Что такое длина окружности и площадь круга
Урок 25 Бесплатно Длина окружности и площадь круга
На этом уроке мы рассмотрим одни из самых древнейших геометрических фигур: окружность и круг.
Определим, какими элементами характеризуются круг и окружность, в чем сходство и различие этих фигур.
Узнаем, как рассчитать длину окружности и площадь круга.
Окружность и круг
Мы часто встречаем такие понятия, как окружность и круг.
Давайте попробуем разобраться, что называют окружностью, а что кругом.
Центр окружности— это точка, которая находится на одинаковом расстоянии (равноудаленная) от любой точки окружности, ее обозначают обычно заглавной буквой О.
Свои имена окружность и круг приобрели не сразу.
В древние времена специальных названий для этих фигур не существовало. Люди пытались описать различные геометрические формы, сравнивая объекты. Например, говоря про что-то круглое, говорили: «такой, как солнце» или «такой, как орех» и т.п.
Только в Древней Греции окружность и круг приобрели себе свои названия.
Круг всегда привлекал к себе внимание как самая простая фигура из кривых, но самая загадочная.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Древние греки считали круг и окружность символом бесконечности и совершенства. Поражало то, что в каждой своей точке окружность устроена одинаково, представляя собой бесконечную линию, которая движется сама по себе.
У древних славян еще за долго до христианства круг был символом солнца.
Символика круга в различных религиях сопоставляется с целостностью, вечностью и бесконечной мудростью.
У буддистов круг символизирует единство внутреннего и внешнего мира.
В христианстве круг служит эталоном божественного и духовного совершенства.
В живой и неживой природе круги и окружности встречаются как на макроуровнях, так и на микроуровнях. Например, движение электронов вокруг атомного ядра; вращение планет вокруг солнца; распространение волн на воде от упавшего груза; образование солнечного и лунного гало; срез дерева; зрачок глаза у человека и многое другое.
Рассмотрим подробней элементы, характерные для окружности.
Радиус окружности— это отрезок, соединяющий центр окружности и любую другую точку, расположенную на линии окружности.
С латинского радиус (radius)- луч, спица колеса. Радиус не сразу приобрел себе такое название.
Слово радиус впервые встречается в 1569 году у французского ученого П. Рамуса, а общепризнанным становится к концу XVII века.
Радиус обозначается маленькой латинской буквой (r) или заглавной (R).
В окружности можно провести столько же радиусов, сколько точек имеет линия окружности; все эти радиусы равны.
Обычно диаметр обозначают латинской маленькой буквой d или заглавной D.
По величине диаметр равен двум радиусам, лежащим на одной прямой.
d = 2r
Следовательно, радиус- это половина диаметра.
r = d: 2
Пример 1
Радиус окружности равен 6 см.
Чему равен диаметр окружности?
r = 6 см
Решение:
d = 2r
d = 2r= 2*6 = 12 (см) диаметр окружности
Ответ: d= 12 см
Пример 2
Диаметр окружности равен 12 см.
Чему равен радиус окружности?
d = 12 см
Решение:
r = d : 2
r = 12 : 2 = 6 (см) радиус окружности
Ответ: r = 6 см
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Образовались две дуги: \(\mathbf<\cup AB\ и\ \cup BA>\)
Отрезок, который соединяет любые две точки на окружности (отрезок секущей), называется хордой.
На рисунке отрезок MN является хордой.
Если хорда проходит через центр окружности, то она является самой большой хордой для этой окружности. По своей сути она является диаметром для данной окружности и делит окружность на две равные дуги.
По мере удаления хорды от центра размеры ее уменьшаются, а дуги делятся на большую и малую.
АВ— самая большая хорда окружности- диаметр окружности.
CD, N1M1, NM, FE— хорды окружности.
Хорды окружности, удаленные на равные расстояния от центра, равны.
Хорды NM и N1M1 равны.
Если две хорды пересекаются в точке, то их отрезки пропорциональны.
Важно отметить, что все рассмотренные элементы окружности одинаковы и для круга.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Длина окружности и площадь круга
Давайте выясним, что такое длина окружности и как ее определить.
Представьте, что окружность обернута нитью.
