Вероятность равновозможных событий

Для того чтобы оценить вероятность интересующего нас события путем статистического исследования, необходимо провести большое число опытов или наблюдений, и только после этого можно определить приближенно вероятность этого события. В то же время в ряде случаев вероятность события можно оценить непосредственно из условий самого опыта или наблюдения путем рассуждений, не прибегая к испытаниям.

Вернемся к примеру с бросанием игрального кубика. Если кубик имеет правильную форму и сделан из однородного материала, то при его бросании шансы выпадения на его верхней грани каждого числа очков от 1 до 6 одинаковы, т. е. нет оснований считать, что какой-нибудь из исходов более возможен, чем остальные. Говорят, что существует б равновозможных исходов опыта с бросанием кубика: выпадение 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков.

Вообще исходы в определенном опыте или наблюдении считают равновозможными, если шансы этих исходов одинаковы.

Исходы, при которых происходит некоторое событие, называются благоприятными исходами для этого события.

Рассмотрим событие В, которое означает выпадение на кубике числа очков, кратного 3. Это событие происходит лишь при двух исходах испытания: когда выпало 3 очка и когда выпало 6 очков, т. е. для события В благоприятными являются два исхода из шести равновозможных исходов.

Отношение числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов в рассматриваемом примере равно Это отношение считают вероятностью события В и пишут:

Обозначение Р происходит от французского слова рrоbаbilité, что означает « вероятность».

В отличие от статистического подхода к вычислению вероятности такой подход называется классическим.

Что означает на практике, что вероятность рассмотренного события В равна Разумеется, это не означает, что при шести бросках кубика число очков, кратное 3, выпадет ровно 2 раза. Возможно, что оно выпадет 1 раз, 3 раза, не выпадет совсем. Однако если провести большое число испытаний, то относительная частота появления события В будет мало отличаться от т. е. от Вообще при увеличении числа испытаний со случайными исходами относительная частота появления случайного события приближается к его вероятности.

Сопоставляя статистический и классический подходы к вычислению вероятностей, можно сделать вывод, что статистический подход предполагает фактическое проведение испытания, а при классическом подходе не требуется, чтобы испытание было проведено в действительности.

Для того чтобы найти вероятность некоторого события (при классическом подходе), надо правильно определить число равновозможных исходов испытания и число благоприятных для этого события исходов.

Задача. Найдем вероятность того, что при подбрасывании двух монет на обеих монетах выпадет решка.

При одновременном бросании двух монет равновозможными являются следующие исходы:

— на обеих монетах выпадет орел;
— на первой монете выпадет орел, а на второй — решка;
— на первой монете выпадет решка, а на второй — орел;
— на обеих монетах выпадет решка.

Благоприятным для события А, состоящего в том, что на обеих монетах выпадет решка, является один исход из четырех возможных, значит,

При решении этой задачи было бы ошибкой считать, что в данном опыте имеются три равновозможных исхода:

— на обеих монетах выпадет орел;
— на одной монете выпадет орел, а на другой — решка;
— на обеих монетах выпадет решка.

Отсюда следовал бы неверный вывод, что

Приведем примеры вычисления вероятностей.

Пример 1. Из 25 экзаменационных билетов по геометрии ученик успел подготовить 11 первых и 8 последних билетов. Какова вероятность того, что на экзамене ему достанется билет, который он не подготовил?

Пример 2. Антон и Игорь бросают белый и черный игральные кубики и подсчитывают сумму выпавших очков. Они договорились, что если при очередном бросании в сумме выпадет 8 очков, то выигрывает Антон, а если в сумме выпадет 7 очков, то выигрывает Игорь. Можно ли считать, что шансы выиграть в этой игре у мальчиков одинаковы?

При бросании кубиков на белом кубике может выпасть 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Каждому числу очков, выпавших на белом кубике, соответствует шесть вариантов числа очков, выпавших на черном кубике. Все исходы этого испытания приведены в таблице:

В каждой паре на первом месте записано число очков, выпавших на белом кубике, а на втором месте — число очков, выпавших на черном кубике. Указанные исходы испытания равновозможны. Общее число равновозможных исходов равно 36. Пусть событие А означает, что при бросании кубиков в сумме выпало 8 очков, а событие В означает, что в сумме выпало 7 очков.

