Что такое квантовое состояние

Квантовая песочница: часть 2

Квантовая песочница: часть 1
Что такое квантовое состояние? Чем обычное состояние отличается от квантового? В какой момент обычное состояние становится квантовым и что будет, если от него отнять квантовости? Оно всё еще будет квантовым или уже превратится в обычное? Оно же только что было квантовым. Наверное, оно стало запутанным, и кот тоже стал запутанным.

В данной статье постараемся ответить на эти вопросы и разобраться в сути квантовой механики.
Цель: написать простую программу, «имитирующую» квантовую эволюцию, чтобы наконец можно было пощупать эти кубиты ручками.

Оглавление:

Что такое обычное «состояние»? Этим термином пользуются так часто, что он начал восприниматься полностью интуитивно.

Часть I: Классическое состояние

Вопрос №1: «Дана частица P, которую можно наблюдать вдоль отрезка . Что такое состояние частицы P?»
Ответ: Классическое состояние частицы P — число из отрезка .

Внимательного читателя привлечет слово «наблюдать» — как это вообще понимать?
Оказалось, что все это время на участке были расположены какие-то «детекторы», которые «наблюдали», но почему мы о них ничего не сказали? И сколько их там вообще штук?

Мы сказали, что состояние частицы — число из отрезка . Мощность множества равна континууму — между нашими «границами» А и B находится бесконечно много чисел, причем они расположены бесконечно близко друг к другу — значит нам требуется бесконечно много детекторов для каждой точки? Звучит довольно затратно, не так ли?

А ведь, утверждая, что состояние есть число, мы, получается, подразумеваем именно это. Именно то, что у нас в наличии бесконечно много детекторов. Но ведь это не так. И такого не может быть в принципе.

На практике мы бы разбили отрезок на конечное число сегментов, а в пересечениях поставили бы детекторы, и каждый детектор был бы способен приближенно сообщить, есть ли частица в его окрестности или нет.

То, что было сделано выше называется квантованием. В данном случае мы провели квантование отрезка на сегменты. Квант — неделимая порция чего-либо в рамках используемой модели, абстрактный термин.

Самые интересные явления начинаются именно по той причине, что состояние частицы теперь перестало быть просто числом.

Часть II: Квантовое состояние

Вопрос №2: «Дана частица P, которую можно наблюдать только в окрестности некоторого числа детекторов на отрезке . Что такое состояние частицы P?»
Ответ: .

Дан отрезок и два детектора, расположенные в точках A и B.

Каждый детектор показывает какое-то определенное число, согласно которому мы можем определить, как далеко находится частица от данного детектора.

A — первый детектор, — его показания ( = 1, если частица попала прямо в А)
B — второй детектор, — его показания ( = 1, если частица попала прямо в В)

Выдвинем предположение о частице, чтобы как-то ограничить круг наших исследований:

Предположение: Частица одна, она не может просто так взять и клонировать себя.

Из этого предположения следует, что если частица в А, то она не может быть в В, и наоборот.

Или, что то же самое, если = 1, то = 0 и наоборот.

Теперь рассмотрим «движение» частицы от детектора А к детектору В. Частица была в А ( = 1, = 0), затем она начала лететь к В. Показания детектора А начали уменьшаться ( 0). Затем частица достигла детектора В и его показания равны = 1, а детектор А оповещает нас, что частицы в нем нет = 0.

Таким образом, мы описываем состояние частицы с помощью самих детекторов и их показаний.

Это запись означает, что конфигурация X включает в себя детектор A, показывающий нам число c1, и детектор B, показывающий нам число c2.

Вопрос №2: «Дана частица P, которую можно наблюдать только в окрестности детекторов, расположенных в точках A и B, которые являются квантованием отрезка на один сегмент . Что такое состояние частицы P?»
Предположение: Частица одна, она не может взять и просто так клонировать себя.
Ответ: Квантовое состояние частицы P — вектор двумерного гильбертова пространства с базисными векторами A = <1, 0>и B = <0, 1>. При этом этот вектор нормирован на единицу (), а базисные векторы A и B являются классическими состояниями из вопроса 1. Такие частицы также называют кубитами в силу двумерности базиса. Когда базис трехмерный, частицы называются кутритами и т. д.

Вопрос №2 (обобщенный): «Дана частица P, которую можно наблюдать только в окрестности конечного числа детекторов, расположенных в точках , которые являются квантованием отрезка на N — 1 сегмент . Что такое состояние частицы P?»
Предположение: Частица одна, она не может взять и просто так клонировать себя.
Ответ: Квантовое состояние частицы P — вектор N-мерного гильбертова пространства с базисными векторами . При этом этот вектор нормирован на единицу , а базисные векторы являются классическими состояниями из вопроса 1.

