Что такое криволинейное движение

Криволинейное движение

Криволинейное движение – это движение, траектория которого представляет собой кривую линию (например, окружность, эллипс, гиперболу, параболу). Примером криволинейного движения является движение планет, конца стрелки часов по циферблату и т.д. В общем случае скорость при криволинейном движении изменяется по величине и по направлению.

Криволинейное движение материальной точки считается равномерным движением, если модуль скорости постоянен (например, равномерное движение по окружности), и равноускоренным, если модуль и направление скорости изменяется (например, движение тела, брошенного под углом к горизонту).

Рис. 1.19. Траектория и вектор перемещения при криволинейном движении.

При движении по криволинейной траектории вектор перемещения направлен по хорде (рис. 1.19), а l – длина траектории. Мгновенная скорость движения тела (то есть скорость тела в данной точке траектории) направлена по касательной в той точке траектории, где в данный момент находится движущееся тело (рис. 1.20).

Рис. 1.20. Мгновенная скорость при криволинейном движении.

Криволинейное движение – это всегда ускоренное движение. То есть ускорение при криволинейном движении присутствует всегда, даже если модуль скорости не изменяется, а изменяется только направление скорости. Изменение величины скорости за единицу времени – это тангенциальное ускорение:

Где v_τ, v₀ – величины скоростей в момент времени t₀ + Δt и t₀ соответственно.

Тангенциальное ускорение в данной точке траектории по направлению совпадает с направлением скорости движения тела или противоположно ему.

Нормальное ускорение — это изменение скорости по направлению за единицу времени:

Нормальное ускорение направлено по радиусу кривизны траектории (к оси вращения). Нормальное ускорение перпендикулярно направлению скорости.

Центростремительное ускорение – это нормальное ускорение при равномерном движении по окружности.

Полное ускорение при равнопеременном криволинейном движении тела равно:

Движение тела по криволинейной траектории можно приближённо представить как движение по дугам некоторых окружностей (рис. 1.21).

Рис. 1.21. Движение тела при криволинейном движении.

Источник

Криволинейное движение

В зависимости от формы траектории движение можно подразделять на прямолинейное и криволинейное. Чаще всего можно столкнуться с криволинейными движениями, когда траектория представлена в виде кривой. Примером такого вида движения является путь тела, брошенного под углом к горизонту, движение Земли вокруг Солнца, планет и так далее.

Мгновенная скорость при криволинейном движении

Криволинейное движение материальной точки называют равномерным тогда, когда модуль скорости постоянный (движение по окружности), и равноускоренным при изменяющемся направлении и модуле скорости (движение брошенного тела).

Криволинейное движение всегда ускоренное. Это объясняется тем, что даже при неизмененном модуле скорости, а измененном направлении, всегда присутствует ускорение.

Для того чтобы исследовать криволинейное движение материальной точки, применяют два метода.

Теперь для каждого участка можно применять закон прямолинейного движения. Такой принцип допускается.

Разбиение на движения по дугам

Для записи криволинейного движения необходимо уметь описывать движение по окружности, произвольное движение представлять в виде совокупностей движений по дугам этих окружностей.

Исследование криволинейного движения включает в себя составление кинематического уравнения, которое описывает это движение и позволяет по имеющимся начальным условиям определить все характеристики движения.

Решение

По условию имеем, что центры окружности принадлежат одной прямой, отсюда:

Так как траектория движения – это сумма полуокружностей, то:

Источник

Результаты поиска: Криволинейное движение

Криволинейное движение

Криволинейное движение – это движение, траектория которого представляет собой кривую линию (например, окружность, эллипс, гиперболу, параболу). Примером криволинейного движения является движение планет, конца стрелки часов по циферблату и т.д. В общем случае скорость при криволинейном движении изменяется по величине и по направлению.

Криволинейное движение материальной точки считается равномерным движением, если модуль скорости постоянен (например, равномерное движение по окружности), и равноускоренным, если модуль и направление скорости изменяется (например, движение тела, брошенного под углом к горизонту).

Рис. 1.19. Траектория и вектор перемещения при криволинейном движении.

