Что такое линейная шкала
Интерполяция + (линейная | логарифмическая) шкала + С++
В этой статье я распишу теорию (а также базовые виртуальные классы), в следующей возьмусь за конкретные реализации средствами Qt.
Осторожно: в тексте много графики!
Откуда растут ноги у задачи
В общем, надо мне сделать регулятор холостого хода — такая штука для автомобиля, которая при холостом ходе в зависимости от температуры двигателя должна поддерживать определенные обороты. Поддерживает она их, регулируя заслонку шаговым двигателем.
В общем, мне надо знать текущую температуру. Было решено измерять ее штатными средствами — с терморезистора. Измеряем падение напряжения на нем — получаем сопротивление. Далее из таблицы (поскольку это микроконтроллер) получаем требуемые обороты.
Таблицу эту надо задать (для этого программа пишется средствами Qt). У меня есть несколько точек «сопротивление => температура». Мне надо для каждого кода АЦП (для ряда значений сорпотивлений) получить соответствующую температуру. Поскольку у разных автомобилей эти значения могут быть разными, то надо на экране, сверившись с таблицей, задать несколько точек на кривой.
По ходу дела оказалось, что график этот будет явно в логарифмическом масштабе. Значит, надо его вывести на экран. Как это сделать — читаем дальше.
Постановка задачи
Давайте немного подробнее опишем что нам надо:
Вот такое ТЗ… Ну да ничего, я справился! Давайте и вам помогу.
Да, пока не нырнули — спасибо Equation Editor-у от CodeCogs! С их помощью я лихо построил все математические формулы без всяких Microsoft Equation Editor, которые потом надо еще экспортировать в графику со вставкой сюда. Кстати, там есть и русский редактор. В общем, рекомендую!
Ну и если вместо формул вы видите пустые квадратики — это тоже «спасибо» Equation Editor-у…
Прикрепленный Excel-файл
По ходу написания статьи я все расчеты строил и проверял в таблице Excel с формулами. Оказалось очень удобно. И я решил его выложить для общественного пользования. Там внизу перечислены страницы по разделам. На каждой странице параметры, которые можно менять, отмечены как ячейки с желтым фоном. Остальные клетки лучше не трогать. Впрочем, все формулы можно смело смотреть. Скачивайте файлик и пробуйте на здоровье! Если проблемы с файлом — пишите, вышлю.
Функциональная зависимость
Итак, у нас есть некоторая зависимость — обозначим ее как 
. Здесь у нас — горизонтальная ось графика, — вертикальная. В моем случае было значение сопротивления, — температура.
Почему не ? Ведь вроде бы должно быть так? Так-то оно так, но только в школе в простейшем случае.
— это координаты точки на плоскости. Для простоты определимся использовать Декартову систему координат: 
задает вертикальное смещение горизонтальной оси относительно нуля, задает горизонтальное смещение вертикальной оси относительно нуля.
Все хорошо тогда, когда мы рисуем на бумаге эту самую систему координат и в ней ставим точки. Там и вправду — выбрали центр, линейкой отложили сюда, потом туда. А вот при построении графика в какой-то программе уже тонкости начинаются — что считать нулем? Что считать за «+», а что за «-«? Я рисую для этой статьи графику в CorelDRAW — там центр считается снизу слева (его можно передвинуть куда надо).
Да и в каких единицах график-то? В сантиметрах? А почему? У меня следующий этап будет реализация на С++ средствами Qt, так там я сделаю окно QWidget, у которого по умолчанию ноль — это слева сверху; единицы измерения — экранные пиксели.
Ну и не забываем о том, что это все эти красивые рассуждения справедливы пока что для линейной шкалы, а у нас маячит за горизонтом логарифмическая. Там вообще черт знает что будет!
Но это только лишь точка. А у нас будет какая-то линия, точнее — много линий. Что там будут за преобразования?
Вот именно поэтому мы с самого начала должны четко разделить функциональную зависимость и преобразования координат.
Итак, давайте договоримся о следующем: у нас есть некоторый абстрактный процесс, который описывается функциональной зависимостью . При отображении на экран используется преобразование в координаты , где , . Следующие шаги — это прояснить эти самые и .
