Что такое многомерность пространства
Многомерное пространство
Полезное
Смотреть что такое «Многомерное пространство» в других словарях:
МНОГОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — пространство, имеющее число измерений (размерность) более трех. Реальное пространство трехмерно. Через каждую его точку можно провести три взаимно перпендикулярные прямые, но уже нельзя провести четыре. Если принять указанные три прямые за оси… … Большой Энциклопедический словарь
многомерное пространство — пространство, имеющее число измерений (размерность) более трёх. Реальное пространство трёхмерно. Через каждую его точку можно провести три взаимно перпендикулярные прямые, но уже нельзя провести четыре. Если принять указанные три прямые за оси… … Энциклопедический словарь
многомерное пространство — daugiamatė erdvė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. multidimensional space vok. mehrdimensionaler Raum, m rus. многомерное пространство, n pranc. espace à dimensions multiples, m; espace multidimentionnel, m … Fizikos terminų žodynas
МНОГОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — пространство, имеющее число измерений (размерность) более трёх. Реальное пространство трёхмерно. Через каждую его точку можно провести три взаимно перпендикулярные прямые, но уже нельзя провести четыре. Если принять указанные три прямые за оси… … Естествознание. Энциклопедический словарь
ПРОСТРАНСТВО — в математике множество объектов, между которыми установлены отношения, сходные по своей структуре с обычными пространственными отношениями типа окрестности, расстояния и т. д. Исторически первое и важнейшее математическое пространство евклидово… … Большой Энциклопедический словарь
ПРОСТРАНСТВО — и ВРЕМЯ философские категории, посредством которых обозначаются формы бытия вещей и явлений, которые отражают, с одной стороны, их со бытие, сосуществование (в П.), с другой процессы смены их друг другом (во В.), продолжительность их… … Новейший философский словарь
пространство — а; ср. 1. Филос. Одна из основных форм существования материи, характеризующаяся протяжённостью и объёмом. Движение материи в пространстве и во времени. 2. Неограниченная протяжённость во всех измерениях, направлениях. Бесконечное п. Воздушное п.… … Энциклопедический словарь
Многомерное коммуникационное пространство — одно из основных понятий концепций многомерного пространства и рубежной коммуникативности. Результат стратификации разномасштабных процессов в природе и обществе, образующих рубежное энергоизбыточное напряжение (созидательное или разрушительное) … Геоэкономический словарь-справочник
Естествознание.ру
Многомерное пространство и свернутые измерения
Теория струн не только «сделала» наше пространство многомерным. Она заставила еще раз задуматься о том, что же это вообще такое — пространство-время.
Краткое содержание
Что такое пространство
Наше обычное восприятие невозможно без использования образов пространства и времени. Все физические теории, начиная с механики Ньютона и кончая современным вариантом теории струн, заранее предполагают существование пространства-времени как некой реальности, в которую погружены объекты — частицы классической механики или струны в теории струн. Но уже сейчас понятно, что такое представление слишком упрощает дело в пользу наглядности.
Теория струн постепенно рождает новый образ: струны — это нити, из которых соткана ткань пространства-времени. Более научно можно сказать, что особое согласованное состояние колеблющихся синхронным образом струн формирует структуру пространства-времени.
Вероятно, пространство-время сформировалось вскоре после Большого взрыва, когда создающие структуру пространства-времени струны включились в упорядоченный танец колебаний, а до этого момента пространства-времени не существовало.
Сейчас теоретики бьются над важнейшей задачей: поиском математической формулировки теории струн без обращения к изначальному понятию пространства-времени.
Многомерное пространство
Струны в очередной раз изменили наши представления о пространстве. Предыстория этого начинается в 1919 году.
Дело в том, что, хотя Эйнштейн и сформулировал общую теорию относительности для трехмерного пространства, математический формализм его теории легко обобщить на случай многомерных пространств. В 1919 году малоизвестный польский математик Теодор Калуца записал уравнения Эйнштейна для четырехмерного пространства и обнаружил, что, помимо обычных уравнений Эйнштейна, получились дополнительные уравнения, которые совпали с уравнениями Максвелла! В четырехмерном пространстве гравитация объединилась с электродинамикой!
