Что такое иррациональные корни

Иррациональные числа

Определение иррациональных чисел

Иррациональное число — это действительное число, которое невозможно выразить в форме деления двух целых чисел, то есть в рациональной дроби:

Оно может быть выражено в форме бесконечной непериодической десятичной дроби.

Бесконечная периодическая десятичная дробь — это такая дробь, десятичные знаки которой повторяются в виде группы цифр или одного и того же числа.

Примеры иррациональных чисел:

Множество иррациональных чисел договорились обозначать латинской буквой I.

Действительныеили вещественные числа — это все рациональные и иррациональные числа: положительные, отрицательные и нуль.

Свойства иррациональных чисел

Какие числа являются иррациональными мы уже поняли, но это еще не все. Есть еще важная тема для изучения: их основные свойства.

Свойства иррациональных чисел:

Определение рациональных чисел

А теперь наоборот: рассмотрим противоположное заданной теме определение.

Рациональное число — это такое число, которое можно представить в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби или нуля. Если число можно получить делением двух целых чисел — это число точно рациональное.

Рациональные числа — это те, которые можно представить в виде:

где числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число.

Рациональные числа – это все натуральные, целые числа, обыкновенные дроби, бесконечные периодические дроби и конечные десятичные дроби.

Множество рациональных чисел принято обозначать латинской буквой Q.

Примеры рациональных чисел:

У рациональных чисел есть определенные законы и ряд свойств — рассмотрим каждый их них. Пусть а, b и c — любые рациональные числа.

Основные свойства действий с рациональными числами

Источник

Иррациональность корня

Теорема о свойстве рационального числа — аналитическое доказательство

Алгоритм Евклида для нахождения НОД

Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух данных чисел заключается в том, чтоб делить большее число на меньшее, а затем делить меньшее на остаток. Так повторяют, пока в остатке не получится 0, и тогда остаток, получившийся на предыдущем шаге — это и будет НОД.

Алгоритм Евклида — геометрическое изложение

Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя. Даны два отрезка :

отрезки:
150 см
96 см
И надо найти наибольший отрезок, которому кратны оба данных отрезка. Алгоритм Евклида — это большее делим на меньшее, а потом меньшее на остаток. Сначала больший отрезок делим на меньший. Замеряю меньший отрезок и откладываю меньший на большем — получается один целый кусочек и остаток:

150 / 96 = 1 ост 54
отрезки:
150 см = 96 см + 54 см
96 см

Замеряю остаток и откладываю на меньшем отрезке. Получается опять один целый кусочек и остаток.

96 / 54 = 1 ост 42
отрезки:
150 см = 96 см + 54 см
96 см = 54 см + 42 см

Замеряю остаток и откладываю на предыдущем остатке. Получается опять один целый кусочек и остаток.

54 / 42 = 1 ост 12
отрезки:
150 см = 96 см + 42 см + 12 см
96 см = 54 см + 42 см

Замеряю остаток и откладываю на предыдушем остатке. Получается три целых кусочка и остаток.

42 / 12 = 3 ост 6
отрезки:
150 см = 96 см + 42 см + 12 см
96 см = 54 см + 12 см + 12 см + 12 см + 6 см

Замеряю остаток и откладываю на предыдущем остатке. Получается ровно два целых кусочка.

12 / 6 = 2
Этот целый кусочек 6 и есть НОД. И вот почему: предыдущий остаток содержит два целых кусочка, а каждый предыдущий остаток укладывается в предпредыдущем целое число раз, то есть и предпредыдущий остаток и остаток до него и изначальное целое — все делятся на наш последний кусочек нацело.

отрезки:
150 см = 16 × 6 см + 7 × 6 см + 2 × 6 см
96 см = 9 × 6 см + 2 × 6 см + 2 × 6 см + 2 × 6 см + 6 см

Даны два отрезка — и надо найти наибольший отрезок, которому кратны оба данных отрезка. Алгоритм Евклида — это большее делим на меньшее, а потом меньшее на остаток. Сначала больший отрезок делим на меньший. Замеряю меньший отрезок и откладываю меньший на большем — получается один целый кусочек и остаток. 150 / 96 = 1 ост 54 Замеряю остаток и откладываю на меньшем отрезке. Получается опять один целый кусочек и остаток. 96 / 54 = 1 ост 42 Замеряю остаток и откладываю на предыдущем остатке. Получается опять один целый кусочек и остаток. 54 / 42 = 1 ост 12 Замеряю остаток и откладываю на предыдушем остатке. Получается три целых кусочка и остаток. 42 / 12 = 3 ост 6 Замеряю остаток и откладываю на предыдущем остатке. Получается ровно два целых кусочка. 12 / 6 = 2 Этот целый кусочек 6 и есть НОД. И вот почему: предыдущий остаток содержит два целых кусочка, а каждый предыдущий остаток укладывается в предпредыдущем целое число раз, то есть и предпредыдущий остаток и остаток до него и изначальное целое — все делятся на наш последний кусочек нацело.

