Что может физическая теория

Физические теории

Что такое наука? — Область знаний, которая позволяет выдавать точные предсказания.

1.
Исторически первой была создана классическая (Ньютоновская) механика. Она стоит на законах Ньютона и преобразованиях Галилея.

Преобразования линейны, интуитивны и просты. Машина едет со скоростью 5 [бананов в полторы минуты] относительно меня, я еду на автобусе в том же направлении относительно плакучей ивы со скоростью 2 [банана в полторы минуты], значит относительно ивы машина едет со скоростью 7 [бананов в полторы минуты].

Первый закон Ньютона об опытах в поезде премиум-класса на прямом (!) магнитном монорельсе в вагоне-термосе.

Третий для решения статических задач и для сглаживания некоторых противоречий.

Так вот, эта теория из трех Констант не учитывает ни одной! Закон всемирного тяготения вводится ручками и является уступкой опыту.

2.
Далее (хронологически) появилась специальная теория относительности. Конечно, математический аппарат для нее уже был готов, но только молодому тогда Эйнштейну удалось обосновать перед серьезными физиками состоятельность теории, использующую его (аппарат).

Суть — все как раньше (про поезд), но есть максимальная предельная скорость, скорость света, которая, более того, для света одна и та же для любого(!) наблюдателя, стоите Вы или бежите и не важно в какую сторону. Если хотите, я честно выведу преобразования Лоренца только из этих соображений и только с помощью ловкости рук!

Вот это и называется учесть скорость света. Прям так сразу, как постулат в основании теории.

Кстати сказать, завершенная к тому моменту электродинамика уже удовлетворяла этим условиям. Я про скорость света.

В наши удивительные времена мы используем и эту теорию во всю! Ярким примером служат системы навигации. На спутниках GPS/ГЛОНАСС/… должны быть очень точно синхронизированы часы. Очень! Учитывается замедление времени при движении с большими скоростями, плюс движение с ускорением (центростремительное), плюс искривление пространства-времени при движении вблизи массивного тела.

Вот тут G и c такие, какими должны быть.

4.
Если предыдущие теории были почти целиком плодом одного человека, то квантовая механика это дитя мозгового штурма. В двадцатых годах того века интенсивная переписка оформила теорию и была проведена проверка на экспериментах.

Ничего, казалось не предвещало беды, но три вещи были как бельмо на глазу (на самом деле больше, например зависимость проводимости металлов от температуры):
а) Фотоэффект, за который Эйнштейн получил Нобелевку (ну конееечно, за нее!). Классика, говорившая что свет — волны предсказывала что-то ну совсем не то. Но если представить, что это частицы и написать «шарик стукнул другой и остановился, а второй полетел почти так же быстро, только трение чуть затормозило» в виде формулы, то можно предсказывать все точно.
б) Спектр абсолютно черного тела. Была выведена одними формула для высокой температуры, другими для низкой, третий аппроксимировал, да так удачно, что все стало всегда сходиться. Только эта формула кричала о том, что свет — частица. Этого «третьего» звали Макс Планк и он потратил всю жизнь, чтобы опровергнуть свою формулу, являясь сторонником классической физики.
в) Эффект Комптона. Если свет — волна, то электрон должен качаться на волнах и испускать вторичное излучение такой же длинны волны (читай — энергии, ведь E = hv, где v — длина волны света), что и первичное, падающие. Но в опыте энергия оказывается меньше.

Кстати, еще после выдвижения планетарной модели атома встал вопрос о падении электрона на ядро. Действительно, почему он не падает? По расчетам электродинамики должен за пару наносекунд (если интересно, то напишу подробнее и про это). Так родился один из постулатов (о существовании стационарных орбит). На самом деле есть что-то в том, что в «длину» орбиты электрона должно помещаться целое число волн (Де Бройль предложил рассматривать и частицы как волны, почему нет. Мы же электромагнитные волны стали рассматривать как частицы)

Так мы учли постоянную Планка. Кстати, про перечеркнутую h: когда Нильс Бор приезжал к нам и читал лекции, ему задали вопрос о символе

5.
Поженить квантовую механику и специальную теорию относительности не составило особого труда. Просто вместо уравнения Шредингера, которое является местным аналогом закона сохранения энергии, записываем уравнения Дирака, суть которого — E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 и дальше аналогично 4.

