Что такое затухающие колебания в физике определение

Затухающие колебания

Определение и причины затухания колебаний

Причина затухания заключается в том, что во всякой колебательной системе, кроме возвращающей силы, всегда действуют разного рода силы трения, сопротивление воздуха

и т. п., которые тормозят движение. При каждом размахе часть полной колебательной энергии (потенциальной и кинетической) расходуется на работу против сил трения. В конечном итоге на эту работу уходит весь запас энергии, сообщенный колебательной системе первоначально.

Рассматривая свободные гармонические колебания, мы имели дело с идеальными, строго периодическими собственными колебаниями. Описывая при помощи такой модели реальные колебания, мы сознательно допускаем неточность в описании. Однако подобное упрощение является пригодным в силу того, что у многих колебательных систем затухания колебаний, вызванные трением, действительно малы: система успевает совершить много колебаний прежде, чем их амплитуда уменьшится заметным образом.

Графики затухающих колебаний

При наличии затухания собственное колебание (рис.1) перестает быть гармоническим. Более того, затухающее колебание перестает быть периодическим процессом — трение влияет не только на амплитуду колебаний (то есть является причиной затухания), но и на продолжительность размахов. С увеличением трения время, необходимое системе для совершения одного полного колебания, увеличивается. График затухающих колебаний представлен на рис. 2.

Рис.1. График свободных гармонических колебаний

Рис.2. График затухающих колебаний

Характерной чертой колебательных систем является то, что небольшое трение влияет на период колебаний в гораздо меньшей степени, чем на амплитуду. Это обстоятельство сыграло огромную роль в усовершенствовании часов. Первые часы с маятником построил голландский физик и математик Христиан Гюйгенс в 1673 г. Этот год можно считать датой рождения современных часовых механизмов. Ход часов с маятником мало чувствителен к изменениям, обусловленным трением, которые в общем случае зависят от многих факторов, в то время как скорость хода предшествующих безмаятниковых часов очень сильно зависела от трения.

На практике возникает потребность как в уменьшении, так и в увеличении затухания колебаний. К примеру, при конструировании часовых механизмов стремятся уменьшить затухание колебаний балансира часов. Для этого ось балансира снабжают острыми наконечниками, которые упираются в хорошо отполированные конические подпятники, выполненные из твердого камня (агата или рубина). Наоборот, во многих измерительных приборах очень желательно, чтобы подвижная часть устройства устанавливалась в процессе измерений быстро, но совершая большого числа колебаний. Для увеличения затухания в этом случае применяют различные демпферы – устройства, увеличивающие трение и, в общем случае, потерю энергии.

Источник

Характеристика затухающих колебаний, какие колебания называют затухающими

Содержание:

В реальной колебательной системе колебания не будут строго периодическими. С каждым циклом их амплитуда падает вследствие действия сторонних сил, например, трения. Со временем автоколебания затухают. Рассмотрим, какие механические колебания называются затухающими, какими свойствами обладают. Наведём примеры таких явлений в природе, быту, промышленности.

Определение и характеристики затухающих колебаний

Часть внутренней энергии системы, которая не восполняется, уходит на преодоление сопротивления, не компенсируется, и вскоре её энергетический запас падает до ноля. Затраты имеют различный характер, зависящий от условий: преодоление сопротивления воздуха (жидкости) качающимся на пружине грузом, трение шариков в подшипнике о внутреннее и внешнее кольца.

Кроме того, энергетический запас частично расходуется на передачу движения окружающей среде – груз или колеблющийся на нитке шар заставляют молекулы окружающего воздуха перемещаться.

Деформация вибрирующей пластины, пружины, растягивание нитки отбирает у контура часть внутренней энергии из-за трения в них самих.

Свободные незатухающие колебания или собственные характерны для идеальной системы, где отсутствует трение. Они актуальны для упрощения решения практических задач:

Незатухающие колебания превращается в затухающие, когда возникает потеря энергии.

