В правильной четырехугольной призме abcda1b1c1d1 известно что db1 2c1d1

07.09.202310.09.2023 admin 0 Comments

В правильной четырехугольной призме abcda1b1c1d1 известно что db1 2c1d1

В правильной четырёхугольной призме известно, что Найдите угол между диагоналями и Ответ дайте в градусах.

Правильная четырёхугольная призма является прямоугольным параллелепипедом, диагонали прямоугольного параллелепипеда равны, диагональное сечение является прямоугольником. Углом между пересекающимися неперпендикулярными прямыми называется меньший из образованных ими углов, поэтому необходимо найти острый угол между диагоналями этого прямоугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник A₁BC: в нем катет BC вдвое меньше гипотенузы A₁C, поэтому угол A₁CB равен 60°. Аналогично в треугольнике D₁CB угол D₁BC равен 60°.

Сумма углов треугольника BGC равна 180° получаем, поскольку два его угла равны 60°, третий угол тоже равен 60°.

Источник

В правильной четырехугольной призме abcda1b1c1d1 известно что db1 2c1d1

В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 4, боковые рёбра равны 6. Точка M — середина ребра СС₁, на ребре BB₁ отмечена точка N, такая, что BN : NB₁ = 1 : 2.

а) В каком отношении плоскость AMN делит ребро DD₁?

б) Найдите угол между плоскостями ABC и AMN.

а) Пусть K — точка пересечения плоскости AMN с ребром DD₁. Грани AA₁D₁D и BB₁C₁C параллельны, следовательно, прямые AK и NM параллельны. Проведем NN₁ параллельно BC и AD, тогда треугольник KAD равен треугольнику MNN₁, откуда

Таким образом, отрезки KD и KD₁ относятся как 1 к 5.

б) Заметим, что проекцией прямой NK на плоскость ABC является диагональ BD. Пусть L — точка пересечения прямой NK с плоскостью ABC. Тогда плоскости ABC и AMN пересекаются по прямой AL. Из точки K на AL опустим перпендикуляр KH. По теореме о трех перпендикулярах его проекция DH также перпендикулярна AL.

Таким образом, угол KHD — линейный угол искомого утла. Найдем его. Заметим, что треугольники LBN и LDH подобны, причем

Рассмотрим треугольники LDH и LAO, где O — центр основания призмы. Эти треугольники подобны, как прямоугольные треугольники с общим углом. Тогда

По теореме Пифагора для треугольника LHD имеем:

Найдем искомый угол из треугольника KHD:

Ответ: а) 1:5; б)

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

В правильной четырехугольной призме abcda1b1c1d1 известно что db1 2c1d1

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания АВ равна 2√3, а боковое ребро АА1 равно 3. На рёбрах A1D1 и DD1 отмечены соответственно точки К и М так, что А1К = KD1, a DM:MD1=2:1.

а) Докажите, что прямые МК и ВК перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями BMK и BCC1.

Решение:

а) Так как D1M:MD = 1:2, то D1M = 1; MD = 2.

Так как A1K = KD1, то A1K = KD1 = √3.

△BDC:BD² = BC² + CD²

△A1B1B: A1B² = A1B1² + B1B²

△KD1M: KM² = KD1² + D1M²

△BMD:BM² = BD² + MD²

△A1KB: BK² = A1K² + A1B²

Заметим, что для △KBM: BM² = KM² + BK².

б) Плоскости (BCC1) и (ADD1) параллельны, то есть (BCC1) || (ADD1). Тогда ∠(BMK; BCC1) = ∠(BMK; ADD1).

BK ⊥ KM. Пусть LK ⊥ KM. Тогда∠(BMK;ADD1) = ∠LKB = α

Заметим, что в △KD1M: KM = 2·D1M. Тогда ∠MKD1 = 30° и ∠KMD1 = 60°.

tg∠A1KL = tg60° = A1L/A1K → A1L = A1K·tg60° = √3·√3 = 3 → L = A и∠(BMK;ADD1) = ∠AKB = α

AK² = AA1²+A1K² = 3²+(√3)² = 12 = (2√3)²

Источник

В правильной четырехугольной призме abcda1b1c1d1 известно что db1 2c1d1

В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона AB основания равна 8, а боковое ребро AA₁ равно На рёбрах BC и C₁D₁ отмечены точки K и L соответственно, причём BK = C₁L = 2. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.

а) Докажите, что прямая A₁C перпендикулярна плоскости γ.

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости γ.

а) Проведём через точки K и L прямые, параллельные BD. Пусть эти прямые пересекают рёбра CD и B₁C₁ в точках K₁ и L₁ соответственно (рисунок 1). Тогда трапеция KL₁LK₁ является сечением исходной призмы плоскостью γ. Рассмотрим плоскость ACC₁. Пусть эта плоскость пересекает прямые KK₁ и LL₁ в точках E и F соответственно. Четырёхугольник AA₁C₁C — прямоугольник, причём

Кроме того, откуда Пусть FP — высота трапеции EFC₁C (рисунок 2), тогда

Поскольку

то есть прямые EF и A₁C перпендикулярны.

Прямая KK₁ параллельна прямой BD, которая перпендикулярна плоскости AA₁C. Значит, прямые KK₁ и EF перпендикулярны прямой A₁C, поэтому прямая A₁C перпендикулярна плоскости γ.