Для события А благоприятными являются 5 исходов:

Для события В благоприятными являются б исходов:

Поэтому шансов выиграть у Игоря больше, чем у Антона.

Источник

Решение задач по теории вероятностей.Модель «Игральная кость».

Задачи по теории вероятностей для категории учащихся 13-15 лет

Просмотр содержимого документа
«Решение задач по теории вероятностей.Модель «Игральная кость».»

Тема: Решение задач по теории вероятностей.

Модель «игральная кость».

Цели: вспомнить определение вероятности случайного события;

развивать умение решать задачи на нахождение вероятности

помочь осознать степень своего интереса к теме и оценить

возможности для овладения им с точки зрения дальнейшей

Задача: научить учащихся решать задачи на нахождение

вероятности случайного события

Методы обучения: беседа, объяснение, выполнение

Формы контроля: проверка самостоятельно

Учитель: Семикина С.В.

Мы с вами знакомы с понятием «теория вероятность».

Что такое вероятность?

В толковом словаре русского языка С.И.Ожегова и Н.Ю.Шведовой читаем: «Вероятность – возможность исполнения, осуществимости чего-нибудь».

Какое определение дает основатель современной теории вероятностей А.Н.Колмогоров?

«Вероятность математическая – это числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях».

Какое классическое определение вероятности дают авторы школьных учебнков?

«Вероятностью Р(А) события А в испытании с равновозможными элементарными исходами называется отношение числа исходов т, благоприятствующих событию А, к числу п всех исходов испытания».

Вывод: в математике вероятность измеряется числом.

Сегодня мы с вами продолжим рассматривать математическую модель

Предметом исследования в теории вероятностей являются события,

появляющиеся при определенных условиях, которые можно

воспроизводить неограниченное количество раз.

Каждое осуществление этих условий называют испытанием.

Испытание – бросание игральной кости.

Событие – выпадение шестерки или выпадение четного числа очков.

Выпадение каждой грани при многократном бросании кубика

имеет одинаковую вероятность (игральная кость правильная).

Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало 4 очка?

Решение. Здесь случайный эксперимент – бросание кубика. Элементарное событие – число на выпавшей грани. Граней всего шесть. Перечислим все элементарные события? 1,2,3,4,5,6. Значит

п = 6. Событию А= <выпало 4 очка>благоприятствует одно элементарное событие: 4. Поэтому т = 1.

Элементарные события равновозможные, поскольку подразумевается, что кубик честный. Поэтому Р(А) = т/п = 1/6 = 0,17.

Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало не более 4 очков?

Решение. Здесь случайный эксперимент – бросание кубика. Элементарное событие – число на выпавшей грани. Значит п = 6. Событию А= <выпало не более 4 очков>благоприятствует 4 элементарных события: 1,2,3,4. Поэтому т = 4.

Поэтому Р(А) = т/п = 4/6 = 0,67.

Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало менее 4 очков?

Решение. Здесь случайный эксперимент – бросание кубика. Элементарное событие – число на выпавшей грани. Значит п = 6. Событию А= <выпало менее 4 очков>благоприятствует 3 элементарных события: 1,2,3. Поэтому т = 3.

Поэтому Р(А) = т/п = 3/6 = 0,5.

Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало нечетное число очков?

Решение. Здесь случайный эксперимент – бросание кубика. Элементарное событие – число на выпавшей грани. Значит п = 6. Событию А= <выпало нечетное число очков>благоприятствует 3 элементарных события: 1,3,5. Поэтому т = 3.

Поэтому Р(А) = т/п = 3/6 = 0,5.

IV. Изучение нового

Сегодня рассмотрим задачи, когда в случайном эксперименте используются две игральные кости или выполняются два, три броска

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6. Ответ округлите до сотых.

Решение.Элементарный исход в этом опыте – упорядоченная пара чисел. Первое число выпадет на первом кубике, второе – на втором.

Множество элементарных исходов удобно представить таблицей. Строки соответствуют количеству очков на первом кубике, столбцы – на втором кубике. Всего элементарных событий п = 36.

Напишем в каждой клетке сумму выпавших очков и закрасим клетки, где сумма равна 6. Таких ячеек 5. Значит, событию А = <сумма выпавших очков равна 6>благоприятствует 5 элементарных исходов. Следовательно, т = 5.

Поэтому, Р(А) = 5/36 = 0,14

Событию А = <сумма равна 3>благоприятствуют 2 элементарных исходов. Следовательно, т = 2.

Поэтому, Р(А) = 2/36 = 0,06.

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет более 10 очков. Результат округлите до сотых.

Событию А = <в сумме выпадет более 10 очков>благоприятствуют 3 элементарных исхода. Следовательно, т = 3.

Поэтому, Р(А) = 3/36 = 0,08.

Люда дважды бросает игральный кубик. В сумме у неё выпало 9 очков. Найдите вероятность того, что при одном из бросков выпало 5 очков..

Решение. Элементарный исход в этом опыте – упорядоченная пара чисел. Первое число выпадет при первом броске, второе –при втором.

Множество элементарных исходов удобно представить таблицей. Строки соответствуют результату первого броска, столбцы – результату второго броска. Всего элементарных событий, при которых сумма очков 9 будет п = 4.

Значит, событию А = <при одном из бросков выпало 5 очков>благоприятствует 2 элементарных исхода. Следовательно, т = 2.

Поэтому, Р(А) = 2/4 = 0,5.

Саша дважды бросает игральный кубик. В сумме у него выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что при одном из бросков выпало 1 очко.

Первое бросание Второе бросание Сумма очков

Равновозможных исходов – 5

Благоприятствующих исходов – 2

Вероятность события р = 2/5 = 0,4

Аня дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 5 очков. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало 3 очка.

Первое бросание Второе бросание Сумма очков

Равновозможных исходов – 4

Благоприятствующих исходов – 1

Вероятность события р = 1/4 = 0,25

Наташа и Вика играют в кости. Они бросают игральную кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что Наташа выиграла.

Наташа Вика Сумма очков

Равновозможных исходов – 5

Благоприятствующих исходов – 2

Вероятность события р = 2/5 = 0,4

Тоня и Нина играют в кости. Они бросают игральную кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что Тоня проиграла..

Тоня Нина Сумма очков

Равновозможных исходов – 5

Благоприятствующих исходов – 2

Вероятность события р = 2/5 = 0,4

Коля и Лёша играют в кости. Они бросают игральную кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. Первым бросил Коля, у него выпало 3 очка. Найдите вероятность того, что Лёша не выиграет.

У Коли выпало 3 очка.

У Лёши равновозможных исходов – 6

Благоприятствующих проигрышу исходов – 3 (при1 и при 2 и при 3)

Вероятность события р = 3/6 = 0,5.

Миша трижды бросает игральный кубик. Какова вероятность того, что все три раза выпадут чётные числа?

У Миши равновозможных исходов – 6 · 6 · 6 = 216

Благоприятствующих проигрышу исходов – 3 · 3 · 3 = 27

Вероятность события р = 27/216 = 1/8 = 0,125.

В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 16 очков. Результат округлите до сотых..

Первая Вторая Третья Сумма очков

Равновозможных исходов – 6 · 6 · 6 = 216

Благоприятствующих исходов – 6

Вероятность события р = 6/216 = 1/36 = 0,277… = 0,28.

V. Тренировочная самостоятельная работа.

Игральную кость(кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало не менее 4 очков? (Ответ:0,5)

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых. (Ответ:0,11)

Аня дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 3 очка. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало 1 очко.

Катя и Ира играют в кости. Они бросают игральную кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 9 очков. Найдите вероятность того, что Ира проиграла. (Ответ:0,5)

В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 15 очков. Результат округлите до сотых. (Ответ:0,05)

Игральную кость(кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало не более 3 очков? (Ответ:0,5)

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите

вероятность того, что в сумме выпадет 10 очков. Результат округлите до сотых. (Ответ:0,08)

Женя дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 5 очков. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало 2 очка.

Маша и Даша играют в кости. Они бросают игральную кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 11 очков. Найдите вероятность того, что Маша выиграла. (Ответ:0,5)

В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 17 очков. Результат округлите до сотых. (Ответ:0,01)

VI. Домашняя работа.

В случайном эксперименте бросают три игральные кости. В сумме выпало 12 очков. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало 3 очка. Результат округлите до сотых.

