В параллелограмме abcd о точка пересечения диагоналей верно ли что

В параллелограмме abcd о точка пересечения диагоналей верно ли что

В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и . Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Пусть точка пересечения диагоналей — точка O. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, откуда AO = OC = AB = CD. Поскольку OC = CD, треугольник COD — равнобедренный, следовательно, ∠COD = ∠CDO = (180° − ∠ACD)/2 = 11°/2 = 5,5°. Угол COD является искомым углом между диагоналями параллелограмма.

В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и . Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Пусть точка пересечения диагоналей — точка O. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, откуда AO = OC = AB = CD. Поскольку OC = CD, треугольник COD — равнобедренный, следовательно, ∠COD = ∠CDO = (180° − ∠ACD)/2 = 159°/2 = 79,5°. Угол COD является искомым углом между диагоналями параллелограмма.

В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и . Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Пусть точка пересечения диагоналей — точка O. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, откуда AO = OC = AB = CD. Поскольку OC = CD, треугольник COD — равнобедренный, следовательно, ∠COD = ∠CDO = (180° − ∠ACD)/2 = 69°/2 = 34,5°. Угол COD является искомым углом между диагоналями параллелограмма.

Угол между двумя прямыми — это меньший из углов, образованных при пересечении этих прямых.

В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 17°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Пусть точка пересечения диагоналей — точка O. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, откуда AO = OC = AB = CD. Поскольку OC = CD, треугольник COD — равнобедренный, следовательно, ∠COD = ∠CDO = (180° − ∠ACD)/2 = 163°/2 = 81,5°. Угол COD является искомым углом между диагоналями параллелограмма.

В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 63°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Пусть точка пересечения диагоналей — точка O. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, откуда AO = OC = AB = CD. Поскольку OC = CD, треугольник COD — равнобедренный, следовательно, ∠COD = ∠CDO = (180° − ∠ACD)/2 = 117°/2 = 58,5°. Угол COD является искомым углом между диагоналями параллелограмма.

Угол между двумя прямыми — это меньший из углов, образованных при пересечении этих прямых.

В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 5°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Пусть точка пересечения диагоналей — точка O. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, откуда AO = OC = AB = CD. Поскольку OC = CD, треугольник COD — равнобедренный, следовательно, ∠COD = ∠CDO = (180° − ∠ACD)/2 = 175°/2 = 87,5°. Угол COD является искомым углом между диагоналями параллелограмма.

В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 154°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Пусть точка пересечения диагоналей — точка O. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, откуда AO = OC = AB = CD. Поскольку OC = CD, треугольник COD — равнобедренный, следовательно, ∠COD = ∠CDO = (180° − ∠ACD)/2 = 26°/2 = 13°. Угол COD является искомым углом между диагоналями параллелограмма.

В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 47°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Пусть точка пересечения диагоналей — точка O. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, откуда AO = OC = AB = CD. Поскольку OC = CD, треугольник COD — равнобедренный, следовательно, ∠COD = ∠CDO = (180° − ∠ACD)/2 = 133°/2 = 66,5°. Угол COD является искомым углом между диагоналями параллелограмма.

В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 77°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах

Пусть точка пересечения диагоналей — точка O. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, откуда AO = OC = AB = CD. Поскольку OC = CD, треугольник COD — равнобедренный, следовательно, ∠COD = ∠CDO = (180° − ∠ACD)/2 = 103°/2 = 51,5°. Угол COD является искомым углом между диагоналями параллелограмма.

В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 70°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Пусть точка пересечения диагоналей — точка O. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, откуда AO = OC = AB = CD. Поскольку OC = CD, треугольник COD — равнобедренный, следовательно, ∠COD = ∠CDO = (180° − ∠ACD)/2 = 110°/2 = 55°. Угол COD является искомым углом между диагоналями параллелограмма.