Но отложим пока в сторону координаты — нам надо как-то задать нашу функцию (помните ТЗ)? Причем задать в тех самых абстрактных координатах . Этим и займемся.
Интерполяция
В моем случае был известен ряд точек :
| , Ω | , ˚ |
|---|---|
| 180 | 100 |
| 6 000 | 0 |
| 30 000 | -30 |
Методов интерполяции много, все рассматривать я тут не буду. Лично мне приглянулся вначале интерполяционный многочлен Лагранжа. Он весьма прост в расчете и реализации, а также в настройке. Там предполагается, что задано множество из точек вида (тут мы на время таки вернемся к заданию точек в виде — так уж принято в математике).
Многочлен вычисляется как , где .
Математика испугала? Хм… Ладно, напишу на языке С++:
Как видите, все достаточно тривиально (насколько тривиальными могут быть полиномы).
Еще одно большое достоинство полиномов Лагранжа — их легко можно промоделировать в таблице Excel-я, что я и делал.
Потом, правда, все стало немного печально, т. к. у этих полиномов, как и у любых других, на графике видны вибрации. Т. е. они не могут дать прямые линии — постоянные значения. В моем случае я не смог их настроить дОлжным образом — они выгибались в явно недопустимые числа. Поэтому мне пришлось от них отказаться…
Работая в Corel, я был близко знаком с кривыми Безье — тоже достаточно удобное и простое представление табличных данных. Весьма легко реализуется в программировании. Однако это уже не интерполяция, а, скорее, аппроксимация, т. к. тут приходится подгонять кривую к нужному виду.
В итоге, внимательно присмотревшись к своей функции, я понял, что у меня вполне прокатит кусочно-линейная интерполяция — прямые отрезки между заданными линиями. Не то, чтобы совсем уж фен-шуйно, но зато легко реализуемо и удобно настраиваемо.
Говоря языком математики, мы между точками и проводим прямые линии вида .
Опять же, на языке С++ это будет выглядеть так:
Тоже ничего революционного, не так ли?
Есть одно существенное различие между полиномом Лагранжа и линейной интерполяцией: у первого нельзя явно задать значения за пределами точек — они вычисляются, у второго можно это дело контролировать. Также и поэтому я в конечном итоге остановился на линейном варианте. Более того — в логарифмическом масштабе, к которому я стремился, линейные отрезки дают более подходящий мне вариант.
Впрочем, не будем заморачиваться сейчас на методах интерполяции. Давайте лучше мы сделаем базовый класс, от которого будем наследовать реализации различных методов $#*@!поляции.
Базовый класс для задания/расчета функции
Что этот класс должен уметь делать? Мне кажется, что такой класс должен:
Еще есть мысли? Если будут — пишите в комментариях, добавим!
Получается такой вот класс:
(Тем, кто недоволен моим стилем и структурой — предложите объективно лучше!)
(Тем, кто найдет ошибки в коде — спасибо!)
Думаю, тут все очевидно.
Для координат используется представление точки в виде QPointF (пара чисел в виде qreal, qreal. «На всех платформах, кроме ARM, используется double» — так написано для Qt 4.8).
В следующей статье мы распишем пару вариантов реализации этого класса.
Функция преобразования для вертикальной/горизонтальной шкалы
Есть линейные и логарифмические шкалы. Учитывая, что вертикальная шкала может быть сделана в одном формате, а горизонтальная — в другом, мы получаем четыре варианта графика:
Вариант первый — обе шкалы линейные. Вариант второй — обе логарифмические. Варианты третий и четвертый — смешанные графики. Кстати, в моем случае именно смешанный случай в итоге и подошел, т. к. по горизонтали у меня потребовался логарифмический масштаб, по вертикали — линейный.
Следовательно, задачу отображения нужно решать отдельно для обеих осей.
Напомним, что при отображении на экран используется преобразование в координаты , где , . Наша дальнейшая задача — построить эти функции для линейного и логарифмического случаев.
