Что такое метод размерностей при решении физических задач

Что такое метод размерностей при решении физических задач

Итак, начнем с размерностей. Они делятся на основные и производные.

Сразу оговоримся, раньше официально в качестве основной единицы использовался Кулон (Кл), а не Ампер (А). Теперь же Кулон получается из Ампера, который определяется непосредственно по силе взаимодействия двух определенных проводников с током именно, как сила взаимодействия (притяжения или отталкивания) проводников с током.

Все очень логично – сила тока 1 Ампер есть такой ток (т.е. количество переносимого в единицу времени (с) заряда (Кл) в проводниках), который вызывает силу взаимодействия величиной 1 Ньютон между двумя проводниками с током длиной в 1 метр каждый, которые находятся на расстоянии 1 метр.

Видите, как все взаимосвязано!

Считается, что основные величины размерностей – это некие эталонные величины, которые мы находим экспериментально. Причем в этих экспериментах каждый раз получаются одинаковые значения физических величин при одинаковых условиях измерений.

Например, метр – это, по сути, металлический стержень, который хранится во Франции в специальном институте («Международное бюро мер и весов» — постоянно действующая организация со штаб-квартирой, расположенной в городе Севр недалеко от Парижа) при определенной температуре (и других постоянных условиях), с которым мы должны сравнивать и измерять все остальные «метры».

Секунда, это примерно (1 / 86400) одна восьмидесятишеститысяччетырехсотая средних астрономических суток. И к тому же эти сутки меняются со временем, правда очень медленно. Но зато у нас есть всемирная служба точного времени, которая сообщает нам, когда заканчивается один час и начинается другой.

Метр, что интересно, — это и единица коэффициента трения качения, и единица длины волны излучения, и длины свободного пробега, и оптической длины пути, и фокусного расстояния, и комптоновской длины волны, и длины волны де Бройля и многих других физических величин, имеющих размерность длины.

По определению, метр равен расстоянию, которое проходит свет в вакууме за промежуток времени, равный 1 / 299 792 458 секунды. Такое определение метра (в терминах времени и скорости света) было принято на XVII Генеральной конференции по мерам и весам в 1983 году.

С практической точки зрения, для решения физических задач, эти подробности не слишком важны. Важно, что каждой физической величине соответствует своя размерность. И что эти величины с размерностями можно складывать или вычитать, только если они одинаковые.

Но их можно также умножать и делить. И при этом образуются новые физические величины (новые размерности).

Сейчас мы с вами займемся конструированием физических величин.

Дальше можете продолжить сами!

Вопрос: Может быть квадратный килограмм?

Ответ: Может. Но только физического смысла в этом нет никакого.

Ниже приведена таблица размерностей с названиями физических величин.

Таблица размерностей физических величин.

Основная размерность
МАССА

Основная размерность
ДЛИНА

Основная размерность
ВРЕМЯ

Основная размерность
СИЛА ТОКА

Основная размерность
ТЕРМО-
ДИНАМИ-
ЧЕСКАЯ ТЕМПЕРАТУРА

Основная размерность
Количество вещества

Основная размерность
Сила света

Источник

Метод размерностей. Часть первая

Как и обещал, мои дорогие подписчики, выкладываю первую часть цикла статей о простой непростой физике.

Изначально я хотел написать краткий цикл статей о физике без формул, но в этой первой теме без них совсем никак.

Я также решил разбить этот материал на 2 части, ибо много всего есть.

Поэтому, дорогие гуманитарии, заранее прошу прощения:)

Для понимания происходящего в 1 части надо знать, в чем измеряются физические величины, такие как сила(Н), масса(кг), скорость(м/с) и длина(м).

Периодически в физике встречаются задачи, природа которых совсем не ясна или очень сложна.

Иногда не удается написать даже точного уравнения, а иногда оно оказывается нерешаемым, как например уравнение Навье-Стокса.

Что физики делают в условиях полной неизвестности, когда все остальные методы проваливаются?

Правильно: используют не очень деликатные, но очень эффективные методы.

У физиков есть несколько «путеводных звезд», которые никогда не гаснут и всегда помогают проверить, не фигню ли сморозил.

Примечательно, что этот же метод применим во всех естественных науках: биологии, химии, иногда даже в экономике. Но не в математике.

