Что такое матрица в физике

От действий над матрицами к пониманию их сути…

Очень уважаю людей, которые имеют смелость заявить, что они что-то не понимают. Сам такой. То, что не понимаю, — обязательно должен изучить, осмыслить, понять. Статья «Математика на пальцах», и особенно матричная запись формул, заставили меня поделиться своим небольшим, но, кажется, немаловажным опытом работы с матрицами.

Лет эдак 20 назад довелось мне изучать высшую математику в вузе, и начинали мы с матриц (пожалуй, как и все студенты того времени). Почему-то считается, что матрицы — самая лёгкая тема в курсе высшей математики. Возможно — потому, что все действия с матрицами сводятся к знанию способов расчёта определителя и нескольких формул, построенных — опять же, на определителе. Казалось бы, всё просто. Но… Попробуйте ответить на элементарный вопрос — что такое определитель, что означает число, которое вы получаете при его расчёте? (подсказка: вариант типа «определитель — это число, которое находится по определённым правилам» не является правильным ответом, поскольку говорит о методе получения, а не о самой сути определителя). Сдаётесь? — тогда читаем дальше.

Сразу хочу сказать, что я не математик ни по образованию, ни по должности. Разве что мне интересна суть вещей, и я порой пытаюсь до них «докопаться». Так же было и с определителем: нужно было разобраться со множественной регрессией, а в этом разделе эконометрики практически всё делается через… матрицы, будь они неладны. Вот и пришлось мне самому провести небольшое исследование, поскольку ни один из знакомых математиков не дал внятного ответа на поставленный вопрос, изначально звучавший как «что такое определитель». Все утверждали, что определитель — это такое число, которое особым образом посчитано, и если оно равно нулю, то… В общем, как в любом учебнике по линейной алгебре. Спасибо, проходили.

Если какую-то идею придумал один человек, то другой человек должен быть в состоянии её понять (правда, для этого порой приходится вооружаться дополнительными знаниями). Обращение к «великому и могучему» поисковику показало, что «площадь параллелограмма равна модулю определителя матрицы, образованной векторами — сторонами параллелограмма». Говоря простым языком, если матрица — это способ записи системы уравнений, то каждое уравнение в отдельности описывает вектор. Построив из точки начала координат векторы, заданные в матрице, мы таким образом зададим в пространстве некоторую фигуру. Если наше пространство одномерное, то фигура — это отрезок; если двумерное — то фигура — параллелограмм, и так далее.

Получается, что для одномерного пространства определитель — это длина отрезка, для плоскости — площадь фигуры, для трёхмерной фигуры — её объём… дальше идут n-мерные пространства, вообразить которые нам не дано. Если объём фигуры (то есть определитель для матрицы 3*3) равен нулю, то это означает, что сама фигура не является трёхмерной (она может быть при этом двухмерной, одномерной или вообще представлять собой точку). Ранг матрицы — это истинная (максимальная) размерность пространства, для которого определитель не равен нулю.

Так, с определителем почти всё понятно: он определяет «объёмность» фигуры, образованной описанными системой уравнений векторами (хотя непонятно, почему его значение не зависит от того, имеем мы дело с исходной матрицей, или с транспонированной — возможно, транспонирование — это вид аффинного преобразования?). Теперь нужно разобраться с действиями над матрицами…

Если матрица — это система уравнений (а иначе зачем нам таблица каких-то цифр, не имеющих к реальности никакого отношения?), то мы можем с ней делать разные вещи. Например, можем сложить две строки одной и той же матрицы, или умножить строку на число (то есть каждый коэффициент строки умножаем на одно и то же число). Если у нас есть две матрицы с одинаковыми размерностями, то мы их можем сложить (главное, чтобы при этом мы не сложили бульдога с носорогом — но разве математики, разрабатывая теорию матриц, думали о таком варианте развития событий?). Интуитивно понятно, тем более что в линейной алгебре иллюстрациями подобных операций являются системы уравнений.