График затухающих колебаний выглядит следующим образом. Амплитуда и частота (значит и периодичность) синусоиды снижаются.

При незатухающих характеристики остаются постоянными.

Примеры затухающих колебаний

Затухающие колебания встречаются в природе и быту:

Наведите собственные примеры описанных явлений, встречаемых в жизни.

Источник

Лекция №8. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

5.6. Затухающие гармонические колебания.

Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, то колебания будут затухать. Затухающие колебания − это колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается. В простейшем, и вместе с тем наиболее часто встречающемся случае, сила сопротивления, вызывающая затухание, зависит от скорости колебательного движения, т. е. ее можно считать прямо пропорциональной скорости

где μ − постоянная, называемая коэффициентом сопротивления.

Знак «минус» обусловлен тем, что сила и скорость имеют противоположные направления. Тогда второй закон Ньютона для гармонических колебаний при наличии сил сопротивления имеет вид

Для решения уравнения (5.6.4) сделаем подстановку

Проведем замену переменных

Подставим (5.6.5 и 5.6.6) в выражение (5.6.4)

Решение уравнения (5.6.8) можно записать в виде

Окончательно, подставляя последнее уравнение в выражение (5.6.5), получаем общее решение дифференциального уравнения затухающих колебаний (5.6.4)

В соответствии с видом полученной функции движение можно рассматривать как гармоническое колебание с частотой

и амплитудой, изменяющейся по закону

5.7. Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания.

Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно

т. е. коэффициент затухания обратен по величине промежутку времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

Для характеристики колебательной системы используется величина

которая называется добротностью колебательной системы.

5.8. Вынужденные колебания.

дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.

Будем искать решение уравнения (5.8.3) в виде

предполагая, что результирующее колебание будет совершаться с частотой внешней вынуждающей силы.

Подставим (5.8.4) и (5.8.5) в уравнение (5.8.3)

Чтобы уравнение (69) обратилось в тождество необходимо, чтобы коэффициенты при cosωt и sinωt были равны нулю.

Из выражения (71) получаем

Возведем в квадрат уравнения (70) и сложим

Подставив полученные выражения (71) и (73) в выражение (64) получим уравнение вынужденных колебаний

5.9. Резонанс.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения.

Продифференцируем это выражение по ω и приравняем к нулю

Подставив это значение в выражение для амплитуды (5.8.13), получим выражение для амплитуды при резонансе

Из последнего уравнения (5.9.3) следует, что при отсутствии сопротивления среды амплитуда при резонансе обращалась бы в бесконечность, а резонансная частота, согласно (5.9.2), при тех же условиях (при β=0 ), совпадала бы с собственной частотой колебаний системы ω₀

При стремлении ω к бесконечности все кривые асимптотически стремятся к нулю, так как при большой частоте сила так быстро изменяет свое направление, что система не успевает заметно сместиться из положения равновесия.

где δ = βТ – логарифмический декремент затухания (5.7.2); Q – добротность колебательной системы (5.7.6).

Таким образом, добротность Q показывает, во сколько раз амплитуда в момент резонанса превышает смещение системы из положения равновесия под действием постоянной силы той же величины, что и амплитуда вынуждающей силы. Следует отметить, что это справедливо лишь при небольшом затухании.

Источник

Затухающие колебания в контуре и их уравнение

Именно наличие сопротивления становится главной причиной их затухания. Данный процесс возможен посредствам потерь энергии на выделение джоулева тепла. Аналог сопротивления в механике – действие сил трения.

Характеристики затухающих колебаний

Для R L C контура применима формула с ω частотой.

При рассмотрении затухающих колебаний последовательного контура колебательный контур характеризуется добротностью Q :

R является входным сопротивлением параллельного контура.

Эквивалентное определение добротности применяется при слабых затуханиях. Его выражают через отношение энергий:

Уравнения затухающих колебаний

Если R > 2 L C изменения заряда не относят к колебаниям, разряд называют апериодическим.