В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 19°. Найдите наименьший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Пусть точка пересечения диагоналей — точка O. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, откуда AO = OC = AB = CD. Поскольку OC = CD, треугольник COD — равнобедренный, следовательно, ∠COD = ∠CDO = (180° − ∠ACD)/2 = 161°/2 = 80,5°. Угол COD является искомым углом между диагоналями параллелограмма.

В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 127°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Пусть точка пересечения диагоналей — точка O. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, откуда AO = OC = AB = CD. Поскольку OC = CD, треугольник COD — равнобедренный, следовательно, ∠COD = ∠CDO = (180° − ∠ACD)/2 = 53°/2 = 26,5°. Угол COD является искомым углом между диагоналями параллелограмма, поскольку угол между прямыми — это меньший из углов, образовавшихся при пересечении этих прямых.

Источник

Параллелограмм: свойства и признаки

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

Как найти площадь параллелограмма:

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Источник

В параллелограмме диагонали равны друг другу и точкой пересечения делятся пополам, то верно равенство под буквой Г.

Докажите, что отрезок прямой, проведенной через точку пересечения диагоналей параллелограмма делится на две равные части в этой точке?

Докажите, что отрезок прямой, проведенной через точку пересечения диагоналей параллелограмма делится на две равные части в этой точке.

Постройте параллелограмм если дана точка пересечения его диагоналей и места расположения двух соседских вершин?

Постройте параллелограмм если дана точка пересечения его диагоналей и места расположения двух соседских вершин.

Верно ли что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам?

Верно ли что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Найдите координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма.

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 17, а одна из диагоналей ромба равна 68?

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 17, а одна из диагоналей ромба равна 68.

Найдите углы ромба.

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 17, а одна из диагоналей ромба равна 68?

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 17, а одна из диагоналей ромба равна 68.

Найдите углы ромба.

Докажите, что точки пересечения диагоналей трапеции и середины оснований трапеции лежат на одной прямой?

Докажите, что точки пересечения диагоналей трапеции и середины оснований трапеции лежат на одной прямой.

На данном рисунке EFGH это любой параллелограмм ; I это точка пересечения его диагоналей?

На данном рисунке EFGH это любой параллелограмм ; I это точка пересечения его диагоналей.

Параллелограм с равными отрезками диагоналей?

Параллелограм с равными отрезками диагоналей.

Периметр какого треугольника равен b + 2a.

Источник

В параллелограмме abcd о точка пересечения диагоналей верно ли что

В параллелограмме ABCD расположены две равные непересекающиеся окружности. Первая касается сторон AD, AB и BC, вторая — сторон AD, CD и BC.

а) Докажите, что общая внутренняя касательная l окружностей проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD.

а) Пусть O — точка пересечения диагонали AC параллелограмма с общей внутренней касательной l к данным окружностям, P и Q — точки пересечения прямой l со сторонами AD и BC соответственно. Достаточно доказать, что O — середина диагонали AC.

Пусть O₁ и O₂ — центры первой и второй окружностей соответственно. Первая окружность касается стороны AD в точке K, вторая окружность касается стороны BC в точке L.

Лучи AO₁ и CO₂ — биссектрисы равных углов BAD и BCD, значит, прямоугольные треугольники AKO₁ и CLO₂ равны по катету (радиусы равных окружностей) и противолежащему острому углу. Тогда AK = CL. Аналогично KP = LQ. Следовательно,

Значит, треугольники AOP и COQ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому AO = OC, а точка O — середина диагонали AC, то есть центр параллелограмма ABCD.

б) Поскольку ABCD — прямоугольник, его сторона AD равна сумме диаметра окружности и отрезка O₁O₂, то есть 2r + O₁O₂ = AD, 2r + 20 = 36, следовательно, r = 8.

Четырёхугольник O₁MO₂N — параллелограмм, так как его противоположные стороны O₁M и O₂N равны и параллельны. Диагонали O₁O₂ и MN параллелограмма O₁MO₂N пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам.

Площадь параллелограмма O₁MO₂N в четыре раза больше площади треугольника OO₁M, в котором По теореме Пифагора