Однако в чём смысл умножения матриц? Как я могу умножить одну систему уравнений на другую? Какой смысл будет иметь то, что я получу в этом случае? Почему для умножения матриц неприменимо переместительное правило (то есть произведение матриц В*А не то что не равно произведению А*В, но и не всегда осуществимо)? Почему, если мы перемножим матрицу на вектор-столбец, то получим вектор-столбец, а если перемножим вектор-строку на матрицу, то получим вектор-строку?

Ну, тут уж не то что Википедия, — тут даже современные учебники по линейной алгебре бессильны дать какое-либо внятное объяснение. Поскольку изучение чего-либо по принципу «вы сначала поверьте — а поймёте потом» — не для меня, копаю в глубь веков (точнее — читаю учебники первой половины XX века) и нахожу интересную фразу…

Если совокупность обычных векторов, т.е. направленных геометрических отрезков, является трёхмерным пространством, то часть этого пространства, состоящая из векторов, параллельных некоторой плоскости, является двумерным пространством, а все векторы, параллельные некоторой прямой, образуют одномерное векторное пространство.

В книгах об этом напрямую не говорится, но получается, что векторам, параллельным некоторой плоскости, необязательно лежать на этой плоскости. То есть они могут находиться в трёхмерном пространстве где угодно, но если они параллельны именно этой плоскости, то они образуют двумерное пространство… Из приходящих мне на ум аналогий — фотография: трёхмерный мир представлен на плоскости, при этом вектору, параллельному матрице (или плёнке) фотоаппарата, будет соответствовать такой же вектор на картинке (при условии соблюдении масштаба 1:1). Отображение трёхмерного мира на плоскости «убирает» одно измерение («глубину» картинки). Если я правильно понял сложные математические концепции, перемножение двух матриц как раз и представляет собой подобное отражение одного пространства в другом. Поэтому, если отражение пространства А в пространстве В возможно, то допустимость отражения пространства В в пространстве А — не гарантируется.

Любая статья заканчивается в тот момент, когда автору надоедает её писать. Поскольку я не ставил перед собой цели объять необъятное, а исключительно хотел понять суть описанных операций над матрицами и то, как именно матрицы связаны с решаемыми мной системами уравнений, я не полез в дальнейшие дебри линейной алгебры, а вернулся к эконометрике и множественной регрессии, но сделал это уже более осознанно. Понимая, что и зачем я делаю и почему только так, а не иначе. То, что у меня получилось в этом материале, можно озаглавить как «глава о сути основных операций линейной алгебры, которую почему-то забыли напечатать в учебниках». Но ведь мы же не читаем учебников, правда? Если честно, когда я учился в университете, мне очень не хватало именно понимания затронутых здесь вопросов, поэтому я надеюсь, что, изложив этот непростой материал по возможности простыми словами, я делаю доброе дело и помогаю кому-то вникнуть в саму суть матричной алгебры, переведя операции над матрицами из раздела «камлание с бубном» в раздел «практические инструменты, применяемые осознанно».

Источник

Матрица, ее история и применение

Разделы: Математика

Матрица, её история и применение

Термин « матрица » имеет много значений. Например, в математике матрицей называется система элементов, имеющая вид прямоугольной таблицы, в программировании матрица – это двумерный массив, в электронике – набор проводников, которые можно замкнуть в точках их пересечений. Покерные фишки также имеют непосредственное отношение к матрице. Фишки для покера изготавливаются из высококачественного композиционного материала, зачастую с металлической сердцевиной. В свою очередь композиционный материал или композит имеет матрицу и включенные в нее армирующие элементы (исключение составляют слоистые композиты).
Матрица в фотографии – это интегральная микросхема (аналоговая или цифро-аналоговая), которая состоит из фотодиодов (светочувствительных элементов). Благодаря светочувствительной матрице происходит преобразование спроецированного на нее оптического изображения в электрический сигнал аналогового типа, а при наличии в составе матрицы АЦП, то преобразование происходит в поток цифровых данных.
Матрица – основной элемент цифровых фотоаппаратов, всех современных видео- и телекамер, фотокамер, встроенных в мобильный телефон и системы видеонаблюдения.