Что это за функции такие? На вход они получают координату в абстрактных (для компьютерной подпрограммы отображения на экран) координатах, на выход дают в экранных («экранные» координаты будут для разных операционных систем разными»). Для расчета им нужно знать следующее:
Базовый класс для преобразований шкал
Давайте сформулируем желаемую функциональность виртуального класса преобразований для шкалы, от которого будут унаследованы реализации шкал:
Реализация может выглядеть так:
Линейное преобразование
Давайте отдельно рассмотрим линейное преобразование для горизонтальной и вертикальной оси.
Расчет этих констант достаточно прост — это решение системы двух уравнений:
Еще важно уметь делать обратное преобразование — скажем, координаты указателя мыши перевести в абстрактные координаты. Также ничего сложного:
Шаг в данном случае для расчета не используется, но он потом нам пригодится в реализации на С++ для расчета смещения.
Как это будет использоваться на практике? Да все просто! Горизонтальное преобразование: — граница картинки графика, соответствующая (как правило, слева), — (как правило, справа), — шаг вывода картинки по горизонтали. Вертикальное преобразование — аналогично, но по вертикали (у нас в Qt будет нижней границей картинки, — верхней, причем scr_
Логарифмическое преобразование
А теперь окунемся туда, ради чего все это закрутилось:
(на графике не логарифм нарисован, а что-то похожее на него. Сделано это специально, т. к. логарифм тут будет не очень нагляден)
Вроде бы базовую математику рассмотрели. Нашли ошибки или неточности — пишите в комментариях, буду благодарен!
Со временем напишу следующую статью — реализацию этой математики средствами Qt языка C++.
Линейная шкала цен
Опубликовано 09.07.2021 · Обновлено 09.07.2021
Что такое линейная шкала цен?
Линейная (арифметическая) шкала цен – это тип шкалы цен на активы, используемой трейдерами, которая отображается с реальными значениями, расположенными на одинаковом расстоянии друг от друга по вертикальной оси y. Каждое изменение единицы представлено одним и тем же вертикальным расстоянием на графике, независимо от того, на каком ценовом уровне находится актив на момент изменения.
Интерпретация биржевой диаграммы может различаться у разных трейдеров в зависимости от типа шкалы цен, используемой при просмотре данных.
Как работают линейные шкалы цен
Линейные ценовые шкалы и логарифмические (логарифмические) ценовые шкалы – это два распространенных типа диаграмм, используемых в финансовой индустрии. Оба типа графиков могут использоваться техническими аналитиками. Каждая диаграмма обычно создается с помощью автоматизации программного обеспечения. Графики с линейной ценовой шкалой легче нарисовать вручную, поскольку они основаны на статических единицах, представляющих абсолютные значения. Логарифмические диаграммы обычно требуют использования расширенного программирования диаграмм, поскольку их изменение стоимости единицы не является постоянным, а скорее выражается в процентах. И линейные, и логарифмические диаграммы будут использовать одни и те же даты на оси X для построения диаграмм.
Линейная шкала цен также может быть известна как арифметический график. График с линейной шкалой цен не отображает и не масштабирует движения в каком-либо отношении к их процентному изменению. Линейная шкала цен отображает изменения уровня цен при каждом изменении единицы, соответствующем постоянной стоимости единицы. Поскольку каждое изменение значения в сетке является постоянным, линейную шкалу цен проще нарисовать вручную.
Ключевые выводы
Пример линейной шкалы цен
Линейную шкалу цен легко определить, потому что вертикальная ось всегда отображается со значениями на одинаковом расстоянии друг от друга.
Например, линейная шкала не учитывает тот факт, что движение на 5 долларов более существенно, когда цена актива составляет 10 долларов, чем когда цена актива составляет 50 долларов. Движение цены, отображаемое на графике, представлено на том же расстоянии на шкале, даже если увеличение на 5 долларов с 10 долларов равняется увеличению на 50%, а увеличение на 5 долларов с 50 долларов – на 10%.