Даша трижды бросает игральный кубик. Какова вероятность того, что все три раза выпадут одинаковые числа?

Что нужно знать для нахождения вероятности случайного события?

Для вычисления классической вероятности нужно лишь знать все возможные исходы события и благоприятные исходы. Однако в жизни чаще встречаются события, сравнить и оценить которые, основываясь только на интуиции, невозможно и трудно

Классическое определение вероятности применимо только к событиям с равновозможными исходами, что ограничивает область его применения

Для чего в школе изучаем теорию вероятности?

Теория вероятностей – один из наиболее важных прикладных разделов математики. Многие явления окружающего нас мира поддаются описанию только с помощью теории вероятностей.

Алгебра и начала математического анализа.10-11 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений : базовый уровень / [Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева и др.]. – 16-е изд., перераб. – М.: Просвещение, 2010. – 464 с.

Семенов А.Л. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В / – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство «Экзамен», 2012. – 543с.

Высоцкий И.Р., Ященко И.В. ЕГЭ 2012. Математика. Задача В10. Теория вероятностей. Рабочая тетрадь / Под ред. А.Л.Семенова и И.В.Ященко. – М.: МЦШМО, 2012. – 48 с.

Источник

Классическое определение вероятности события

Основные понятия теории вероятностей

Испытание и событие

Испытание (опыт, эксперимент) – это выполнение определенных условий, при которых наблюдается изучаемое явление.

Стрельба по мишени, бросание монеты, вынимание шаров из урны – это все примеры опытов.

Событие – это результат опыта. Будем обозначать события латинскими буквами , , , …

Пример 1.Производитсявыстрел по мишени.Событие — попадание в мишень, событие — промах.

Пример 2.Бросают монету. Событие — выпал герб, событие — выпало число.

Пример 3. В урне находятся черные и белые шары. Из урны извлекают один шар. Событие — извлечен черный шар, событие — извлечен белый шар.

Пример 4.Бросают кубик. Событие — выпало число 1, событие — выпало число 2.

Достоверное, невозможное и случайное события

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в результате опыта.

Пример 5. В урне находятся только черные шары. Из урны извлекают один шар. Событие — «извлечен черный шар» является достоверным, так как всегда вынимают черный шар.

Пример 6. Бросают кубик. Событие — «выпало какое-то число от 1 до 6» является достоверным.

Событие называется невозможным, если оно не может произойти в данном испытании.

Пример 7. В урне находятся только черные шары. Из урны извлекают один шар. Событие — «извлечен белый шар» является невозможным.

Пример 8. Бросают кубик. Событие — «выпало число 7» является невозможным.

Событие называется случайным, если оно может произойти в данном опыте, а может и не произойти.

Пример 9.События и из примера 1, события и из примера 2, события и из примера 3, события и из примера 4 – это примеры случайных событий.

Совместные и несовместные события

Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появление другого события.

Пример 10.Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Событие — попадание 1-го стрелка в мишень и событие — попадание 2-го стрелка в мишень. Эти события совместные, так как возможна ситуация, когда оба стрелка попадут в мишень.

Два события называются несовместными в данном опыте, если появление одного из них е исключает появление другого события.

Пример 11.События и из примера 1, события и из примера 2, события и из примера 3, события и из примера 4 – это примеры несовместных событий.

Полная группа событий

Множество событий называется полной группой событий, если они попарно несовместны (то есть никакие два из них не могут произойти одновременно) и какое-то из них обязательно произойдет.

Противоположные события – это полная группа из двух событий. Одно из противоположных событий обозначается буквой, а другой – той же буквой с чертой ( и ).

Пример 12. События и из примера 2 – противоположные: , или .

Пример 13.Бросают кубик. Событие — выпало число ( = 1, 2, 3, 4, 5, 6). Эти 6 событий образуют полную группу событий, так как всегда выпадает какое-то число от 1 до 6 и невозможна ситуация, когда при одном бросании выпадают сразу два числа.

Операции над событиями

Сумма событий

Суммой событий и называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них, то есть могут появиться либо только событие , либо только событие , либо оба события и одновременно.

На рисунке множества отождествляются с событиями . Заштрихованное множество включает в себя точки, входящих в область или в область , то есть объединение областей . Этому множеству соответствует событие .