Основное значение термин «матрица» имеет в математике.

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Впервые матрицы упоминались ещё в древнем Китае, называясь тогда «волшебным квадратом». Основным применением матриц было решение линейных уравнений. Так же, волшебные квадраты были известны чуть позднее у арабских математиков, примерно тогда появился принцип сложения матриц. После развития теории определителей в конце 17-го века, Габриэль Крамер начал разрабатывать свою теорию в 18-ом столетии и опубликовал «правило Крамера» в 1751 году. Примерно в этом же промежутке времени появился «метод Гаусса». Теория матриц начала своё существование в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу, Жордану, Фробениусу. Термин «матрица» ввел Джеймс Сильвестр в 1850 г.

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

Матрицы допускают следующие алгебраические операции:

Матрица – множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m – строк и n – столбцов. Для обозначения матрицы используется надпись:

А=,

а_ij, где i – номер строки, j – номер столбца

Далее рассмотрим виды матриц.

С=; D=.

Матрица, которая содержит только одну строчку или один столбец называется вектором. В таких матрицах можновыделить вектор-строка и вектор-столбец. Так, матрица K – это вектор-строка, а матрица F – вектор-столбец.

K=; F=.

Квадратная матрица, у которой в главной диагонали стоят ненулевые элементы, а все остальные – нули называется диагональной матрицей. Матрица L – диагональная матрица третьего порядка. Если ненулевые элементы равны только единицам, то это единичная матрица, она всегда обозначается буквой Е. В нашем случае матрица Е – тоже единичная матрица третьего порядка.

L= E=.

Если все элементы матрицы нули, то это нулевая матрица. Например, матрица V – нулевая матрица третьего порядка.

V=.

Если в данной матрице поменять строки и столбцы местами, то получится транспонированная матрица данной. Например, дана матрица М, каждую строчку этой матрицы перенесем в соответствующий столбец матрицы, стоящей на рисунке рядом. Вторая матрица – это транспонированная матрица матрицы М.

К середине XIX в. матрицы стали самостоятельными объектами математических исследований. К этому времени были сформулированы правила сложения и умножения матриц. Основную роль в их разработке сыграли работы Гамильтона, Кэли и Сильвестра (J.J.Sylvester, 1814–1897). Современное обозначение матрицы предложил Кэли в 1841 году. Исследования Вейерштрасса (K.Th.W.Weierstrass, 1815–1897) и Фробениуса (F.G.L. Frobenius, 1849–1917) далеко продвинули теорию матриц, обогатив ее новым содержанием.

Но существует ещё особая разновидность матриц, называемая магическим квадратом. Магический квадрат – квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.

Магический квадрат – древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы и эти знаки известны под названием лошу и равносильны магическому квадрату. В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, где в 16 в. магическим квадратам была посвящена обширная литература. Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 в. византийский писатель Э.Мосхопулос. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А.Дюрера изображенный на его знаменитой гравюре Меланхолия 1. Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.

В 19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры и операционного исчисления.

Магические квадраты нечетного порядка можно построить с помощью метода французского геометра 17 в. А.де лаЛубера. Рассмотрим этот метод на примере квадрата 5-го порядка. Число 1 помещается в центральную клетку верхней строки. Все натуральные числа располагаются в естественном порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа налево. Дойдя до верхнего края квадрата (как в случае числа 1), продолжаем заполнять диагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего столбца. Дойдя до правого края квадрата (число 3), продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клетки строкой выше. Дойдя до заполненной клетки (число 5) или угла (число 15), траектория спускается на одну клетку вниз, после чего процесс заполнения продолжается.

Где ещё применяются матрицы?

В физике и других прикладных науках матрицы – являются средством записи данных и их преобразования. В программировании – в написании программ. Они еще называются массивами. Широко применение и в технике. Например, любая картинка на экране – это двумерная матрица, элементами которой являются цвета точек.