Тут сидит квантовая электродинамика, квантовая теория электрослабого взаимодействия (про фундаментальные виды взаимодействия, если интересно, в следующей статье напишу) и квантовая хромодинамика. Все понятно «качественно», многое понятно «совсем».

Вот мы учли c и h/2pi.

6.
Теории, которые стараются учесть гравитацию почему-то часто имеют приставку супер-. Суперструны, суперсимметрия и т.д. Но ничего не выходит.

Суть проблемы в принципе неопределенности и искривлении пространства-времени. Если мы локализуем частицу в все более маленьком объеме, неопределенность импульса будет увеличиваться вместе с его максимальным возможным значением. С ростом импульса растет (говорим правильно!) тензор энергии-импульса (напомню, гравитационный заряд), а вместе с ним, как говорит ОТО, пространство-время сильнее искривляется, становится «меньше», а это значит бОльшую локализацию и по кругу. Со второй парой (энергия-время) не так интуитивно, но принцип тот же.

Вот и нет у нас пока теории, которая учитывала бы все.

Так что «почувствовать» влияние гравитации пока нельзя, увы.

Источник

Наука

This wiki’s URL has been migrated to the primary fandom.com domain.Read more here

Теоретическая физика

Теорети́ческая фи́зика — способ познания природы, при котором определённый круг природных явлений выражается при помощи только в виде математической модели. Данный способ при решении основополагающих законов физики не использует «опыт», эксперимент, а является изолированным методом изучения природы. В любом случае основные объективные законы и явления в природе формируются и принимаются в результате наблюдений и экспериментально доказанных. [1]

Теоретическая физика не рассматривает вопросы вида «почему математика должна описывать Природу?». Она принимает за постулат то, что, в силу неких причин, математическое описание природных явлений оказывается крайне эффективным, и изучает последствия этого постулата. Строго говоря, теоретическая физика изучает не свойства самой Природы, а свойства предлагаемых математических моделей. Поэтому вопросы вида «кто навязал Природе постоянство скорости света» тоже выходят за её рамки. Кроме того, часто теоретическая физика изучает какие-либо модели «сами по себе», без привязки к конкретным природным явлениям.

Содержание

Физическая теория

Продуктом теоретической физики являются физические теории. Поскольку теоретическая физика работает именно с математическими моделями, крайне важным требованием является математическая непротиворечивость завершенной физической теории. Вторым обязательным свойством, отличающим теоретическую физику от математики, является возможность получать внутри теории предсказания для поведения Природы в тех или иных условиях (т.е. предсказания для экспериментов) и, в тех случаях, где результат эксперимента уже известен, давать согласие с экспериментом.

Сказанное выше позволяет обрисовать общую структуру физической теории. Она должна содержать:

Из этого становится ясно, что утверждения типа «а вдруг теория относительности неверна?» бессмысленны. Теория относительности, как физическая теория, удовлетворяющая нужным требованиям, уже верна. Если же окажется, что она не сходится с экспериментом в каких-то предсказаниях, то значит, она в этих явлениях не применима к реальности. Потребуется поиск новой теории, и может статься, что теория относительности окажется каким-то предельным случаем этой новой теории. С точки зрения теории, катастрофы в этом нет. Более того, сейчас подозревается, что в определённых условиях (при плотности энергии порядка планковской) ни одна из существующих физических теорий не будет адекватной.