Диаграмма логарифмической шкалы цен
График логарифмической шкалы цен строится, чтобы показать процентное изменение, которое происходит при переходе цены от одной котировки к другой. Логарифмические шкалы цен, масштабируйте процентное движение цены, математически изображая его в вертикальном движении. Следовательно, если цена увеличивается на 1%, ее вертикальное движение вверх будет намного меньше, чем вертикальное движение, отображающее изменение цены на 50%. Чтобы учесть движение цены в математическом масштабе за изменение единицы, усовершенствованное программное обеспечение для построения графиков создает нестатическую вертикальную ось. В логарифмической шкале цен вертикальная ось Y меняет свой масштаб при каждом движении цены.
Важный
Разницу между линейной и логарифмической шкалами цен важно понимать при чтении графиков, но есть много других форм технического анализа, которые вы можете использовать для определения ценовых тенденций и извлечения выгоды из них.
График с линейной и логарифмической шкалой цен будет иметь одинаковый внешний вид в теле графика. Однако логарифмический график будет иметь регулируемую вертикальную ось Y, которая может более четко отображать уровни прорыва, на которых цена совершила большие процентные движения. Если изменения цен происходят в небольших процентах, то логарифмический ценовой график также будет отображать это с концентрированными уровнями цен на оси Y, а не с большими промежутками между ценами.
Большая Энциклопедия Нефти и Газа
Линейная шкала
Линейная шкала разбита на интервалы по 100 мк и ряд интервалов ( в левой части шкалы) по 10 мк. Калибровочное расстояние всей шкалы AU равно 2 0015 мм или 2001 5 мк. [3]
Линейная шкала 6 крепится на каретке, перемещающейся по шариковым направляющим; она имеет юстировочные перемещения, что позволяет ее устанавливать параллельно ходу каретки. Штрихи линейной и круговой шкал можно наблюдать в окуляр 9 сдвоенного микроскопа. [5]
Линейные шкалы в форме металлических линеек используются обычно совместно с нониусами. Разрешающая способность таких отсчетных устройств достигает 0 02 мм. Однако при высокой разрешающей способности пользование такими отсчетными устройствами требует от рабочего напряженного внимания и повышенной затраты времени. Поэтому в современных станках отсчетные устройства этого типа все больше вытесняются оптическими отсчетными устройствами. [8]
Линейные шкалы для цилиндрических нониусов выполняют двумя способами. [11]
Линейные шкалы на основе светодиодов используются для отображения непрерывно изменяющейся информации: скорости движения объекта; уровня жидкости; температуры; состава газовой среды; уровней сигнала в выходных каналах и пр. Такие шкалы являются аналогами стрелочных индикаторов. Они позволяют быстро считывать информацию, фиксировать пиковые значения измеряемых величин, контролировать выход режимов за допустимые пределы. К недостаткам линейных шкал следует отнести невозможность получения отсчета с высокой точностью. [14]
Измерение. Шкалы измерений
Известное изречение гласит «все познается в сравнении».
Для идентификации объектов и их характеристик во множестве их проявлений требуется большое количество и разнообразие мер. С учетом особенностей измеряемых объектов и задач измерений меры группируют и используют для построения шкал измерений.
Шкала измерений – упорядоченное множество проявлений количественных или качественных характеристик объектов, а также самих объектов. Указанное множество может быть образовано из наименований и обозначений (в том числе в цифровой форме) объектов и их характеристик, а также из значений и числовых значений (для количественных характеристик).
Согласно РМГ 83-2007 [7] «шкала измерений – отображение множества различных проявлений количественного или качественного свойства на принятое по соглашению упорядоченное множество чисел или другую систему логически связанных знаков (обозначений)». «Измерение – сравнение конкретного проявления измеряемого свойства (величины) со шкалой измерений этого свойства (величины) в целях получения результата измерений (оценки свойства или значения величины)».
Под качественной характеристикой в определении шкалы измерений и далее понимается описание объектов, их свойств и состояний, в словесной форме, в том числе с использованием наименований и обозначений.
Количественная характеристика – характеристика, которая может быть представлена числовым значением, равным отношению количественного содержания этой характеристики к еѐ базовой реализации, называемой единицей измерения.