В психологии понимание термина сходно с данным термином в математике, но взамен математических объектов подразумеваются некие «психологические объекты» – например, тесты.

Кроме того, матрицы имеет широкое применение в экономике, биологии, химии и даже в маркетинге.

Также авторы нашли абстрактную модель – теорию бракосочетаний в первобытном обществе, где с помощью матриц были показаны разрешенные варианты браков для представителей и даже потомков того или иного племени, что явилось свидетельством разнопланового применения матриц.

Теперь подробнее остановимся на некоторых областях применения матриц.

Рассмотрим теорию бракосочетаний, о которой уже упоминалось.

В некоторых первобытных обществах существуют строгие правила относительно того, в каких случаях допустимы браки. Эти правила направлены на предотвращение браков между слишком близкими родственниками.

Эти правила допускают точную математическую формулировку в терминах «p-матриц». Одним из первых изложил эти правила в виде аксиом Андре Вейль.

Правила бракосочетания характеризуются следующими аксиомами:

Из аксиом следует, что нужно задать зависимость между типом родителей и типами сыновей и дочерей.

Для установления отношения родства пользовались следующими обозначениями:

Вот примеры видов отношений:

Данные схемы далее объединяются в большие матрицы, где условные обозначения преобразуются в числа. С помощью таких матриц удобно видеть кровное родство в нескольких поколениях.

Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики – матричная алгебра – имеют чрезвычайно важное значение для экономистов. Объясняется это тем, что значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а главное – компактной матричной форме.

С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости.

Например, рассмотрим таблицу распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики (усл. ед.):

Данная таблица может быть записана в компактной форме в виде матрицы распределения ресурсов по отраслям:

А=

Далее рассмотрим применение матриц в психологии.

Прогрессивные матрицы Равена– тест на наглядное и в то же время абстрактное мышление по аналогии (тест интеллекта), разработанный англ. психологом Дж. Равеном (1938).

Каждая задача состоит из 2 частей: основного рисунка (какого–либо геометрического узора) с пробелом в правом нижнем углу и набора из 6 или 8 фрагментов, находящихся под основным рисунком. Из этих фрагментов требуется выбрать один, который, будучи поставленным на место пробела, точно подходил бы к рисунку в целом. Прогрессивные матрицы Равена разделяются на 5 серий по 12 матриц в каждой. Благодаря увеличению числа элементов матриц и усложнению принципов из взаимоотношений задачи постепенно усложняются как в пределах одной серии, так и при переходе от серии к серии. Имеется также облегченный вариант прогрессивных матриц Равена, предназначенный для исследования детей и взрослых с нарушениями психической деятельности.

На рисунке показаны примеры таких матриц:

Мы рассмотрели основные области применения матриц. Выяснилось, что данный термин употребляется не только в математике, но и в других науках, таких, как информатика, биология, химия, физика, психология, экономика и т. д. Кроме того, матрицы могут быть практически применимы, например, как это делали в первобытном обществе для определения разрешённых вариантов брака.

МАТРИЦА— (нем., Matrize, от лат. matrix матка). 1) в литейном производстве: медная форма для отливки букв, а также монет. 2) в типографском деле: бумажная форма для отливки стереотипа.

С помощью матриц можно решать системы уравнений, в них удобно представлять какие-либо данные.

Таким образом, мы пришли к выводу, что матрицы широко применялись и применяются до сих пор.

Литература:

Источник

Матрица физики

Матрица физики, Законов Природы.

«Природа не знает никаких прав,

ей известны только законы.»

Логичен вопрос: «Может ли быть в природе матрица, которая описывает движения, как в микромире, например, фотона, частицы Планка, так и движение в мегамире, например, планет Солнечной системы вокруг Солнца?»

При заполнении таблицы необходимо учесть, что по горизонтали каждая последующая цифра отличается от предыдущей на величину радиуса вращения; по вертикали каждая последующая цифра отличается от предыдущей на величину периода обращения, деленного на два пи; а по диагонали слева-направо цифры отличаются на величину линейной скорости на орбите вращения. С точки зрения математики мы имеем дело с геометрической прогрессией по каждому направлению. Зная эти положения, нетрудно заполнить цифрами всю таблицу.

Возьмем фрагмент этой таблицы с цифрами, определяющими вращение Земли вокруг Солнца.

Линейная плотность потенциал

8,87 х 10 8 м 2 /с 2

Гравитационный заряд, масса Солнца

13,28 х 10 19 м 3 /с 2

Вязкость, площадь в единицу времени

Длина волны, радиус вращения

2,24 х 10 22 м 2 /с 0

Объем, количество поля

3,35 х 10 33 м 3 /с 0

Найдем определитель третьего порядка этой системы:

Исследуем миноры определителя. Они также равны нулю.

Обращаем внимание на тот факт, что в физике, в отличии от математики, числа имеют размерность. Это важно, ибо размерность указывает на физическое понятие этой величины, и число, согласно этой размерности (рангу), занимает свою клеточку в таблице. Свое место в таблице имеет и число, полученное при определении определителя.

Аналогичные расчеты можно выполнить для определения движения всех планет Солнечной системы, их спутников, Земли, а также фотона, частицы Планка. Естественно, точность вычислений будет выше, если брать мгновенные значения параметров движения, а не средние данные из справочников.

К сожалению, в этой области успехи современной физики весьма скромные. Из бесконечных величин рядов и столбцов клеточек таблицы современная наука может с точки зрения классической физики объяснить логику только тридцати шести. Физическая сущность остальных клеточек современной науке пока неизвестна.

Ограничений вычисления данная матрица не имеет, определитель может быть любого порядка!

Основой нашей таблицы, как отмечалось в предыдущих статьях, послужила «Таблица законов природы» Р.Бартини и П.Кузнецова. Авторы пытались включить в нее

все известные законы природы. В таблицу вошли второй и третий законы И.Кеплера; закон сохранения импульса, открытый И.Ньютоном; закон осхранения момента импульса, открытый П.Лапласом; закон сохранения энергии, открытый Р.Майером; закон сохранения мощности, открытый Дж. Максвеллом. Каждый из этих и другие законы строго занимают свои клеточки. Логика таблицы, подкрепленная математическими выкладками, позволяет говорить о матрице физики, законов природы.

Время удивляться, уважаемый читатель. Поистине велик Творец, создавший эту гармонию в природе!

От фотона и до Галактики все живет по единым законам.

Источник

Почему мы живем не в Матрице, а в матрице?

Бог — это вечная и бесконечная истина, не имеющая ценности и смысла.

Сегодня я хочу рассказать вам о самой смелой и красивой гипотезе в современной теоретической физике. Многие ученые относятся к ней крайне скептически, некоторые называют ее откровенно шизофреническим бредом, а другие находят крайне интересной. Давайте же пустимся в путешествие, которое может навсегда изменить ваше представление о Вселенной.

В поисках «теории всего»

Начиная с середины 20-ого века самой сложной и перспективной задачей теоретической физики является поиск так называемой «теории всего», которая объединит в себе общую теорию относительности и квантовую механику, тем самым дав точное объяснение всем наблюдаемым физическим явлениям. На роль такой теории претендуют многочисленные теории струн, теория квантовой петлевой гравитации и многие другие. Но мы будем говорить не о них. Мы сделаем шаг еще дальше.

Профессор MIT Макс Тегмарк в своей книге «Наша математическая Вселенная» призывает нас задуматься о самом удивительном свойстве всех существующих физических теорий, которое обычно люди считают само собой разумеющимся — все наши физические теории описываются математикой.

С точки зрения эмпиризма (философия первичности материи по отношению к идее) в этом нет ничего удивительного, человек изобретал язык математики, наблюдая за реальным миром.Мы изобрели цифры и счет, чтобы считать предметы, мы изобрели геометрию, чтобы строить прочные здания. Со временем наши математические инструменты становились все более сложными и отдаленными от повседневных нужд — мы изобретали дифференциалы, интегралы, математический анализ, теорию групп, топологию. Но в конце концов мы всегда находили физические явления, которые поразительно хорошо описывались с помощью этих самых инструментов.