В принципе, возможна ситуация, когда для одного и того же круга явлений существуют несколько разных физических теорий, приводящих к похожим или совпадающим предсказаниям. История науки показывает, что такая ситуация обычно временна: рано или поздно либо одна теория оказывается более адекватна, чем другая, либо показывается, что эти теории эквивалентны (см. ниже пример с квантовой механикой).

Построение физических теорий

Фундаментальные физические теории, как правило, не выводятся из уже известных, а строятся с нуля. Первый шаг в таком построении — это самое настоящее «угадывание» того, какую математическую модель следует взять за основу. Часто оказывается, что для построения теории требуется новый (причем, обычно более сложный) математический аппарат, непохожий на тот, что использовался в теорфизике где-либо ранее. Это — не прихоть, а необходимость: обычно новые физические теории строятся там, где все предыдущие теории (т.е. основанные на «привычном» матаппарате) показали свою несостоятельность в описании Природы. Иногда оказывается, что соответствующий матаппарат отсутствует в арсенале чистой математики, и его приходится изобретать.

Дополнительными, но необязательными, критериями при построении «хорошей» теории могут являться понятия

Такие критерии, как « здравый смысл » или «повседневный опыт», не только нежелательны при построении теории, но и уже успели дискредитировать себя: многие современные теории могут «противоречить здравому смыслу», однако реальность они описывают на много порядков точнее, чем «теории, основанные на здравом смысле».

Источник

Несколько слов о физических теориях как приближениях реального мира

Предисловие

Решил написать небольшую статью, рассматривающую современный уровень развития некоторых физических теорий (в моём уровне понимания) в контексте сравнения с теориями, названными классической нерелятивистской физикой.

В первую очередь хочу указать, что классической нерелятивистской физикой я называю часть теоретической физики, которая была создана в второй половине XVIII — первой половине XIX века Лагранжем, Гамильтоном и позже расширены другими физиками в течении XIX века (я тут не упоминаю имена этих физиков, которые могли способствовать приведению теории и её мат. аппарата к современному виду, включая уроженцев Российской империи).

Классическая нерелятивистская механика и теория гравитации

Основы классической механики были заложены И. Ньютоном, сформулировавшим свои «3 закона» в труде «Математические начала натуральной философии» (год издания — 1687), хотя следует упомянуть принцип относительности, сформулированный Г. Галилеем в 1632 году (тоже использую год издания).

В самом простейшем случае можно сказать, что механика Ньютона (как и Лагранжа, и Гамильтона) может быть сформулирована в виде:

где p — это импульс, в общем случае — так называемый «обобщенный импульс», а F — сила. В отсутствии магнитного поля (а слабое или сильное взаимодействие я здесь тем более не упоминаю) эта сила может быть консервативной. Консервативной называется такая сила, работа которой на любой траектории не зависит от формы траектории и скорости движения (это в том числе отсылка к релятивистской динамике, фактически получается, что в СТО не существует понятия «консервативная сила»).

Для консервативных сил упомянутый выше закон может быть переписан в виде

где x — обобщенная координата, а p — соответствующий ей обобщенный импульс.

Подобная формулировка «2 закона Ньютона» является более общей, т. к. она получается при записи уравнения Лагранжа или уравнения Гамильтона. Уравнения Лагранжа и Гамильтона выводятся из принципа наименьшего действия. Действие — интеграл, который имеет размерность Дж *с и берется между 2 конфигурациями системы, то есть наборами координат и импульсов (x,p). В общем случае он выражается разными способами для разных подходов к классической механике.

Если говорить о классической теории гравитации, то она формулируется в виде закона гравитации Ньютона (через силу, а можно и записать через потенциальную энергию)

где сила действует в направлении притягивающего тела (этим сила гравитации отличается от электрической силы, которая создает отталкивание для одинаковых зарядов).