Часть III: Кот

Мы вплотную подошли к самым интересным проявлениям квантовой механики. Без сомнения каждый из читателей хоть краем уха слышал о таких терминах, как «квантовая суперпозиция» или «квантовая запутанность» — эти эффекты и другая подобная магия начинаются именно в тот момент, когда вы не будете делать тех умозаключений, которые не требуются.

У нас есть два определения состояния.

Определение №1: Классическое состояние частицы P — число из отрезка …
Предположение: Частица одна, она не может взять и просто так клонировать себя.
Определение №2: Квантовое состояние частицы P — вектор двумерного гильбертова пространства …

Обычно из каких-то определений выводят следствия, здесь же нас будет интересовать то, что не следует из определения, но мы все равно назовем это следствиями для стройности.

Следствие №1: Из определения квантового состояния не следует, что частица находится в одной точке отрезка. Вообще ниоткуда никак не следует.

То есть частица может находится сразу в двух точках! Например для частицы, которая находится в квантовом состоянии не следует, что она находится в одной точке. Да, может быть она где-то посередине, в какой-то точке M между A и B, но утверждая подобное, мы проявим необоснованную вольность.

Следствие №2: Из определения квантового состояния не следует, что частица разделилась на маленькие кусочки, одни кусочку полетели туда, а другие сюда.

Как это вообще понимать? Как частица может находится сразу в двух точках и при этом оставаться неделимой? Мы же привыкли, что кот Шрёдингера и жив, и мертв одновременно, значит и частица тоже и здесь, и там одновременно. Но ведь она же неделима. Она что растянулась?

Введем понятие роя и экземпляра виртуальных частиц.

Часть IV: Рой

Определение №3: Экземпляр частицы — виртуальный объект, которому соответствует положение в пространстве в данный момент времени, траектория движения с течением времени, а также комплексное число (называемое амплитудой), обладающее модулем и аргументом, для которого справедливы все алгебраические правила:
Определение №4: Рой — совокупность экземпляров.
Определение №5: Частица — рой (при выполнении операции квантования пространства).

Представим экземпляр как шарик, внутри которого есть стрелка, соответствующая комплексному числу в комплексной плоскости. Важно понимать, что шарик может иметь одно направление движения, а стрелка внутри него — другое, то есть эти направления разные.

Но почему разные? Дело в том, что процессы внутри элементарной частицы настолько сложно описать, что влияние этих процессов на движение самой частицы невозможно предсказать на фундаментальном уровне, поэтому и связи между стрелкой внутри шарика и направлением движения самого шарика для нас не существует.

Словесные манипуляция, которые мы сейчас совершили, бесполезны, если не определить законы изменения величин r, φ и закон движения, ведь в них все и упирается.

Закон изменения аргумента: φ постоянно равномерно увеличивается на величину dφ по мере движения экземпляра.

Иными словами, наши комплексное стрелки постоянно крутятся в одном и том же направлении. Зачем это нужно? Чтобы система ни при каких обстоятельствах не перестала эволюционировать.

Закон сложения и умножения: По мере движения вдоль одной траектории амплитуды перемножаются. Амплитуды вдоль всевозможных траекторий складываются.

Данный закон также известен как «принцип суперпозиции в квантовой механике»

Мы не забываем, что внутри каждого шарика находится комплексная стрелка, которая имеет свое направление и длину. Как предсказать, какая результирующая стрелка окажется в произвольной клетке пространства в данный момент времени? Очевидно, для этого нужно знать, что было со всей системой в предыдущий момент времени. Мы получаем дифференциальное уравнение (его называют уравнением Шрёдингера в честь Шрёдингера, который его и открыл).

Закон движения экземпляров в пространстве: Пусть — квантовое состояние частицы, вектор-столбец, в котором одна за другой записаны амплитуды во всех клетках пространства. — оператор энергии, определяющий способ взаимодействия между экземплярами. Тогда рой движется согласно следующему закону: .

Формирование оператора энергии «по кусочкам ручками» будет рассмотрено в следующей статье.

Источник

eslitak

После некоторого перерыва продолжаем наши блуждания в квантовых дебрях. Напоминаю, что вопросы, замечания и критика от заинтересованных лиц всячески приветствуются.

В этой части мы поговорим о том, что такое квантовое состояние, а заодно повторим и уточним некоторые важные моменты.

