Что такое общая высота треугольника

Высота треугольника

Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. В зависимости от типа треугольника высота может содержаться внутри треугольника (для остроугольного треугольника), совпадать с его стороной (являться катетом прямоугольного треугольника) или проходить вне треугольника

Содержание

Свойства

(Для доказательства тождества следует воспользоваться формулами

В качестве точки E следует взять пересечение двух высот треугольника.)

Минимальная из высот треугольника обладает многими экстремальными свойствами. Например:

Минимальная высота в треугольнике всегда проходит внутри этого треугольника.

Основные соотношения

где — площадь треугольника, — длина стороны треугольника, на которую опущена высота.

где — основание.

Теорема о высоте прямоугольного треугольника

Если высота длиной h, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу длиной c на отрезки m и n, соответствующие b и a, то верны следующие равенства:

Мнемоническое стихотворение

См. также

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Высота треугольника» в других словарях:

ВЫСОТА — ВЫСОТА, высоты, мн. высоты, высот, жен. 1. только ед. Протяжение снизу вверх, вышина. Высота дома. Башня большой высоты. || (мн. только спец. научн.). Расстояние от земной поверхности, измеряемое по вертикальной линии снизу вверх. Аэроплан летал… … Толковый словарь Ушакова

Высота (геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Высота (значения). Высота в элементарной геометрии отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины геометрической фигуры (например, треугольника, пирамиды, конуса) на её основание или на… … Википедия

высота — ы/; мн. высо/ты; ж. см. тж. высотка, высотный 1) Величина, протяжённость чего л. от нижней точки до верхней, снизу вверх. Высота/ дома, дерева, горы. Высота/ волны. Плотина высотой в сто пят … Словарь многих выражений

высота — ы; мн. высоты; ж. 1. Величина, протяжённость чего л. от нижней точки до верхней, снизу вверх. В. дома, дерева, горы. В. волны. Плотина высотой в сто пятьдесят метров. Измерить, определить высоту чего л. 2. Расстояние от какой л. поверхности до… … Энциклопедический словарь

высота исходного треугольника резьбы — (H) Расстояние между вершиной и основанием исходного треугольника резьбы в направлении, перпендикулярном к оси резьбы. [ГОСТ 11708 82 (СТ СЭВ 2631 80)] Тематики нормы взаимозаменяемости Обобщающие термины основные элементы и параметры резьбы EN… … Справочник технического переводчика

Высота (значения) — Высота размер или расстояние в вертикальном направлении. Другие значения: В астрономии: Высота светила угол между плоскостью математического горизонта и направлением на светило. В военном деле: Высота возвышенность рельефа. В… … Википедия

ВЫСОТА (в геометрии) — ВЫСОТА, в геометрии отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины геометрической фигуры (напр., треугольника, пирамиды, конуса) на ее основание (или продолжение основания), а также длина этого отрезка. Высота призмы, цилиндра, шарового слоя, а… … Энциклопедический словарь

ВЫСОТА — в геометрии отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины геометрической фигуры (напр., треугольника, пирамиды, конуса) на ее основание (или продолжение основания), а также длина этого отрезка. Высота призмы, цилиндра, шарового слоя, а также… … Большой Энциклопедический словарь

ВЫСОТА — ВЫСОТА, ы, мн. оты, от, отам, жен. 1. Величина, протяжённость чего н. от нижней точки до верхней. В. кирпичной кладки. В. прибоя. В. циклона. 2. Пространство, расстояние от земли вверх. Смотреть в высоту. Самолёт набирает высоту. Лететь на… … Толковый словарь Ожегова

Высота (геометрич.) — Высота в геометрии, отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины геометрической фигуры (например, треугольника, пирамиды, конуса) на её основание или продолжение основания, а также длина этого отрезка. В. призмы, цилиндра, шарового слоя,… … Большая советская энциклопедия

Источник

Определение и свойства высоты треугольника

В данной публикации мы рассмотрим определение высоты треугольника, продемонстрируем, как она выглядит в зависимости от вида треугольника, а также перечислим ее основные свойства.