При движении по криволинейной траектории вектор перемещения направлен по хорде (рис. 1.19), а l – длина траектории. Мгновенная скорость движения тела (то есть скорость тела в данной точке траектории) направлена по касательной в той точке траектории, где в данный момент находится движущееся тело (рис. 1.20).

Рис. 1.20. Мгновенная скорость при криволинейном движении.

Криволинейное движение – это всегда ускоренное движение. То есть ускорение при криволинейном движении присутствует всегда, даже если модуль скорости не изменяется, а изменяется только направление скорости. Изменение величины скорости за единицу времени – это тангенциальное ускорение:

Где v_τ, v₀ – величины скоростей в момент времени t₀ + Δt и t₀ соответственно.

Тангенциальное ускорение в данной точке траектории по направлению совпадает с направлением скорости движения тела или противоположно ему.

Нормальное ускорение — это изменение скорости по направлению за единицу времени:

Нормальное ускорение направлено по радиусу кривизны траектории (к оси вращения). Нормальное ускорение перпендикулярно направлению скорости.

Центростремительное ускорение – это нормальное ускорение при равномерном движении по окружности.

Полное ускорение при равнопеременном криволинейном движении тела равно:

Движение тела по криволинейной траектории можно приближённо представить как движение по дугам некоторых окружностей (рис. 1.21).

Рис. 1.21. Движение тела при криволинейном движении.

Траектория

Траектория (от позднелатинского trajectories – относящийся к перемещению) – это линия, по которой движется тело (материальная точка). Траектория движения может быть прямой (тело перемещается в одном направлении) и криволинейной, то есть механическое движение может быть прямолинейным и криволинейным.

Траектория прямолинейного движения в данной системе координат – это прямая линия. Например, можно считать, что траектория движения автомобиля по ровной дороге без поворотов является прямолинейной.

Криволинейное движение – это движение тел по окружности, эллипсу, параболе или гиперболе. Пример криволинейного движения – движение точки на колесе движущегося автомобиля или движение автомобиля в повороте.

Движение может быть сложным. Например, траектория движения тела в начале пути может быть прямолинейной, затем криволинейной. Например, автомобиль в начале пути движется по прямой дороге, а затем дорога начинает «петлять» и автомобиль начинает криволинейное движение.

Путь – это длина траектории. Путь является скалярной величиной и в международной системе единиц СИ измеряется в метрах (м). Расчёт пути выполняется во многих задачах по физике. Некоторые примеры будут рассмотрены далее в этом учебнике.

Вектор перемещения

Вектор перемещения (или просто перемещение) – это направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением (рис. 1.1). Перемещение – величина векторная. Вектор перемещения направлен от начальной точки движения к конечной.

Модуль вектора перемещения (то есть длина отрезка, который соединяет начальную и конечную точки движения) может быть равен пройденному пути или быть меньше пройденного пути. Но никогда модуль вектора перемещения не может быть больше пройденного пути.

Модуль вектора перемещения равен пройденному пути, когда путь совпадает с траекторией (см. разделы Траектория и Путь), например, если из точки А в точку Б автомобиль перемещается по прямой дороге. Модуль вектора перемещения меньше пройденного пути, когда материальная точка движется по криволинейной траектории (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Вектор перемещения и пройденный путь.

Ещё пример. Если автомобиль проедет по кругу один раз, то получится, что точка начала движения совпадёт с точкой конца движения и тогда вектор перемещения будет равен нулю, а пройденный путь будет равен длине окружности. Таким образом, путь и перемещение – это два разных понятия.

Правило сложения векторов

Векторы перемещений складываются геометрически по правилу сложения векторов (правило треугольника или правило параллелограмма, см. рис. 1.2).

Рис. 1.2. Сложение векторов перемещений.

На рис 1.2 показаны правила сложения векторов S1 и S2:

а) Сложение по правилу треугольника
б) Сложение по правилу параллелограмма

Проекции вектора перемещения

При решении задач по физике часто используют проекции вектора перемещения на координатные оси. Проекции вектора перемещения на координатные оси могут быть выражены через разности координат его конца и начала. Например, если материальная точка переместилась из точки А в точку В, то при этом вектор перемещения (см.рис. 1.3).

Выберем ось ОХ так, чтобы вектор лежал с этой осью в одной плоскости. Опустим перпендикуляры из точек А и В (из начальной и конечной точек вектора перемещения) до пересечения с осью ОХ. Таким образом мы получим проекции точек А и В на ось Х. Обозначим проекции точек А и В соответственно А_x и В_x. Длина отрезка А_xВ_x на оси ОХ – это и есть проекция вектора перемещения на ось ОХ, то есть

Рис. 1.3. Проекция вектора перемещения.

Проекция вектора перемещения на ось ОХ равна разности координат конца и начала вектора, то есть

Аналогично определяются и записываются проекции вектора перемещения на оси OY и OZ:

Здесь x₀, y₀, z₀ — начальные координаты, или координаты начального положения тела (материальной точки); x, y, z — конечные координаты, или координаты последующего положения тела (материальной точки).

Проекция вектора перемещения считается положительной, если направление вектора и направление координатной оси совпадают (как на рис 1.3). Если направление вектора и направление координатной оси не совпадают (противоположны), то проекция вектора отрицательна (рис. 1.4).

Если вектор перемещения параллелен оси, то модуль его проекции равен модулю самого Вектора. Если вектор перемещения перпендикулярен оси, то модуль его проекции равен нулю (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Модули проекции вектора перемещения.

Разность между последующим и начальным значениями какой-нибудь величины называется изменением этой величины. То есть проекция вектора перемещения на координатную ось равна изменению соответствующей координаты. Например, для случая, когда тело перемещается перпендикулярно оси Х (рис. 1.4) получается, что относительно оси Х тело НЕ ПЕРЕМЕЩАЕТСЯ. То есть перемещение тела по оси Х равно нулю.

Рассмотрим пример движения тела на плоскости. Начальное положение тела – точка А с координатами х₀ и у₀, то есть А(х₀, у₀). Конечное положение тела – точка В с координатами х и у, то есть В(х, у). Найдём модуль перемещения тела.

Из точек А и В опустим перпендикуляры на оси координат ОХ и OY (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Движение тела на плоскости.

Определим проекции вектора перемещения на осях ОХ и OY:

На рис. 1.5 видно, что треугольник АВС – прямоугольный. Из этого следует, что при решении задачи может использоваться теорема Пифагора, с помощью которой можно найти модуль вектора перемещения, так как

По теореме Пифагора

Откуда можно найти модуль вектора перемещения, то есть длину пути тела из точки А в точку В:

Ну и напоследок предлагаю вам закрепить полученные знания и рассчитать несколько примеров на ваше усмотрение. Для этого введите какие-либо цифры в поля координат и нажмите кнопку РАССЧИТАТЬ. Ваш браузер должен поддерживать выполнение сценариев (скриптов) JavaScript и выполнение сценариев должно быть разрешено в настройках вашего браузера, иначе расчет не будет выполнен. В вещественных числах целая и дробная части должны разделяться точкой, например, 10.5.

Источник

Общие сведения

В физике даётся вполне однозначное определение движению. Под ним понимают изменение положения физической точки в пространстве по отношению с другими объектами. Считается, что любое тело состоит из совокупности точек, перемещающихся одинаково по отношению друг к другу. Поэтому любой объект принято обозначать в виде элементарной точки.

Кинематика не изучает, почему движение таково, а рассматривает только путь перемещения. С точки зрения физики, криволинейное движение — это путь, пройденный материальной точкой по кривой траектории. Если же траектория прямая, то изменение положения называется прямолинейным.

Криволинейное движение — это всегда ускоренное перемещение. Оно может быть:

Основной характеристикой понятия является вектор перемещения. Обозначается он латинской буквой S со стрелочкой вверху. Направлен он всегда по хорде. Кроме вектора, передвижение по кривой линии определяется тангенциальным и нормальным ускорением.

В первом случае характеристика обозначает изменение величины скорости в единицу времени: at = lim Δv / Δt, где: v — начальная скорость в момент времени t0 + Δt. Тангенциальное ускорение может как совпадать по направлению со скоростью, так и быть ей противоположной.

Нормальным ускорением называют характеристику, перпендикулярную направлению скорости: an = V 2 / r, где: r — радиус окружности. Оно всегда совпадает с радиусом кривизны пути. Подвидом такого ускорения является центростремительная сила. Проявляется она при равномерном перемещении по окружности.

Таким образом, если движение является криволинейным, то вектора скорости и ускорения не лежат на одной прямой. Из простых примеров криволинейного движения можно выделить: течение воды в реке, перелёт на самолёте, катание на колесе обозрения.

Центростремительное ускорение

Если движение равномерное, но происходит оно по кривой, всё равно будет фиксироваться ускорение точки. Это происходит из-за того, что ускорение определяется как изменение скорости к промежутку времени. Поэтому если точка движется равномерно, то это значит, что модуль скорости остаётся одинаковым, но направление вектора изменяется. То есть будет справедливо записать: v = v0, но v ≠ v0. Можно сделать вывод, что изменение скорости существует, если Δv ≠ 0, при этом ускорение тоже не равно нулю: a ≠ 0.

Рассмотрим самый простой вид криволинейного перемещения. Существует история, что ещё во времена Аристотеля древние греки считали окружность идеальной линией. Из-за этого исторического факта астрономам приходилось объяснять движение планет, как комбинацию перемещений космических тел по окружности.

Можно представить тело, изменяющее своё положение по окружности. Траектория перемещения в декартовой системе координат будет выглядеть в виде полусферы. Пусть за её центр будет принята точка O. Тело движется равномерно. В какой-то момент времени его скорость будет V0. Её вектор направлен по касательной и совпадает по направлению с перемещением тела. Через некоторое время объект переместится в другую точку. Его скорость по-прежнему останется направленной по касательной, при этом модуль не изменится. То есть V = V0, но вектора их неравны: V ≠ V0.

Пусть стоит задача — найти равномерное движение по окружности. Иными словами, определить направление вектора и вычислить его модуль. В первую очередь необходимо узнать, куда же направлен вектор ускорения. Чтобы ответить на этот вопрос, нужно опираться на исходную формулу: a = Δv / Δt. Отсюда можно сделать вывод, что куда будет направлен вектор V, туда будет направлено и ускорение a.

Для наглядности можно построить вектор изменения скорости частицы, движущейся по рассматриваемой траектории. Чтобы построить график, описывающий ситуацию, нужно перенести V0 параллельно вектору V к его началу. Соединив два свободных конца перпендикуляром, получится треугольник. По правилу вычитания векторов можно получить вектор изменения скорости: Δv = V — V0. Направлен он будет сверху вниз.

Так как V0 направлен по касательной перпендикулярно радиусу, при этом угол треугольника при основании стремится к нулю, можно утверждать, что Δv перпендикулярен V. Значит, и вектор ускорения перпендикулярен V. Отсюда следует, что вектор ускорения направлен к центру окружности, поэтому его и называют центростремительным ускорением.

Движение по произвольной кривой

Рассмотрим простейший случай равномерного перемещения. Можно представить ситуацию, что если руль автомобиля держать неподвижно, то он будет ехать по прямой или по окружности. В реальной ситуации при езде всё время приходится поворачивать руль автомобиля, то есть в каждый момент времени происходит перемещение по окружности. При этом с каждым поворотом колеса управления радиус окружности изменяется. В данный момент времени он всегда совпадает с траекторией движения и называется радиусом кривизны траектории.

На графике движения можно отметить несколько точек. В одной из них скорость будет равняться V1. Немного дальше пройденное расстояние изменится, но скорость останется той же. Поменяется и направление V2. Через определённое время скорость будет равняться V3. Это движение равномерное.

Относительно точки V1 можно построить касающуюся её окружность с центром r1. По аналогии движения за рулём, это то же самое, что в рассматриваемой точке зафиксировать поворот управления на постоянный угол. Для V2 центр радиуса находится в точке r2, а V3 в r3.