Матфизику в рассмотрение не берем потому, что это как морская свинка: и к морю не имеет прямого отношения, и к свиньям.

Метод размерностей как раз является одной из таких путеводных звезд.

У него есть две трактовки: физическая и, как ни странно, математическая. Да, «всё смешалось в доме науки».

Так что же это за чудесный метод такой?

Для начала покажу физическую интерпретацию. Если кратко, то он заключается в присвоении величинам размерностей и проверке, что в левой и в правой частях приписанные размерности совпадают.

Кто из нас знаем аэродинамику? Дай бог, один читатель найдется. Сразу скажу, я ее не знаю, но могу показать, как легко и просто выводятся некоторые формулы при помощи метода размерностей.

Предположим, что брат спросил тебя, как ведет себя сила сопротивления воздуха по отношению к какому-то телу при разных скоростях.

2) мы знаем, что как-то должна участвовать скорость (v) тела относительно воздушного потока. Скорость измеряется в м/с.

3) мы знаем, что вся эта конструкция будет двигаться в воздухе, плотность (rho) которого измеряется в кг/м^3.

4) мы примерно имеем представление, что чем больше тело, тем больше будет оказываемая на него сила. Примерно поэтому супермен летает с кулаком впереди и ветром в лицо, а не гордо встречает грудью всё сопротивление воздуха. Это значит, что как-то будет влиять площадь поперечного сечения (S). А площадь измеряется в м^2.

Итак, что мы имеем? Что слева должна стоять сила и она измеряется в кг*м/с^2, а справа надо соорудить точно такую же размерность. Поехали!

1) килограммы есть только в плотности, значит, она будет в 1 степени. После деления размерностей из левой части на правую останется: кг*м/с^2 * м^3/кг = м^4/с^2

2) секунды есть только в скорости. Значит, что скорость должна быть в квадрате. Имеем: м^4/c^2 / (м/c)^2 = м^2

3) Ну а площадь поперечного сечения и есть м^2. Значит, сила сопротивления будет прямо пропорциональна площади.

Есть пара логичных правил для метода размерностей:

1) складывать можно только величины одной размерности. Например, м+кг или с+с^2 являются некорректными, а м/с+м/с является корректным выражением.

2а) исключением может быть только логарифм. Например, ln(E/E0)=ln(E)-ln(E0). В левой части безразмерная величина, а в правой разница логарифмов от размерных величин. В таких случаях проблем не возникает, если пользоваться всегда строго одной системой измерений (например, СИ).

При помощи этого метода очень легко проверять формулы на правильность, особенно если перед тобой формула длиной в один лист А4, и нет никакого желания лезть в выкладки. Можно просто проверить на каждом листе рандомно по одной формуле и с очень большой долей вероятности быть уверенным в правильном ответе, затратив очень мало времени.

Почему в математике с ним сложно? Вот есть, например, уравнение единичной окружности x^2+y^2=1. В правой части безразмерная величина, значит, и в левой величина безразмерная. Здесь размерности просто-напросто вводить некуда. С другой стороны, если уравнение окружности выглядит как x^2+y^2=R^2, то размерности появляются. И пусть они будут хоть метрами, хоть джоулями, но x, y и R должны иметь одну и ту же размерность. Вот так в математике почти со всеми уравнениями.

Теперь о приложениях в разных отраслях.

Если взять, например, экономику, то там иногда мелькают курсы валют типа USD/RUB.

И если вдруг внезапно где-то оказывается USD^2/RUB, то где-то раньше надо искать ошибку, или объяснять, откуда взялась такая размерность.

В биологии же можно придумать аналогичные размерности а’ля самец/самка, кг/человек, Рентген/кг, и т.д.

Химия близка к физике и ее освещать я не буду. Скажу только, что ко всем величинам добавляется моль, а правила останутся теми же.

Источник

Что такое метод размерностей при решении физических задач

Ежедневно мы сталкиваемся с различными измерениями. Чтобы не опаздывать, мы устанавливаем будильник (фиксируем время), следим за культурой своего питания (взвешиваем продукты, считаем калории). Единицы измерения всем знакомы, например, скорость движения измеряется в м/c в системе СИ, а в другой – км/час. Единицы измерения придуманы людьми, исторически это связано с развитием социума, научно-технического процесса, торговли и т.д.