Определение высоты треугольника

Высота треугольника – это перпендикуляр, который опущен из вершины фигуры на противоположную сторону.

Основание высоты – точка на противоположной стороне треугольника, которую пересекает высота (или точка пересечения их продолжений).

Обычно высота обозначается буквой h (иногда как h_a – это означает, что она проведена к стороне a).

Высота в разных видах треугольников

В зависимости от вида фигуры высота может:

Свойства высоты треугольника

Свойство 1

Все три высоты в треугольнике (или их продолжения) пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром (точка O на чертежах ниже).

Свойство 2

При пересечении двух высот в треугольнике, образуются следующие подобные треугольники:

Свойство 3

Точка пересечения высот в остроугольном треугольнике является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.

Ортотреугольник – треугольник, вершинами которого являются основания высот △ABC. В нашем случае – это △DEF.

Свойство 4

Точки, которые симметричны ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на окружности, описанной вокруг этого треугольника.

Примечание: формулы для нахождения высоты треугольника подробно рассмотрены в нашей публикации – “Как найти высоту в треугольнике abc”.

Источник

Высота треугольника (ЕГЭ 2022)

Там, где есть высота, есть и прямой угол.

А значит, и прямоугольный треугольник, который поможет тебе решить массу задач!

И простые подобия, и «хитрые подобия с косинусом», и другие свойства прямоугольных треугольников!

И самое главное – не нужно ничего запоминать.

Научись выводить и никогда не ошибёшься, сможешь всегда себя проверить и решить любую задачу!

Все в этой статье. Читай и смотри видео.

Высота треугольника — коротко о главном

Высота – линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне (прямой, которая эту сторону содержит).

Основанием высоты называют ту точку, в которой высота пересекает противоположную сторону (или её продолжение).

Три высоты любого треугольника пересекаются в одной точке.

Высоты треугольника обратно пропорциональны сторонам, на которые они опущены: \( \displaystyle A<_>:B<_>:C<_>=\frac<1>:\frac<1>:\frac<1>\).

Способ 1. Через сторону и угол треугольника: \( \displaystyle A<_>=AC\cdot \sin C=AB\cdot \sin B\).

Способ 3. Через сторону и площадь треугольника: \( \displaystyle A<_>=\frac<2S>\).

Способ 4. Через стороны треугольника и радиус описанной окружности: \( \displaystyle A<_>=\frac<2R>\), где \( \displaystyle R\) — радиус описанной окружности.

Читай далее! Здесь не все…

Высота треугольника — подробнее

Высота – линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне (прямой, которая эту сторону содержит).

На этом рисунке \( \displaystyle BH\) – высота.

Но иногда высота (в отличие от биссектрисы и медианы) ведёт себя, как непослушный ребенок – «выбегает» из треугольника. Это бывает в тупоугольном треугольнике.

И тогда получается так:

В общем, не нужно пугаться, если основание высоты оказалось не на стороне треугольника, а «за» треугольником, на продолжении стороны.

Как же решать задачи, в которых участвует высота?

Нужно стремиться применить какие-нибудь знания о прямоугольном треугольнике – ведь где высота – там и прямой угол.

Но попадаются задачи и похитрее, при решении которых лучше обладать дополнительными знаниями заранее, а не выводить их «с нуля». Сейчас мы обсудим некоторые из них.

Но для начала решим простенькую задачку на высоту в тупоугольном треугольнике:

В треугольнике \( \displaystyle ABC\) с тупым углом \( \displaystyle C\) проведена высота \( \displaystyle BH\). Найти \( \displaystyle AC\), если \( AB=2\sqrt<10>\), \( BC=\sqrt<13>\), \( BH=2\).

Смотри: из-за того, что угол \( C\) – тупой, высота \( BH\) опустилась на продолжение стороны \( AC\), а не на саму сторону.

Теперь давай увидим во всём этом два прямоугольных треугольника.

Смотри их целых два:

Применяем теорему Пифагора к треугольнику \( BCH\):

А теперь теорема Пифагора для \( \Delta ABH\):

Теперь осталось только заметить, что \( AC=AH-CH=6-3=3\).

А теперь давай вернемся к нашим высотам!