Но давайте взглянем на математичность физических законов с точки зрения идеализма (философия первичности идеи по отношению к материи). Все математические законы живут в пространстве идей и не зависят даже от существования нашей Вселенной. Если даже ничего не существовало бы, дважды два все также равнялось бы четырем. Рождение галактик и звезд, движение планет, химические реакции и генетические мутации строго следовали математическим формулам задолго до появления людей. Мы лишь открыли эти законы, но не изобрели их.

Так что же будет с теорией относительности, квантовой механикой или пресловутой теорией всего, если мы выкинем из них всю словесную шелуху, вроде слов «квант», «пространство», «свет». Там останутся только формулы, и ничего больше. И в этом месте рассуждений Макс Тегмарк задает интереснейший вопрос: что может полностью описываться чистой математикой? И он дает на него единственно разумный ответ. Чистой математикой может быть описана лишь сама чистая математика. Таким образом Тегмарк приходит к самой поразительной из возможных гипотез: вся наша Вселенная — это математическая структура.

Все из бита

Макс Тегмарк не был первым, кто пришел к такой идее. Задолго до него эту идею выдвигал знаменитый американский физик, научный руководитель Ричарда Фейнмана, Хью Эверетта и Кипа Торна, а также автор терминов «черная дыра» и «кротовая нора» Джон Уилер.

В своей статье «it from bit» Джон Уилер задумывался над тем фактом, что все свойства элементарных частиц вроде массы, заряда, спина, цвета, странности и красоты не имеют никакого собственного смысла, а лишь проявляются при взаимодействиях с другими частицами.

Таким образом, все эти свойства являются по сути битом информации в некоторой математической структуре. Уилер писал:

Все сущее — каждая частица, каждое силовое поле, даже сам пространственно-временной континуум — получают свою функцию, свой смысл и, в конечном счёте, самое своё существование — даже если в каких-то ситуациях не напрямую — из ответов, извлекаемых нами с помощью физических приборов, на вопросы, предполагающие ответ «да» или «нет», из бинарных альтернатив, из битов. «Всё из бита» символизирует идею, что всякий предмет и событие физического мира имеет в своей основе — в большинстве случаев в весьма глубокой основе — нематериальный источник и объяснение; то, что мы называем реальностью, вырастает в конечном счёте из постановки «да-нет»-вопросов и регистрации ответов на них при помощи аппаратуры

Чтобы вы лучше поняли, что имел в виду Джон Уилер, я приведу вам в пример картинку из книги Макса Тегмарка о том, как отношения между точками пространства (ребра куба) можно представить в виде матрицы битов:

Сами вершины этого куба, обозначенные индексом от 1 до 8, не несут никакого смысла, а вот матрица отношений между ними (ребер куба) уже обладает некоторыми уникальными свойствами: например, вращательной симметрией. Наша Вселенная, конечно же, устроена на порядки сложнее куба, но в ее основе лежат те же самые принципы. Поняв это, мы можем двигаться дальше.

Инфляционная модель Вселенной и фракталы

Если мы все-таки живем в математической модели, то в какой?

Давайте посмотрим на нашу Вселенную: она состоит из множества скоплений миллиардов галактик, галактики состоят из миллиардов звезд, у многих звезд есть несколько планет, а у многих планет есть некоторое количество спутников. Более того, согласно гипотезе вечной инфляции, являющейся объяснением и расширением инфляционной модели развития вселенной, в отдаленном от нас пространстве ежесекундно происходят миллионы «больших взрывов», порождающих свои пузыри Вселенных.

Но вернемся к нашему миру: все скопления, галактики, звезды и планеты, в какой бы части Вселенной они не находились, очень похожи между собой, но все же уникальны. Какая математическая структура обладает такими свойствами? Это фрактал.

Фрактал порождается простейшей рекуррентной формулой, но развивается в красивейшую циклическую картину, каждый маленький кусочек которой одновременно и уникален, и похож на общую структуру.