Казалось бы, какая польза от этого открытия? Ведь мы-то знаем, что наше пространство трехмерно, и Эренфест разъяснил, почему: потому что устойчивые орбиты планет при другом числе измерений невозможны.
Но вскоре шведский математик Клейн придумал, как избавиться от лишнего измерения: дополнительное пространственное измерение может быть свёрнутым. Представить, что это значит, нам поможет аналогия с махровой простыней: издали она кажется двумерной, но в каждой точке плоскости есть петелька — выход в третье измерение. Клейн сделал оценки и получил, что дополнительное измерение может иметь протяженность порядка планковской длины.
Теория Калуцы-Клейна намного опередила развитие физики. Ее забыли на несколько десятилетий и воскресили в 1970-х, когда физики осознали, что введение нескольких дополнительных пространственных измерений позволяет объединить все четыре фундаментальных взаимодействия в одно единое взаимодействие. Сегодня считается, что всего нужно 9 или 10 пространственных измерений (и одно временное). При этом шесть или семь дополнительных измерений свёрнуты до планковского размера. Из-за малости этого размера они становятся абсолютно незаметными не только для глаза, но и для элементарных частиц на современных ускорителях. С точки зрения наших измерительных устройств, мы получаем привычное трехмерное пространство, в каждой точке которого спрятано крохотное шести- или семимерное пространство, подобно петельке на махровой простыне.
Хотя свернутые измерения и малы для прямого обнаружения, тем не менее, столь же малые струны могут перемещаться и колебаться в этих измерениях. То есть струны многомерны, в отличие о нас, трехмерных.
Кроме того, струны могут «наматываться» на свернутое измерение. Это приводит к появлению так называемых оборотных мод колебаний. Замкнутая струна может обернуться вокруг компактного измерения даже несколько раз. При столь малых размерах дополнительных измерений оборотные моды становятся очень легкими — эти моды и есть известные нам частицы.
Топология свернутых измерений
Дополнительные измерения в теории струн должны быть свернуты определенным образом. Что это значит? У махрового полотенца только одно дополнительное измерение, свернутое в петельку. При наличии двух дополнительных измерений они могли бы свернуться в крохотную сферу, или бублик (то есть тор). Принципиальное отличие тора от сферы — наличие отверстия. Можно представить себе двумерную поверхность с двумя или тремя отверстиями.
Согласно теории струн, прячущееся в каждой точке обычного пространства шестимерное свернутое пространство обладает очень непростыми свойствами (математики называют эти свойства топологией пространства). Топология пространства имеет самое непосредственное отношение к параметрам частиц: массам, зарядам, спинам, а также к числу поколений частиц. Оказывается, число поколений равно числу отверстий в свернутом пространстве — ведь струны наматываются на свернутые измерения. Так что уже известно, что свернутое пространство имеет три отверстия.
Итак, именно геометрия дополнительных измерений определяет фундаментальные свойства нашего мира. Это внушает надежду, что теория струн сможет вывести все фундаментальные константы из самой теории (как, например, скорость света однозначно определяется уравнениями Максвелла), а не будет вводить их извне, как это делается в Стандартной модели.
Проблемой, однако, является то, что существуют десятки тысяч вариантов пространств с тремя отверстиями, и пока неясно, какое из них надо использовать для описания мира, в котором мы живем. Перебор всех вариантов — слишком долгий и трудоемкий процесс. Не хватает еще каких-то подсказок. Но теоретики не теряют надежды найти эту единственно правильную топологию свернутых измерений.
ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ!
НЕ ЧИТАЙТЕ, ЕСЛИ ВАМ НЕ ИНТЕРЕСНО!
ЕСЛИ ВЫ СТАЛИ ЧИТАТЬ ЭТУ ЗАМЕТКУ, ТО СЧИТАЙТЕ, ЧТО ВЫ САМИ СПРОСИЛИ.
Предисловие
С тех пор как я поступил на первый курс мехмата мне пару десятков раз задавали один и тот же вопрос про один математический объект, который, по всей видимости, будоражит воображение всякого, кто столкнулся с ним в первый раз; название этого математического объекта векторное пространство.
Что такое пространство
Обычно говорят, что мы живём в трёхмерном (а после популяризации теории относительности четырёхмерном) пространстве. Идея является настолько естественной, что люди перестают задумываться о таких важных вопросов в этом деле, как что же такое само пространство. Хотя, этот вопрос в действительности является первичным, ведь без осознания того, что такое пространство проблематично становится понять, что такое количество измерений.
Ладно, покончим с чистой философией и перейдем к математике. Собственно векторное пространство обрело понятия размерности именно оттуда.
Сразу оговоримся, что в математике кроме векторных существуют ещё топологические, метрические, вероятностные и многие прочие пространства, которые лишены такого понятия как размерность.
Постараюсь объяснить так, чтобы было понятно на интуитивном уровне, затем да точное опредление:
если три числа a, b, c из K, то (a+b)+c=a+(b+c), то есть не важно в каком порядке их можно складывать.(K1) (ассоциативность по сложению)В K есть такой элемент e, что a+e=e+a=a для любого a из множества K, который называется 0. (K2) (существование нейтрального элемента)
Для каждого a из K в множестве K есть элемент (-a) такой, что a+(-a)=0, то есть существует противоположный элемент. (K3) (существование противоположного элемента)
Для всех a, b из K верно, что a+b=b+a. (K4) (коммутативность)
Для всех a,b,c из K верно (ab)c=a(bc) (K5) (ассоциативность по умножению)
В K есть элемент e1, такой, что a*e1=e1*a=a для любого а из множества K, который называется 1. (K6) (существование единицы)
Для каждого a ненулевого элемента из K в множестве K есть элемент b такой, что ab=ba=1, то есть существует обратный элемент.(K7) (существование обратного элемента)
Для всех a, b из K верно, что ab=ba (K8) (коммутативность по умножению)
Для всех a, b, c из K верно, что (a+b)c=ac+bc (K9) (дистрибутвность справа)
Условия (K1)-(K4) говорят о том, что K является коммутативной группой по сложению.
Условия (K5)-(K8) говорят о том, что K без 0 является коммутативной группой по умноению.
Условие (K9) называется условием дистрибутивностисправа.
Из этих аксиом вытекают ещё некоторые свойства поля: дистрибутивность слева a(b+c)=ab+ac, единственность единицы, единственность нуля.
В качестве поля мы можем брать множества всех дробных, всех вещественных или всех комплесных чисел. Есть ещё поля из конечного числа элементов, но это для понимания знать уже не обязательно.
Теперь, векторным пространствомV над полем K назовём множество, которое удовлетворяет следующим условиям:
V0: если v1, v2 принадлежат векторному пространству V, то v1+v2 принадлежит V. (алгебраическая замкнутость относительно сложения)
V0′: если v1 принадлежит V, k принадлежит K, то k*v1 принадлежит V (алгебраическая замкнутость относительно умножения на скаляр)
(V1-V4) Векторное пространство является коммутативной группой по сложению.
V5: a(v1+v2)=a*v1+a*v2 для любых v1, v2 из V и любого a из K.
V6 (a+b)v1=a*v1+b*v1 для любого v1 из V и любых a, b из K.
V7: 1*v1=v1
V8: (ab)v1=a(b*v1) для любого v1 из V и любых a, b из K.
Размерность пространства
В предыдущем пункте было определено, что такое векторное пространство, как было замечено понятие это не такое уж обычное, как все привыкли думать. Нужно и понятие поля, и понятие простарнства. Естественным образом возникает понятие группы и т.д. и т.п.
»Наше» пространство и все прочие пространства
Вернемся к вопросу, почему наше геометрическое пространство называют трёхмерным.
В нашего геометрического пространства размерность 3 (перемещение вверх/вниз, влево/вправо, вперед/назад). Зная на сколько и куда мы должны переместиться от настоящего положения (которое мы берем за точку (0,0,0)) мы определяем координаты этой точки и так можно поступить с каждой точкой. Собственно поэтому наше пространство называют трёхмерным, опуская слово геометрическое.
Часто говорят о том, что в нашем геометрическом пространстве 4 измерения (3+время), но это касается только геометрического пространства в предположениях теории относительности. К тому же там используется не векторное пространство, а четырёхмерное риманово многообразие.
Классическая механика часто приписывает нашему пространству размерность 6. Да-да, не удивляйтесь, это очень естественная идея. Если мы возьмем для каждой точки нашего физического пространства кроме её местоположения ещё и её скорость (а вернее импульс), то мы получим, что скорость раскладывается по трём пространственным координатам, таким оразом количество измерений для нашего фазового пространства становится равным 6. Обычно при этом предполагают, что все эти координаты каким-то образом зависят от времени. Время при этом можно рассматривать как параметр, а можно и как отдельную координату, тогда размерность нашего пространства будет 7.
Как правило, чем сложнее процесс, тем большее количество измерений мы предполагаем.
В математике зачастую возникают т.н. «функциональные пространства». Это такие множества функций, которые определены каким-то общим признаком, которые можно складывать и умножать на числа, причем они будут образовывать векторные пространства. Эти пространства, как правило, бесконечномерны. Например, множество всех непрерывных функций образует векторное пространство с бесконечной размерностью. Впрочем, есть даже более простые примеры: пространство последовательностей. Если мы возьмем множество всех бесконечных последовательностей, то получим векторное пространство.
Таким образом в целом вопрос «Какой размерности наше пространство?» не является правомерным. Нужно спрашивать «Какой размерности наше геометрическое пространство над полем вещественных чисел?» Но если Вы можете это спросить, то, скорее всего, можете сами же и ответить.
Как же «увидеть» многомерное пространство?
Многомерные пространства — 3D, 4D и другие измерения
Илья Щуров, Jason Hise, ashgrowen, Анатолий Белов
Многомерные пространства
Что такое четырёхмерное пространство («4D»)?
Представление других измерений
Что такое гиперкуб? Построение тессеракта
Виды гиперкубов и их названия
Как насчет 10D?
Многомерные пространства — миф или реальность? Большинству из нас, или, возможно, всем нам невозможно представить мир, состоящий из более чем трех пространственных измерений. Правильно ли утверждение, что такой мир не может существовать? Или просто человеческий разум не способен вообразить дополнительные измерения — измерения, которые могут оказаться такими же реальными, как и другие вещи, которые мы не можем увидеть?
Мы достаточно часто слышим что-нибудь вроде «трехмерное пространство», или «многомерное пространство», или «четырехмерное пространство». Возможно, вы знаете, что мы живем в четырехмерном пространстве-времени. Что это означает и почему это интересно, почему математики и не только математики изучают такие пространства?
Об авторах
Илья Щуров — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики НИУ ВШЭ.
Jason Hise — Physics programmer at Ready at Dawn Studios, 4D geometry enthusiast. Автор анимированных моделей, представленных в данной статье.
ashgrowen — пикабушник, проиллюстрировавший в этой статье построение тессеракта и гиперкуба.
Давайте начнем с простого — начнем с одномерного пространства. Представим себе, что у нас есть город, который расположен вдоль дороги, и в этом городе есть только одна улица. Тогда мы можем каждый дом на этой улице закодировать одним числом — у дома есть номер, и этот номер однозначно определяет, какой дом имеется в виду. Люди, которые живут в таком городе, — можно считать, что они живут в таком одномерном пространстве. Жить в одномерном пространстве довольно скучно, и люди обычно живут не в одномерном пространстве.
Например, если мы говорим про города, то можно перейти от одномерного пространства к двумерному. Примером двумерного пространства является плоскость, а если мы продолжим нашу аналогию с городами, то это город, в котором можно расчертить улицы, допустим, перпендикулярно друг другу, как это сделано в Нью-Йорке, в центре Нью-Йорка. Там есть «стрит» и авеню, каждая из которых имеет свой номер, и вы можете задавать местоположение на плоскости, задавать два числа. Опять же, все мы знаем декартову систему координат, знакомую со школы, — каждая точка задается двумя числами. Это пример двумерного пространства.
