ 242 (4) Мерзляк 8 класс
Найдите область определения функции:
Есть ли в функции знаменатель, в котором содержится « x »? В заданной функции подобных знаменателей два. Выделим знаменатели с « x » красным цветом.
Запишем условие, что каждый из знаменателей не должен быть равен нулю.
| √ x + 2 ≠ 0 |
| x 2 − 7x + 6 ≠ 0 |
Обозначим их номерами « 1 » и « 2 » и решим каждое уравнение отдельно.
| √ x + 2 ≠ 0 (1) |
| x 2 − 7x + 6 ≠ 0 (2) |
Решаем первое уравнение.
Если значение квадратного корня
« √ x + 2 ≠ 0 » не должно быть равно нулю, значит, подкоренное выражение
« x + 2 ≠ 0 » также не должно быть равно нулю.
Теперь решим уравнение под номером « 2 », используя формулу квадратного уравнения.
x1;2 =
| −b ± √ b 2 − 4ac |
| 2a |
x1;2 =
| −(−7) ± √ (−7) 2 − 4 · 1 · 6 |
| 2 · 1 |
x1;2 =
| 7 ± √ 49 − 24 |
| 2 |
x1;2 =
| 7 ± 5 |
| 2 |
x1 ≠
| x2 ≠
|
x1 ≠
| x2 ≠
|
| x1 ≠ 6 | x2 ≠ 1 |
Запишем все полученные ответы в порядке возрастания вместе под знаком системы, чтобы их не забыть.
| x ≠ −2 |
| x ≠ 1 |
| x ≠ 6 |
В формуле функции
« f(x) =
| √ x − 4 |
| √ x + 2 |
+
| 4x − 3 |
| x 2 − 7x + 6 |
»
есть два корня « √ x − 4 » и « √ x + 2 ». Их подкоренные выражения должны быть больше или равны нулю.
| x − 4 ≥ 0 |
| x + 2 ≥ 0 |
| x − 4 ≥ 0 |
| x + 2 ≥ 0 |
| x ≥ 4 |
| x ≥ −2 |
Нарисуем полученные решения на числовой оси. Выберем заштрихованный промежуток, который есть на обеих числовых осях.
Выпишем результат решения системы неравенств.
Объединим в таблицу ниже полученные ответы по обеим проверкам:
Результат проверки, что знаменатели дробей с « x » не равны нулю
Результат проверки, что подкоренные выражения должно быть больше или равны нулю
Нарисуем полученные результаты проверок на числовых осях, чтобы определить, какая заштрихованная область удовлетворяет всем полученным условиям.
Построение графиков функций
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие функции
Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:
Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.
Например, для функции вида 
область определения выглядит так
Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.
Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.
Понятие графика функции
Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.
График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.
Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.
Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.
В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.
Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:
Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.
Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.
Исследование функции
Важные точки графика функции y = f(x):
Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.
Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.
Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.
Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.
Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.
Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке: 
Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.
Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.
Схема построения графика функции:
У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!
Построение графика функции
Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.
Задача 1. Построим график функции 
Упростим формулу функции:
Задача 2. Построим график функции
Выделим в формуле функции целую часть:
График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции 
Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.
Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.
Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.
Ветви вниз, следовательно, a 0.
Точка пересечения с осью Oy — c = 0.
Координата вершины 
, т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.
Ветви вниз, следовательно, a 0.
Координата вершины 
, т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b
| x | y |
| 0 | -1 |
| 1 | 2 |
| x | y |
| 0 | 2 |
| 1 | 1 |
| x | y |
| 0 | 0 |
| 1 | 2 |
k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.
Задача 5. Построить график функции 
Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.
Нули функции: 3, 2, 6.
Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.
Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.
Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.
Вот так выглядит график:
Задача 6. Построить графики функций:
б) 
г) 
д) 
Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.
а) 
Преобразование в одно действие типа f(x) + a.
Сдвигаем график вверх на 1:
б)
Сдвигаем график вправо на 1:
Сдвигаем график вправо на 1:
Сдвигаем график вверх на 2:
г) 
Преобразование в одно действие типа 
Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:
д) 
Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.
Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:
Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:
Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс: