Что такое математическая физика
Математическая физика
Математи́ческая фи́зика — теория математических моделей физических явлений. Она относится к математическим наукам; критерий истины в ней — математическое доказательство. Однако, в отличие от чисто математических наук, в математической физике исследуются физические задачи на математическом уровне, а результаты представляются в виде теорем, графиков, таблиц и т. д. и получают физическую интерпретацию. При таком широком понимании математической физики к ней следует относить и такие разделы механики, как теоретическая механика, гидродинамика и теория упругости. Редакционная коллегия журнала Journal of Mathematical Physics определяет математическую физику как «применение математики к физическим задачам и разработка математических методов, подходящих для таких приложений и для формулировок физических теорий». [1]
Близким понятием является теоретическая физика, которая разрабатывает новые математические модели для явлений, удовлетворительных моделей которых пока не построено, и иногда жертвует математической строгостью методов и моделей, в то время как математическая физика обычно формулирует и глубоко исследует уже построенные модели на математическом уровне строгости.
Содержание
История развития
Классическая математическая физика
Первоначально математическая физика сводилась к краевым задачам для дифференциальных уравнений. Это направление составляет предмет классической математической физики, которая сохраняет важное значение и в настоящее время.
Классическая математическая физика развивалась со времён Ньютона параллельно с развитием физики и математики. В конце XVII века было открыто дифференциальное и интегральное исчисление (И. Ньютон, Г. Лейбниц) и сформулированы основные законы классической механики и закон всемирного тяготения (И. Ньютон). В XVIII веке методы математической физики начали формироваться при изучении колебаний струн, стержней, маятников, а также задач, связанных с акустикой и гидродинамикой; закладываются основы аналитической механики (Ж. Даламбер, Л. Эйлер, Д. Бернулли, Ж. Лагранж, К. Гаусс, П. Лаплас). В XIX веке методы математической физики получили новое развитие в связи с задачами теплопроводности, диффузии, теории упругости, оптики, электродинамики, нелинейными волновыми процессами и т. д.; создаются теория потенциала, теория устойчивости движения (Ж. Фурье, С. Пуассон, Л. Больцман, О. Коши, М. В. Остроградский, П. Дирихле, Дж. К. Максвелл, Б. Риман, С. В. Ковалевская, Д. Стокс, Г. Р. Кирхгоф, А. Пуанкаре, А. М. Ляпунов, В. А. Стеклов, Д. Гильберт, Ж. Адамар, А. Н. Тихонов — некоторые из указанных здесь ученых творили и в XX веке или на рубеже XX и XIX веков). В XX веке возникают новые задачи газовой динамики, теории переноса частиц и физики плазмы.
Современная математическая физика
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
— теория математических моделей физических явлений; занимает особое положение и в математике, и в физике, находясь на стыке этих наук.
М. ф. тесно связана с физикой в той части, к-рая касается построения математич. модели, и в то же время М. ф.- раздел математики, поскольку методы исследования моделей являются математическими. В понятие методов М. ф. включаются то математич. методы, к-рые применяются для построения и изучения математич. моделей, описывающих большие классы физических явлений.
Начиная со 2-й пол. 19 в. методы М. ф. успешно применялись для изучения математич. моделей физич. явлений, связанных с различными физич. полями и волновыми процессами в электродинамике, акустике, теории упругости, гидро- и аэродинамике и ряде других направлений исследования физич. явлений в сплошных средах. Математич. модели этого класса явлений наиболее часто описываются при помощи дифференциальных уравнений с частными производными, получивших название математической физики уравнений.
Помимо дифференциальных уравнений М. ф., при описании математич. моделей физики применение находят интегральные уравнения и интегро-дифференциальные уравнения, вариационные и теоретико-вероятностные методы, теория потенциала, методы теории функций комплексного переменного и ряд других разделов математики. В связи с бурным развитием вычислительной математики особое значение для исследования математич. моделей физики приобретают прямые численные методы, использующие ЭВМ (конечноразностные методы и др. вычислительные алгоритмы краевых задач), что позволило методами М. ф. эффективно решать новые задачи газовой динамики, теории переноса, физики плазмы, в том числе и обратные задачи этих важнейших направлений физич. исследований.
Теоретич. исследования в области квантовой физики и теории относительности, широкое использование ЭВМ в различных областях М. ф., включая и обратные (некорректно поставленные) задачи, потребовали значительного расширения используемого М. ф. арсенала математич. методов. Наряду с традиционными разделами математики стали широко применяться теория операторов, теория обобщенных функций, теория функций многих комплексных переменных, тоиологич. и алгебраич. методы. Это интенсивное взаимодействие теоретич. физики, математики и использования ЭВМ в научных исследованиях привело к значительному расширению тематики, созданию новых классов моделей и подняло на новый уровень современную М. ф. Все это внесло большой вклад в развитие научно-технич. прогресса.
Постановка задач М. ф. заключается в построении математич. моделей, описывающих основные закономерности изучаемого класса физич. явлений. Такая постановка состоит в выводе уравнений (дифференциальных, интегральных, интегро-дифференциальных или алгебраических), к-рым удовлетворяют величины, характеризующие физич. процесс. При этом исходят из основных физич. законов, учитывающих только наиболее существенные черты явления, отвлекаясь от ряда его второстепенных характеристик. Такими законами являются обычно законы сохранения, напр., количества движения, энергии, числа частиц и т. д. Это приводит к тому, что для описания процессов различной физич. природы, но имеющих общие характерные черты, оказываются применимыми одни и те же математич. модели. Напр., математич. задачи для простейшего уравнения гиперболич. типа
полученного первоначально Ж. Д’Аламбером (J.D’Alembert, 1747) для описания свободных колебаний однородной струны, оказываются применимыми и для описания широкого круга волновых процессов акустики, гидродинамики, электродинамики и других областей физики. Аналогично, уравнение
краевые задачи для к-рого первоначально изучались П. Лапласом (P. Laplace, кон. 18 в.) в связи с построением теории тяготения, в дальнейшем нашло применение при решении многих проблем электростатики, теории упругости, задач установившегося движения идеальной жидкости и т. д. Каждой математич. модели физики соответствует целый класс физич. процессов. Для М. ф. характерно также то, что многие общие методы, используемые для решения задач М. ф., развились из частных способов решения конкретных физич. задач и в своем первоначальном виде не имели строгого математич. обоснования и достаточной завершенности. Это относится к таким известным методам решения задач М. ф., как методы Ритца и Галеркина, к методам: теории возмущений, преобразований Фурье и многим другим, включая метод разделения переменных. Эффективное применение всех этих методов для решения конкретных задач является одной из причин для их строгого математич. обоснования и обобщения, приводящего в ряде случаев к возникновению новых математич. направлений.
Воздействие М. ф. на различные разделы математики проявляется в том, что развитие М. ф., отражающее требования естественных наук и запросы практики, влечет за собой переориентацию направленности исследований в нек-рых уже сложившихся разделах математики. Постановка задач М. ф., связанная с разработкой математич. моделей реальных физич. явлений, привела к изменению основной проблематики теории дифференциальных уравнений с частными производными. Возникла теория краевых задач, позволившая впоследствии связать дифференциальные уравнения с частными производными с интегральными уравнениями и вариационными методами.
Изучение математич. моделей физики математич. методами не только позволяет получить количественные характеристики физич. явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реальных процессов, но и дает возможность глубокого проникновения в самую суть физич. явлений, выявления скрытых закономерностей, предсказания новых эффектов. Стремление к более детальному изучению физич. явлений приводит к все большему усложнению описывающих эти явления математич. моделей, что в свою очередь делает невозможным применение аналитич. методов исследования этих моделей. Это объясняется, в частности, тем, что математич. модели реальных физич. процессов являются, как правило, нелинейными, т. е. описываются нелинейными уравнениями М. ф. Для детального исследования таких моделей успешно применяются прямые численные методы с использованием ЭВМ. Для типичных задач М. ф. применение численных методов сводится к замене уравнений М. ф. для функций непрерывного аргумента алгебраич. уравнениями для сеточных функций, заданных на дискретном множестве точек (на сетке). Иными словами, вместо непрерывной модели среды вводится ее дискретный аналог. Применение численных методов в ряде случаев позволяет заменить сложный, трудоемкий и дорогостоящий физич. эксперимент значительно более экономичным математическим (численным) экспериментом. Достаточно полно проведенный математич. эксперимент является основой для выбора оптимальных условий реального физич. эксперимента, выбора параметров сложных физич. установок, определения условий проявления новых физич. эффектов и т. д. Таким образом, численные методы необычайно расширяют область эффективного использования математич. моделей физич. явлений.
Математич. модель физич. явления, как всякая модель, не может передать всех черт явления. Установить адекватность принятой модели исследуемому явлению можно только при помощи критерия практики, сопоставляя результаты теоретич. исследований принятой модели с данными экспериментов.
Во многих случаях об адекватности принятой модели можно судить на основании решения обратных задач М. ф., когда о свойствах изучаемых явлений природы, недоступных для непосредственного наблюдения, делаются заключения по результатам их косвенных физич. проявлении.
Для М. ф. характерно стремление строить такие математич. модели, к-рые не только дают описание и объяснение уже установленных физич. закономерностей изучаемого круга явлений, но и позволяют предсказать еще не открытые закономерности. Классич. примером такой модели является теория всемирного тяготения Ньютона, позволившая не только объяснить движение известных к моменту ее создания тел Солнечной системы, но и предсказать существование новых планет. С другой стороны, появляющиеся новые экспериментальные данные не всегда могут быть объяснены в рамках принятой модели. Для их объяснения требуется усложнение модели.
Лит.:[1] Т и х о н о в А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1972; [2] В л а д и м и р о в В. С., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1981; [3] Соболев С. Л., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1966; [4] К у р а н т Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964; [5] М о р с Ф. М., Ф е ш б а х Г., Методы теоретической физики, пер. с англ., т. 1, М., 1958. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, А. Г. Свешников.
Математическая физика
Полезное
Смотреть что такое «Математическая физика» в других словарях:
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА — МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА, теория математических моделей физических явлений. Иногда под названием математическая физика понимают математические методы исследования и решения задач, связанных со встречающимися в физике уравнениями … Современная энциклопедия
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА — занимается разработкой проблем, находящихся на стыке математики и физики. Иногда под названием математическая физика понимают математические методы исследования и решения задач, связанных со встречающимися в физике дифференциальными уравнениями … Большой Энциклопедический словарь
Математическая физика — МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА, теория математических моделей физических явлений. Иногда под названием “математическая физика” понимают математические методы исследования и решения задач, связанных со встречающимися в физике уравнениями. … Иллюстрированный энциклопедический словарь
Математическая физика — Математическая физика теория математических моделей физических явлений. Она относится к математическим наукам; критерий истины в ней математическое доказательство. Однако, в отличие от чисто математических наук, в математической… … Википедия
математическая физика — занимается разработкой проблем, находящихся на стыке математики и физики. Иногда под названием «математическая физика» понимают математические методы исследования и решения задач, связанных со встречающимися в физике дифференциальными уравнениями … Энциклопедический словарь
математическая физика — matematinė fizika statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. mathematical physics vok. mathematische Physik, f rus. математическая физика, f pranc. physique mathématique, f … Fizikos terminų žodynas
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА — теория математических моделей физических явлений; занимает особое положение и в математике, и в физике, находясь на стыке этих наук. М. ф. тесно связана с физикой в той части, к рая касается построения математич. модели, и в то же время М. ф.… … Математическая энциклопедия
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА — занимается разработкой проблем, находящихся на стыке математики и физики. Иногда под назв. М. ф. понимают матем. методы иссл. и решения задач, связанных со встречающимися в физике дифференциальными ур ниями … Естествознание. Энциклопедический словарь
Вычислительная математика и математическая физика — «Вычислительная математика и математическая физика» периодический научный журнал, издаваемый Российской академией наук. Выходит 12 номеров в год. Публикуются обзоры и оригинальные исследования в области вычислительной математики, численных… … Википедия
Теоретическая и математическая физика — («Теоретическая и математическая физика»,) научный журнал Секции физико технических и математических наук Президиума АН СССР. Публикует оригинальные статьи физического и математического содержания по фундаментальным проблемам строения… … Большая советская энциклопедия
Математическая физика
Теория математических моделей (См. Ритца и Галёркина методы) физических явлений; занимает особое положение и в математике, и в физике, находясь на стыке этих наук.
М. ф. тесно связана с физикой в той части, которая касается построения математической модели, и в то же время — раздел математики, поскольку методы исследования моделей являются математическими. В понятие методов М. ф. включаются те математические методы, которые применяются для построения и изучения математических моделей, описывающих большие классы физических явлений.
Методы М. ф. как теории математических моделей физики начали интенсивно разрабатываться в трудах И. Ньютона по созданию основ классической механики, всемирного тяготения, теории света. Дальнейшее развитие методов М. ф. и их успешное применение к изучению математических моделей огромного круга различных физических явлений связаны с именами Ж. Лагранжа, Л. Эйлера, П. Лапласа, Ж. Фурье, К. Гаусса, Б. Римана, М. В. Остроградского (См. Остроградский) и многих других учёных. Большой вклад в развитие методов М. ф. внесли А. М. Ляпунов и В. А. Стеклов. Начиная со 2-й половины 19 века методы М. ф. успешно применялись для изучения математических моделей физических явлений, связанных с различными физическими полями и волновыми функциями в электродинамике, акустике, теории упругости, гидро- и аэродинамике и ряде других направлений исследования физических явлений в сплошных средах. Математические модели этого класса явлений наиболее часто описываются при помощи дифференциальных уравнений с частными производными, получивших название уравнений математической физики (См. Уравнения математической физики). Помимо дифференциальных уравнений М. ф., при описании математических моделей физики применение находят интегральные уравнения и интегро-дифференциальные уравнения, вариационные и теоретико-вероятностные методы, теория потенциала, методы теории функций комплексного переменного и ряд других разделов математики. В связи с бурным развитием вычислительной математики (См. Вычислительная математика) особое значение для исследования математических моделей физики приобретают прямые численные методы, использующие ЭВМ, и в первую очередь конечно-разностные методы решения краевых задач. Теоретические исследования в области квантовой электродинамики, аксиоматической теории поля и ряде других направлений современной физики привели к созданию нового класса математических моделей, составивших важную отрасль М. ф. (например, теория обобщённых функций, теория операторов с непрерывным спектром).
Постановка задач М. ф. заключается в построении математических моделей, описывающих основные закономерности изучаемого класса физических явлений. Такая постановка состоит в выводе уравнений (дифференциальных, интегральных, интегро-дифференциальных или алгебраических), которым удовлетворяют величины, характеризующие физический процесс. При этом исходят из основных физических законов, учитывающих только наиболее существенные черты явления, отвлекаясь от ряда его второстепенных характеристик. Такими законами являются обычно законы сохранения, например, количества движения, энергии, числа частиц и т. д. Это приводит к тому, что для описания процессов различной физической природы, но имеющих общие характерные черты, оказываются применимыми одни и те же математические модели. Например, математические задачи для простейшего уравнения гиперболического типа
,
полученного первоначально (Ж. Д’Аламбер (См. Д’Аламбер), 1747) для описания свободных колебаний однородной струны, оказываются применимыми и для описания широкого круга волновых процессов акустики, гидродинамики, электродинамики и других областей физики. Аналогично, уравнение
краевые задачи для которого первоначально изучались П. Лапласом (конец 18 века) в связи с построением теории тяготения (см. Лапласа уравнение), в дальнейшем нашло применение при решении многих проблем электростатики, теории упругости, задач установившегося движения идеальной жидкости и т. д. Каждой математической модели физики соответствует целый класс физических процессов.
Для М. ф. характерно также то, что многие общие методы, используемые для решения задач М. ф., развились из частных способов решения конкретных физических задач и в своём первоначальном виде не имели строгого математического обоснования и достаточной завершённости. Это относится к таким известным методам решения задач М. ф., как Ритца и Галёркина методы, к методам теории возмущении, преобразований Фурье и многим другим, включая метод разделения переменных. Эффективное применение всех этих методов для решения конкретных задач является одной из причин для их строгого математического обоснования и обобщения, приводящего в ряде случаев к возникновению новых математических направлений.