Но если мы говорим про город типа центра Нью-Йорка, то на самом деле он является трехмерным пространством, потому что вам мало задать, например, конкретный дом, пусть даже вы зададите его пересечением какой-нибудь «стрит» и какой-нибудь авеню, — вам нужно будет задать еще и этаж, на котором находится нужная вам квартира. Это даст вам третье измерение — высоту. У вас получится трехмерное пространство, в котором каждая точка задается тремя числами.
Вопрос: что такое четырехмерное пространство? Представить его себе не так-то просто, но можно думать о том, что это пространство, в котором каждая точка задается четырьмя числами. На самом деле мы с вами действительно живем в четырехмерном пространстве-времени, потому что события нашей жизни кодируются как раз четырьмя числами — помимо положения в пространстве, есть еще и время. Например, если вы назначаете свидание, то вы можете сделать это так: вы можете указать три числа, которые будут соответствовать точке в пространстве, и обязательно указать время, которое обычно задается в часах, минутах, секундах, но можно было бы закодировать его одним числом. Например, количество секунд, прошедших с определенной даты, — это тоже одно число. Таким образом получается четырехмерное пространство-время.
Представить себе геометрию этого четырехмерного пространства-времени не очень просто. Например, мы с вами привыкли к тому, что в нашем обычном трехмерном пространстве две плоскости могут пересекаться по прямой либо быть параллельными. Но не бывает такого, чтобы две плоскости пересекались в одной точке. Две прямые могут пересечься в одной точке, а на плоскости не могут в трехмерном пространстве. А в четырехмерном пространстве две плоскости могут и чаще всего пересекаются в одной точке. Можно представлять себе, хотя это уже совсем сложно, пространство большей размерности. На самом деле математики, когда работают с пространствами высокой размерности, чаще всего говорят просто: допустим, пятимерное пространство — это пространство, в котором точка задается пятью числами, пятью координатами. Безусловно, математики разработали разные методы, которые позволяют понимать что-то о геометрии такого пространства.
Почему это важно? Зачем понадобились такие пространства? Во-первых, четырехмерное пространство нам важно, потому что оно применяется в физике, потому что мы в нем живем. А зачем нужны пространства более высоких измерений? Давайте представим себе, что мы изучаем какие-то объекты, которые обладают большим количеством параметров. Например, мы изучаем страны, и у каждой страны есть территория, количество населения, внутренний валовой продукт, количество городов, какие-нибудь коэффициенты, индексы, что-нибудь такое. Мы можем представлять себе каждую страну в виде одной точки в каком-то пространстве достаточно высокой размерности. И оказывается, что с математической точки зрения это правильный способ об этом думать.
В частности, переход к геометрии многомерного пространства позволяет анализировать разные сложные объекты, обладающие большим количеством параметров.
Для того чтобы изучать такие объекты, используются методы, разработанные в науке, которая называется линейная алгебра. Несмотря на то, что она алгебра, на самом деле это наука о геометрии многомерных пространств. Конечно, поскольку представить их себе довольно тяжело, математики используют формулы, для того чтобы как раз изучать такие пространства.
Представить себе четырех-, пяти- или шестимерное пространство довольно сложно, но математики не боятся трудностей, и им мало даже стомерных пространств. Математики придумали бесконечномерное пространство — пространство, содержащее бесконечное количество измерений. В качестве примера такого пространства можно привести пространство всех возможных функций, заданных на отрезке или прямой.
Оказывается, что методы, которые были разработаны для конечномерных пространств, во многом переносятся и на случаи чрезвычайно сложных с точки зрения просто попытки их все представить пространств.
У линейной алгебры есть многочисленные приложения не только в математике, но и в самых разных науках, начиная c физики и заканчивая, например, экономикой или политической наукой. В частности, линейная алгебра является основой для многомерной статистики, которая как раз используется для вычленения связей между различными параметрами в каких-то массивах данных. В частности, популярный ныне термин Big Data зачастую связывается с решением задач по обработке данных, которые представляются именно большим количеством точек в пространстве какой-то конечной размерности. Чаще всего такие задачи можно переформулировать и разумно воспринимать именно в геометрических терминах.
Со школьных лет математика разделяется на алгебру и геометрию. Но на самом деле, если мы задумаемся о том, как устроена современная математика, то мы поймем, что те задачи, которые сейчас решаются, в частности, с применением методов линейной алгебры, на самом деле являются очень отдаленным продолжением тех задач, над которыми задумывались многие тысячи лет назад, например Пифагор или Евклид, разрабатывая ту самую школьную геометрию, которая сейчас есть в любом школьном учебнике. Удивительно, что задача по анализу больших данных оказывается в некотором смысле потомком, казалось бы, совсем бессмысленных — по крайней мере с практической точки зрения — упражнений древних греков по рисованию прямых или окружностей на плоскости или мысленному проведению прямых или плоскостей в трехмерном пространстве.
Что такое четырёхмерное пространство («4D»)?
Тессерракт — четырехмерный куб
Всем знакомо сокращение 3D, означающее «трёхмерный» (буква D — от слова dimension — измерение). Например, выбирая в кинотеатре фильм с пометкой 3D, мы точно знаем: для просмотра придётся надеть специальные очки, но зато картинка будет не плоской, а объёмной. А что такое 4D? Существует ли «четырёхмерное пространство» в реальности? И можно ли выйти в «четвёртое измерение»?
Чтобы ответить на эти вопросы, начнём с самого простого геометрического объекта — точки. Точка нульмерна. У неё нет ни длины, ни ширины, ни высоты.
Сдвинем теперь точку по прямой на некоторое расстояние. Допустим, что наша точка — остриё карандаша; когда мы её сдвинули, она прочертила отрезок. У отрезка есть длина, и больше никаких измерений: он одномерен. Отрезок «живёт» на прямой; прямая является одномерным пространством.
Тессеракт — четырехмерный куб
Возьмём теперь отрезок и попробуем его сдвинуть так, как раньше точку. Можно представить себе, что наш отрезок — это основание широкой и очень тонкой кисти. Если мы выйдем за пределы прямой и будем двигаться в перпендикулярном направлении, получится прямоугольник. У прямоугольника есть два измерения — ширина и высота. Прямоугольник лежит в некоторой плоскости. Плоскость — это двумерное пространство (2D), на ней можно ввести двумерную систему координат — каждой точке будет соответствовать пара чисел. (Например, декартова система координат на школьной доске или широта и долгота на географической карте.).
Если сдвинуть прямоугольник в направлении, перпендикулярном плоскости, в которой он лежит, получится «кирпичик» (прямоугольный параллелепипед) — трёхмерный объект, у которого есть длина, ширина и высота; он расположен в трёхмерном пространстве, в таком, в каком живём мы с вами. Поэтому мы хорошо представляем себе, как выглядят трёхмерные объекты. Но если бы мы жили в двумерном пространстве — на плоскости, — нам пришлось бы изрядно напрячь воображение, чтобы представить себе, как можно сдвинуть прямоугольник, чтобы он вышел из той плоскости, в которой мы живём.
Тессеракт — четырехмерный куб
Представить себе четырёхмерное пространство для нас также довольно непросто, хотя очень легко описать математически. Трёхмерное пространство — это пространство, в котором положение точки задаётся тремя числами (например, положение самолёта задаётся долготой, широтой и высотой над уровнем моря). В четырёхмерном же пространстве точке соответствует четвёрка чисел-координат. «Четырёхмерный кирпич» получается сдвигом обычного кирпичика вдоль какого-то направления, не лежащего в нашем трёхмерном пространстве; он имеет четыре измерения.
На самом деле мы сталкиваемся с четырёхмерным пространством ежедневно: например, назначая свидание, мы указываем не только место встречи (его можно задать тройкой чисел), но и время (его можно задавать одним числом, например количеством секунд, прошедших с определенной даты). Если посмотреть на настоящий кирпич, у него есть не только длина, ширина и высота, но ещё и протяженность во времени — от момента создания до момента разрушения.