Формулировка закона гравитации через потенциальную энергию может быть выражена простейшей фразой:

Сумма кинетической энергии T(v) и потенциальной энергии U(r) остается постоянной все время движения частицы (системы частиц) вдоль их траектории.
Из этого закона можно получить простейшее уравнение:

В том случае, если мы смогли свести задачу к 1-мерной координате r (расстояние между центрами масс этих 2 тел) — мы можем записать решение задачи через интеграл:

Дальнейший метод решения — взять корень и дальше получаем простейшее дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Тут возникает 2 проблемы:

Сила Лоренца (деленная на электрический заряд частицы) тут интересна тем, что является по сути приближением для понятия «напряженность электрического поля E в системе отсчета частицы, движущейся со скоростью v» для скоростей v, много меньших скорости света.

Специальная теория относительности

Специальная теория относительности (СТО) была создана в 1892-1905 годах трудами Х. Лоренца, А. Пуанкаре и А. Эйнштейна. Описывает инерциальные системы отсчета (ИСО), строго говоря её постулаты нарушаются сразу, как только система отсчета перестает быть инерциальной (характер движения системы перестает быть равномерным и прямолинейным). В квантовой теории поля (по моему скромному пониманию) работает такой «закон», что после нахождения СО в состоянии неинерциального движения первый из упомянутых ниже постулатов перестает выполняться вообще, даже на время будущего равномерного и прямолинейного движения.
Наверное все помнят постулаты СТО, из которых выводятся преобразования Лоренца, но я сформулирую их следующим образом:

Она описывает связь между энергией частицы, импульсом и массой покоя.

Одно из следствий СТО — частица с массой покоя выше 0 не может достигнуть скорости света, хотя ещё энергия может расти выше «классического» предела

Данное утверждение согласуется с тем фактом, что элементарная частица может иметь кинетическую энергию, которая существенно больше этой величины.

И конечно следует упомянуть метрику Лоренца, также известную, как метрика Минковского:

Через эту метрику можно ввести понятие «длина 4-вектора», к 4-векторам относятся:

В этом случае я применил систему обозначений, при которой время измеряется в метрах, а скорость света равна единице. То есть, «хорошая» запись 4-вектора требует, чтобы он состоял из 4 величин одинаковой размерности.

Важное свойство любого 4-вектора — его значение при переходе в другую систему отсчета преобразуется так же, как соответствующие компоненты 4-координаты.

В электродинамике существует такая величина, как 4-мерная плотность тока. Вектор 4-тока может быть записан в виде:

Также следует упомянуть, что существуют ковариантные (как первая запись 4-тока) и контравариантные (как вторая запись) вектора. Переход между этими векторами осуществляется по формуле:

здесь применено соглашение Эйнштейна, которое означает, что в этой записи подразумевается суммирование по паре одинаковых индексов, расположенных в верху и внизу.

И так как статья о приближениях, конечно упомяну, как можно показать приближение СТО к механике Ньютона и как можно использовать. Из формулы (1) можно выразить энергию через импульс:

Кинетическую энергию можно выразить как разницу между полной энергией E и энергией покоя:

И в приближении p * я тут применил в смысле комплексного сопряжения. Конечно по определению не очень хорошо вводить метрику с комплексными элементами тензора, но физика не всегда оперирует действительными величинами, так что оставлю выражение в таком виде. В общем случае можно попробовать подставить в уравнения вообще любой (то есть не действительный) вид метрики, но Вы тогда можете получить комплексный тензор энергии-импульса. Все компоненты метрического тензора могут зависеть от координат, но при этом эти зависимости должны оставаться достаточно гладкими, так как тензор является решением дифференциального уравнения.

Понятие кривизны пространства-времени вводится в ОТО через такие понятия, как символы Кристоффеля и ковариантную производную (в необходимом мне смысле ковариантная производная записана здесь).