Асимметрия времени и вычисление рекурсивной функции

И как раз фрактальная структура нашей Вселенной открывает нам глаза на самую главную загадку современной физики — время. Идет ли время только вперед? Линейно ли оно?

Современная физика говорит о существовании так называемой асимметрии времени или стрел времени. Первая стрела времени — психологическая: мы помним прошлое, но не будущее. Эта ассиметрия является частным случаем более общей второй стрелы времени — причинно-следственной. Причины порождают следствия, но не наоборот. С другой стороны это может быть лишь частью нашего восприятия и при обратном ходе времени мы бы приняли причины за следствия, а следствия за причины. Но существуют третья абсолютно объективная асимметрия времени, также называемая вторым законом термодинамики — энтропия в замкнутой системе со временем всегда растет. То есть, при обратном ходе времени она бы падала.

Как это можно объяснить? Одним из первых объяснение, согласующееся с гипотезой математической Вселенной, дал немецкий пионер компьютеростроения и автор первого языка программирования высокого уровня Конрад Цузе. Он предположил, что наша Вселенная является не статичной математической моделью, а постоянно вычисляющийся чистой рекурсивной функцией. На вход такой функции поступает результат вычисления предыдущей итерации. Каждый тик такой функции является планковским временем, а проще говоря мгновением. Такая гипотеза очень хорошо объясняет все стрелы времени. Результат вычисления такой функции зависит от ее входа — будущее зависит от прошлого, но не наоборот. Со временем количество информации в такой системе будет расти, а значит будет расти и энтропия. И главное, эта гипотеза очень хорошо согласуется с фрактальностью нашей Вселенной, ведь фрактал — результат вычисления рекуррентной функции.

Таким образом, мы можем дать определение времени таким образом: время — это процесс вычисления чистой рекурсивной функции расчета развития нашей Вселенной.

Вы можете возразить, что наша Вселенная недетерминирована и при коллапсе волновой функции Шредингера результат выхода кванта из суперпозиции непредсказуем. Но согласно многомировой интерпретации квантовой механики Эверетта в момент коллапса волновой функции наша Вселенная просто разделяется на две параллельных реальности, в одной из которых суперпозиция переходит в одно состояние, а в другой в противоположное.

Также стоит учесть, что это время — не то же самое, что описывается в общей теории относительности Эйнштейна. Это абсолютное время — тики процессора вычисляющего нашу Вселенную.

Матрица и антропный принцип

Но если вся наша Вселенная — это вычислительная машина, то как определить, что мы живем не в Матрице? С одной стороны это недоказуемо и неопровергаемо. С другой стороны, если мы живем в Матрице и крутимся на компе у какого-то программиста из реальной вселенной, то его вселенная тоже будет подчинятся законам математики и тоже может оказаться Матрицей второго уровня, которая существует в реальном мире. Этот ряд можно продолжать до бесконечности и ни в одном уровне Матрицы не будет возможности доказать, существует или нет реальный мир более высокого уровня.

В любом случае, у Макса Тегмарка есть более красивое объяснение математичности нашей Вселенной. Для начала зададимся вопросом: почему мы живем именно в такой математической структуре, а не в какой-то другой? Тегмарк находит ответ на этот вопрос в антропном принципе: все непротиворечивые математические структуры существуют, но лишь в немногих из них может зародится такая тонко настроенная Вселенная, которая позволяет существовать нейронным сетям, способным осознать причинно-следственные связи.

Заключение

У гипотезы математической вычислимой Вселенной существуют интересные последствия: герои книг, фильмов, историй и даже ваш выдуманный друг столь же реальны, как и вы сами, так как точно так же являются математическими структурами, придуманными другой математической структурой внутри громадной математической структуры. Это заставляет задуматься над самим значением слова «реальность».

Для более глубокого ознакомления с данной темой я рекомендую книгу Макса Тегмарка «Наша математическая Вселенная» и статью в википедии про цифровую физику.

Источник