В науке закономерности, то есть уравнения связи одних физических величин с другими, необходимо анализировать не с помощью единиц, которые полностью зависят от человека, а с помощью каких-то других понятий, независимых от человека. Поскольку и сами природные закономерности от человека не зависят.

Уравнения связи физических величин анализируют не с помощью единиц измерения, а с помощью каких-то других понятий, однозначных для одной и той же величины. С этой целью и введено понятие «размерности». Размерность – это выражение (без числовых коэффициентов), зависимости величины от основных величин системы, в виде произведения степеней сомножителей, соответствующих основным величинам. Каждой размерности придуман свой символ обозначения, и порядок их расположения строго регламентировано. Например, объем любого тела обозначаться L3, скорость механического движения тела – LT-1 [2].

Тот факт, что физические соотношения имеют скалярный, векторный или тензорный характер, отражает свойство инвариантности физических законов относительно системы координат.

С другой стороны, для того, чтобы задать значения какой-либо физической величины, необходимо задать единицы ее измерения, и, вообще говоря, систему единиц измерения. Очевидно, что смысл физических соотношений не должен зависеть от выбора системы единиц измерений.

При этом нет необходимости для каждой физической величины задавать строго особую единицу измерения, т.к. физические определения и соотношения позволяют выражать размерности одних физических величин через другие.

Например, определение скорости позволяет выразить размерность скорости v = ds/dt через размерности перемещения ds и времени dt.

В любой системе единиц вводятся основные единицы измерения. Они вводятся из опыта с помощью эталонов. Например, в СИ основными считаются метр, секунда, килограмм, Ампер, Кельвин, моль, кандела.

Выражение произвольной единицы измерения через основные единицы измерения называется размерностью. Для каждой основной величины вводится обозначение: L – длина, М – масса, Т-время и т.д.

Любая произвольная размерность обозначается квадратными скобками от соответствующей величины. Например, [v] – размерность скорости, [Е] – размерность энергии и т.д.

Формула размерности. В теории размерности доказывается, что размерность любой величины представляет собой степенные одночлены вида [N] = LlTtMm. и называется формулой размерности. Иногда в формулах размерности используют не символы основных величин, а их единиц измерения [v] = мс-1, [Е] = кг м2с2 и т.д.

Метод размерностей – одно из самых интересных методов расчета. Суть его заключается в возможности восстанавливать различные соотношения между физическими величинами. Достоинства: быстрая оценка масштабов исследуемых явлений; получение качественных и функциональных зависимостей; восстановление забытых формул на экзаменах, ЕГЭ. А так же специальные задания с использованием метода размерностей, способствует развитию мышления и культуры речи [1].

В основе метода размерностей лежит составление перечня существенных физических величин, определяющих процесс в данной задаче. Это возможно сделать лишь при сознательном и глубоком понимании, а также при исследовательском, творческом подходе к разбору физической ситуации. Это означает, что использование метода размерностей способствует развития мышления учащихся на уроках физики. Большинство задач школьного курса физики относительно просты с точки зрения рассматриваемого метода, это значительно облегчает его использование в обучении.

Рассмотрим некоторые достоинства и приложения метода размерностей:

— быстрая оценка масштабов исследуемых явлений;

— получение качественных и функциональных зависимостей;

— восстановление забытых формул на экзаменах;

— выполнение некоторых заданий ЕГЭ;

— осуществление проверки правильности решения задач.

Метод размерностей является распространенным и относительно простым методом современной физической науки. Он позволяет с меньшими затратами сил и времени проверить:

1) правильность решения задачи;

2) установить функциональную зависимость между физическими величинами, характеризующими данный процесс;

3) оценить ожидаемый численный результат. Кроме того, учитель физики имеет возможность:

а) опросить за урок большее число учащихся;

б) выяснить знание формул и единиц измерения физических величин;

в) сэкономить время при объяснении нового материала. Использование метода размерностей на учебных занятиях будет стимулировать более углубленное изучение предмета, расширит кругозор учащихся, усилит меж предметную связь.

В физике имеется одна чрезвычайно полезная математическая процедура, называемая анализом размерностей.