Воздействие М. ф. на различные разделы математики проявляется и в том, что развитие М. ф., отражающее требования естественных наук и запросы практики, влечёт за собой переориентацию направленности исследований в некоторых уже сложившихся разделах математики. Постановка задач М. ф., связанная с разработкой математических моделей реальных физических явлений, привела к изменению основной проблематики теории дифференциальных уравнений с частными производными. Возникла теория краевых задач (См. Краевые задачи), позволившая впоследствии связать дифференциальные уравнения с частными производными с интегральными уравнениями и вариационными методами.
Изучение математических моделей физики математическими методами не только позволяет получить количественные характеристики физических явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реальных процессов, но и даёт возможность глубокого проникновения в самую суть физических явлений, выявления скрытых закономерностей, предсказания новых эффектов. Стремление к более детальному изучению физических явлений приводит к всё большему усложнению описывающих эти явления математических моделей, что, в свою очередь, делает невозможным применение аналитических методов исследования этих моделей. Это объясняется, в частности, тем, что математические модели реальных физических процессов являются, как правило, нелинейными, то есть описываются нелинейными уравнениями М. ф. Для детального исследования таких моделей успешно применяются прямые численные методы с использованием ЭВМ. Для типичных задач М. ф. применение численных методов сводится к замене уравнениями М. ф. для функций непрерывного аргумента алгебраическими уравнениями для сеточных функций, заданных на дискретном множестве точек (на сетке). Иными словами, вместо непрерывной модели среды вводится её дискретный аналог. Применение численных методов в ряде случаев позволяет заменить сложный, трудоёмкий и дорогостоящий физический эксперимент значительно более экономичным математическим (численным) экспериментом. Достаточно полно проведённый математический численный эксперимент является основой для выбора оптимальных условий реального физического эксперимента, выбора параметров сложных физических установок, определения условий проявления новых физических эффектов и т. д. Таким образом численные методы необычайно расширяют область эффективного использования математических моделей физических явлений.
Математическая модель физического явления, как всякая модель, не может передать всех черт явления. Установить адекватность принятой модели исследуемому явлению можно только при помощи критерия практики, сопоставляя результаты теоретических исследований принятой модели с данными экспериментов.
Во многих случаях об адекватности принятой модели можно судить на основании решения обратных задач М. ф., когда о свойствах изучаемых явлений природы, недоступных для непосредственного наблюдения, делаются заключения по результатам их косвенных физических проявлений.
Для М. ф. характерно стремление строить такие математические модели, которые не только дают описание и объяснение уже установленных физических закономерностей изучаемого круга явлений, но и позволяют предсказать ещё не открытые закономерности. Классическим примером такой модели является теория всемирного тяготения Ньютона, позволившая не только объяснить движение известных к моменту её создания тел Солнечной системы, но и предсказывать существование новых планет. С другой стороны, появляющиеся новые экспериментальные данные не всегда могут быть объяснены в рамках принятой модели. Для их объяснения требуется усложнение модели.
Лит.: Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1972; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971; Соболев С. А., Уравнения математической физики, М., 1966; Курант Р., Уравнения с частными производными, перевод с английского, М., 1964; Морс Ф. М., Фешбах Г., Методы теоретической физики, перевод с английского, т. 1—2, М., 1958.
А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, А. Г. Свешников.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА, теория математических моделей физич. явлений; занимает особое положение и в математике, и в физике, находясь на стыке этих наук.
Постановка задач М ф. заключается в построении математич. моделей, описывающих основные закономерности изучаемого класса физич. явлений. Такая постановка состоит в выводе ур-ний (дифференциальных, интегральных, ин-тегро-дифференциальных или алгебраических), к-рым удовлетворяют величины, характеризующие физич. процесс. При этом исходят из основных физич. законов, учитывающих только наиболее существенные черты явления, отвлекаясь от ряда его второстепенных характеристик. Такими законами являются обычно законы сохранения, напр., количества движения, энергии, числа частиц и т. д. Это приводит к тому, что для описания процессов различной физич. природы, но имеющих общие характерные черты, оказываются применимыми одни и те же математич. модели. Напр., математич. задачи для простейшего ур-ния гиперболического типа
полученного первоначально (Ж. Д‘Аламбер, 1747) для описания свободных колебаний однородной струны, оказываются применимыми и для описания широкого круга волновых процессов акустики, гидродинамики, электродинамики и др. областей физики. Аналогично, уравнение
краевые задачи для к-рого первоначально изучались П. Лапласом (кон. 18 в.) в связи с построением теории тяготения (см. Лапласа уравнение), в дальнейшем нашло применение при решении многих проблем электростатики, теории упругости, задач установившегося движения идеальной жидкости и т. д. Каждой математич. модели физики соответствует целый класс физич. процессов.