Надеюсь, понятно, но резюмирую. Состояние всегда рассматривается в каком-то представлении. Представление – это ограниченный набор физических величин. А состояние – это соответствующий набор конкретных значений этих величин. В классической физике обычно слово «представление» не используют. Просто говорят что-то вроде: «X = 10». Тут тебе и представление (координата X) и состояние (значение координаты X), как говорится, «в одном флаконе».

Теперь попробуем осилить «квантовое состояние». Мы говорили, что квантовая реальность – это бесконечная совокупность одновременно существующих виртуальных вариантов. Каждый отдельный виртуальный вариант можно рассматривать как виртуальное классическое состояние, стало быть, квантовое состояние – это совокупность бесконечного числа виртуальных классических состояний. Чтобы лучше уяснить смысл этого утверждения, давайте посмотрим, как выглядит квантовое состояние частицы в координатном представлении. Для простоты будем рассматривать только одну координату – X.

Классическое состояние в координатном представлении в какой-то момент времени можно представить себе как точку на координатной оси X. На рисунке 9.1 это точка x₁.

Для наглядности на рисунке условно показан вариант (закрашенным синим кружочком), он «привязан» к точке x₁. В классическом понимании это никакой не виртуальный, а единственный реальный вариант.

Важное замечание: здесь и дальше в этой части ликбеза мы говорим о «мгновенном» состоянии, то есть, о состоянии в определённый момент времени. Вот грубая, но наглядная аналогия: мы рассматриваем только «фотографию» состояния. А «кино» про состояние мы будем смотреть в следующей части. В смысле, будем разбираться, как квантовое состояние меняется во времени.

Теперь синими кружочками (пустыми) показываем виртуальные варианты. Тут у нас нарисовано «квантовое состояние», включающее всего четыре виртуальных «классических» состояния. На самом деле их – бесконечность. На рисунке это показать нельзя, поэтому просто представьте, что эти синие кружочки бесконечно плотно расположены вдоль оси X. При этом пусть вас не пугает то, что кружочки будут налезать друг на друга. Напомню, кружочки – это у нас не разные частицы, а разные виртуальные варианты классического расположения одной и той же частицы.

Это, повторяю, очень грубое приближение. Уточним его. В пятой части мы ввели понятие «группа». Группа – это бесконечное множество виртуальных вариантов, приводящих к одному и тому же наблюдаемому результату. В нашем случае группа – это бесконечное число классических состояний с одним и тем же значением координаты X. Значит, ради приближения к истине, к каждой точке пространства мы должны нарисовать не один виртуальный вариант, а бесконечную группу вариантов.

На рисунке 9.3 я изобразил эти группы в виде таких «колод» виртуальных вариантов. Опять же прошу включить воображение и домыслить эту вынужденно убогую картинку до «настоящей квантовой реальности». Во-первых, представьте, что каждая из колод содержит бесконечное количество вариантов. Во-вторых, представьте, что все варианты одной группы на самом деле находятся в одной точке (что естественно, ведь у всех вариантов группы одинаковое значение координаты). И, в-третьих, представьте, что этих групп-колод не четыре, а бесконечное количество, по одной на каждую точку оси X.

Но и такого приближения тоже недостаточно. Третьим постулатом мы постановили, что каждый виртуальный вариант обладает специфической квантовой характеристикой: квантовым вектором. Значит, давайте в каждый кружочек на нашей картинке впишем красную стрелочку, которая будет символизировать направление квантового вектора. Варианты одной группы расположим теперь не «колодой», а «колонной», чтобы стрелочки было видно.

Вот эта картина (если её домыслить до бесконечностей) более-менее адекватно отражает то, что называют квантовым состоянием в координатном представлении. Надо только помнить, что направления квантовых векторов – это направления в условном математическом пространстве (для умников напомним – это вектора на комплексной плоскости). И они в общем случае не имеют ничего общего с направлениями координатных осей.

Итак, классическое состояние объекта в координатном представлении – это просто определённое значение координаты. Квантовое состояние в координатном представлении – это бесконечное количество групп вариантов, то есть, виртуальных классических состояний, отдельная группа для каждого значения координаты. При этом каждая группа – это бесконечное количество вариантов. И для каждого варианта – своё направление квантового вектора. Аналогично описывается квантовое состояние в любом другом представлении. Скажем, в импульсном представление – это бесконечное количество вариантов виртуальных классических состояний, для каждого варианта своё (одно!) значение импульса и своё (тоже одно!) направление квантового вектора.

Чтобы как-то математически оперировать с квантовым состоянием и решать практические задачи с квантовыми объектами, мы должны, казалось бы, знать направление квантового вектора каждого виртуального варианта, при том что этих вариантов бесконечное множество. Прикиньте сложность? К счастью, этого не требуется. Мы говорили раньше, что варианты одной группы находятся в состоянии суперпозиции. Квантовые вектора одной группы вариантов складываются и образуют единый квантовый вектор группы – амплитуду вероятности. Так вот, для решения практических задач с квантовыми объектами достаточно знать «всего лишь» амплитуды вероятности для каждой группы. Но и о виртуальных вариантах полезно помнить, потому что они придают абстрактной квантовой математике конкретный физический смысл. И вот что ещё: понятие о виртуальных вариантах нам ОЧЕНЬ пригодится, когда мы будем разбирать принцип действия квантового компьютера.

Давайте теперь изобразим наше квантовое состояние (рисунок 9.4) в амплитудах вероятности. Больше не будем рисовать кружочки – варианты, ограничимся стрелочками – векторами. Сложим квантовые вектора вариантов в каждой из четырёх показанных групп, и получится вот такая картина.

Смотрите, на рисунке 9.4 в группе, соответствующей координате x₁, у каждого квантового вектора есть вектор «антипод» с противоположным направлением. Векторная сумма по группе x ₁ равна нулю. Все виртуальные варианты «нейтрализованы» деструктивной суперпозицией и не могут реализоваться. Это значит, что если мы захотим измерить координату частицы, находящейся в таком квантовом состоянии, то вероятность получить результат x₁ равна нулю.

В группах x_2, x_3, x_n векторная сумма не равна нулю. Это означает, что есть ненулевая вероятность обнаружить частицу в этих точках, если мы измерим координату X в данный момент времени. При этом наиболее вероятно обнаружить частицу в точке x₃, поскольку длина вектора амплитуды вероятности в этой точке самая большая.

И опять попрошу вас самостоятельно домыслить этот рисунок «до бесконечностей». Представьте, что с каждым значением координаты X связан вектор амплитуды вектор амплитуды вероятности определённой длины и определённого направления. Надеюсь, вам поможет в этом рисунок 9.6.

Квантовое состояние показано в виде трёхмерного графика: одна пространственная координатная ось X, и две координатных оси условного пространства квантовых векторов. Выше уже упоминалось, что квантовые вектора и их суперпозиции – групповые амплитуды вероятности – математически эквивалентны комплексным числам. Соответственно, условное пространство амплитуд вероятности показано как комплексная плоскость с координатными осями «Re» (действительная часть комплексного числа) и «Im» (мнимая часть).

Так вот, в таком комбинированном ракурсе мгновенная «фотография» квантового состояния частицы в определённый момент времени (допустим, t₁) выглядит как расширяющаяся, а затем сужающаяся спираль, которую вектор амплитуды вероятности описывает вокруг оси X. Вектора нарисованы для наглядности только для нескольких точек оси X, для остальных точек домыслите их самостоятельно. Если мы проследим, как ведёт себя вектор амплитуды вероятности с изменением координаты X от минус бесконечности до плюс бесконечности, то мы увидим, что он равномерно «вращается» вокруг оси X. При этом величина (длина вектора) амплитуды вероятности растёт от бесконечно малой величины, в какой-то точке достигает максимума (на рисунке это точка x₃, где наибольший «диаметр» спирали), затем уменьшается обратно к бесконечно малой. Да, на всякий случай напомню, что мы тут нарисовали квантовое состояние «упрощённо», в групповых амплитудах вероятности. Полная картина квантового состояния должна была бы включать бесконечное множество разнонаправленных квантовых векторов единичной длины для каждой точки X. Но, повторяю, описание квантового состояния в амплитудах вероятности вполне достаточно для практического решения квантовых задач, поэтому таким описанием мы и будем пользоваться дальше.

Эта абстрактная картинка имеет вполне конкретный физический смысл Напоминаю, что относительная (нормированная) длина вектора амплитуды вероятности определяет вероятность получить соответствующий результат при измерении. Помним, да, что вероятность равна длине вектора амплитуды вероятности, возведённой в квадрат? В нашем случае, если мы в момент времени t₁ измерим координату X, то с наибольшей вероятностью получим значение, близкое к x₃, там, где длина амплитуды вероятности максимальна. Менее вероятно получить значения около x₂ или x₄. И уж совсем маловероятно обнаружить частицу в окрестностях точек x₁ или x₅, где амплитуда вероятности близка к нулю. Если нарисовать соответствующий график зависимости вероятности от координаты X, то он будет выглядеть примерно так:

трого говоря, в данной ситуации речь идёт не о вероятности, а о плотности вероятности, но сейчас это не принципиально.

Надо сказать, что форма «спирали» квантового состояния, а значит и форма графика вероятности, может быть различной. Вероятность может иметь ярко выраженный «пик» в окрестностях какой-то координаты x₁, как на рисунке 9.8-а. В этом случае говорят о малой неопределённости, имея в виду, что при измерении координаты X мы определённо получим значение, близкое к x₁. Или, наоборот, вероятность может быть «размазана» вдоль широкого диапазона значений оси X, как на рисунке 9.8-б. Это случай большой неопределённости координаты, когда различные результаты измерения более-менее равновероятны.

Ладно, отдельный разговор о неопределённостях у нас в перспективе. А также о том, от чего зависит вид этих графиков. Пока же заметим, что квантовое состояние можно рассматривать как векторную (комплексную) математическую функцию, выражающую зависимость длины и направления вектора амплитуды вероятности от координаты. А вероятность – это «обычная» действительная функция.

Конечно, всё сказанное верно и для любого другого представления. Например, если бы мы говорили об импульсном представлении квантового состояния, то мы подразумевали бы, что в квантовой реальности частица одновременно обладает всеми возможными виртуальными значениями импульса, от минус бесконечности до плюс бесконечности. В таком представлении квантовое состояние выглядело бы как функция амплитуды вероятности от импульса частицы. Кстати говоря, график этой функции выглядит аналогично: расширяющаяся, а затем сужающаяся спираль. Только координату X на рисунке 9.6 придётся заменить на «импульсную» координату P_x. В других представлениях и/или в других физических ситуациях график амплитуды вероятности будет выглядеть по-другому. Но в любом случае это будет комплексная функция от соответствующей физической величины.

Здесь, пожалуй, уместно будет разобраться, откуда берутся бесконечные группы виртуальных вариантов. Мы выяснили, что квантовое состояние – это совокупность бесконечного числа виртуальных классических состояний. Иначе, это совокупность бесконечного количества различных виртуальных значений некоторой физической величины. Но ведь не существует таких физических объектов, которые характеризовались бы только одной физической величиной. Даже простейшая частица в пространстве «обладает», как минимум, тремя координатами и тремя компонентами импульса (проекциями вектора импульса на координатные оси). Я уже не говорю о всяких там угловых и магнитных моментах, зарядах и прочих физических величинах. Но достаточно рассмотреть в совокупности всего две физические величины, чтобы увидеть бесконечные группы виртуальных вариантов. Возьмём, например координату X и импульс P_x.

И в координатном, и в импульсном представлении квантового состояния частицы у нас бесконечное число вариантов. Это означает, что существует бесконечное число виртуальных классических состояний с одинаковым значением координаты X, например, X = x₁, но разными значениями импульса P_x. Это и будет бесконечная группа x₁. И наоборот, бесконечную группу виртуальных состояний с одинаковым значением импульса P_x составят состояния с различными значениями координаты X.

Короче, бесконечность числа виртуальных состояний, дающих один и тот же результат измерения, обусловлена двумя факторами: бесконечностью числа виртуальных значений любой физической величины (по-сути, это просто другая формулировка первого постулата) и тем обстоятельством, что с любым физическим объектом связано несколько (больше одной) физических величин.

Есть величины, которые квантуются в любой физической ситуации. Таков, например, спин частицы. Почему так? Это всё причуды суперпозиции. На уровне всех виртуальных вариантов никакого квантования нет, в квантовой реальности существуют все мыслимые значения физической величины. Но на уровне РЕАЛИЗУЕМЫХ виртуальных вариантов может сохраниться только несколько возможных значений, все остальные «сожрёт» деструктивная суперпозиция.

Ну и на десерт – чуточку философии. Крайним случаем «квантованности» является такой, когда реализуемой является только одна группа вариантов. Результат измерения может быть только один. Это такая ситуация, когда квантовая физика автоматически превращается в классическую. С другой стороны, можно классическую физику рассматривать как квантовую. В таком случае мы можем считать, что классическое физическое состояние – это бесконечная группа ОДИНАКОВЫХ виртуальных вариантов.

Впрочем, и квантовая физика сама по себе такие однозначные ситуации не исключает. Например, такая физическая величина, как масса покоя частицы, существует в единственном варианте. Точнее, в единственной группе вариантов. Короче, измерение массы покоя всегда даёт одно и то же значение. С точностью до ошибки измерения, конечно.

Источник