Что такое диагональ призмы

Объем призмы и другие ее характеристики

Перед вами иллюстрированный гид о призме.

В картинках. С пояснениями к формулам. С примерами.

Определение, виды призм, высота, площадь, объем призмы — все, все, все!

Читайте и делитесь впечатлениями в комментариях!

Призма — коротко о главном

Определение призмы:

Призма – это многогранник, две грани которого (основания) – равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани – параллелограммы.

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

Виды призм:

Параллелепипед — это призма, основанием которой является параллелограмм.

Прямая призма – это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Другие призмы называются наклонными.

Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы – равные прямоугольники.

Объем призмы

Главная формула объема призмы:
\( \displaystyle V=S<<\ >_<основания>>\cdot \text\),
где \( <<\text>_<основания>>\) – площадь основания,
\( H\) – высота.

Необычная формула объема призмы:
\( \text=<<\text>_<\bot >>\cdot l\),
где \( <<\text>_<\bot >>\) – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,
\( l\) – длина бокового ребра.

Площадь призмы

А теперь чуть подробнее…

Заходите и готовьтесь к ЕГЭ.

Что такое призма

Давай ответим сперва картинками:

Смотри: у призмы сверху и снизу два одинаковых многоугольника – они называются основаниями.

Остальные грани называются боковыми.

Плоскости оснований параллельный. Боковые грани – параллелограммы.

Смотри: бывают рёбра основания и боковые рёбра.

Все боковые рёбра призмы равны и параллельны.

Думаю, теперь мы можем дать более строгое определение призмы.

Определение призмы

Призма — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы.

Виды призм

Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.

Прямая призма – это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания.

Другие призмы называются наклонными.

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Высота призмы

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

И ясно, что та же самая высота получится, если опустить перпендикуляр из любой точки на верхней плоскости.

Объем призмы

Главная формула объема призмы

Необычная формула объема призмы

\( \text=<<\text>_<\bot >>\cdot l\),
где \( <<\text>_<\bot >>\) — площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,
\( l\) — длина бокового ребра.

Площадь призмы

Прямая призма

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, то призма называется прямой.

Свойства прямой призмы:

Правильная призма

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, а в основании лежит правильный многоугольник, то призма называется правильной.

То есть правильная призма – это прямая призма, у которой в основании правильный многоугольник.

Тебе, скорее всего, может встретиться:

Правильная треугольная призма – в основании правильный треугольник, боковые грани – прямоугольники.

Правильная четырёхугольная призма – это ещё и разновидность прямоугольного параллелепипеда – в основании квадрат, боковые грани – прямоугольники.

Правильная шестиугольная призма – в основании правильный шестиугольник, боковые грани – прямоугольники.

Главная формула объема призмы

Эта формула верна для любой призмы, но если призма прямая, то \( H\) «превращается» в боковое ребро. И тогда

\( \displaystyle V=S<<\ >_<основания>>\cdot боковое\ ребро\)

Необычная формула объёма призмы

Представь себе, есть ещё одна, «перевёрнутая» формула для объёма призмы:

\( <<\text>_<\bot >>\) – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,

\( l\) – длина бокового ребра

Используется ли эта формула в задачах? Честно говоря, довольно редко, так что можешь ограничиться знанием основной формулы объёма.

Давай теперь для упражнения посчитаем объём самых популярных призм.

Объем правильной треугольной призмы

Пусть дано, что сторона основания равна \( a\), а боковое ребро равно \( b\).

Вспомним, как находить площадь правильного треугольника:

Подставляем в формулу объёма:

Объем правильной четырёхугольной призмы

Опять дано: сторона основания равна \( a\), боковое ребро равно \( b\).

Ну, площадь квадрата долго искать не надо:

Объем правильной шестиугольной призмы

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Площадь поверхности призмы

Площадь боковой поверхности призмы – сумма площадей всех боковых граней.

Есть ли общая формула?

Нет, в общем случае нет. Просто нужно искать площади боковых граней и суммировать их.

Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.

Формулу можно написать для прямой призмы:

\( \displaystyle <<\text>_<боков.>>=\text\cdot \text

\), где \( \displaystyle P\) – периметр основания.

Но всё-таки гораздо проще в каждом конкретном случае сложить все площади, чем запоминать дополнительные формулы.

Для примера посчитаем полную поверхность правильной шестиугольной призмы

Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро равно \( \displaystyle b\).

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

Курсы для тех, кому нужно получить 90+ и поступить в топовый ВУЗ страны.

А теперь мы хотим узнать твое мнение!

Многие ученики путают прямую и правильную призму. А ты теперь никогда не запутаешься!

Была ли эта статья полезной? Ты все понял?

Если у тебя остались вопросы, пиши внизу в комментариях! Разберёмся!

Или если появились предложения. Или если просто хочешь поделиться своими мыслями. Мы будем очень рады.

Добавить комментарий Отменить ответ

5 комментариев

Тут всё понятно,впервые начинаю понимать стереометрию

Супер Aper! Рады помочь!

Когда читаю теорию этого учебника, такое ощущение, что я разговариваю с другом. Настолько все просто и приятно. Сказать, что я влюбилась в этот материал, ничего не сказать. Спасибо вам!

Бася, вы нас растрогали таким комментарием. Спасибо большое! Удачи на экзамене!

Некоторые комментарии прошлых лет об этой статье:

Илья
26 ноября 2017
Огромное вам спасибо за созданный сайт, он очень удобен и информативен. Мне сложно представить какое количество времени было потрачено на «переработку» материала в понятном и доступном виде.Теперь есть источник чистых знаний, без лишней «воды», который не только помогает узнать новое, но и систематизировать информацию в голове. Жаль, что я не нашел сайт раньше. Вы лучшие!

Дмитрий
21 февраля 2018
Сайт отличный!Все подробно описано. Никогда не понимал эту тему, но благодаря создателям этого сайта я наконец понял эту тему. Спасибо вам за ваши труды. Очень вам благодарен.

Regina
29 марта 2018
Аааааааа,это просто лучшее. Никогда не разбиралась в геометрии…Готовясь к зачету искала все сайты на эту тему. Нашла вас. Ввы все объяснили просто и доступно. Спасибо большое!

Настя
21 мая 2018
Красивый сайт, ничего глаза не режет, смотреть и читать приятно.

Женя
27 февраля 2019
можете указать свои инициалы? мне это для проекта надо)

Анна
29 апреля 2019
Преподнесено очень понятным языком, с наглядными картинками, спасибо) Хотелось бы хоть пример одной задачи и решение чтобы было открыто бесплатно, чтобы понять на сколько хорошо поясняете, но я думаю все ок.

Жанна
27 апреля 2020
Спасибо! Я — учитель и мне очень понравилось!

Николай
04 июня 2020
Все очень доступно и понятно. Только вот не написано в статье про диагональ призмы. А так все просто супер, подготовился к сессии по данному материалу 🙂

Алексей Шевчук
05 июня 2020
Николай, спасибо. Диагонали в разных призмах разные, а в треугольной её и вовсе нет, поэтому длина диагонали — частный случай, а не какая-то полезная формула. Стоит рассмотрения разве что диагональ прямоугольного параллелепипеда — она вычисляется по теореме Пифагора и равна корню из суммы квадратов рёбер.

Источник

Что такое призма: определение, элементы, виды, варианты сечения

В данной публикации мы рассмотрим определение, основные элементы, виды и возможные варианты сечения призмы. Представленная информация сопровождается наглядными рисунками для лучшего восприятия.

Определение призмы

Призма – это геометрическая фигура в пространстве; многогранник с двумя параллельными и равными гранями (многоугольниками), а другие грани при этом являются параллелограммами.

На рисунке ниже представлен один из самых распространенных видов призмы – четырехугольная прямая (или параллелепипед). Другие разновидности фигуры рассмотрены в последнем разделе данной публикации.

Элементы призмы

Развёртка призмы – разложение всех граней фигуры в одной плоскости (чаще всего, одного из оснований). В качестве примера – для прямоугольной прямой призмы:

Примечание: свойства призмы представлены в отдельной публикации.

Варианты сечения призмы

Примечание: другие варианты сечения не так распространены, поэтому отдельно на них останавливаться не будем.

Виды призм

Рассмотрим разновидности фигуры с треугольным основанием.

Источник

Скоро вебинар
«ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ»
(Аналитическая геометрия). Жми подробнее.

Две равные грани называются основаниями призмы (ABCDE, A₁ B₁C₁D₁E₁).

Все боковые грани образуют боковую поверхность призмы.

Все боковые грани призмы являются параллелограммами.

Ребра, не лежащие в основаниях, называются боковыми ребрами призмы(AA₁, BB₁, CC₁, DD₁, EE₁).

Диагональю призмы называется отрезок, концами которого служат две вершины призмы, не лежащие на одной ее грани (АD₁).

Длина отрезка, соединяющего основания призмы и перпендикулярного одновременно обоим основаниям,называется высотой призмы.

Среди прямых призм выделяется частный вид: правильные призмы.

Прямая призма называется правильной, если ее основания-правильные многоугольники.

У правильной призмы все боковые грани равные прямоугольники.

Частным случаем призмы является параллелепипед.

Параллелепипед

Свойства и теоремы:

Некоторые свойства параллелепипеда аналогичны известным свойствам параллелограмма.

Прямоугольный параллелепипед, имеющий равные измерения, называются кубом.

У куба все грани равные квадраты.

Квадрат диагонали, равен сумме квадратов трех его измерений

,

Площадь полной и боковой поверхности призмы

Площадь полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней

Площадь боковой поверхности называется сумма площадей ее боковых граней

где S_полн— площадь полной поверхности,

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Объем призмы

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту.

V = S*h,

Источник

Как рассчитать диагонали призмы прямой четырехугольной?

Призма является геометрической объемной фигурой, характеристики и свойства которой изучают в старших классах школ. Как правило, при ее изучении рассматривают такие величины, как объем и площадь поверхности. В данной же статье раскроем несколько иной вопрос: приведем методику определения длины диагоналей призмы на примере четырехугольной фигуры.

Какая фигура называется призмой?

В геометрии дается следующее определение призме: это объемная фигура, ограниченная двумя многоугольными одинаковыми сторонами, которые параллельны друг другу, и некоторым числом параллелограммов. Рисунок ниже показывает пример призмы, соответствующий данному определению.

По количеству сторон или вершин многоугольника в основании говорят о призмах треугольных, пятиугольных, четырехугольных и так далее. Причем если этот многоугольник является правильным, а сама призма прямой, то такую фигуру называют правильной.

Приведенная на предыдущем рисунке призма является пятиугольной наклонной. Ниже же изображена пятиугольная прямая призма, которая является правильной.

Все вычисления, включая методику определения диагоналей призмы, удобно выполнять именно для правильных фигур.

Какие элементы характеризуют призму?

Элементами фигуры называют составные части, которые ее образуют. Конкретно для призмы можно выделить три главных типа элементов:

Гранями считаются основания и боковые плоскости, представляющие параллелограммы в общем случае. В призме всегда каждая сторона относится к одному из двух типов: либо это многоугольник, либо параллелограмм.

Числа описанных элементов связаны в единое равенство, имеющее следующий вид:

На рисунке показана треугольная правильная призма. Каждый может посчитать, что она имеет 6 вершин, 5 сторон и 9 ребер. Эти цифры согласуются с теоремой Эйлера.

Диагонали призмы

После таких свойств, как объем и площадь поверхности, в задачах по геометрии часто встречается информация о длине той или иной диагонали рассматриваемой фигуры, которая либо дана, либо ее нужно найти по другим известным параметрам. Рассмотрим, какие бывают диагонали у призмы.

Все диагонали можно разделить на два типа:

Далее приведем примеры вычисления различных диагоналей.

Диагонали сторон четырехугольной прямой призмы

На рисунке выше изображены четыре одинаковые прямые призмы, и даны параметры их ребер. На призмах Diagonal A, Diagonal B и Diagonal C штриховой красной линией изображены диагонали трех разных граней. Поскольку призма является прямой с высотой 5 см, а ее основание представлено прямоугольником со сторонами 3 см и 2 см, то отыскать отмеченные диагонали не представляет никакого труда. Для этого необходимо воспользоваться теоремой Пифагора.

Длина диагонали основания призмы (Diagonal A) равна:

D_A = √(3 2 +2 2 ) = √13 ≈ 3,606 см.

Для боковой грани призмы диагональ равна (см. Diagonal B):

D_B = √(3 2 +5 2 ) = √34 ≈ 5,831 см.

Наконец, длина еще одной боковой диагонали равна (см. Diagonal C):

D_С = √(2 2 +5 2 ) = √29 ≈ 5,385 см.

Длина внутренней диагонали

D_D = √(D_A 2 +5 2 ) = √(2 2 +3 2 +5 2 ) = √38 ≈ 6,164 см.

Правильная призма четырехугольная

Диагональ правильной призмы, основанием которой является квадрат, рассчитывается аналогичным образом, как и в приведенном выше примере. Соответствующая формула имеет вид:

Заметим, что при вычислениях мы использовали только теорему Пифагора. Для определения длин диагоналей правильных призм с большим числом вершин (пятиугольные, шестиугольные и так далее) уже необходимо применять тригонометрические функции.

Источник

Прямоугольная призма. Формулы длин диагоналей, площади поверхности и объема

Стереометрия является разделом геометрии, который изучает разные свойства фигур в пространстве трехмерной системы координат. Одной из таких фигур является прямоугольная призма. Что она собой представляет, и какие свойства для нее характерны, рассмотрим в данной статье.

Призма прямоугольная в стереометрии

Каждый человек знаком с этой совершенной геометрической фигурой. Под ней понимают объемный объект, который состоит из шести прямоугольников в общем случае, причем все они попарно равны. Получить в пространстве эту призму несложно. Необходимо взять произвольный прямоугольник и перенести его параллельно самому себе вдоль отрезка, перпендикулярного исходному прямоугольнику. В результате получится фигура, показанная ниже на рисунке.

Вам будет интересно: Кто придумал двигатель внутреннего сгорания? Ключевые фигуры

Прямоугольная призма также называется параллелепипедом. Если ее основание будет квадратом, то она станет правильной призмой, у которой боковые прямоугольники будут равны между собой. Если у правильной призмы сторона основания совпадет с высотой (длиной ребра бокового), тогда мы получим фигуру куб.

Элементы фигуры

Наконец, третьим важным элементом изучаемой призмы являются ее вершины. В отличие от пирамиды или конуса, призма не имеет выделенной вершины. Все они у нее являются равноправными. Их количество равно восьми.

Как видно из представленной количественной характеристики элементов прямой прямоугольной призмы, для их чисел справедлива теорема Эйлера:

Диагонали фигуры

Диагонали прямоугольной призмы бывают двух видов:

Если обозначить буквами a, b и h длины сторон основания и длину бокового ребра, соответственно, тогда для длины диагоналей первого типа можно записать следующие равенства:

Диагональ d1 принадлежит основаниям, а диагонали d2 и d3 лежат в плоскостях боковых прямоугольников. Очевидно, что записанные формулы следуют из теоремы Пифагора.

Что касается диагоналей второго типа (объемных), то любая прямоугольная призма имеет четыре таких диагонали. Тем не менее их длины равны между собой. Формула для определения длины объемной диагонали записывается в следующем виде:

Если вычислять диагональ d4 для куба, то можно записать следующее выражение, которое получается из предыдущего:

При этом, все диагонали граней куба будут равны друг другу, и их длины вычисляются так:

Длина объемной диагонали всегда больше длин диагоналей сторон.

Определение площади поверхности

Каждый школьник знает, что для удобного определения площади поверхности, которой обладает любая объемная фигура, следует сделать ее развертку на плоскости. Прямоугольная призма не является исключением. Ее развертку сделать просто, для этого следует отрезать два основания от фигуры, а затем, разрезать ее вдоль одного из боковых ребер. Развернув грани боковой поверхности, мы получим следующую картину.

Развертка представляет собой шесть прямоугольников трех видов. Обозначим стороны основания буквами a и b. Высоту фигуры обозначим h. Тогда площадь одного основания будет равна:

Площади двух разных боковых граней равны:

Поскольку параллелепипед имеет по паре одинаковых граней, формулы площадей для которых записаны, то площадь полной поверхности фигуры S будет равна:

S = 2*(So + S1 + S2) = 2*(a*b + a*h + b*h).

Формула для S может быть упрощена, если прямоугольная призма обладает дополнительной симметрией. Например, если стороны ее основания равны (a = b), тогда для S можно записать такое выражение:

Это выражение следует из предыдущей формулы. Соответственно, если высота и длина основания равны (h=a), то мы получаем куб, площадь поверхности которого составит:

Заметим чем выше симметрия параллелепипеда, тем меньшее число линейных параметров необходимо знать, чтобы вычислить величину S.

Объем призмы прямоугольной

Изучаемая фигура состоит из шести граней, которые ограничивают пространственный объем. Он является объемом самой фигуры. Чтобы его рассчитать, можно применить универсальную формулу для всех призм и цилиндров. Она имеет следующий вид:

Поскольку основание изучаемой фигуры является прямоугольником, а ее высота равна длине ребра бокового, то объем призмы прямоугольной будет равен:

Полезно также привести формулы для правильной призмы с квадратным основанием и для куба, их объемы рассчитываются следующим образом:

для правильной призмы: V = a2*h;

Как и для площади, для определения объема необходимо знать от 1 до 3 линейных параметров в зависимости от симметрии параллелепипеда.

Источник