Для М. ф. характерно также то, что многие общие методы, используемые для решения задач М. ф., развились из частных способов решения конкретных физич. задач и в своём первоначальном виде не имели строгого математич. обоснования и достаточной завершённости. Это относится к таким известным методам решения задач М. ф., как Ритца и Галёркина методы, к методам теории возмущений, преобразований Фурье и мн. др., включая метод разделения переменных. Эффективное применение всех этих методов для решения конкретных задач является одной из причин для их строгого математич. обоснования и обобщения, приводящего в ряде случаев к возникновению новых математич. направлений.
Воздействие М. ф. на различные разделы математики проявляется и в том, что развитие М. ф., отражающее требования естественных наук и запросы практики, влечёт за собой переориентацию направленности исследований в нек-рых уже сложившихся разделах математики. Постановка задач М. ф., связанная с разработкой математич. моделей реальных физич. явлений, привела к изменению основной проблематики теории дифференц. ур-ний с частными производными. Возникла теория краевых задач, позволившая впоследствии связать дифференц. ур-ния с частными производными с интегральными ур-ниями и вариационными методами.
Изучение математич. моделей физики математич. методами не только позволяет получить количеств, характеристики физич. явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реальных процессов, но и даёт возможность глубокого проникновения в самую суть физич. явлений, выявления скрытых закономерностей, предсказания новых эффектов. Стремление к более детальному изучению физич. явлений приводит к всё большему усложнению описывающих эти явления математич. моделей, что, в свою очередь, делает невозможным применение аналитич. методов исследования этих моделей. Это объясняется, в частности, тем, что математич. модели реальных физич. процессов являются, как правило, нелинейными, т. е. описываются нелинейными ур-ниями М. ф. Для детального исследования таких моделей успешно применяются прямые численные методы с использованием ЭВМ. Для типичных задач М. ф. применение численных методов сводится к замене ур-ний М. ф. для функций непрерывного аргумента алгебраич. ур-ниями для сеточных функций, заданных на дискретном множестве точек (на сетке). Иными словами, вместо непрерывной модели среды вводится её дискретный аналог. Применение численных методов в ряде случаев позволяет заменить сложный, трудоёмкий и дорогостоящий физич. эксперимент значительно более экономичным математич. (численным) экспериментом. Достаточно полно проведённый математич. численный эксперимент является основой для выбора оптимальных условий реального физич. эксперимента, выбора параметров сложных физич. установок, определения условий проявления новых физич. эффектов и т. д. Таким образом численные методы необычайно расширяют область эффективного использования математич. моделей физич. явлений.
Математич. модель физич. явления, как всякая модель, не может передать всех черт явления. Установить адекватность принятой модели исследуемому явлению можно только при помощи критерия практики, сопоставляя результаты теоретич. исследований принятой модели с данными экспериментов.
Во многих случаях об адекватности принятой модели можно судить на основании решения обратных задач М. ф., когда о свойствах изучаемых явлений природы, недоступных для непосредственного наблюдения, делаются заключения по результатам их косвенных физич. проявлений.
Для М. ф. характерно стремление строить такие математич. модели, к-рые не только дают описание и объяснение уже установленных физич. закономерностей изучаемого круга явлений, но и позволяют предсказать ещё не открытые закономерности. Классич. примером такой модели является теория всемирного тяготения Ньютона, позволившая не только объяснить движение известных к моменту её создания тел Солнечной системы, но и предсказывать существование новых планет. С другой стороны, появляющиеся новые экспериментальные данные не всегда могут быть объяснены в рамках принятой модели. Для их объяснения требуется усложнение модели.
Лит.: Тихонов А. Н., Самарский А. А., (Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1972; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971; Соболев С. А., Уравнения математической физики, М., 1966; К у Р а н т Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964; Морс Ф. М., Ф е ш б а х Г., Методы теоретической физики, пер. с англ., т. 1-2, М., 1958. А,Н.Тихонов, А.А.Самарский, А.Г.Свешников.