Что такое днф и кнф
Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы ДНФ, КНФ
Лекция 2. Формы представления высказываний
План лекции:
Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы ДНФ, КНФ.
Совершенные нормальные формы СДНФ, СКНФ
Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы ДНФ, КНФ
Нормальная форма – это синтаксически однозначный способ записи формулы, реализующей данную функцию.
Любая n-членная операция, обозначаемая, например, 
, будет полностью определена, если установлено, при каких значениях высказываний 
результат будет истинным или ложным. Один из способов задания такой операции – заполнение таблицы значений:
 |  |  |  |  |
| 1 | 1 | | 1 | 1 или 0 |
| | | | | |
| 0 | 0 | | 0 | 1 или 0 |
В таблице значений высказывания, образованного от n простейших высказываний 
, имеется 
строк. Столбец значений имеет также позиций. Следовательно, имеется 
различных вариантов его заполнения, и, соответственно, число всех n-членных операций равно . При n=1 число одночленных операций равно 4, при n=2 число двучленных – 16, при n=3 количество трехчленных – 256 и т.д.
Рассмотрим некоторые специальные виды формул.
Формулу называют элементарной конъюнкцией, если она является конъюнкцией переменных и отрицаний переменных. Например, формулы 
, 
, 
, 
– элементарные конъюнкции.
Формулу, представляющую собой дизъюнкцию (возможно одночленную) элементарных конъюнкций, называют дизъюнктивной нормальной формой (д. н. ф.). Например, формулы 
, 
, 
.
Теорема 2.1.(о приведении к ДНФ). Для любой формулы U можно найти равносильную ей формулу V, являющуюся ДНФ.
Формулу называют элементарной дизъюнкцией, если она является дизъюнкцией переменных и отрицаний переменных. Например, формулы 
, 
, 
и т.д.
Пример. 
Такая форма называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ). Отдельный элемент ДНФ называется элементарной конъюнкцией или конституентой единицы.
Формулу, являющуюся конъюнкцией (возможно одночленной) элементарных дизъюнкций, называют конъюнктивной нормальной формой (КНФ). Например, формулы , 
.
Теорема 2.2.(о приведении к КНФ). Для любой формулы U можно найти равносильную ей формулу V, являющуюся КНФ.
Пример. 
Отдельный элемент КНФ называется элементарной дизъюнкцией или конституентой нуля.
Алгоритм построения КНФ и ДНФ.
1) Избавиться от всех логических операций, содержащихся в формуле, заменив их основными: конъюнкцией, дизъюнкцией, отрицанием. Это можно сделать, используя равносильные формулы (см. Лекцию 1).
2) Заменить знак отрицания, относящийся ко всему выражению, знаками отрицания, относящимися к отдельным переменным высказываниям на основании закона де Моргана.
3) Избавиться от знаков двойного отрицания.
4) Применить, если нужно, к операциям конъюнкции и дизъюнкции свойства дистрибутивности и формулы поглощения.
Примеры.
1. Приведем к КНФ формулу 
Преобразуем формулу F к формуле, не содержащей импликацию:
В полученной формуле перенесем отрицание к переменным и сократим двойные отрицания:
По закону дистрибутивности получим КНФ:
2. Приведем к ДНФ формулу:
.
Выразим логические операции импликации и стрелку Пирса через конъюнкцию, дизъюнкцию и инверсию:
В полученной формуле перенесем отрицание к переменным и сократим двойные отрицания:
Используя закон дистрибутивности, приводим формулу к ДНФ:
Эквивалентность формул и нормальные формы
Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы
Определение ДНФ и КНФ
В этом разделе мы интересуемся представлением произвольной булевой функции посредством формул специального вида, использующих только операции 
и 
Пусть 
— это множество пропозициональных переменных. Введем для каждого i=1. n обозначения: 
и 
. Формула 
, в которой 
и все переменные разные, т.е. 
при 
, называется элементарной конъюнкцией ( элементарной дизъюнкцией ).
Совершенные ДНФ и КНФ
Определим по этим множествам две формулы:
Доказательство получается непосредственным вычислением значения каждой из указанных формул с учетом того, что для любого 
имеют место равенства: 
и 
(см. задачу 4.4).
Следствие 4.1.1. Каждая булева функция может быть задана формулой, содержащей переменные и функции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.
Процедура Приведение к совершенной ДНФ
Поскольку каждая из формул 
, 
имеет меньшую глубину, чем формула 
, то предположим по индукции, что для них уже построены эквивалентные ДНФ 
и 
, соответственно.
Тогда в случае (а) имеем:
Из формулировок эквивалентностей (7) и (8) непосредственно вытекает
Доказательство этого предложения оставляем в виде упражнения (см. задачу 4.7).
Следующее утверждение гарантирует корректность этапа (2).
Предложение 4.2. На этапе (2) процедуры при любом порядке выполнения преобразований групп (4) и (5) до тех пор, пока ни одно из них не применимо, в полученной в результате формуле все знаки отрицания будут стоять непосредственно перед переменными.
Перед доказательством этого утверждения введем некоторые обозначения. Напомним, что в определениях 3.2 и 3.3 для каждой формулы 
была определена ее глубина 
. Например, формула 
, построенная над системой 
, имеет глубину 
.
Доказательство предложения 4.2 проведем индукцией по высоте формул.
Базис индукции. Если 
, то либо в нет отрицаний, либо все отрицания находятся непосредственно перед переменными. Следовательно, удовлетворяет требованию предложения 4.2.
Рассмотрим применение процедуры приведения к совершенной ДНФ на примере.
Пример 4.1. Пусть формула 
.
На (1)-ом этапе процедуры получаем следующую цепочку эквивалентностей:
На (2)-ом этапе вносим отрицание внутрь первой скобки и получаем формулу
Устранив двойное отрицание, получим
Эта ДНФ не является совершенной, так как в каждую из ее трех конъюнкций входят не все переменные. Построим на этапе (5) для них эквивалентные совершенные ДНФ (используя решение задачи 4.5).
Мы видим, что ДНФ , полученная после 4-го этапа, выглядит существенно проще, т.е. является более короткой, чем совершенная ДНФ . Однако совершенные ДНФ и КНФ обладают важным свойством единственности, которое следует из их конструкции в теореме 4.1.
Это следствие позволяет предложить следующую процедуру для проверки эквивалентности формул и 
«Учебник по дискретной математике ДНФ, СДНФ, КНФ, СКНФ»
Например, 
является простой конъюнкцией,
Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется дизъюнкция простых конъюнкций.
Например, выражение 
является ДНФ.
Например, выражение 
является ДНФ, но не СДНФ. Выражение 
является СДНФ.
Аналогичные определения (с заменой конъюнкции на дизъюнкцию и наоборот) верны для КНФ и СКНФ. Приведем точные формулировки.
Простой дизъюнкцией называется дизъюнкция одной или нескольких переменных, при этом каждая переменная входит не более одного раза (либо сама, либо ее отрицание).Например, выражение 
– простая дизъюнкция,
Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называется конъюнкция простых дизъюнкций (например выражение 
– КНФ).
Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) называется такая КНФ, у которой в каждую простую дизъюнкцию входят все переменные данного списка (либо сами, либо их отрицания), причем в одинаковом порядке.
Например, выражение 
является СКНФ.
Приведем алгоритмы переходов от одной формы к другой. Естественно, что в конкретных случаях (при определенном творческом подходе) применение алгоритмов бывает более трудоемким, чем простые преобразования, использующие конкретный вид данной формы:
а) переход от ДНФ к КНФ
Алгоритм этого перехода следующий: ставим над ДНФ два отрицания и с помощью правил де Моргана (не трогая верхнее отрицание) приводим отрицание ДНФ снова к ДНФ. При этом приходится раскрывать скобки с использованием правила поглощения (или правила Блейка). Отрицание (верхнее) полученной ДНФ (снова по правилу де Моргана) сразу дает нам КНФ:
Заметим, что КНФ можно получить и из первоначального выражения, если вынести у за скобки;
б) переход от КНФ к ДНФ
Этот переход осуществляется простым раскрытием скобок (при этом опять-таки используется правило поглощения)
Таким образом, получили ДНФ.
Обратный переход (от СДНФ к ДНФ) связан с проблемой минимизации ДНФ. Подробнее об этом будет рассказано в разд. 5, здесь же мы покажем, как упростить ДНФ (или СДНФ) по правилу Блейка. Такая ДНФ называется сокращенной ДНФ;
в) сокращение ДНФ (или СДНФ) по правилу Блейка
Применение этого правила состоит из двух частей:
— если среди дизъюнктных слагаемых в ДНФ имеются слагаемые 
, то ко всей дизъюнкции добавляем слагаемое К1К2. Проделываем эту операцию несколько раз (можно последовательно, можно одновременно) для всех возможных пар слагаемых, а затем, применяем обычное поглощение;
— если добавляемое слагаемое уже содержалось в ДНФ, то его можно отбросить совсем, например, 
Разумеется, сокращенная ДНФ не определяется единственным образом, но все они содержат одинаковое число букв (например, имеется ДНФ 
, после применения к ней правила Блейка можно прийти к ДНФ, равносильной данной):
в) переход от ДНФ к СДНФ
Если в какой-то простой конъюнкции недостает переменной, например, z, вставляем в нее выражение 
,после чего раскрываем скобки (при этом повторяющиеся дизъюнктные слагаемые не пишем). Например:
г) переход от КНФ к СКНФ
Этот переход осуществляется способом, аналогичным предыдущему: если в простой дизъюнкции не хватает какой-то переменной (например, z, то добавляем в нее выражение 
(это не меняет самой дизъюнкции), после чего раскрываем скобки с использованием распределительного закона):
Таким образом, из КНФ получена СКНФ.
Заметим, что минимальную или сокращенную КНФ обычно получают из соответствующей ДНФ.
ДНФ, СДНФ, КНФ, СКНФ
Простой конъюнкцией называется конъюнкция одной или нескольких переменных, при этом каждая переменная встречается не более одного раза (либо сама, либо ее отрицание).
Например, 
является простой конъюнкцией,
Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется дизъюнкция простых конъюнкций.
Например, выражение 
является ДНФ.
Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) называется такая дизъюнктивная нормальная форма, у которой в каждую конъюнкцию входят все переменные данного списка (либо сами, либо их отрицания), причем в одном и том же порядке.
Например, выражение 
является ДНФ, но не СДНФ. Выражение 
является СДНФ.
Аналогичные определения (с заменой конъюнкции на дизъюнкцию и наоборот) верны для КНФ и СКНФ. Приведем точные формулировки.
Простой дизъюнкцией называется дизъюнкция одной или нескольких переменных, при этом каждая переменная входит не более одного раза (либо сама, либо ее отрицание).Например, выражение 
– простая дизъюнкция,
Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называется конъюнкция простых дизъюнкций (например выражение 
– КНФ).
Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) называется такая КНФ, у которой в каждую простую дизъюнкцию входят все переменные данного списка (либо сами, либо их отрицания), причем в одинаковом порядке.
Например, выражение 
является СКНФ.
Приведем алгоритмы переходов от одной формы к другой. Естественно, что в конкретных случаях (при определенном творческом подходе) применение алгоритмов бывает более трудоемким, чем простые преобразования, использующие конкретный вид данной формы:
а) переход от ДНФ к КНФ
Алгоритм этого перехода следующий: ставим над ДНФ два отрицания и с помощью правил де Моргана (не трогая верхнее отрицание) приводим отрицание ДНФ снова к ДНФ. При этом приходится раскрывать скобки с использованием правила поглощения (или правила Блейка). Отрицание (верхнее) полученной ДНФ (снова по правилу де Моргана) сразу дает нам КНФ:
Заметим, что КНФ можно получить и из первоначального выражения, если вынести у за скобки;
б) переход от КНФ к ДНФ
Этот переход осуществляется простым раскрытием скобок (при этом опять-таки используется правило поглощения)
Таким образом, получили ДНФ.
Обратный переход (от СДНФ к ДНФ) связан с проблемой минимизации ДНФ. Подробнее об этом будет рассказано в разд. 5, здесь же мы покажем, как упростить ДНФ (или СДНФ) по правилу Блейка. Такая ДНФ называется сокращенной ДНФ;
в) сокращение ДНФ (или СДНФ) по правилу Блейка
Применение этого правила состоит из двух частей:
— если среди дизъюнктных слагаемых в ДНФ имеются слагаемые 
, то ко всей дизъюнкции добавляем слагаемое К1К2. Проделываем эту операцию несколько раз (можно последовательно, можно одновременно) для всех возможных пар слагаемых, а затем, применяем обычное поглощение;
— если добавляемое слагаемое уже содержалось в ДНФ, то его можно отбросить совсем, например, 
Разумеется, сокращенная ДНФ не определяется единственным образом, но все они содержат одинаковое число букв (например, имеется ДНФ 
, после применения к ней правила Блейка можно прийти к ДНФ, равносильной данной):
в) переход от ДНФ к СДНФ
Если в какой-то простой конъюнкции недостает переменной, например, z, вставляем в нее выражение 
,после чего раскрываем скобки (при этом повторяющиеся дизъюнктные слагаемые не пишем). Например:
г) переход от КНФ к СКНФ
Этот переход осуществляется способом, аналогичным предыдущему: если в простой дизъюнкции не хватает какой-то переменной (например, z, то добавляем в нее выражение 
(это не меняет самой дизъюнкции), после чего раскрываем скобки с использованием распределительного закона):
Таким образом, из КНФ получена СКНФ.
Заметим, что минимальную или сокращенную КНФ обычно получают из соответствующей ДНФ.
4. Представление логических функций
в виде СДНФ (СКНФ)
(*)
а) Пусть f(x1, x2, …, xn)= 1. Тогда слева в формуле (* ) стоит 1. Докажем, что и справа в этом случае стоит 1, для чего достаточно указать одно дизъюнктное слагаемое, равное 1. Но среди всех наборов (s1, s2, …, sп) имеется набор s1 = х1, s2 = х2, …, sп = хп. Очевидно, что для этого набора слагаемое 
равно 1 (так как и 
.
б) Пусть f(x1, x2, …, xn) = 0. Предположим, что справа стоит не ноль, а единица, тогда какое-то слагаемое тоже должно равняться 1, т. е. для некоторого набора
Доказательство. Пусть f(x1,x2,…,xn) не равна тождественному нулю, тогда в дизъюнкции можно не записывать слагаемые, равные нулю, а из формулы (* ) следует следующее представление для данной функции
Следствие. Любую логическую (булеву) функцию можно выразить через три логические функции: конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание.
Набор функций, через которые можно выразить любые другие функции, называется полным набором (более точные формулировки даны в разд. 7). Таким образом, конъюнкция, дизъюнкция и отрицание являются полным набором.
По аналогии с представлением любой функции (не равной тождественному нулю) в виде СДНФ можно функцию (не равную тождественной 1) представить в виде СКНФ: простая дизъюнкция составляется для тех наборов переменных (х1, х2, …, хп), для которых f(x1, x2,…, xn) = 0, причем если хi = 1, то в этой дизъюнкции берем 
, если же хi = 0, то берем хi.
Пример. Составить для импликации и сложения по модулю 2 СДНФ и СКНФ.
Тогда СДНФ для этих функций:
СКНФ для этих функций:
5. Нахождение сокращенной ДНФ
по таблице истинности (карты Карно)
Доказано, что любую функцию (кроме тождественного нуля) можно представить в виде СДНФ. На практике часто бывает удобно получить (вместо СДНФ) как можно более “короткую” ДНФ. Словам “короткая ДНФ” можно придать разный смысл, а именно:
ДНФ называется минимальной, если она содержит наименьшее число букв (разумеется, среди всех ДНФ ей равносильных); ДНФ называется кратчайшей, если она содержит минимальное число знаков дизъюнкции Ú ; тупиковой, если уничтожение одной или нескольких букв в ней приводит к неравной ДНФ и сокращенной ДНФ, если ее упрощение проведено с помощью правила Блейка.
На практике наиболее важной представляется нахождение минимальной ДНФ, но алгоритм ее нахождения по существу является вариантом перебора всех равносильных ДНФ. Алгоритмически проще всего находить сокращенную ДНФ (эти алгоритмы были даны в разд. 3). Заметим, что если функция п переменныхзаданасвоейтаблицей истинности, топравило Блейка имеет простой геометрический смысл. Именно, если все возможные наборы переменных представить себе как вершины п-мерного куба со стороной равной 1 (всего вершин будет 2 п ) в декартовой системе координат, то надо отметить те вершины, на которых значение функции равно 1, и если какие-то из этих единиц лежат на “прямой”, “плоскости” или “гиперплоскости” в п-мерном пространстве, то в сокращенную ДНФ будут входить “уравнения” этих прямых или гиперплоскостей по известному правилу: если в это уравнение входило составной частью х = 0,то в сокращенную ДНФ входит 
, если х = 1, то просто х.Разумеется, геометрически все это изобразить можно только при п = 2, 3.
Карты Карно позволяют эти геометрические идеи использовать при п = 3, 4, 5, для функций, заданных своей таблицей истинности. При больших п картыКарнопрактическинеиспользуются. Рассмотрим отдельно (и более подробно) случаи п = 3, 4.
Составляем таблицу истинности для данной конкретной функции п = 3 в виде таблицы, приведенной в примере 5.1. (Заметим, что для х1и х2естественный порядок набора переменных здесь нарушен. Это сделано для того, чтобы при переходе от данного к следующему набору переменных в этом наборе менялась только одна цифра). Прямая содержит 2 вершины, плоскость – 4, гиперплоскости – 8, 16 и т. д. вершин, поэтому объединять можно 2 рядом стоящие единицы или 4, 8, 16 и т. д. Карты Карно соединяются “по кругу”, т. е. наборы (10) и (00) считаются рядом стоящими.
Пример 5.1. Пусть задана функция:
Видно, ее СДНФ содержит (по числу 1) 6 дизъюнктных слагаемых, но ее сокращенная ДНФ содержит (после объединения единиц) всего 2 буквы
Пример 5.2. Следующий пример показывает, “как соединять единицы по кругу”.
Здесь сокращенная ДНФ содержит 2 слагаемых (СДНФ содержала бы 5):
Пример 5.3. Пример показывает использование карт Карно при п = 4.
Здесь сокращенная ДНФ содержит 4 слагаемых (СДНФ содержит 8): 
При п = 5 использование карт Карно является несколько более сложным и здесь не приводится.