Если разрезать эту нить в некоторой точке и размотать ее, то длина нитки будет равна длине окружности.
Обычно длина окружности обозначается заглавной буквой С
Длина окружности (С) зависит от длины ее диаметра (d)
Обратите внимание на рисунок.
Вы можете заметить, что чем больше диаметр, тем больше длина окружности.
Из этого следует, что длина окружности прямо пропорционально зависит от диаметра окружности.
А значит, для любых окружностей отношение длины окружности (С) к длине диаметра (d) является числом постоянным.
Это число (коэффициент пропорциональности) обозначают греческой буквой \(\mathbf<\pi>\), читается «пи».
С— это длина окружности
d— диаметр окружности
запишем отношение \(\mathbf
отсюда следует, что длина окружности равна
Так как диаметр окружности вдвое больше радиуса d = 2r, получим еще одну формулу для вычисления длины окружности
Число \(\mathbf<\pi>\)- это иррациональное число, т.е. число, которое представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
История числа \(\mathbf< \pi>\) насчитывает около 4 тысячелетий.
Одно из первых доказательств древнего существования этого числа \(\mathbf< \pi>\) заключено в папирусе Ахмеса, в одном из старейших задачников (1650 год до н.э.), найденного в Древнем Египте.
В папирусе дано достаточно точное, особенного для того времени, значение числа, равного 3,1605.
Точнее число \(\mathbf< \pi>\) рассчитал древнегреческий математик Архимед. Он приближенно представил значение константы в виде обыкновенной дроби \(\mathbf<\frac <22><7>>\)
Архимеду удалось найти точное приближение числа \(\mathbf< \pi>\) (т.е. узкий числовой промежуток к которому принадлежит число \(\mathbf< \pi>\)).
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Решения задач по теме «Длина окружности и площадь круга»
Рассмотрим примеры решения задач
Задача 1
Найдите длину окружности, если ее радиус равен 4 см.
Число \(\mathbf<<\pi>>\) округлите до сотых.
r = 4 см
Решение:
Подставив в формулу известные значения радиуса и постоянной \(\mathbf<\pi>\), получим:
Ответ: \(\mathbf
Задача 2
Длина окружности надувного бассейна 15,7м.
Найдите диаметр этого бассейна.
Число \(\mathbf<\pi>\) округлите до сотых.
C = 15,7 м
Решение:
Подставив в формулу известные значения длины окружности и постоянной \(\mathbf<\pi>\), получим:
Ответ: \(\mathbf
Задача 3
Диаметр окружности равен 6 см.
Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью.
Значение числа \(\mathbf<\pi>\) округлить до сотых.
d = 6 cм
Решение:
\(\mathbf<4><\cdot>3,14<\cdot>6^2 = \frac <3,14<\cdot>36> <4>> = 3,14<\cdot>9=28,26\) (cм 2 ) площадь круга
Ответ: \(\mathbf\) (см 2 )
Задача 4
Вычислите площадь полукруга, если радиус круга равен 5 см.
Значение \(\mathbf<\pi >\) округлить до целых.
r = 5 cм
Решение:
Площадь круга найдем по формуле:
Площадь полукруга будет равна половине площади всего круга.
Следовательно, формула для расчета площади полукруга получится вида:
Подставим в формулу известные значения радиуса круга и постоянной \(\mathbf<\pi>\), получим:
\(\mathbf
Ответ: \(\mathbf
Задача 5
Найдите площадь круга, если известна длина окружности С.
Длина окружности С
Решение:
Длина окружности выражается формулой:
Выразим неизвестный радиус окружности через длину окружности:
Площадь круга определяем по формуле:
Подставим, полученные выражения для радиуса окружности, в формулу площади круга, получим:
Сократим полученную дробь:
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Кроме вычислительных задач, существуют задачи на построение окружности и круга.
Окружность и круг можно начертить с помощью чертежного инструмента, который называется циркуль.
В переводе с латинского языка circulus означает «окружность», «круг».
Циркуль использовали еще с древности, много тысяч лет назад, об этом свидетельствуют найденные на раскопках находки, изображения.
Циркуль представляет собой две одинаковые по длине «ножки». На конце одной из них игла, а на второй- грифель.