В любом из этих трёх случаев происходит движение по окружности. То есть криволинейное движение произвольной формы — это перемещение по окружности любого радиуса. Если же радиус изменяется, то в любой момент меняется и центростремительное ускорение. Но при этом направление всегда совпадает с радиусом. Самое большое ускорение будет в том месте, где радиус самый маленький, и наоборот. Таким образом можно утверждать, что всякий раз ускорение будет перпендикулярно скорости при равномерном движении.

Кроме центростремительного ускорения, важными характеристиками, описывающими движение, являются следующие величины:

Это основные формулы для криволинейного движения, использующиеся при решении задач. Кроме того, в заданиях используется связь между линейной и угловой скоростями: v = w * r, а также формула полного ускорения: a = at + an.

Решение простых задач

Виды движения изучаются на уроках физики в седьмом классе средней школы. На них ученикам объясняют понятия поступательного и равномерного движения, даются необходимые уравнения. Решение задач на уроках необходимо для закрепления пройденного материала и реального понимания ситуаций, при которых используются знания о видах перемещения.

Вот некоторые типы заданий, часто встречающиеся в различных вариантах у учащихся при сдаче ими тестов или написании контрольных работ:

Таким образом решать задачи на нахождение различных параметров при криволинейном движении без учёта его вызвавшей причины несложно. При этом следует правильно определить тип движения и знать основные формулы.

Пример сложного уровня

В большей мере такого уровня задачи являются поучительными, так как они используются для реальных случаев. Например, при расчётах работы различных технических установок. Вот одна из них.

Пусть движение от шкива один к шкиву четыре передаётся при помощи двух временных передач. Найти частоту вращения в оборотах в минуту и угловую скорость шкива четыре, если шкив один делает 1200 об/мин, а радиусы шкивов: R1 — 8 см, R2 — 32 см, R3 — 11 см, R4 — 55 см, при этом они жёстко укреплены на одном валу. Передающие ремни принять идеальными.

Для решения этой задачи нужно вначале определить направление вращения. Из условия задачи следует, что первый шкив будет вращаться в другую сторону по сравнению с остальными тремя. Для того чтобы найти угловую скорость последнего ролика, нужно будет последовательно определить параметры предшествующих ему шкивов.

Линейная скорость точек движения на ролике первого и второго шкива одинакова. Это следует из того, что ремни идеальные, не проскакивают и не растягиваются. Таким образом будет справедливо записать: V1 = V2. Так как w1 * r1 = w2 * r2, можно составить отношение: r1 / r2 = w1 / w2 или r1 / r2 = 2 * p * n2 / 2 * p * n1. То есть отношение примет вид: r1 / r2 = n2 / n1.

Так как третий шкив закреплён жёстко на валу со вторым, то образованную систему можно считать одним твёрдым телом. Применительно к нему можно говорить об общей угловой скорости или одинаковой частоте вращения. Получается, что n3 = n2. Тогда можно записать: n3 = n1 = r1 / r2.

На следующем шаге необходимо определить линейную скорость на четвёртом ролике. Из условия известно, что V3 = V4, так как их соединение идеальное. Это значит, что можно связать скорости третьего и четвёртого шкива с частотами: V4 = 2 *p * n4 * r4; V3 = 2 * p * n3. Из полученного равенства нужно выразить n4. Оно будет равняться: n4 = n3 * r3 / r4. В эту формулу необходимо подставить n3 и получить итоговую формулу: n4 = n1 * (r1 * r3) / (r2 * r4).

Теперь нужно подставить исходные данные и выполнить расчёт. При этом переходить в систему СИ нет необходимости: n1 = 1200 об/мин * (8 * 11) / (32 * 55) = 1200 * 1 / 20 об/мин = 60 об/мин. Для того чтобы найти угловую скорость, частоту необходимо умножить на 2p. При этом учесть, что угловая скорость измеряется в радианах в секунду. Поэтому w4 = 2 * p * n4 = 6, 28 * 1 = 6,28 рад/сек. Интересной особенностью является то, что частота вращения первого шкива в двадцать раз больше четвёртого. Задача решена.

Источник