б) Пусть N — точка пересечения AC и BD. Поскольку прямая BD параллельна плоскости γ, расстояние от точки B до плоскости γ равно расстоянию от точки N до прямой EF. Опустим из точки N перпендикуляр NH на прямую EF. Тогда

Ответ:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Аналоги к заданию № 514474: 514527 514534 514653 Все

Источник

В правильной четырехугольной призме abcda1b1c1d1 известно что db1 2c1d1

При выполнении заданий с кратким ответом впишите в поле для ответа цифру, которая соответствует номеру правильного ответа, или число, слово, последовательность букв (слов) или цифр. Ответ следует записывать без пробелов и каких-либо дополнительных символов. Дробную часть отделяйте от целой десятичной запятой. Единицы измерений писать не нужно.

Если вариант задан учителем, вы можете вписать или загрузить в систему ответы к заданиям с развернутым ответом. Учитель увидит результаты выполнения заданий с кратким ответом и сможет оценить загруженные ответы к заданиям с развернутым ответом. Выставленные учителем баллы отобразятся в вашей статистике.

Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ равна 2, а диагональ боковой грани равна

а) Докажите, что объем пирамиды вдвое больше объема пирамиды .

б) Найдите угол между плоскостью A₁BC и плоскостью основания призмы.

В прямоугольном параллелепипеде известны рёбра: Точка O принадлежит ребру и делит его в отношении считая от вершины Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки и

В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ точка K делит боковое ребро AA₁ в отношении AK : KA₁ = 1 : 2. Через точки B и K проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая ребро DD₁ в точке M.

а) Докажите, что плоскость α делит ребро DD₁ в отношении DM : MD₁ = 2 : 1.

б) Найдите площадь сечения, если известно, что AB = 4, AA₁ = 6.

В правильной треугольной призме ABCA’B’C’ стороны основания равны 6, а боковые ребра равны 4. Изобразите сечение, проходящее через вершины A, B и середину ребра A’C’. Найдите его площадь

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ стороны основания равны 1, боковые ребра равны 2, точка D — середина ребра CC₁.

а) Докажите, что плоскость делит объем призмы пополам.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и ADB₁.

Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды 144.

а) Докажите, что угол между плоскостью SAC и плоскостью, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны AB и центр основания, равен 45°.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью SAC.

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC угол ASB равен 36°. На ребре SC взята точка M так, что AM — биссектриса угла SAC.

а) Докажите, что .

б) Площадь сечения пирамиды, проходящего через точки A, M и B, равна Найдите сторону основания.

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 8 и BC = 6. Длины боковых рёбер пирамиды

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямыми SC и BD.

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания а боковое ребро AA₁ = 5.

а) Найдите длину отрезка A₁K, где K — середина ребра BC.

В правильной четырёхугольной призме АВСDА₁В₁С₁D₁ сторона АВ основания равна 6, а боковое ребро АА₁ равно На ребрах BC и C₁D₁ отмечены точки К и L соответственно, причём ВК = 4, C₁L = 5. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки К и L.

а) Докажите, что прямая AC₁ перпендикулярна плоскости γ.

б) Найдите расстояние от точки B₁ до плоскости γ.

а) Докажите, что точка М является серединой ребра CC₁.

б) Найдите расстояние от точки С до плоскости APQ.

В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит квадрат ABCD со стороной 2, а высота призмы равна 1. Точка E лежит на диагонали BD₁, причём BE = 1.

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины ребер АВ и ВС и вершину S.

а) Докажите, что указанное сечение делит объем пирамиды в отношении .

б) Найдите площадь этого сечения, если все ребра пирамиды равны 8.

а) Докажите, что прямая BD₁ перпендикулярна плоскости ACB₁.

В правильной треугольной призме стороны основания равны 3, боковые ребра равны 4, точка D — середина ребра Найдите угол между плоскостями ABC и

Основанием прямой четырёхугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ является квадрат ABCD со стороной высота призмы равна Точка K — середина ребра BB₁. Через точки K и C₁ проведена плоскость α параллельная прямой BD₁.

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольник.

б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α.

В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона основания равна 20, а боковое ребро AA₁ = 7. Точка M принадлежит ребру A₁D₁ и делит его в отношении 2 : 3, считая от вершины D₁.

а) Докажите, что сечение этой призмы плоскостью, проходящей через точки B, D и M, является равнобедренной трапецией.

б) Найдите площадь этой трапеции.

В параллелепипеде точка M середина ребра C₁D₁, а точка K делит ребро AA₁ в отношении Через точки K и M проведена плоскость α, параллельная прямой BD и пересекающая диагональ A₁C в точке O.

а) Докажите, что плоскость α делит диагональ A₁C в отношении

б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью (АВС), если дополнительно известно, что ― куб.

а) Докажите, что точка М является серединой ребра CC₁.

б) Найдите расстояние от точки С₁ до плоскости A₁PQ.

а) Докажите, что плоскости и параллельны.

б) Пусть дополнительно известно, что параллелепипед прямоугольный, кроме того AB = 4, BC = 6, CC₁ = 4. Найдите тангенс угла между плоскостями CDD₁ и BDA₁.

В правильной четырёхугольной призме сторона основания равна а боковое ребро Точка K принадлежит ребру и делит его в отношении считая от вершины Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки и