рациональные числа 6 класс примеры для тренировки
Математика. 6 класс
Конспект урока
Перечень рассматриваемых вопросов:
Натуральные числа – числа, которые используются при счёте.
Целые числа – натуральные числа, число нуль, а также числа, противоположные натуральным.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Рассмотрим на координатной оси
натуральные, целые и дробные числа.
Натуральные (целые положительные): 1, 2, 3
Целые отрицательные: 1, 2, 3
Некоторые дроби считают равными. Равенство дробей устанавливают при помощи основного свойства дроби.
Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же целое, не равное нулю число, то получится равная ей дробь.
Равенство (2) означает, что если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель n (целое, не равное нулю число), то дробь можно сократить на n. При этом получается дробь, равная данной.
Итак, две дроби равны, когда одна из них может быть получена из другой сокращением на общий множитель её числителя и знаменателя.
Либо, сформулируем так:
две дроби равны, когда одна из них может быть получена из другой умножением её числителя и знаменателя на одно и тоже число, не равное нулю.
Таким образом, любое целое число является рациональным числом.
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо:
1. найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем;
2. разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т. е. найти для каждой дроби дополнительный множитель;
3. умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.
Приведём дроби к положительному знаменателю
Название «рациональные числа» происходит от слова «рацио», что означает «отношение».
Мы выяснили, что рациональное число представляется виде дроби.
Уже в V веке до нашей эры люди понимали, что с помощью деления «единицы измерения» можно гораздо точнее приблизить любую величину.
Бывают случаи, когда без дробных чисел нам нельзя обойтись.
Например, кусок проволоки, длиной 4 метра, необходимо разрезать на три равные части. Сколько метров приходится на каждую часть?
Можем составить равенство:
где х – и есть то количество метров, которое приходится на каждую часть.
Для решения подобных задач в далёком прошлом и появились дробные числа.
Интерес к ним не ослабевает и в наше время. Стремительное развитие вычислительной техники – главная причина этого интереса, так как компьютер может иметь дело только с рациональными числами.
Разбор заданий тренировочного модуля
Тип 1. Разместите нужные подписи под изображениями.
целое положительное число
Для выполнения задания вспомним определения известных нам числовых множеств.
Тип 2. Вставьте в текст нужные слова.
Если … и знаменатель дроби умножить на одно и то же целое, … нулю число, то получится … ей дробь.
Варианты слов для вставки:
Для выполнения задания обратимся к теоретическому материалу урока.
Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же целое, не равное нулю число, то получится равная ей дробь.
Рациональные числа, понятие и примеры.
Рациональные числа вы с ними уже знакомы, осталось только обобщить и сформулировать правила. Так какие числа называются рациональными числами? Рассмотрим подробно в этой теме урока.
Понятие рациональных чисел.
Определение:
Рациональные числа – это числа, которые можно представить в виде дроби \(\frac
Другими словами, можно сказать:
Рациональные числа – это все натуральные числа, целые числа, обыкновенные дроби, бесконечные периодические дроби и конечные десятичные дроби.
Разберем каждый пункт подробно.
Множество рациональных чисел.
Вспомним, что множество натуральны чисел обозначается латинской буквой N.
Множество целых чисел обозначается латинской буквой Z.
А множество рациональных чисел обозначается латинской буквой Q.
Во множество рациональных чисел входит множество целых и натуральных чисел в этом и заключается смысл рациональных чисел.
На рисунке можно показать множество рациональных чисел.
Но не все числа являются рациональными. Бывают еще множества различных чисел, которые в дальнейшем вы будите изучать.
Бесконечные непрериодические дроби не принадлежат множеству рациональных чисел.
Например, число е, \(\sqrt<3>\) или число \(\pi\) (читается число пи) не являются рациональными числами.
Записать число 1 в виде рационального числа?
Ответ: чтобы записать в виде рационального число 1 нужно представить его в виде дроби 1=\(\frac<1><1>\).
Докажите, что число \(\sqrt<0,0049>\) является рациональным?
Доказательство: \(\sqrt<0,0049>=0,07\)
Является ли простое число под корнем рациональным числом?
Ответ: нет. Например, любое простое число под корнем 2, 3, 5, 7, 11, 13, … не выносится из под корня и его нельзя представить в виде конечно дроби или бесконечной периодической дроби, поэтому не является рациональным числом.
Действия с рациональными числами
Сложение
При сложении двух рациональных чисел с одинаковым знаком складываются их модули и перед суммой ставится их общий знак.
Пример 1. Найти сумму рациональных чисел 2,5 и 3,2.
Решение: Так как модуль положительного числа равен самому числу, то в данном примере числа можно просто сложить:
Пример 2. Найти сумму отрицательных чисел (-2,5) и (-3,2).
Решение: Сначала надо сложить модули слагаемых:
Так как сумма двух отрицательных чисел должна быть отрицательным числом, то решение будет выглядеть так:
Из данных примеров следует, что в результате сложения двух положительных чисел получится положительное число, а в результате сложения двух отрицательных чисел – отрицательное число.
При сложении двух рациональных чисел с разными знаками нужно взять их модули и из большего вычесть меньший. В результате ставится знак того числа, у которого модуль больше.
Другими словами, можно просто, не обращая внимания на знаки, вычесть из большего числа меньшее и у получившегося результата поставить знак большего числа:
Из данных примеров следует, что в результате сложения двух чисел с разными знаками, может получится как положительное, так и отрицательное число.
Вычитание
Вычитание одного рационального числа из другого можно заменить сложением. При этом уменьшаемое берётся со своим знаком, а вычитаемое – с противоположным.
Из данных примеров следует, что чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.
Умножение
При умножении двух рациональных чисел умножаются их модули. Перед произведением ставится знак плюс, если знаки сомножителей одинаковы, и минус, если они разные.
Ниже представлена схема (правило знаков при умножении):
Из данных примеров следует, что в результате умножения двух чисел с разными знаками получится отрицательное число, а результате умножения двух чисел с одинаковыми знаками – положительное.
Деление
При делении одного рационального числа на другое делят модуль первого числа на модуль второго. Перед частным ставится знак плюс, если знаки делимого и делителя одинаковы, и минус, если они разные.
При делении используется то же правило, что и для умножения. Ниже представлена схема (правило знаков при делении):
Из данных примеров следует, что частное двух чисел с разными знаками – отрицательное число, а частное двух чисел с одинаковыми знаками – положительное число.
Сложение и вычитание рациональных чисел
В данном уроке рассматривается сложение и вычитание рациональных чисел. Тема относится к категории сложных. Здесь необходимо использовать весь арсенал полученных ранее знаний.
В данном уроке дроби и смешанные числа мы всё чаще будем называть одним общим словосочетанием — рациональные числа.
Пример 1. Найти значение выражения: 
Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Чтобы сложить рациональные числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того рационального числа, модуль которого больше. А чтобы понять какой модуль больше, а какой меньше, нужно суметь сравнить модули этих дробей до их вычисления:
Некоторые примитивные действия, такие как заключение чисел в скобки и проставление модулей, можно пропустить. Данный пример вполне можно записать покороче:
Пример 2. Найти значение выражения: 
Заменим вычитание сложением. Напомним, что для этого нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому:
Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Чтобы сложить отрицательные рациональные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус:
Запишем решение данного примера покороче:
Примечание. Заключать в скобки каждое рациональное число вовсе необязательно. Делается это для удобства, чтобы хорошо видеть какие знаки имеют рациональные числа.
Пример 3. Найти значение выражения: 
В этом выражении у дробей разные знаменатели. Чтобы облегчить себе задачу, приведём эти дроби к общему знаменателю. Не будем подробно останавливаться на том как это сделать. Если испытываете с этим затруднения, обязательно повторите урок действия с дробями.