Физик скажет, что мы живём не просто в пространстве, а в пространстве-времени; математик добавит, что оно четырёхмерно. Так что четвёртое измерение ближе, чем кажется.
Представление других измерений
От 2D к 3D
Ранняя попытка объяснить концепцию дополнительных измерений появилась в 1884 году с публикацией романа о плоской земле Эдвина А. Эббота «Флатландия: романтика множества измерений«. Действие в романе разворачивается в плоском мире, называемом «Флатландия», а повествование ведется от лица жителя этого мира — квадрата. Однажды во сне квадрат оказывается в одномерном мире — Лайнландии, жители которой (треугольники и другие двумерные объекты представлены в виде линий) и пытается объяснить правителю этого мира существование 2-го измерения, однако, приходит к выводу о том, что его невозможно заставить выйти за рамки мышления и представления только прямых линий.
Квадрат описывает его мир как плоскость, населенную линиями, кругами, квадратами, треугольниками и пятиугольниками.
Сфера, с точки зрения Квадрата — Окружность. │ commons.wikimedia.org
Однажды перед квадратом появляется шар, но его суть он не может постичь, так как квадрат в своем мире может видеть только срез сферы, только форму двумерного круга.
Сфера пытается объяснить квадрату устройство трехмерного мира, но квадрат понимает только понятия «вверх/вниз» и «лево/право», он не способен постичь понятия «вперед/назад».
Непостижимая Квадратом тайна третьего измерения на примере прохождения сферы через плоскость. Герой наблюдает уменьшение Окружности до точки и её исчезновение. │ commons.wikimedia.org
Только после того, как сфера вытащит квадрат из его двумерного мира в свой трехмерный мир, он наконец поймет концепцию трех измерений. С этой новой точки зрения квадрат становится способен видеть формы своих соотечественников.
Квадрат, вооруженный своим новым знанием, начинает осознавать возможность существования четвертого измерения. Также он приходит к мысли, что число пространственных измерений не может быть ограничено. Стремясь убедить сферу в этой возможности, квадрат использует ту же логику, что и сфера, аргументирующая существование трех измерений. Но теперь из них двоих становится «близорукой» сфера, которая не может понять этого и не принимает аргументы и доводы квадрата — так же, как большинство из нас «сфер» сегодня не принимают идею дополнительных измерений.
От 3D к 4D
Нам сложно принять эту идею, потому что, когда мы пытаемся представить даже одно дополнительное пространственное измерение — мы упираемся в кирпичную стену понимания. Похоже, что наш разум не может выйти за эти границы.
Представьте себе, например, что вы находитесь в центре пустой сферы. Расстояние между вами и каждой точкой на поверхности сферы равно. Теперь попробуйте двигаться в направлении, которое позволяет вам отойти от всех точек на поверхности сферы, сохраняя при этом равноудаленность. Вы не сможете этого сделать..
Житель Флатландии столкнулся бы с такой же проблемой, если бы он находился в центре круга. В его двумерном мире он не может находиться в центре круга и двигаться в направлении, которое позволяет ему оставаться равноудаленными каждой точке окружности круга, если только он не перейдет в третье измерение. Увы, у нас нет проводника в четырехмерное пространство как в романе Эббота, чтобы показать нам путь к 4D.
Что такое гиперкуб? Построение тессеракта
Виды гиперкубов и их названия
1. Точка — нулевое измерение
2. Отрезок — одномерное пространство
3. Квадрат — двумерное пространство (2D)
4. Куб — трёхмерное пространство (3D)
5. Тессеракт — четырёхмерное пространство (4D)
6. Пентеракт — пятимерное пространство (5D)
7. Хексеракт — шестимерное пространство (6D)
8. Хептеракт — семимерное пространство (7D)
9. Октеракт — восьмимерное пространство (8D)
10. Энтенеракт — девятимерное пространство (9D)
11. Декеракт — десятимерное пространство (10D)
Гиперкуб — это обобщающее название куба в производном числе измерений. Всего измерений десять, плюс точка (нулевое измерение).