Решение

Для нахождения I ( t ) :

Очевидно, что электрическая энергия W q запишется как:

Тогда значение магнитной энергии контура W m равняется:

Запись полной энергии будет иметь вид:

Решение

Если колебания в контуре затухают медленно, то:

Очевидно, выражение энергии, запасенной в контуре, вычислим из

Источник

Затухающие колебания.

1. Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии ко­лебательной системой.

Свободные колебания реальных систем всегда затухают. Затухание свободных ме­ханических колебаний вызывается главным образом трением, сопротивлением окружа­ющей среды и возбуждением в ней упругих волн. Затухание в электрических колеба­тельных системах вызывается тепловыми потерями в проводниках, образующих сис­тему или находящихся в ее переменном электрическом поле, потерями энергии на излучение электромагнитных волн, а также тепловыми потерями в диэлектриках и фер­ромагнетиках вследствие электрического и магнитного гистерезиса.

Закон затухания колебаний зависит от свойств колебательной системы.

Система называется линейной, если па­раметры, характеризующие существенные в рассматриваемом процессе физические свойства системы, не изменяются в ходе процесса.

Линейные системы описываются линей­ными дифференциальными уравнениями. Например, пружинный маятник, движущий­ся в вязкой среде, представляет собой ли­нейную систему, если коэффициент сопро­тивления среды и упругость пружины не зависят от скорости и смещения маятника. Электрический колебательный контур мож­но считать линейной системой, если его электрическое сопротивление R, электроем­кость С и индуктивность L не зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения. В боль­шинстве случаев реальные колебательные системы достаточно близки по своим свой­ствам к линейным.

2. Найдем дифференциальное уравнение, описывающее свободные затухающие коле­бания линейной системы. Для этого рас­смотрим два примера линейных систем — механической и электрической, колебания которых сопровождаются диссипацией энергии.

Пример 1. Свободные затухающие колебания пружинного маятника массы m, движущегося в вязкой среде вдоль оси ОХ. На маятник дей­ствуют две силы: сила упругости пружины F_упр и сила сопротивления среды F_c, которую, как показывает опыт, можно считать в первом при­ближении пропорциональной скорости маятни­ка v и направленной в противоположную v сто­рону: F_c= —bv, где b — постоянный положитель­ный коэффициент пропорциональности, называе­мый коэффициентом сопротивления. По второму закону Ньютона, дифференциальное уравнение движения маятника имеет вид

или (28.1)

где b/(2m),

Пример 2. Свободные затухающие колебания в электрическом колебательном контуре. Электри­ческое сопротивление реального контура R≠0, и, согласно (27.22), колебания заряда конденсатора описываются уравнением

(28.2)

Уравнения (28.1) и (28.2) тождествен­ны по форме. Поэтому можно утверждать, что общее дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний рассмот­ренных линейных систем имеет вид

(28.3)

Здесь s — изменяющаяся при колебаниях физическая характеристика системы; — коэффициент затухания;ω₀ — циклическая частота свободных неза­тухающих колебаний той же системы, т. е. в отсутствие потерь энергии (при ).

4. Затухающие колебания не явля­ются периодическими, так как максимальное значениеколеблющейся величины s, достигаемое в некоторый момент време­ни t₁, в последующем (при t>t₁) никогда не повторяется. Однако при затухающих колебаниях величина s обращается в нуль, изменяясь нa одну и ту же сторону (например, убывая), а также достигает макси­мальных и минимальных значений через равные промежутки времени:

(28.10)

Величины Т и ω поэтому обычно называ­ют периодом (условным периодом) и цикли­ческой частотой (условной циклической частотой) затухающих колебаний.

(28.11)

называется амплитудой затухающих коле­баний, соответственно A₀— начальной ам­плитудой. Амплитуда затухающих колеба­ний уменьшается с течением времени и тем быстрее, чем больше коэффициент затуха­ния .

Промежуток времени t, в течение кото­рого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в e раз, называется временем релаксации:

Для количественной характеристики быстроты убывания амплитуды затухающих колебаний пользуются понятием логариф­мического декремента затухания.

Логарифмическим декрементом затуха­ния называется безразмерная величина , равная натуральному логарифму отноше­ния значений амплитуды затухающих коле­баний в моменты времени t и t+T (T-условный период колебаний):

(20.12)

Найдем связь между циклической часто­той затухающих колебаний системы и ло­гарифмическим декрементом затухания .

и T=2 / ,

то (28.13)

Вынужденные механические колебания

1. Переменная внешняя сила, приложен­ная к системе и вызывающая ее вынужден­ные механические колебания, называется вынуждающей, или возмущающей силой.

Дифференциальное уравнение вынуж­денных колебаний простейшей линейной системы— пружинного маятника, происхо­дящих вдоль оси ОХ под влиянием пере­менной внешней силы F (t), отличается от (28.1) только правой частью, равной отно­шению F_x (t) к массе маятника m

(28.18)

Если F_x (t) — периодическая функция времени, то после приложения этой силы к маятнику вначале возникает переходный режим вынужденных колебаний, при кото­ром маятник одновременно участвует в двух колебаниях:

Первый член соответствует свобод­ным затухающим колебаниям маятника (28.9) 1) :

где

Второй член соответствует незатухаю­щим периодическим колебаниям маятника с частотой, равной частоте возмущающей силы F_x (t).

2. Рассмотрим вынужденные колебания пружинного маятника, происходящие под действием возмущающей силы, которая из­меняется по гармоническому закону с цик­лической частотой Ω:

Покажем, что установившиеся вынуж­денные колебания маятника будут тоже гармоническими с той же частотой, т. е. найдем такие значения А и φ₀, чтобы выражение

х=А cos (Ωt + φ₀) (28.21) обращало уравнение (28.18) в тождество. Из (28.21) следует,

d 2 x/dt 2 =-AΩ 2 cos (Ωt + φ₀)= AΩ 2 (Ωt + φ₀ +π). (28.22)

Подставим (28.21) и (28.22) в (28.18):

Здесь использованы следующие сокращенные обозначения:

Уравнение (28.23) показывает, что сумма трех одинаково направленных гармоничеcких

колебаний с амплитудами А₁, А₂, Аз, одинаковой циклической частотой Ωи раз­личными начальными фазами (φ₀ +π), (φ₀ +π/2) должна совпадать с гармониче­ским колебанием, происходящимно закону ВcosΩt. Для сложения этих трех колеба­ний мы воспользуемся методом векторных диаграмм. На рис. 28.3 изображены векто­ры амплитуд всех четырех колебаний в начальный момент времени А₁(0), А₂(0), Аз(0)и В(0). Эти векторы должны удовлет­ворять условию (28.23), т.е.

Из рис. 28.3 и формул (28.24′) следует, что амплитуда А установившихся вынужден­ных колебаний и сдвиг фаз φ₀

между смешением маятника из положения равно­весия и вынуждающей силой зависят от соотношения между циклическими часто­тами вынужденных колебаний Ωи свобод­ных незатухающих колебаний ω₀, а также от коэффициента затухания β:

Сложением колебаний

1. Под сложением колебанийпонимают нахождение закона результирующих коле­баний системы в тех случаях, когда эта система одновременно участвуете несколь­ких колебательных процессах. Различают два предельных случая: сложение колеба­ний одинакового направления и сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Первый случай соответствует, например, колебаниям грузика 1 (рис. 27.7), который колеблется относительно грузика 2 на пру­жине а и вместе с ним на пружине b. Этот же случай реализуется при наложении ко­лебаний скалярных физических характери­стик колебательной системы (давления, температуры, плотности, тока и т. п.).

2 Сложение двух одинаково направлен­ных гармонических колебаний

можно произвести, воспользовавшись мето­дом векторных диаграмм. На рис. 27.8 по­казаны векторы А₁(t) и А₂ (t) амплитуд первого и второго колебаний в произвольный момент времени t, когда фазы этих колебаний равны Ф₁(t) = ω₁t+ф₁ и Ф₂ (t) =ω₂t + φ₂. Результирующим колебаниям s = s₁ +s₂ соответствует вектор А(t)= A₁ (t) + А₂(t), проекция которого на ось ОК

s = A (t) sin Ф (t). (27.30)

По теореме косинусов,

Два колебательных процесса называют­ся когерентными колебаниями, если они со­гласованно протекают во времени, так что разность их фаз остается постоянной.

Разность фаз двух гармонических колебаний s₁ и s₂ равна

Следовательно, два гармонических ко­лебания когерентны, если их циклические частоты одинаковы, т. е.любой момент времени разность фаз когерент­ных гармонических колебаний равна разно­сти их начальных фаз: Ф₂ (t)—Ф₁ (t)=(ω₂-ω₁)t+(φ₂ – φ₁).

Соответственно результирующие колебания — гармонические с той же циклической частотой ω, т. е.

(27.31 ‘ )

В зависимости от разности начальных фаз складываемых колебаний амплиту­да А результирующих колебаний изменяет­ся в пределах

где где m=0,1,2…— любое целое неотрица­тельное число. Если φ₂ – φ₁=±2mπ, то колебания синфазны(находятся водной фазе), а если φ₂ –φ₁= ± (2m+1)π

то находятся в противофазе.

9. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний с циклическими частотами рω и qω, где p,q— целые числа:

Значения координат х u у колеблющейся точки М одновременно повторяются через одинаковые промежутки времени T₀, равные общему наименьшему кратному Т₁ = 2π/(pω) и T₂ = 2π(qω) —периодов ко­лебаний вдоль осей ОХ и OY. Поэтому тра­ектория точки М — замкнутая кривая, форма которой зависит от соотношения ам­плитуд, частот и начальных фаз складывае­мых колебаний. Такие замкнутые траектории точки М, одновременно совершающей гар­монические колебания в двух взаимно

перпендикулярных направлениях, называются фигурами Лиссажу. Фигуры Лиссажу впи­сываются в прямоугольник, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат ОХ и OY и расположены по обе стороны от них на расстояниях, соответственно равных A₂ и A₁.Отношение частот рω и qω складывае­мых колебаний равно отношению числа ка­саний соответствующей им фигуры Лисса­жу со стороной прямоугольника, параллель­ной оси OY, и со стороной, параллельной оси ОХ. На рис. 27.12 показан вид фигур Лиссажу при трех различных значениях отношения q/p (2:1, 3:2, 4:3) и разности начальных фаз ∆ φ =φ₁ – φ₂=π/2.

1.Что изменится в уравнении гармонических колебаний, если в векторной диаграмме вра­щать вектор амплитуды по направлению часо­вой стрелки?

2.От чего зависят амплитуда и начальная фаза гармонических механических колебаний?

3. Можно ли с помощью векторной диаграммы найти результат сложения трех одинаково направленных гармонических колебаний од­ной частоты?

4. Как получить эллиптически поляризованные колебания?

5. Как по виду фигуры Лиссажу найти отношение частот складываемых колебаний? В каких слу­чаях это можно сделать?

6. Что понимают под спектром колебаний?

Упругая волна

называется продольной, если частицы среды колеблются в направле­нии распространения волны.

Продольные волны связаны с объемной деформацией упругой среды и потому могут распространяться в любой среде — твердой, жидкой и газообразной. Примером таких волн являются звуковые волны в воздухе.

Упругая волна называется поперечной, если частицы среды колеблются, оставаясь в плоскостях, перпендикулярных направле­нию распространения волны.

Поперечные волны связаны с деформа­цией сдвига упругой среды и, следователь­но, могут образовываться ираспростра­няться только в средах, обладающих упру­гостью формы, т. е. в твердых телах. Примером поперечных волн могут служить волны, распространяющиеся вдоль струн музыкальных инструментов.

