В выпуклом четырехугольнике известно что
В выпуклом четырехугольнике известно что
В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB = 3, BC = CD = 5, AD = 8, AC = 7.
а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
Найдём косинусы углов ABC и ADC в треугольниках ABC и ADC соответственно:
Далее, 
Тем самым сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, поэтому вокруг него можно описать окружность. Для вписанного четырёхугольника справедлива теорема Птолемея: произведение диагоналей четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон. Тогда 
то есть 
откуда 
Ответ: б) 
Приведем решение пункта б) Тофига Алиева без использования теоремы Птолемея.
Заметим, что 
поскольку 
Пусть 
тогда в треугольнике BAD по теореме косинусов
В треугольнике BCD по теореме косинусов
Приведем идею решения Юрия Зорина.
Углы BAC и BDC равны как вписанные углы, опирающиеся на дугу BC. По теореме косинусов найдём косинус угла BAC (он равен 11/14). Далее, зная, что косинусы равных углов равны, из треугольника BDC найдем по теореме косинусов искомый отрезок BD.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, В выпуклом четырехугольнике известно чтоВ выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что Проведем диагональ АС, получим два треугольника BAC и CAD. Рассмотрим треугольник ВАС, равнобедренный: угол ВАС = ∠BCA = x, получим уравнение:
Рассмотрим равнобедренный треугольник ACD, угол ACD = ∠CAD = у, составим уравнение:
Угол А равен сумме углов ВАС и CAD = 26 + 11 = 37°. Аналоги к заданию № 509700: 511759 511779 Все В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что Проведем диагональ АС, получим два треугольника BAC и CAD. Рассмотрим треугольник ВАС, равнобедренный: угол ВАС = ∠BCA = x, получим уравнение:
Рассмотрим равнобедренный треугольник ACD, угол ACD = ∠CAD = у, составим уравнение:
Угол А равен сумме углов ВАС и CAD = 81,5 + 39,5 = 121°. Аналоги к заданию № 509700: 511759 511779 Все
|
Найдите угол 
Ответ дайте в градусах.
Найдите угол 