Теорема о свойстве рационального числа — геометрическое доказательство. Несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной.

Диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, то есть их отношение выражается иррациональным числом. Вот наш квадрат, вот его сторона (помечена кружком), вот диагональ. Если бы отношение диагонали к стороне было рациональным числом, и диагональ к стороне относилась бы как сколько-то единиц к скольки-то единицам, то найти эту единицу можно было бы с помощью алгоритма Евклида. Вот мы и поищем единицу. Разделим большее (диагональ) на меньшее (сторону). Получается 1, и остаток помечен двойным штрихом. Из начала остатка восставим перпендикуляр к диагонали. Получились ТРИ равнобедренных треугольника. 1) треугольник с равными сторонами-кружками (У его основания — равные углы, помеченные кружками). 2) прямоугольный равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине и половинами прямого угла при основании. 3) треугольник с равными углами (с двойной дужкой) при основании. Углы с двойной дужкой равны, потому что оба они — это разность между прямым углом и углом с кружком (здесь прямой угол минус уголс кружком — это угол с двойной дужкой и здесь так же прямой угол минус угол с кружком — это угол с двойной дужкой). Из равнобедренности треугольников следует равенство ЭТИХ отрезков и ЭТИХ отрезков. Теперь будем меньшее (сторону) делить на остаток (с двойным штрихом). У нас получится 2. Но маленький равнобедренный прямоугольный треугольник подобен исходному равнобедренному прямоугольному треугольнику. Следовательно второй шаг алгоритма — это уменьшенное подобие первого шага. А значит и третий шаг будет уменьшенным подобием второго и т. д. Такой процесс можно продолжать до бесконечности, а для успешного нахождения единицы у алгоритма должно быть конечное число шагов. Значит единицы не существует, и отношение диагонали квадрата к его стороне не является рациональным числом.

Источник

Что такое иррациональные корни

Множество иррациональных чисел обычно обозначается заглавной латинской буквой в полужирном начертании без заливки. Таким образом: , т.е. множество иррациональных чисел есть разность множеств вещественных и рациональных чисел.

О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков, несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа .

Свойства

Примеры

Примеры доказательства иррациональности

Корень из 2

Допустим противное: рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби , где — целое число, а — натуральное число. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

.

Отсюда следует, что чётно, значит, чётно и . Пускай , где целое. Тогда

Следовательно, чётно, значит, чётно и . Мы получили, что и чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и — иррациональное число.

Двоичный логарифм числа 3

Допустим противное: рационален, то есть представляется в виде дроби , где и — целые числа. Поскольку 0″ src=»http://upload.wikimedia.org/math/d/1/3/d1351d4222403731e31419faebbe54bc.png» />, и могут быть выбраны положительными. Тогда

Но чётно, а нечётно. Получаем противоречие.

История

Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (ок. 750 г. до н. э. — ок. 690 г. до н. э.) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены.

Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается Гиппасу из Метапонта (ок. 500 гг. до н. э.), пифагорейцу, который нашёл это доказательство, изучая длины сторон пентаграммы. Во времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины, достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой отрезок. Однако Гиппас обосновал, что не существует единой единицы длины, поскольку предположение о её существовании приводит к противоречию. Он показал, что если гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника содержит целое число единичных отрезков, то это число должно быть одновременно и четным, и нечетным. Доказательство выглядело следующим образом:

Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос (невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы.

Феодор Киренский доказал иррациональность корней натуральных чисел до 17 (исключая, естественно, точные квадраты — 1, 4, 9 и 16), но остановился на этом, так как имевшаяся в его инструментарии алгебра не позволяла доказать иррациональность квадратного корня из 17. По поводу того, каким могло быть это доказательство, историками математики было высказано несколько различных предположений. Согласно наиболее правдоподобному предположению Жана Итара (1961), оно было основано на пифагорейской теории чётных и нечётных чисел, в том числе — на теореме о том, что нечётное квадратное число за вычетом единицы делится на восемь треугольных чисел.

Позже Евдокс Книдский (410 или 408 г. до н. э. — 355 или 347 г. до н. э.) развил теорию пропорций, которая принимала во внимание как рациональные, так и иррациональные отношения. Это послужило основанием для понимания фундаментальной сути иррациональных чисел. Величина стала считаться не числом, но обозначением сущностей, таких как отрезки прямых, углы, площади, объёмы, промежутки времени — сущностей, которые могут меняться непрерывно (в современном понимании этого слова). Величины были противопоставлены числам, которые могут меняться лишь «прыжками» от одного числа к соседнему, например, с 4 на 5. Числа составляются из наименьшей неделимой величины, в то время как величины можно уменьшать бесконечно.

Поскольку никакое количественное значение не сопоставлялось величине, Евдокс смог охватить и соизмеримые, и несоизмеримые величины при определении дроби как отношения двух величин, и пропорции как равенства двух дробей. Убрав из уравнений количественные значения (числа), он избежал ловушки, состоящей в необходимости назвать иррациональную величину числом. Теория Евдокса позволила греческим математикам совершить невероятный прогресс в геометрии, предоставив им необходимое логическое обоснование для работы с несоизмеримыми величинами. «Книга 10 Элементов» Евклида посвящена классификации иррациональных величин.

Средние века

Средние века ознаменовались принятием таких понятий как ноль, отрицательные числа, целые и дробные числа, сперва индийскими, затем китайскими математиками. Позже присоединились арабские математики, которые первыми стали считать отрицательные числа алгебраическими объектами (наряду и на равных правах с положительными числами), что позволило развить дисциплину, ныне называемую алгеброй.

Арабские математики соединили древнегреческие понятия «числа» и «величины» в единую, более общую идею вещественных чисел. Они критически относились к представлениям Евклида об отношениях, в противовес ей они развили теорию отношений произвольных величин и расширили понятие числа до отношений непрерывных величин. В своих комментариях на Книгу 10 Элементов Евклида, персидский математик Аль Махани (ок 800 гг. н. э.) исследовал и классифицировал квадратичные иррациональные числа (числа вида) и более общие кубические иррациональные числа. Он дал определение рациональным и иррациональным величинам, которые он и называл иррациональными числами. Он легко оперировал этими объектами, но рассуждал как об обособленных объектах, например:

Рациональной [величиной] является, например, 10, 12, 3%, 6% и так далее, поскольку эти величины произнесены и выражены количественно. Что не рационально, то иррационально, и невозможно произнести или представить соответствующую величину количественно. Например, квадратные корни чисел таких так 10, 15, 20 — не являющихся квадратами.

В противовес концепции Евклида, что величины суть в первую очередь отрезки прямых, Аль Махани считал целые числа и дроби рациональными величинами, а квадратные и кубические корни — иррациональными. Он также ввел арифметический подход к множеству иррациональных чисел, поскольку именно он показал иррациональность следующих величин:

результат сложения иррациональной величины и рациональной, результат вычитания рациональной величины из иррациональной, результат вычитания иррациональной величины из рациональной.

Египетский математик Абу Камил (ок. 850 г. н. э. — ок. 930 г. н. э.) был первым, кто счел приемлемым признать иррациональные числа решением квадратных уравнений или коэффициентами в уравнениях — в основном, в виде квадратных или кубических корней, а также корней четвёртой степени. В X веке иракский математик Аль Хашими вывел общие доказательства (а не наглядные геометрические демонстрации) иррациональности произведения, частного и результатов иных математических преобразований над иррациональными и рациональными числами. Ал Хазин (900 г. н. э. — 971 г. н. э.) приводит следующее определение рациональной и иррациональной величины:

Пусть единична величина содержится в данной величине один или несколько раз, тогда эта [данная] величина соответствует целому числу… Каждая величина, которая составляет половину, или треть, или четверть единичной величины, или, сравненная с единичной величиной составляет три пятых от нее, это рациональная величина. И в целом, всякая величина, которая относится к единичной как одно число к другому, является рациональной. Если же величина не может быть представлена как несколько или часть (l/n), или несколько частей (m/n) единичной длины, она иррациональная, то есть невыразимая иначе как с помощью корней.

Многие из этих идей были позже переняты европейскими математиками после перевода на латынь арабских текстов в XII веке. Аль Хассар, арабский математик из Магриба, специализировавшийся на исламских законах о наследстве, в XII веке ввел современную символьную математическую нотацию для дробей, разделив числитель и знаменатель горизонтальной чертой. Та же нотация появилась затем в работах Фибоначчи в XIII веке. В течение XIV—XVI вв. Мадхава из Сангамаграмы и представители Керальской школы астрономии и математики исследовали бесконечные ряды, сходящиеся к некоторым иррациональным числам, например, к π, а также показали иррациональность некоторых тригонометрических функций. Джестадева привел эти результаты в книге Йуктибхаза.

Наше время

В XVII веке в математике прочно укрепились комплексные числа, вклад в изучение которых внесли Абрахам де Муавр (1667—1754) и Леонард Эйлер (1707—1783). Когда теория комплексных чисел в XIX веке стала замкнутой и чёткой, стало возможным классифицировать иррациональные числа на алгебраические и трансцендентные (доказав при этом существование трансцендентных чисел), тем самым переосмыслив работы Евклида по классификации иррациональных чисел. По этой теме в 1872 были опубликованы работы Вейерштрасса, Гейне, Кантора и Дедекинда. Хотя ещё в 1869 году Мерэ начал рассмотрения, схожие с Гейне, именно 1872 год принято считать годом рождения теории. Вейерштрасс, Кантор и Гейне обосновывали свои теории при помощи бесконечных рядов, в то время как Дедекинд работал с (ныне так называемым) Дедекиндовым сечением множества вещественных чисел, разделяя все рациональные числа на два множества с определёнными характеристическими свойствами.

Цепные дроби, тесно связанные с иррациональными числами (цепная дробь, представляющая данное число, бесконечна тогда и только тогда, когда число является иррациональным), были впервые исследованы Катальди в 1613 году, затем снова привлекли к себе внимание в работах Эйлера, а в начале XIX века — в работах Лагранжа. Дирихле также внёс значительный вклад в развитие теории цепных дробей.

Источник

Иррациональные выражения (выражения с корнями) и их преобразование

Статья раскрывает смысл иррациональных выражений и преобразования с ними. Рассмотрим само понятие иррациональных выражений, преобразование и характерные выражения.

Что такое иррациональные выражения?

При знакомстве с корнем в школе мы изучаем понятие иррациональных выражений. Такие выражения тесно связаны с корнями.

Иррациональные выражения – это выражения, которые имеют корень. То есть это выражения, имеющие радикалы.

Основные виды преобразований иррациональных выражений

При вычислении таких выражений необходимо обратить внимание на ОДЗ. Часто они требуют дополнительных преобразований в виде раскрытия скобок, приведения подобных членов, группировок и так далее. Основа таких преобразований – действия с числами. Преобразования иррациональных выражений придерживаются строгого порядка.

Необходимо выполнить замену числа 9 на выражение, содержащее корень. Тогда получаем, что

Полученное выражение имеет подобные слагаемые, поэтому выполним приведение и группировку. Получим

Результат тождественных преобразований привел к произведению двух рациональных выражений, которые необходимо было найти.

Можно выполнять ряд других преобразований, которые относятся к иррациональным выражениям.

Преобразование подкоренного выражения

Использование свойств корней

Для правильного преобразования используют преобразования иррациональных выражений с использованием свойств корней.

Внесение множителя под знак корня

Вынесение множителя из-под знака корня

Вынесение множителя из-под корня необходимо для упрощения выражения и его быстрого преобразования.

Преобразование дробей, содержащих корни

Необходимо обратить внимание на то, что необходимо изменять знак только числителя или только знаменателя. Получим, что

Сокращение дроби чаще всего используется при упрощении. Получаем, что

Перед сокращением необходимо выполнять преобразования, которые упрощают выражение и дают возможность разложить на множители сложное выражение. Чаще всего применяют формулы сокращенного умножения.

Сокращение дробей или приведение подобных необходимо только на ОДЗ указанной дроби. При умножении числителя и знаменателя на иррациональное выражение получаем, что мы избавляемся от иррациональности в знаменателе.

Избавление от иррациональности в знаменателе

Переход от корней к степеням

Источник