Особое место занимают поверхностные волны— распространяющиеся вдоль сво­бодной поверхности жидкости (или повер­хности раздела двух несмешивающихся жидкостей) возмущения этой поверхности, возникающие под влиянием внешнихвоз­действий (падения тел, движения судов, ветра и т. п.). В образовании и распростра­нении этих волн определяющую роль играют силы поверхностного натяжения и тяжести. В поверхностных волнах частицы жидкости одновременно совершают поперечные и про­дольные колебания, описывая эллиптиче­ские или более сложные траектории.

Среда называется однородной, если ее физические свойства, существенные в рас­сматриваемых задачах, неизменяются от точки к точке.

§ 29.2.

1. Уравнением упругой волны называется зависимость от координат и времени ска­лярных или векторных величин, характери­зующих колебания среды при прохождении в ней рассматриваемой волны.

Например, для волн в твердой среде такой величиной может служить вектор сме­щения частицы среды из положения равно­весия или три его проекции на оси коорди­нат. Для характеристики продольных волн в газе или жидкости обычно пользуются из­быточным давлением колеблющейся среды, равным разности между ее переменным и равновесным давлениями.

Распространение в упругой среде меха­нических возмущений, возбуждаемых ис­точником волн, связано с переносом волна­ми энергии. Поэтому такие волны в отличие от стоячих волн (см. § 29.6) называют бе­гущими волнами.

Линия, касательная к которой в каждой ее точке совпадает с направлением распро­странения волны, т. е. с направлением пе­реноса энергии волной, называется лучом.

В однородной среде лучи имеют вид прямых линий.

5. Уравнение плоской синусоидальной вол­ны,распространяющейся в непоглощающей среде вдоль положительного направле­ния оси ОХ,

где A=const — амплитуда колебаний, на­зываемая амплитудой волны;

ω = 2л/Т — циклическая (круговая) частота волны;

Расстояние λ=vТ, на которое распро­страняется синусоидальная волна за время, равное периоду колебаний, называется дли­ной волны.

Длина волны равна расстоянию между двумя ближайшими точками среды, в кото­рых разность фаз колебаний равна 2π.

6.Наряду с длиной волны используется другая характеристика синусоидальной вол­ны — волновое число,которое показыва­ет, сколько длин волн укладывается на от­резке длиной 2 π:

k=2 π / λ = 2 π / (vT) =ω/v. (29.5)

Следовательно, уравнение плоской си­нусоидальной волны (29.4) можно также представить в виде

Соответственно фаза этой плоской волны

Волновым вектором называется век­тор к, по модулю равный волновому числу k и направленный вдоль луча в рассмат­риваемой точке М среды,

Волновой вектор плоской синусоидаль­ной волны не зависит от выбора точ­ки М. Для плоской волны, распространяю­щейся вдоль положительного направления оси OX, k — k i (i — орт оси ОХ), поэтому kх =kг, где г — радиус-вектор точки М, и уравнение плоской волны (29.6) можно за­писать в форме

Основываясь на формуле (27.5), урав­нение волны (29,7) можно записать в экспо­ненциальной форме, удобной для диффе­ренцирования:

s = Ae i ( ω t— kr + δ) (29.7′)

где i = и δ = φ₀—π/2.

Физический смысл имеет только действительная часть комплексной величины š, т. е. величина s = Reš. Пользуясь š для нахождения ка­кой-либо характеристики волны, нужно по­сле выполнения всех математических операций отбросить мнимую часть полученного комплексного выражения.