После приведения дробей к общему знаменателю выражение примет следующий вид:
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе своими знаками:
Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычитаем из большего модуля меньший модуль, и перед полученным ответом ставим знак того рационального числа, модуль которого больше:
Запишем решение данного примера покороче:
Пример 4. Найти значение выражения
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:
Вычислим данное выражение в следующем порядке: слóжим рациональные числа 
и 
, затем из полученного результата вычтем рациональное число 
. 
Первое действие:
Второе действие:
Таким образом, значение выражения равно
Пример 5. Найти значение выражения: 
Представим целое число −1 в виде дроби 
, а смешанное число 
переведём в неправильную дробь:
Приведём данные дроби к общему знаменателю. После их приведения к общему знаменателю, они примут следующий вид:
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:
Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычитаем из большего модуля меньший модуль, и перед полученным ответом ставим знак того рационального числа, модуль которого больше:
Есть и второй способ решения. Он заключается в том, чтобы сложить отдельно целые части.
Итак, вернёмся к изначальному выражению:
Заключим каждое число в скобки. Для этого смешанное число временно развернём:
Вычислим целые части:
В главном выражении вместо (−1) + (+2) запишем полученную единицу:
Полученное выражение свернём. Для этого запишем единицу и дробь вместе:
Запишем решение этим способом покороче:
Пример 6. Найти значение выражения 
Переведём смешанное число 
в неправильную дробь. Остальную часть перепишем без изменения:
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:
Заменим вычитание сложением:
Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус:
Запишем решение данного примера покороче:
Пример 7. Найти значение выражение 
Представим целое число −5 в виде дроби 
, а смешанное число 
переведём в неправильную дробь:
Приведём данные дроби к общему знаменателю. После их приведения к общему знаменателю, они примут следующий вид:
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:
Заменим вычитание сложением:
Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус:
Таким образом, значение выражения равно 
.
Решим данный пример вторым способом. Вернемся к изначальному выражению:
Запишем смешанное число 
в развёрнутом виде. Остальное перепишем без изменений:
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе своими знаками:
Заменим вычитание сложением там, где это можно:
Вычислим целые части:
В главном выражении вместо 
запишем полученное число −7
Выражение является развёрнутой формой записи смешанного числа . Запишем число −7 и дробь 
вместе, образуя окончательный ответ:
Запишем это решение покороче:
Пример 8. Найти значение выражения
Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе своими знаками:
Заменим вычитание сложением:
Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус:
Таким образом, значение выражения равно 
Данный пример можно решить и вторым способом. Он заключается в том, чтобы сложить целые и дробные части по отдельности. Вернёмся к изначальному выражению:
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:
Заменим вычитание сложением:
Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус. Но в этот раз слóжим по отдельности целые части (−1 и −2), и дробные 
и
Запишем это решение покороче:
Пример 9. Найти выражения выражения 
Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
Заключим рациональное число 
в скобки вместе своим знаком. Рациональное число 
в скобки заключать не нужно, поскольку оно уже в скобках:
Приведём данные дроби в общему знаменателю. После их приведения к общему знаменателю, они примут следующий вид:
Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус:
Таким образом, значение выражения равно 
Теперь попробуем решить этот же пример вторым способом, а именно сложением целых и дробных частей по отдельности.
В этот раз, в целях получения короткого решения, попробуем пропустить некоторые действия, такие как: запись смешанного числа в развёрнутом виде и замена вычитания сложением:
Обратите внимание, что дробные части были приведены к общему знаменателю.
Пример 10. Найти значение выражения 
Заменим вычитание сложением:
В получившемся выражении нет отрицательных чисел, которые являются основной причиной допущения ошибок. А поскольку нет отрицательных чисел, мы можем убрать плюс перед вычитаемым, а также убрать скобки:
Получилось простейшее выражение, которое вычисляется легко. Вычислим его любым удобным для нас способом:
Пример 11. Найти значение выражения 
Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль, и перед полученными ответом поставим знак того рационального числа, модуль которого больше:
Пример 12. Найти значение выражения 
Выражение состоит из нескольких рациональных чисел. Согласно порядку действий, в первую очередь необходимо выполнить действия в скобках.
Первое действие:
Второе действие:
Третье действие:
Ответ: значение выражения равно 
Пример 13. Найти значение выражения 
Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
Заключим рациональное число 
в скобки вместе со своим знаком. Рациональное число 
заключать в скобки не нужно, поскольку оно уже в скобках:
Приведём данные дроби в общему знаменателю. После их приведения к общему знаменателю, они примут следующий вид:
Заменим вычитание сложением:
Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль, и перед полученными ответом поставим знак того рационального числа, модуль которого больше:
Таким образом, значение выражения равно 
Рассмотрим сложение и вычитание десятичных дробей, которые тоже относятся к рациональным числам и которые могут быть как положительными, так и отрицательными.
Пример 14. Найти значение выражения −3,2 + 4,3
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что плюс который дан в выражении, является знаком операции и не относится к десятичной дроби 4,3. У этой десятичной дроби свой знак плюса, который невидим по причине того, что его не записывают. Но мы его запишем для наглядности:
Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Чтобы сложить рациональные числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того рационального числа, модуль которого больше. А чтобы понять какой модуль больше, а какой меньше, нужно суметь сравнить модули этих десятичных дробей до их вычисления:
Модуль числа 4,3 больше, чем модуль числа −3,2 поэтому мы из 4,3 вычли 3,2. Получили ответ 1,1. Ответ положителен, поскольку перед ответом должен стоять знак того рационального числа, модуль которого больше. А модуль числа 4,3 больше, чем модуль числа −3,2
Таким образом, значение выражения −3,2 + (+4,3) равно 1,1
Этот пример можно записать покороче:
Пример 15. Найти значение выражения 3,5 + (−8,3)
Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Как и в прошлом примере из большего модуля вычитаем меньший и перед ответом ставим знак того рационального числа, модуль которого больше:
3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8
Таким образом, значение выражения 3,5 + (−8,3) равно −4,8
Этот пример можно записать покороче:
Пример 16. Найти значение выражения −7,2 + (−3,11)
Это сложение отрицательных рациональных чисел. Чтобы сложить отрицательные рациональные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус.
Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:
−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31
Таким образом, значение выражения −7,2 + (−3,11) равно −10,31
Этот пример можно записать покороче:
Пример 17. Найти значение выражения −0,48 + (−2,7)
Это сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим их модули и перед полученным ответом поставим минус. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:
−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18
Пример 18. Найти значение выражения −4,9 − 5,9
Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что минус который располагается между рациональными числами −4,9 и 5,9 является знаком операции и не относится к числу 5,9. У этого рационального числа свой знак плюса, который невидим по причине того, что он не записывается. Но мы запишем его для наглядности:
Заменим вычитание сложением:
Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим их модули и перед полученным ответом поставим минус:
(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8
Таким образом, значение выражения −4,9 − 5,9 равно −10,8
Запишем решение этого примера покороче:
Пример 19. Найти значение выражения 7 − 9,3
Заключим в скобки каждое число вместе со своими знаками
Заменим вычитание сложением
Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль, и перед ответом поставим знак того числа, модуль которого больше:
(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3
Таким образом, значение выражения 7 − 9,3 равно −2,3
Запишем решение этого примера покороче:
Пример 20. Найти значение выражения −0,25 − (−1,2)
Заменим вычитание сложением:
Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль, и перед ответом поставим знак того числа, модуль которого больше:
−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95
Запишем решение этого примера покороче:
Пример 21. Найти значение выражения −3,5 + (4,1 − 7,1)
Выполним действия в скобках, затем слóжим полученный ответ с числом −3,5
Первое действие:
4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0
Второе действие:
−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5
Ответ: значение выражения −3,5 + (4,1 − 7,1) равно −6,5.
Пример 22. Найти значение выражения (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1)
Выполним действия в скобках. Затем из числа, которое получилось в результате выполнения первых скобок, вычтем число, которое получилось в результате выполнения вторых скобок:
Первое действие:
3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6
Второе действие:
3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4
Третье действие
0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6
Ответ: значение выражения (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1) равно 6.
Пример 23. Найти значение выражения −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15
Заключим в скобки каждое рациональное число вместе со своими знаками
Заменим вычитание сложением там, где это можно:
Выражение состоит из нескольких слагаемых. Согласно сочетательному закону сложения, если выражение состоит из нескольких слагаемых, то сумма не будет зависеть от порядка действий. Это значит, что слагаемые можно складывать в любом порядке.
Не будем изобретать велосипед, а слóжим все слагаемые слева направо в порядке их следования:
Первое действие:
(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35
Второе действие:
13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15
Третье действие:
7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1
Ответ: значение выражения −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 равно 1.
Пример 24. Найти значение выражения 
Переведём десятичную дробь −1,8 в смешанное число. Остальное перепишем без изменения:
Далее вычисляем данное выражение, применяя ранее изученные правила:
Пример 25. Найти значение выражения 
Заменим вычитание сложением. Попутно переведём десятичную дробь (−4,4) в неправильную дробь
В получившемся выражении нет отрицательных чисел. А поскольку нет отрицательных чисел, мы можем убрать плюс перед вторым числом, и убрать скобки. Тогда получим простое выражение на сложение, которое решается легко
Пример 26. Найти значение выражения 
Переведём смешанное число 
в неправильную дробь, а десятичную дробь −0,85 в обыкновенную дробь. Получим следующее выражение:
Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим их модули и перед полученным ответом поставим минус:
Пример 27. Найти значение выражения 
Переведём обе дроби в неправильные дроби. Чтобы перевести десятичную дробь 2,05 в неправильную дробь, можно перевести ее сначала в смешанное число, а затем в неправильную дробь:
После перевода обеих дробей в неправильные дроби, получим следующее выражение:
Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль и перед полученным ответом поставим знак того числа, модуль которого больше:
Пример 28. Найти значение выражения 
Заменим вычитание сложением. Далее переведём десятичную дробь в обыкновенную дробь. Затем вычислим получившееся выражение, применяя ранее изученные правила:
Пример 29. Найти значение выражения 
Переведём десятичные дроби −0,25 и −1,25 в обыкновенные дроби, остальное перепишем без изменения. Получим следующее выражение:
Можно сначала заменить вычитание сложением там, где это можно и сложить рациональные числа одно за другим.
Есть и второй вариант: сначала сложить рациональные числа 
и 
, а затем из полученного результата вычесть 
. Этим вариантом и воспользуемся.
Первое действие:
Второе действие:
Ответ: значение выражения равно −2.
Пример 30. Найти значение выражения
Переведём десятичные дроби в обыкновенные. Остальное перепишем без изменения:
Получили сумму из нескольких слагаемых. Если сумма состоит из нескольких слагаемых, то выражение можно вычислять в любом порядке. Это следует из сочетательного закона сложения.
Поэтому мы можем организовать наиболее удобный для нас вариант. В первую очередь можно сложить первое и последнее слагаемое, а именно рациональные числа 
и 
. У этих чисел одинаковые знаменатели, а значит это освободит нас от необходимости приводить их к нему.
Первое действие:
Полученное число можно сложить со вторым слагаемым, а именно с рациональным числом 
. У рациональных чисел и 
одинаковые знаменатели в дробных частях, что опять же является преимуществом для нас
Второе действие:
Ну и слóжим полученное число −7 с последним слагаемым, а именно с рациональным числом 
. Удобно то, что при вычислении данного выражения, семёрки исчезнут, поскольку их сумма будет равна нулю:
Третье действие:
Ответ: значение выражения равно 