Тензор кривизны впервые введен немецким математиком Бернхардом Риманом в работе «Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen» ([1]), впервые опубликованной уже после смерти Римана. С помощью упомянутых выше символов этот тензор четвертого ранга можно записать в таком виде:

И достаточным условием того, что все компоненты тензора кривизны будут равны нулю, будет равенство нулю всех символов Кристоффеля:

Тривиальным условием для выполнения этого будет диагональность матрицы g и условие для любой перестановки индексов

Теперь перейду к тому, как получить пространство-время с нулевым тензором кривизны, а точнее — тензором Риччи. Тензором Риччи называют свертку тензора кривизны по первому и последнему индексу:

Забегая вперед скажу, что согласно уравнению Эйнштейна нулевой тензор Риччи может быть только в пустом пространстве (когда все компоненты тензора энергии-импульса равны нулю). В таком пространстве мы не получим гравитации по теории Ньютона. Желающие могут попробовать найти такую метрику, которая отличная от метрики Минковского, но сохраняет нулевой тензор Риччи. Возможно, что Вы откроете гравитационные волны.

Проведя свертку тензора Риччи по оставшимся 2 индексам мы получим скалярную кривизну:

Теперь перейду к самому уравнению Эйнштейна, также известному как уравнение Эйнштейна-Гильберта.

Цитата из Википедии:

Летом 1915 года Эйнштейн приехал в Гёттингенский университет, где прочитал ведущим математикам того времени, в числе которых был и Гильберт, лекции о важности построения физической теории гравитации и имевшихся к тому времени у него наиболее перспективных подходах к решению проблемы и её трудностях. Между Эйнштейном и Гильбертом завязалась переписка с обсуждением данной темы, которая значительно ускорила завершение работы по выводу окончательных уравнений поля. До недавнего времени считалось, что Гильберт получил эти уравнения на 5 дней раньше, но опубликовал позже: Эйнштейн представил в Берлинскую академию свою работу, содержащую правильный вариант уравнений, 25 ноября, а заметка Гильберта «Основания физики» была озвучена 20 ноября 1915 года на докладе в Гёттингенском математическом обществе и передана Королевскому научному обществу в Гёттингене, за 5 дней до Эйнштейна (опубликована в 1916 году). Однако в 1997 году была обнаружена корректура статьи Гильберта от 6 декабря, из которой видно, что Гильберт выписал уравнения поля в классическом виде не на 5 дней раньше, а на 4 месяца позже Эйнштейна. В ходе завершающей правки Гильберт вставил в свою статью ссылки на параллельную декабрьскую работу Эйнштейна, добавил замечание о том, что уравнения поля можно представить и в ином виде (далее он выписал классическую формулу Эйнштейна, но без доказательства).

При выводе уравнения гравитационного поля ученые применили 2 принципа:

Эти утверждения я считаю доказанными учеными. Другие ученые могли вводить модификацию действия Эйнштейна, наиболее известный пример — теория Бранса-Дикке. Достаточных доказательств этих теорий в наблюдениях пока не получено. Желающие изучить саму теорию могут почитать например здесь.
С учетом введенных выше обозначений уравнение Эйнштейна можно записать в следующем виде:

где G — гравитационная постоянная. Краткий смысл уравнения можно сформулировать так:

Квантовая механика

Квантовая механика была создана физиками для описания микроскопических систем. Одним из первых достижений квантовой теории, подтверждавшейся в наблюдаемых данных, была полуклассическая модель атома Н. Бора, созданная в 1913 году. Я применю для записи уравнений квантовой механики такую вольность — обозначу приведенную постоянную Планка буквой h (вместо символа «h с чертой»). Постулат теории Бора, имеющий минимальное отношение к настоящей квантовой механике, это постулат о квантовании момента импульса электрона массы m на «орбитах» в атоме:

где n — натуральное число (в настоящей квантовой механике момент импульсам может быть 0, но это число n, называемое «главное квантовое число», является натуральным).

Дальнейшим этапом развития квантовой механики было формулирование Э. Шрёдингером уравнения, названного позднее его именем. Это уравнение записывается через особый оператор, называемый «гамильтониан». Оператор получатся из функции Гамильтона путем замены классического импульса на оператор импульса:

где x — обобщенная координата, соответствующая классическому обобщенному импульсу p_x.

В общем случае уравнение Шрёдингера записывается для волновой функции (обозначается греческой буквой «пси») как нестационарное:

здесь применен частный случай, когда в функции Гамильтона классической системы обобщенный импульс имеет вид обычного классического импульса. А для случая консервативных систем уравнение Шрёдингера может быть записано в стационарной форме, которая может рассматриваться как уравнение для нахождения собственных функций и собственных значений оператора Гамильтона:

где E — соответствующее собственное значение оператора.

Для рассмотрения перехода от квантовой механики к классической рассмотрим замену волновой функции в уравнении Шрёдингера на следующую переменную:

Уравнение Шрёдингера можно решать путем разложения функции S (имеющей размерность действия) по степеням постоянной Планка:

После подстановки функции S в уравнение получает следующий вид:

где константа A была сокращена.

Для получения уравнения классической механики (известного как уравнение Гамильтона-Якоби) нам следует указать, что величина действия S на любой классической траектории имеет величину много больше, чем постоянная Планка. После этого последний член уравнения может быть откинут.

При необходимости более точного решения уравнения применяется упомянутое выше разложение действия по степеням h. Функция S₁ находится как решение уравнения Гамильтона-Якоби, после чего подставляется в систему уравнений, полученную путем разложения уравнения по степеням h (то есть что левая и правая часть должна совпасть или при переносе в одну сторону коэффициенты условного полинома должны стать равны нулю).

Идеология приближенного решения уравнения Шрёдингера (точнее — нахождения поправок к уровням энергии) может быть сформулирована так:
Используя волновые функции невозмущенного гамильтониана H₀ и величину возмущения H₁ (равную H — H₀) путем нескольких итераций можно найти новые уровни энергии E.

Гамильтониан физической системы представляется в виде:

где… подразумевают, что в разных случаях нам требуется учесть разное число поправок, которые, как правило, имеют разный порядок малости. Эти поправки к гамильтониану называются возмущениями, а волновые функции гамильтониана H₁ должны быть точно известны. Соответствующая теория решения уравнения называется «теория возмущений«.
Если нам известны волновые функции гамильтониана H₁, то они образуют базис линейного пространства (ЕМНИП). Это означает, что вообще любая волновая функция может быть представлена в виде линейной комбинации волновых функций невозмущенного гамильтониана. С учетом этого можно показать, что первый порядок теории возмущений приводит к изменению энергии уровня под номером n на величину

$» data-tex=»display»/>

Данное выражение называется матричным элементом оператора H₂ по волновым функциям, соответствующим состояниям с номерами n и n.

Самое первое (по времени открытия) и (ЕМНИП) самое большое по величине отклонение уровней энергии атома водорода от предсказания нерелятивистской квантовой механики может быть получено при условии подстановки в виде возмущения гамильтониана системы оператора кинетической энергии в форме формулы (2):

$» data-tex=»display»/>

Вы могли увидеть, что эта величина отрицательна. Тут есть 2 замечания. Во первых, оператор импульса здесь соответствует релятивистскому импульсу, который может превысить mc — значит в релятивистском случае растет и первый член в разложении кинетической энергии. Во вторых, к тому моменту, как формула 2 начинает падать с ростом импульса, Вы точно знаете, что должны были учесть:

Вместо послесловия

На этом я заканчиваю свой обзор, так как он приблизился к границам моей области знаний. Но наука не стоит на месте. За 100 лет после формулировки ОТО были открыты гравитационные волны, а за 100 лет после формулировки постулатов Бора был открыт целый набор элементарных частиц и, фактически, 3 новых фундаментальных взаимодействия. СТО и квантовая механика уже нашли применение в практических устройствах (речь идет не только про экспериментальные научные установки, но и про множество оптических устройств).

Список упомянутых источников:
1. Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen // Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, vol. 13, 1867

Источник