Есть циркуль, у которого вместо «ножки» с грифелем помещается карандаш.
Рассмотрим, как построить окружность (круг) на бумаге с помощью циркуля и линейки.
Если задан радиус окружности (круга), то в нулевую отметку на линейке ставим иголку циркуля, другая «ножка» циркуля с грифелем в точку на линейке, равной по значению заданному радиусу.
Не отрывая грифеля второй «ножки» циркуля от бумаги проводим окружность с заданным радиусом.
Если в задаче задан диаметр, то, прежде чем совершать замер по линейке, необходимо диаметр разделить пополам.
Таким образом, устанавливаем раствор циркуля по линейке на расстояние d:2 = r и чертим окружность по выше изложенной схеме.
Данный способ построения окружности (круга) может быть применен и на бумаге, если под рукой не оказалось циркуля.
В качестве колышка берется кнопка, к ней привязывается нить определенной длинны (длина нити равна значению заданного радиуса), ко второму концу привязывается карандаш
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Длина окружности
6 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Как найти длину окружности через диаметр
Диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через её центр. Формула длины окружности через диаметр:
π— число пи — математическая константа, равная 3,14
d — диаметр окружности
Как найти длину окружности через радиус
Радиус окружности — отрезок, который соединяет центр окружности с точкой на окружности. Формула длины окружности через радиус:
π — число пи, равное 3,14
Как вычислить длину окружности через площадь круга
Если вам известна площадь круга, вы также можете узнать длину окружности:
π — число пи, равное 3,14
Как найти длину окружности через диагональ вписанного прямоугольника
Как измерить окружность, если в нее вписан прямоугольник:
π — число пи, равное 3,14
d — диагональ прямоугольника
Как вычислить длину окружности через сторону описанного квадрата
Давайте рассмотрим, как найти длину окружности, если она вписана в квадрат и нам известна сторона квадрата:
Как найти длину окружности через стороны и площадь вписанного треугольника
Можно найти, чему равна длина окружности, если в нее вписан треугольник и известны все три его стороны, а также известна его площадь:
π — математическая константа, она всегда равна 3,14
a — первая сторона треугольника
b — вторая сторона треугольника
c — третья сторона треугольника
S — площадь треугольника
Как найти длину окружности через площадь и полупериметр описанного треугольника
Можно определить, чему равна длина окружности, если круг вписан в треугольник, и известны следующие параметры: площадь треугольника и его полупериметр.
Периметр — это сумма всех сторон треугольника. Полупериметр равен половине этой суммы, то есть чтобы его найти, вам нужно рассчитать периметр и поделить его на два.
π — математическая константа, равная 3,14
S — площадь треугольника
p — полупериметр треугольника
Как вычислить длину окружности через сторону вписанного правильного многоугольника
Разбираемся, как в этом случае измерить окружность. Для этого необходимо посчитать, сколько сторон у многоугольника, а также знать длину стороны многоугольника. Напомним, что у правильного многоугольника все стороны равны, как у квадрата.
Формула вычисления длины окружности: 
π — математическая константа, равная 3,14
a — сторона многоугольника
N — количество сторон многоугольника
Задачи для решения
Давайте тренироваться! Двигаемся от простого к сложному:
Задача 1. Найти длину окружности, диаметр которой равен 5 см.
Решение. Итак, нам известен диаметр окружности, значит для вычисления длины заданной окружности берем формулу:
Подставляем туда известные переменные и получается, что длина окружности равна
Задача 2. Чему равна длина окружности, описанной около правильного треугольника со стороною a = 4√3 дм
Решение. Радиус окружности равен 
Подставим туда наши переменные и получим 
Теперь, когда нам известен радиус окружности и есть формула длины окружности через радиус l=2πr, мы можем подставить наши данные и получить решение задачи.
Обучение на курсах по математике поможет закрепить полученные знания на практике.
Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг
 Основные определения и свойства. Число π |
| Формулы для площади круга и его частей |
| Формулы для длины окружности и ее дуг |
| Площадь круга |
| Длина окружности |
| Длина дуги |
| Площадь сектора |
| Площадь сегмента |
,
,
,
,
,
,