Для правильной постановки и обработки экспериментов, результаты которых позволяли бы установить общие закономерности и могли бы быть приложенными к случаям, в которых эксперимент не проводился непосредственно, необходимо вникать в сущность изучаемого вопроса и давать общий качественный анализ.

Возможность такого предварительного качественно-теоретического анализа и выбора системы определяющих безразмерных величин и дает теория размерности, которая приносит много пользы и в теории, и в практике. Все результаты, добываемые с помощью этой теории, получаются всегда очень просто, элементарно и почти без всякого труда. Но применение этой теории к новым задачам требует опыта и понимания сущности явления.

Всякое уравнение в физике выражает соотношение, объективно существующее в природе, независимо от воли того, кто это уравнение пишет. И, конечно, обе части уравнения должны выражаться величинами, измеряемыми в одних и тех же единицах.

Анализ размерностей широко применяется в физике для анализа уравнений, которые бывают не так просты, как F = ma, и в отношении которых присутствует сомнение, верны ли они. Если бы степени хотя бы одной размерности не совпали, то это означало бы стопроцентную гарантию того, что уравнение неверно [3].

При решении задач, а соответственно и тестов большое значение имеет контроль по установлению размерностей величин входящих в качестве слагаемых в расчетные формулы. Вполне очевидно, что выражение типа «3м-2кг» не имеет смысла, поэтому если в результате решения появляются слагаемые, имеющие разную размерность, то это явный признак того, что была допущена ошибка (чаше всего она носит арифметический характер). Понимая это, необходимо периодически при решении теста или задачи прибегать к анализу размерности.

Польза от применения размерностей не ограничивается процедурой анализа размерностей. Также метод размерностей используется при систематизации физических величин.

Следует только помнить, что размерность при систематизации физических величин – это всё же понятие вспомогательное. Оно помогает решать проблему, но решить проблему не возможно только с помощью размерностей. Да и стремиться к такому подходу вряд ли стоит. Проблему систематизации физических величин решает только сравнение определяющих уравнений, а применение размерностей придает этому решению определенную наглядность.

В свою очередь, физические величины могут быть размерными и безразмерными. Величины, численное значение которых зависит от принятых масштабов, то есть от системы единиц измерения, называются размерными или именованными величинами, например: длина, время, сила, энергия, момент силы и т. д. Величины, численное значение которых не зависит от применяемой системы единиц измерения, называются безразмерными или отвлеченными величинами, например: отношение двух длин, отношение квадрата длины к площади, отношение энергии к моменту силы и др. Это понятие является условным, и поэтому некоторые величины можно рассматривать в одних случаях как размерные, а в других – как безразмерные.

Различные физические величины связаны между собой определенными соотношениями. Поэтому если некоторые из них принять за основные и установить для них какие-то единицы измерения, то единицы измерения остальных величин будут определенным образом выражаться через единицы измерения основных величин. Принятые для основных величин единицы измерения называются основными или первичными, а остальные – производными или вторичными.

В настоящее время большим распространением пользуются физическая и техническая системы единиц измерения. В физической системе за основные единицы измерения приняты сантиметр, грамм-масса и секунда (система CGS),

Основная польза теории размерностей связана с возможностью изучения физических закономерностей в безразмерном виде, не зависящим от выбора систем единиц измерения. Результаты анализа проблемы в безразмерном виде применимы сразу к целому классу явлений.

Суммируя все вышеизложенное, сделаем следующие выводы:

1. Метод размерностей может быть использован в случае, если искомая величина может быть представлена в виде степенной функции.

2. Метод размерностей позволяет качественно решить задачу и получить ответ с точностью до числового коэффициента

3. В некоторых случаях метод размерностей является единственным способом решить задачу и хотя бы оценить ответ.

4. Решение задач методом размерностей является дополнительным или вспомогательным методом, позволяющим лучше понять взаимодействие величин, их влияние друг на друга.

5. Метод размерностей очень прост в математическом отношении.

Данный метод требует особого внимания. Более конкретного и детального изучения, с целью внедрения данного метода в школьный курс физики, для осознанного и целенаправленного использования метода размерности при решении поставленных задач перед учащимися.

Источник

Метод размерностей при обучении физике

Разделы: Физика

В физике. нет места для путаных мыслей…
Действительно понимающие природу
Того или иного явления должны получать основные
Законы из соображений размерности. Э. Ферми

Описание той или иной проблемы, обсуждение теоретических и экспериментальных вопросов начинается с качественного описания и оценки того эффекта, который дает данная работа.