1. Найдем выражение для скорости и про­дольной волны в однородной газообразной среде. Пусть газ находится в длинном гори­зонтальном цилиндрическом сосуде с под­вижным поршнем площадью s. Первона­чально поршень находился в покое, а в мо­мент времени t пришел в движение и за малый промежуток времени dt приобрел скорость dv₁, сместившись при этом на рас­стояние dv₁, dt/2. Возмущающее действие поршня за время dt распространится в газе на расстояние v dt и охватит область среды объемом Sv dt, относительная объемная де­формация которой

dε= (29.12)

Добавочное давление dp, производимое на газ движущимся поршнем, можно найти из закона Гука (29.1), где (DV/V) = dε:

dp = (29.13)

Под действием силы dF = S dp возмущен­ный поршнем газ приобретает за время dt импульс, равный dm dv₁/2, где dm =ρSv dt, ρ — плотность газа. По второму закону Ньютона,

откуда искомая скорость продольной волны в газе

v= (29.14)

Заметим, что при выводе формулы (29.14) предполагалось, что плотность газа ρ —const. В газах это условие соблюда­ется, если избыточное давление, связанное с распространением волны, во много раз меньше равновесного давления невозму­щенногогаза.

Формула (29.14) справедлива также для продольных волн в жидкостях.

|1.Упругая среда, в которой распространя­ются механические волны, обладает как кинетической энергией колебательного дви­жения частиц, так и потенциальной энер­гией, обусловленной деформацией. Если v₁—скорость колебаний частиц среды, то объемная плотность кинетической энергии среды

w_k = (29.21)

где ρ — плотность среды; dW_K— кинетиче­ская энергия всех частиц в малом объеме dV среды, выбранном таким обра­зом, что в его пределах скорость v₁\ всюду одинакова.

Можно доказать, что объемная плот­ность потенциальной энергии упругодеформированной среды

w_n = (29.22)

где dW_n— потенциальная энергия однород­но деформированного малого участка среды объемом dV; v—фазовая скорость волны в среде; ε— относительная деформация.

Покажем справедливость формулы (29.22) на примере продольной волны в га­зе. Элементарная работа, совершаемая внешними силами давления при объемной деформации, δ A’= — р dV. По закону Гука (29.1),

Эта работа идет на увеличение потенциаль­ной энергии упругодеформированной среды:

Соответственно при конечной относительной деформации среды ε =ΔV/V

W_n=

где в соответствии с законом Гука (29.1] ρ= —Кε. Следовательно, объемная плот­ность потенциальной энергии среды

W_n=

Под объемной плотностью энергии упру­гих волн понимают объемную плотность w механической энергии среды, обусловлен­ную распространением этих волн и равную сумме w_к и w_п:

3. Скорость переноса энергии волной рав­на скорости перемещения в пространстве поверхности, соответствующей максималь­ному значению объемной плотности w энер­гии волны. Для синусоидальных волн эта скорость равна фазовой скорости v.

Потоком энергии dФ_w сквозь малую пло­щадку dS называется отношение энер­гии dW, передаваемой через эту площадку за малый промежуток времени, к его дли­тельности dt:

Если v — вектор скорости переноса энергииволной, то dW равно энергии, за­ключенной внутри показанного на рис. 29.2 косого цилиндра с основанием площадью dS и образующей длиной vdt:

dW = wv dt dS cos α = w (v dS) dt,

где w — объемная плотность энергии вол­ны; dS = n dS — вектор площадки dS; n — единичный вектор нормали к площад­ке; а — угол между v и dS.

Вектор плотности потока энергии

называется вектором Умова,так как впер­вые был введен Н. А. Умовым (1874). Век­тор направлен в сторону переноса энергии волной, а по модулю равен отношению пото­ка энергии dФ_w сквозь малую площадку dS

к площади dS_┴ — dS cosα проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную направлению переноса энергии:

Поток энергии через произвольную по­верхность S, мысленно проведенную в сре­де, охваченной волновым движением, равен потоку вектора Умова через эту поверх­ность:

Ф_w= (29.30)

3. Простейшей группой волн является ква­зисинусоидальная плоская волна, получаю­щаяся в результате наложения двух рас­пространяющихся вдоль оси ОХ плоских волн с одинаковыми амплитудами и близки­ми по значению частотами и волновыми числами:

Зависимость s (x) в некоторый фиксиро­ванный момент времени t показана на рис. 29.4. Эта волна отличается от синусои­дальной тем, что ее амплитуда

— медленно изменяющаяся функция коор­динаты х и времени t.

u = (29.38)

Величина и называется групповой ско­ростью. Она равна скорости переноса

энергии квазисинусоидальной волной. Группо­вая скорость u = d/dk пригодна для опи­сания переноса энергии (передачи сигнала) посредством несинусоидальных волн, имею­щих иной спектр частот, при условии, что спектр не очень широк, а дисперсия волн в среде для этих частот мала.