Шкала наименований – шкала, состоящая из множества наименований (обозначений) объектов или проявлений их характеристик, в соответствии которым поставлено описание объекта (конкретная реализация объекта, его графическое изображение, математическая формула, график и т.п.) или проявлений его характеристик.
Наименование (обозначение) в этом случае рассматривают как обобщенную характеристику объекта или его свойств и состояний. С помощью шкалы наименований устанавливают эквивалентность (равноценность) измеряемого объекта или его характеристик и описания, поставленному в соответствие тому или иному наименованию (обозначению). Это позволяет отнести объект к какой-либо группе или выделить его, путем присвоения индивидуального наименования (обозначения), после чего наименования (обозначения) применяются как идентификаторы объектов (характеристик объектов). При построении шкал наименований могут использоваться числа, но лишь как метки объектов. Примерами таких шкал являются: атласы цветов (до 1000 наименований), запахов (сырой, затхлый, кислый и т.д.), вкуса (чистый, полный, гармоничный и т.д.); множество номеров телефонов, автомашин, паспортов; разделение людей по полу, расе, национальности; классификаторы промышленной продукции, специальностей высшего образования; терминологические справочники и т.п.
Числа, знаки, обозначения, наименования, составляющие шкалу наименований, разрешается менять местами. Для результатов измерений, полученных с использованием этой шкалы, нет отношений типа «больше — меньше», не применимы понятия единица измерения, нуль, размерность. С ними могут проводиться только некоторые математические операции. Например, числа нельзя складывать и вычитать, но можно подсчитывать, сколько раз (как часто) встречается то или иное число.
Оценки экспертов часто осуществляются с использованием шкал порядка. Типичным примером являются задачи ранжирования и классификации промышленных объектов, подлежащих экологическому страхованию.
В отличие от шкалы наименований шкала порядка позволяет не только установить факт равенства или неравенства измеряемых объектов, но и определить характер неравенства в виде суждений: «больше — меньше», «лучше — хуже» и т.п. Однако нельзя утверждать, что землетрясение в 2 балла (лампа качнулась под потолком) ровно в 5 раз слабее, чем землетрясение в 10 баллов (полное разрушение всего на поверхности земли).
Шкалы наименований и порядка, для которых не определены единицы измерений, называют также условными шкалами или не метрическими шкалами.
Абсолютная шкала – шкала числовых значений количественной характеристики. Отличительные признаки абсолютных шкал: наличие естественного нуля и отсутствие необходимости в единице измерений. С использованием абсолютных шкал измеряют коэффициенты усиления, ослабления, амплитудной модуляции, нелинейных искажений, отражения, коэффициент полезного действия и т. п. Результаты измерений в абсолютных шкалах при необходимости выражают в процентах, промилле, байтах, битах, децибелах.
Разновидностью абсолютных шкал являются дискретные (счетные) шкалы, в которых результат измерения выражается числом частиц, квантов, или других объектов, эквивалентных по проявлению измеряемого свойства. Например, шкалы для электрического заряда ядер атомов, числа квантов (в фотохимии), количества информации. Иногда за единицу измерений (со специальным названием) в таких шкалах принимают какое-то определенное число частиц (квантов), например один моль – число частиц, равное числу Авогадро.
Абсолютная шкала, диапазон значений которой находится в пределах от нуля до единицы (или некоторого предельного значения по спецификации шкалы) называют абсолютной ограниченной шкалой.
Шкалы разностей (интервалов), отношений и абсолютные классифицируют как метрические или физические шкалы. Эти шкалы допускают логарифмическое преобразование, часто применяемое на практике, что приводит к изменению типа шкал. Такие шкалы называют логарифмическими. Практическое распространение получили логарифмические шкалы на основе применения систем десятичных и натуральных логарифмов, а также логарифмов с основанием два.
Практически реализация шкал измерений достигается путем стандартизации как самих шкал и единиц измерений, так и, при необходимости, способов и условий (спецификаций) их однозначного воспроизведения.
Измерение с помощью шкал заключается в установлении соответствия объекта или его характеристики отметке на шкале измерений. После чего объекту измерений приписывают количественную или качественную определенность, соответствующую выявленной отметке шкалы.