При описании какой-то проблемы нужно, прежде всего, оценить порядок величины ожидаемого эффекта, простые предельные случаи и характер функциональной связи величин, описывающих данное явление. Эти вопросы называются качественным описанием физической ситуации.

Одним из наиболее эффективных методов такого анализа является метод размерностей.

Анализ размерностей применяется в физике еще со времен Ньютона. Именно Ньютон сформулировал тесно связанный с методом размерностей принцип подобия (аналогии).

• Учащиеся впервые встречаются с методом размерностей при изучении теплового излучения в курсе физики 11 класса:

Спектральной характеристикой теплового излучения тела является спектральная плотность энергетической светимости r_v – энергия электромагнитного излучения, испускаемого за единицу времени с единицы площади поверхности тела в единичном интервале частот.

Единица спектральной плотности энергетической светимости – джоуль на квадратный метр (1 Дж/м 2 ). Энергия теплового излучения черного тела зависит от температуры и длины волны. Единственной комбинацией этих величин с размерностью Дж/м 2 является kT/ 2 ( = c/v). Точный расчет, проделанный Рэлеем и Джинсом в 1900 г., в рамках классической волновой теории дал следующий результат:

где k – постоянная Больцмана.

Как показал опыт, данное выражение согласуется с экспериментальными данными лишь в области достаточно малых частот. Для больших частот особенно в ультрафиолетовой области спектра формула Рэлея-Джинса неверна: она резко расходится с экспериментом. Методы классической физики оказались недостаточными для объяснения характеристик излучения абсолютно черного тела. Поэтому расхождение результатов классической волновой теории с экспериментом в конце XIX в. получило название “ультрафиолетовой катастрофы”.

• Покажем применение метода размерностей на простом и хорошо понятном примере.

Тепловое излучение абсолютно черного тела: ультрафиолетовая катастрофа – расхождение классической теории теплового излучения с опытом.

Представим себе, что тело массой m перемещается прямолинейно под действием постоянной силы F. Если начальная скорость тела равна нулю, а скорость в конце пройденного участка пути длиной s равна v, то можно записать теорему о кинетической энергии: . Между величинами F, m, v и s существует функциональная связь.

Предположим, что теорема о кинетической энергии забыта, а понимаем, что функциональная зависимость между v, F, m, и s существует и имеет степенной характер.

(1)

Здесь x, y, z – некоторые числа. Определим их. Знак

означает, что левая часть формулы пропорциональна правой, то есть , где k – числовой коэффициент, не имеет единиц измерения и с помощью метода размерностей не определяется.

В левой части равенства вообще нет килограммов, поэтому и справа их быть не должно.

Аналогично, из сравнения показателей степени при секундах следует

Из полученных уравнений находим числа x, y, z:

Окончательная формула имеет вид

Возведя в квадрат левую и правую части этого соотношения, получаем, что

Последняя формула есть математическая запись теоремы о кинетической энергии, правда без числового коэффициента.

Метод размерностей был введен при построении основ классической механики, однако его эффективное применение для решения физических задач, началось в конце прошлого – в начале нашего века. Большая заслуга в пропаганде этого метода и решения с его помощью интересных и важных задач принадлежит выдающемуся физику лорду Рэлею. В 1915 году Рэлей писал: “ Я часто удивляюсь тому незначительному вниманию, которое уделяется великому принципу подобия, даже со стороны весьма крупных ученых. Нередко случается, что результаты кропотливых исследований преподносятся как вновь открытые “законы”, которые, тем не менее, можно было получить априорно в течение нескольких минут”.

В наши дни физиков уже нельзя упрекнуть в пренебрежительном отношении или в недостаточном внимании к принципу подобия и к методу размерностей. Рассмотрим одну из классических задач Рэлея.

• Задача Рэлея о колебаниях шарика на струне.

Пусть между точками A и B натянута струна. Сила натяжения струны F. На середине этой струны в точке C находится тяжелый шарик. Длина отрезка AC (и соответственно CB) равна 1. Масса М шарика намного больше массы самой струны. Струну оттягивают и отпускают. Довольно ясно, что шарик будет совершать колебания. Если амплитуда эти x колебаний много меньше длины струны, то процесс будет гармоническим.

Определим частоту колебаний шарика на струне. Пусть величины , F, M и 1 связанны степенной зависимостью:

F X M Y 1 Z (2)

Показатели степени x, y, z – числа, которые нам нужно определить.

Выпишем размерности интересующих нас величин в системе СИ:

Если формула (2) выражает реальную физическую закономерность, то размерности правой и левой частей этой формулы должны совпадать, то есть должно выполняться равенство

В левую часть этого равенства вообще не входят метры и килограммы, а секунды входят в степени – 1. Это означает, что для x, y и z выполняются уравнения:

Решая эту систему, находим:

Точная формула для частоты отличается от найденной всего в раз ( 2 = 2F/(M1)).

Таким образом, получена не только качественная, но и количественная оценка зависимости для от величин F, M и 1. По порядку величины найденная степенная комбинация дает правильное значение частоты. Оценка всегда интересует по порядку величины. В простых задачах часто коэффициенты, неопределяемые методом размерностей, можно считать числами порядка единицы. Это не есть строгое правило.

• При изучении волн рассматриваю качественное прогнозирование скорости звука методом анализа размерностей. Скорость звука ищем как скорость распространения волны сжатия и разрежения в газе. У учащихся не возникает сомнений в зависимости скорости звука в газе от плотности газа и его давления p.

u= C x p y (1)

где С – безразмерный множитель, числовое значение которого из анализа размерности найти нельзя. Переходя в (1) к равенству размерностей.

м/с = (кг/м 3 ) x (кг м/(с 2 м 2 )) y _,

Равенство размерностей в левой и правой части равенства дает:

Таким образом, скорость звука в газе

(2)

Формулу (2) при С=1 впервые получил И. Ньютон. Но количественные выводы этой формулы были весьма сложны.

Экспериментальное определение скорости звука в воздухе было выполнено в коллективной работе членов Парижской Академии наук в 1738 г., в которой измерялось время прохождения звуком пушечного выстрела расстояния 30 км.

RT (3)

RT (4)

– скорость распространения звука.

(5)

• Познакомив учащихся с методом размерностей, даю им этим методом вывести основное уравнение МКТ для идеального газа.

Учащиеся понимают, что давление идеального газа зависит от массы отдельных молекул идеального газа, числа молекул в единице объема – n (концентрации молекул газа) и скорости движения молекул – .

Зная размерности величин, входящих в данное уравнение имеем:

,

,

,

,

Сравнивая размерности левой и правой части данного равенства, имеем:

Поэтому основное уравнение МКТ имеет такой вид:

— отсюда следует

Ранее было сказано, что С – безразмерный множитель, числовое значение которого из метода размерности определить нельзя.

• Рассмотрим другое применение метода размерности. Если в ответах к заданиям встречаются одни и те же физические величины в различных выражениях, расположенные произвольно, то ответ можно выбрать путем проверки единиц измерений. Приведем подобные примеры.

1. Электрон с зарядом влетел в магнитное поле со скоростью перпендикулярно линиям индукции магнитного поля и стал двигаться по окружности радиуса R. Какое выражение соответствует модулю вектора магнитной индукции магнитного поля?

А) Б) В) Г)

2. Спутник планеты массой М движется по круговой орбите радиуса R. Какова скорость движения спутника?

А) , Б) , В) , Г), Д)

Спутник движется по окружности —>, а .

Проверим единицы измерения в В):

.

• В отдельных случаях единицы измерения в ответах соответствуют единицам измерения искомой величины, однако, ответ в задании верный лишь один. Тогда следует обратиться к иным способам отыскивания этой величины.

Рассмотрим тестовое решение нижеизложенной задачи.

3. Шарик массой , подвешенный на нити, длинной , вращается по окружности радиусом , в горизонтальной плоскости с угловой скоростью . Какова сила натяжения нити?

Рисунок 2. Cхема движения маятника

А) ;

В)

Г)

Анализ условия: ответ Г – быть не может, т.к. , а не сила. По единицам измерения ответы А и Б возможны, однако, направлены не по силе натяжения нити:

Из заштрихованного треугольника видно, что

Это мы воспользовались методом размерности.

Источник