Найдем связь между групповой и фазо­вой скоростями волны. Так как t

(29.38)

§ 29.6.

5. Частным случаем интерференции волн являются стоячие волны.

Стоячей волной называется волна, об­разующаяся в результате наложения двух бегущих синусоидальных волн, которые распространяются навстречу друг другу и имеют одинаковые частоты и амплитуды, в случае поперечных волн еще и одинако­вую поляризацию (§ 29.2).

Поперечная стоячая волна образуется, например, на натянутой упругой нити, один конец которой закреплен, а другой приво­дится в колебательное движение.

При наложении двух когерентных бегу­щих плоских волн вида

где α — разность фаз волн в точках плоско­сти x = O, образуется плоская синусоидаль­ная стоячая волна, описываемая уравнением

Амплитуда стоячей волны A_ст в отличие от амплитуды А бегущих волн является периодической функцией координаты х:

Точки, в которых амплитуда стоячей волны A_ст = 0, называются узлами стоячей волны, а точки, в которых амплитуда A_ст максимальна (A_ст =2А), называются пуч­ностями стоячей волны.

Положение узлов и пучностей находится из условий

где m = 0, 1, 2. Расстояния между двумя соседними узлами и между двумя соседни­ми пучностями одинаковы и равны половине длины волны бегущих волн. Эту величину называют длиной стоячей волны: λ_ст = λ/2. Расстояние между соседними узлом и пуч­ностью стоячей волны равно λ_ст /2.

7. В стоячей волне (29.47) скорость коле­бательного движения частиц среды

а относительная деформация среды

Таким образом, в отличие от бегущей волны, для которой справедливо соотноше­ние (29.24), в стоячей волне ε опережает v₁ по фазе на л/2, так что в те моменты време­ни, когда v_t достигает амплитудного значе­ния, ε обращается в нуль, и наоборот. Кроме того, амплитуды v₁ и ε зависят от координа­ты х и притом различным образом:

в пучностях стоячей волны располагаются пучности скорости частиц и узлы деформа­ции среды, а в узлах стоячей волны — пучности деформации и узлы скорости.

В упругой стоячей волне энергия перио­дически преобразуется из потенциальной энергии, локализованной в основном вблизи пучностей деформации, в кинетическую, ло­кализованную в основном вблизи пучностей скорости, и обратно. Поэтому энергия пери­одически мигрирует от узлов стоячей волны к се пучностям и обратно. Однако в самих узлах и пучностях плотность потока энергии тождественно равна нулю. Среднее за пери­од значение плотности потока энергии рав­но нулю в любой точке стоячей волны, так как две бегущие волны, образующие стоя­чую, переносят за период равную энергию в прямо противоположных направлениях. Именно поэтому стоячие волны и получили свое название.

1. Возможно ли образование сходящейся сфе­рической волны?

2. Что понимается под уравнением волны и под волновым уравнением?

3. От чего зависит фазовая скорость волн в уп­ругой среде?

&. Каковы должны быть свойства среды, чтобы для механических волн в этой среде выпол­нялся принцип суперпозиции?

5. Как связаны между собой амплитуда синусои­дальной волны в упругой среде и объемная плотность энергии этой волны?

6. Каков физический смысл групповой скорости?

7. Чем принципиально отличается бегущая волна, от стоячей? Чему равен вектор Умова в узлах и пучностях стоячей волны? Чему равна интен­сивность стоячей волны?

Источник