Соответственно, существует одиннадцать видов гиперкуба. Рассмотрим построение тессеракта — гиперкуба четвертого измерения:
Для начала построим точку А (рис. 1):
После, соединим ее с точкой В. Получим вектор АВ (рис. 2):
Построим вектор, параллельный вектору АВ, и назовем его CD. Соединив начала и концы векторов, получим квадрат ABDC (рис. 3):
Теперь построим еще один квадрат A1B1D1C1, который лежит в параллельной плоскости. Соединив точки подобным образом, получим куб (рис. 4):
У нас есть куб. Представьте, что положение куба в трехмерном пространстве с течением времени изменилось. Зафиксируем его новое местоположение (рис 5.):
Рис. 5 Измененное положение куба в пространстве
А теперь, мы проводим вектора, которые соединяют местоположение точек в прошлом и в настоящем. Получаем тессеракт (рис. 6):
Рис. 6 Тессеракт (построение)
Подобным образом строятся остальные гиперкубы, конечно же учитывается смысл пространства, в котором гиперкуб находится.
Как насчет 10D?
В 1919 году польский математик Теодор Калуца предположил, что существование четвертого пространственного измерения может увязать между собой общую теорию относительности и электромагнитную теорию. Идея, впоследствии усовершенствованная шведским математиком Оскаром Кляйном, заключалась в том, что пространство состояло как из «расширенных» измерений, так и из «свернутых» измерений. Расширенные измерения — это три пространственных измерения, с которыми мы знакомы, и свернутое измерение находится глубоко в расширенных размерах. Эксперименты позже показали, что свернутое измерение Калуцы и Кляйна не объединило общую теорию относительности и электромагнитную теорию, как это первоначально предполагалось, но спустя десятилетия теоретики теории струн нашли эту идею полезной, даже необходимой.
Математика, используемая в теории суперструн, требует не менее 10 измерений. То есть для уравнений, описывающих теорию суперструн и для того чтобы связать общую теорию относительности с квантовой механикой, для объяснения природы частиц, для объединения сил и т. д. — необходимо использовать дополнительные измерения. Эти измерения, по мнению теоретиков струн, завернуты в свернутое пространство, изначально описанное Калуцей и Кляйном.
Круги представляют собой дополнительный пространственный размер, свернутый в каждую точку нашего знакомого трехмерного пространства. │ WGBH / NOVA
Чтобы расширить скрученное пространство, чтобы включить эти добавленные размеры, представьте, что круги Калуцы-Клейна заменяются сферами. Вместо одного добавленного измерения мы имеем два, если рассматривать только поверхности сфер и три, если учесть пространство внутри сферы. Получилось всего шесть измерений. Так где же другие, которые требует теория суперструн?
Оказывается, что до того, как появилась теория суперструн, два математика Эудженио Калаби из Университета Пенсильвании и Шин-Тунг Яу из Гарвардского университета описали шестимерные геометрические формы. Если мы заменим сферы в скрученном пространстве этими формами Калаби-Яу, мы получим 10 измерений: три пространственных, а также шестимерные фигуры Калаби-Яу.
Шестимерные формы Калаби-Яу могут объяснять дополнительные размеры, требуемые теорией суперструн. │ WGBH / NOVА
Приверженцы теории струн делают ставку на то, что дополнительные измерения действительно существуют. На самом деле, уравнения, описывающие теорию суперструн, предполагают вселенную с не менее чем 10 измерениями. Но даже физикам, которые все время думают о дополнительных пространственных измерениях сложно описать как они могут выглядеть, или как люди могли бы приблизиться к их пониманию.
Если теория суперструн будет доказана и идея мира, состоящего из 10 или более измерений, подтвердится, то появится ли когда-нибудь объяснение или визуальное представление более высоких измерений, которые сможет постичь человеческий разум? Ответ на этот вопрос навсегда может стать отрицательным, если только какая-то четырехмерная жизненная форма не «вытащит» нас из нашего трехмерного мира и не даст нам увидеть мир с ее точки зрения.