Пример 14.Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Событие — попадание 1-го стрелка в мишень и событие — попадание 2-го стрелка в мишень. Сумма событий – это попадание в мишень хотя бы одного из этих стрелков.

Пример 15. Из урны, в которой находятся черные и белые шары, вынимают два шара. Событие — 1-й вынутый шар черный, событие — 2-й вынутый шар черный. Тогда сумма событий – это появление хотя бы одного черного шара.

Произведение событий

Произведением событий и называется событие, состоящее в их одновременном появлении.

Заштрихованное множество есть общая часть областей и . Это соответствует тому, что произошли одновременно все события и , т.е. .

Пример 16. В примере 14 произведение событий — попадание 1-го стрелка в мишень и — попадание 2-го стрелка в мишень – это попадание в мишень обоих стрелков.

Пример 17.В примере 15 произведение событий — 1-й вынутый шар черный, событие — 2-й вынутый шар черный – это то, что оба вынутых шара будут черного цвета.

Сложные события

Пример 18. По мишени производится два выстрела. Событие — попадание в мишень при -ом выстреле ( = 1,2). Пользуясь операциями над событиями, запишите события: – два попадания, – два промаха, – только одно попадание, – хотя бы одно попадание, – ни одного попадания.

— два попадания; – два промаха;

— только одно попадание;

– хотя бы одно попадание;

— ни одного попадания.

Вероятность события

Элементарные исходы

События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них происходит чаще других.

Каждое равновозможное событие, которое может произойти в данном опыте, называется элементарным исходом.

Пример 19. События из примера 13 – равновозможные события. — элементарные исходы ( = 1, 2, 3, 4, 5, 6). События и из примера 2 – равновозможные события. и — элементарные исходы.

Множество всех равновозможных элементарных исходов испытания называется пространством элементарных исходов (событий) испытания.

Пример 20.События — выпало число ( = 1, 2, 3, 4, 5, 6) образуют пространство элементарных событий испытания «бросание кубика».

Элементарные исходы, при которых наступает некоторое событие, называются элементарными исходами, благоприятствующими этому событию.

Пример 23.В примере 13событию — «выпало четное число очков» благоприятствуют выпадение 2, 4 или 6 (то есть элементарные исходы , = 2, 4, 6). Событию — «выпало простое число» благоприятствуют выпадение 2, 3 или 5 (то есть элементарные исходы , = 2, 3, 5).

Классическое определение вероятности события

Вероятностью события называется отношение числа исходов , благоприятствующих событию , к числу всех равновозможных исходов опыта: .

Пример 24.Бросают кубик. Событие — выпало число ( = 1, 2, 3, 4, 5, 6). Событию «выпало четное число очков» благоприятствуют три элементарных исхода, а всего возможно элементарных исходов. Следовательно, вероятность события равна .

Пример 25. При бросании монеты (выпал герб) = (выпало число)= 0,5.

Свойства вероятности

1. Вероятность достоверного события равна 1.

2. Вероятность невозможного события равна 0.

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1, то есть .

1. Приведите пример опыта (испытания), который можно повторить достаточно много раз, но результат нельзя предсказать заранее. Укажите его закономерности.

2. Приведите примеры пространства элементарных событий.

3. Дайте определения понятиям: событие, достоверное событие, невоз­можное событие, противоположное событие. Приведите примеры.

4. Назовите противоположные события для событий:

— попадание в мишень при первом из трех выстрелов;

— выпадение четного числа очков при подбрасывании игрального кубика;

— хотя бы один раз выпал герб;

— из двух стрелков оба стрелка не попали.

5. Какое событие называется суммой событий? Приведите пример.

6. Какое событие называется произведением событий?Приведите
пример.

7. Пусть , , — события, наблюдаемые в одном и том же эксперимен­те. Опишите события: 1) + + ; 2) ; 3) + + ; 4) ; 5) .

8. Какие элементарные события называются благоприятствующими событию в данном опыте? Приведите пример.

9. Что называется вероятностью события?

10. Дайте классическое определение вероятности события. Укажите, при каких условиях оно применимо.

11. Чему равны вероятности достоверного события, невозможного события, слу­чайного события?

Источник