Что такое логические действия

Что такое логические действия

Тема 3. Основы математической логики 1. Логические выражения и логические операции.
2. Построение таблиц истинности и логических функций.
3. Законы логики и преобразование логических выражений.
Лабораторная работа № 3. Основы математической логики.

1. Логические выражения и логические операции

Исследования в алгебре логики тесно связаны с изучением высказываний (хотя высказывание — предмет изучения формальной логики). Высказывание — это языковое образование, в отношении которого имеет смысл говорить о его истинности или ложности (Аристотель).

Простым высказыванием называют повествовательное предложение, относительно которого имеет смысл говорить, истинно оно или ложно.

Считается, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.

Высказывания 1 и 3 являются истинными. Высказывание 2 – ложным , потому что число 27 составное 27=3*3*3.

Итак, отличительным признаком высказывания является свойство быть истинным или ложным, последние четыре предложения этим свойством не обладают.

С помощью высказываний устанавливаются свойства, взаимосвязи между объектами. Высказывание истинно, если оно адекватно отображает эту связь, в противном случае оно ложно.

Однако определение истинности высказывания далеко не простой вопрос. Например, высказывание «Число 1 +22 = 4294 967297 — простое», принадлежащее Ферма (1601-1665), долгое время считалось истинным, пока в 1732 году Эйлер (1707-1783) не доказал, что оно ложно. В целом, обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне алгебры логики. Например, истинность или ложность высказывания «Сумма углов треугольника равна 180°» устанавливается геометрией, причем в геометрии Евклида это высказывание является истинным, а в геометрии Лобачевского — ложным.

В булевой алгебре простым высказываниям ставятся в соответствие логические переменные, значение которых равно 1, если высказывание истинно, и 0, если высказывание ложно. Обозначаются логические переменные, большими буквами латинского алфавита.

Существуют разные варианты обозначения истинности и ложности логических переменных:

Сложные (составные) высказывания представляют собой набор простых высказываний (по крайней мере двух) связанных логическими операциями.

С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой (логическим выражением).

Связки «НЕ», «И», «ИЛИ» заменяются логическими операциями инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Это основные логические операции, при помощи которых можно записать любое логическое выражение.

Введем перечисленные логические операции.

В алгебре множеств конъюнкции соответствует операция пересечения множеств, т.е. множеству получившемуся в результате умножения множеств А и В соответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно двум множествам.

Источник

Что такое логические действия

2) Логическое сложение или дизъюнкция:

Таблица истинности для дизъюнкции

3) Логическое отрицание или инверсия:

Таблица истинности для инверсии

4) Логическое следование или импликация:

«A → B» истинно, если из А может следовать B.

Обозначение: F = A → B.

Таблица истинности для импликации

5) Логическая равнозначность или эквивалентность:

Источник

Основные логические операции

Логические операции в создании компьютерных программ — действия, которые производятся над входными данными. Такие функции производятся над сигналами булевского типа, то есть над примитивными выражениями, имеющими только два возможных значения: истина или ложь.

Виды операций

В программировании выделяют следующие виды функций:

Логическое умножение (конъюнкция)

Конъюнкция — это действие, в результате которого каждым двум входным данным соответствует одно новое высказывание. Истинное значение на выходе получается, когда оба входных значения истинны.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Таблица истинности для логического умножения выглядит так:

A, B — исходные данные;

A и B — значение, приобретаемое в результате реализации конъюнкции.

Из таблицы следуют свойства логического умножения:

Логическое сложение (дизъюнкция)

Дизъюнкция — это булева функция, в итоге которой выходные данные будут ложными только при ложности всех исходных выражений.

Таблица истинности логического сложения:

A, B — входная информация;

A или B — значение, приобретаемое в результате выполнения дизъюнкции.

Для дизъюнкции справедливы следующие утверждения:

Логическое отрицание (инверсия)

Инверсия — выражение, ставящее в соответствие одному значению противоположное.

Условное обозначение логического отрицания: с помощью частицы «не», символов ¯, \(\neg.\)

Таблица истинности инверсии:

A — исходные данные;

не A — значение, приобретаемое в результате логического отрицания.

Логическое следование (импликация)

Импликация — это булева операция, ложная лишь тогда, когда первая исходная переменная является истиной, а вторая — ложью.

Следование записывается с помощью знака \(\rightarrow.\)

Таблица истинности для импликации:

A — входная информация, означающая условие;

B — входная информация, означающая следствие;

A → B — значение, приобретаемое в результате импликации.

По своему употреблению данная связка схожа со значением союзов «если. то. ».

Логическая равнозначность (эквивалентность)

Эквивалентность — выражение, являющееся истинным лишь в случае равенства двух входных элементов.

Таблица истинности для равнозначности:

Стрелка Пирса

Стрелка Пирса — двухместное логическое действие со следующей последовательностью: сначала над исходными показаниями производится дизъюнкция, затем происходит отрицание полученного результата.

Данная манипуляция является отрицание логического сложения. Свое название рассматриваемая функция получила от своего автора — американского ученого Чарльза Пирса.

Таблица истинности для этой операции следующая:

Особенность стрелки Пирса заключается в ее возможности строить другие булевы функции.

Пример

Штрих Шеффера

Штрих Шеффера — это действие, приводящее к ложному итогу лишь при истинности обоих исходных данных. По порядку выполнения операций эта функция эквивалентна отрицанию конъюнкции.

Символ Шеффера назван по фамилии своего создателя — американского логика Генри Шеффера — и обозначается посредством знака \(\vert.\)

Таблица истинности для данной функции:

С помощью штриха Шеффера можно воспроизвести другие логические манипуляции.

Пример

Порядок выполнения операций

В составном логическом выражении действия выполняются в такой последовательности:

Для построения нужного порядка, как и в математических выражениях, используют скобки.

Источник

Логические операции и их свойства

Вы будете перенаправлены на Автор24

Конъюнкция или логическое умножение (в теории множеств – это пересечение)

Конъюнкция является сложным логическим выражением, которое истинно в том и только том случае, когда оба простых выражения являются истинными. Такая ситуация возможно лишь в единственном случае, во всех остальных случаях конъюнкция ложна.

Таблица истинности для конъюнкции

Дизъюнкция или логическое сложение (в теории множеств это объединение)

Дизъюнкция является сложным логическим выражением, которое истинно практически всегда, за исключением, когда все выражения ложны.

Таблица истинности для дизъюнкции

Готовые работы на аналогичную тему

Отрицание, логическое отрицание или инверсия (в теории множеств это отрицание)

Таблица истинности для инверсии

Импликация или логическое следование

Таблица истинности для импликации

Эквивалентность или логическая равнозначность

Таблица истинности для эквивалентности

Строгая дизъюнкция или сложение по модулю 2 ( в теории множеств это объединение двух множеств без их пересечения)

Строгая дизъюнкция истинна, если значения аргументов не равны.

Таблица истинности для операции сложения по модулю два

Свойства строгой дизъюнкции:

Стрелка Пирса

Таблица истинности для стрелки Пирса

Стрелка Пирса, как и конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, образует базис для булевых функций двух переменных. При помощи стрелки Пирса, можно построить все остальные логические операции, например:

$X \downarrow X = ¬X$— отрицание

$(X \downarrow Y) \downarrow (X \downarrow Y) \equiv X \vee Y$ — дизъюнкция

$(X \downarrow X) \downarrow (Y \downarrow Y) \equiv X \wedge Y$ — конъюнкция

$((X \downarrow X) \downarrow Y) \downarrow ((X \downarrow X) \downarrow Y) = X \to Y$ — импликация

В электронике стрелка Пирса представлена в виде элемента, который носит название «операция 2ИЛИ-НЕ» (2-in NОR).

Штрих Шеффера

Булева функция двух переменных или бинарная логическая операция. Введена в рассмотрение Генри Шеффером в 1913 г.

Таблицей истинности для функции штрих Шеффера

Штрих Шеффера образует базис для всех булевых функций двух переменных. Применяя штрих Шеффера можно построить остальные операции, например,

$X \mid X = ¬X$ — отрицание

$(X \mid Y) \mid (X \mid Y) = (X \wedge Y)$ — конъюнкция

$(X \mid X) \mid (Y \mid Y) = X \vee Y$ — дизъюнкция

Для электроники это означает, что реализация схем возможна с использованием одного типового элемента (правда это дорогостоящий элемент).

Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении

Для того чтобы изменить указанный порядок выполнения логических операций, необходимо использовать скобки.

Общие свойства

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата написания статьи: 24 03 2016

Источник

Логические операции. ➞ Что такое конъюнкция, дизъюнкция, импликация

Тот, кто хочет подробно разбираться в цифровых технологиях должен понимать основы такой темы, как алгебра логики. В этой статье будут разобраны основные определения, а также показаны самые важные логические операции, такие как конъюнкция, дизъюнкция, импликация и т.д.

Основные положения

Для начала следует разобраться, для чего нужна алгебра логики – главным образом, этот раздел математики и информатики, нужен для работы с логическими выражениями и высказываниями.

Логическим высказыванием называется утверждение (или запись), которое мы можем однозначно классифицировать, как истинное или ложное (1 или 0 в информатике).

Примером таким высказываний будут являться:

Логические высказывания делятся на два типа — простые и сложные.

В алгебре логики, как простые, так и сложные высказываниями описываются булевыми выражениями.

Булево выражение – это символическое (знаковое) описание высказывания.

Операции

Ниже рассмотрим основные операции, которые применяются в булевой алгебре. Их хватит, чтобы упростить львиную долю всех выражений, которые Вам встретятся.

Конъюнкция

Конъюнкция (булево умножение) — функция, по своему смыслу приближенная к союзу «И». При выполнении конъюнкции результат истинен (равен 1) тогда и только тогда, когда истинны ВСЕ переменные. Если хотя бы одно из высказываний ложно, то ложно и всё выражение (равно 0).

Функция может работать как с двумя операндами (высказываниями), так и с тремя, четырьмя и т.д. В математике обозначается с помощью знаков ​\( \wedge \) и &. Обозначение в языках программирования AND, &&. Таблица истинности для двух операндов:

Дизъюнкция

Дизъюнкцией называется функция булева сложения. По смыслу дизъюнкция приближена к союзу «ИЛИ». В результате выполнения данной функции результирующие выражение является истинным, когда хотя бы одно из высказываний в этом выражении тоже истинно.

Булево сложение, также как и умножение, может работать с произвольным количеством операндов. В математике обозначается как V, а в программировании с помощью OR или I.

Инверсия

Логическое отрицание – функция, работающая с одним высказыванием, и заменяющая истину на ложь, а ложь на истину. В математике обозначается с помощью черты над значением, а в программирование и информатике с помощью слова NOT.

Импликация

Также называется булевым следованием. В русском языке данной функции соответствует оборот «Если …, то …». Например, если на улице гремит гром, то стоит пасмурная погода.

Эквивалентность

Булева тождественность или равенство. На простом языке будет обозначено как «… эквивалентно (равно) …». Результат будет истинным тогда, когда все значения в выражении будут иметь одинаковую истинность.

Обозначается с помощью трех черточек или ⟺.

Порядок выполнения операций

Логические операции выполняются в следующем порядке:

Если в формуле указаны скобки, то порядок выполнения действий в скобках точно такой же, как написано выше.

Пример

Дано два отрезка B = [2,10], C = [6,14]. Из предложенных вариантов ответа выберите такой отрезок A, что формула \( ((z \in A) \Longrightarrow (z \in B)) \vee (z \in C) \) истинна при любом значении z. Варианты ответа:

Решение: Подставим в уравнение \( ((z \in A) \Longrightarrow (z \in B)) \vee (z \in C) \) =1 значения B и C и составим таблицу истинности:

Получившаяся формула \( ((z \in A) \Longrightarrow (z \in [2,10])) \vee (z \in [6,14])=1 \). По условию ​​​\( z \in A \)=1.

Таблица истинности для всех отрезков:

Ответ: A = [3,11].

Видео

Заключение

Вот Вы и познакомились с основными логическими операциями и понятиями и знаете, что такое булево сложение и умножение. Если вас заинтересовала данная тема, то можете изучить булевы законы. Эти законы не проходятся в рамках школьной программы и служат для упрощения сложных выражений.

Источник