В треугольнике проведено две высоты

Первый «неожиданный факт»:

Почему бы это? Да очень просто! У них общий угол \( \displaystyle B\) и оба – прямоугольные. Значит, подобны по двум углам.

Второй «неожиданный» факт:

Здесь тоже подобие по двум углам: \( \angle 1=\angle 2\) (как вертикальные) и по прямому углу.

Третий, по-настоящему неожиданный факт:

Вот это уже интереснее, правда? Давай разбираться, почему так.

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

В треугольнике проведены три высоты

Как и для медиан, и для биссектрис, для высот треугольника верно следующее утверждение:

В любом треугольнике три высоты или их продолжения пересекаются в одной точке.

Доказывать это утверждение мы здесь, пожалуй, не будем.

Давай просто нарисуем, чтобы понять, как это бывает «высоты или их продолжения».

1. Треугольник остроугольный – тогда пересекаются сами высоты:

2. Треугольник тупоугольный – тогда пересекаются продолжения высот:

Что же полезного мы ещё не обсудили?

Угол между высотами

Давай узнаем, вдруг угол между высотами можно как–то выразить через углы треугольника? Давай рассмотрим остроугольный треугольник.

Итак, нам хотелось бы найти \( \displaystyle \angle \varphi \).

Смотрим на \( \displaystyle \Delta AHC\). Замечаем, что наш \( \displaystyle \angle \varphi \) – внешний угол в этом треугольнике.

Значит, \( \angle \varphi =\angle 1+\angle 2\).

Чему же равны \( \displaystyle \angle 1\) и \( \displaystyle \angle 2\)?

Но что же это такое? Ведь сумма угла углов треугольника — \( 180<>^\circ \)! Значит, \( \angle \varphi =\angle B\).

Итак, что получилось?

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Остроугольный треугольник и высота

Вернёмся–ка к остроугольному треугольнику. Отметим на рисунке равные углы:

Что видим теперь? Ещё подобные треугольники!

Как от двух линий вообще могут получиться столько подобных треугольников?!

Видишь, какое богатство? И всё это может быть использовано в задачах!

Ну вот, теперь ты узнал что-то новенькое про высоты треугольника.

Теперь пробуй применять в задачах всё это – и соображение о том, что высота образует прямоугольный треугольник, и простые подобия прямоугольных треугольников, получающихся при пересечении двух высот, и подобие похитрее — которое с косинусом, и то, что угол между высотами равен углу между сторонами…

Главное, ты не старался просто запоминать все эти факты, а осознай, что их можно очень просто вывести.

И тогда, если ты будешь точно знать, например, что две проведённые высоты приносят кучу бонусов в виде всяких подобий, то ты непременно и сам получишь все эти бонусы, а заодно – решение своей задачи!

Бонус: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

ЕГЭ №6 Все о равнобедренном треугольнике

Очень часто все «проблемы» с решением задач на равнобедренный треугольник решаются построением высоты.

Очень хороший вебинар, чтобы закрепить решением задач то, что вы изучили в этой статье о высоте.

Вспомним все свойства равнобедренных треугольников и научимся их применять в задачах из ЕГЭ. Научимся решать и «обычные» треугольники.

ЕГЭ №6 Все о прямоугольном треугольнике

Важнейшая тема — прямоугольный треугольник — свойства, теорема Пифагора, тригонометрия.

Абсолютное большинство задач геометрии сводятся к прямоугольным треугольникам. Поэтому знать нужно как «Отче наш».

И уметь решать задачи — чем мы займемся на этом вебинаре.

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

Курсы для тех, кому нужно получить 90+ и поступить в топовый ВУЗ страны.

Твоя очередь!

Ты знаешь очень много о высоте треугольника. И вот, что нужно сделать дальше. Практикуйся! Ведь я уверен, что с каждой задачей ты будешь все увереннее применять свои знания!

Высота треугольника – не просто перпендикуляр, длину которого мы используем для нахождения площади, верно? Это кое-что покруче 🙂

А теперь мы хотим узнать твое мнение!

Помогла ли тебе эта статья? Понравилась ли она тебе и все ли было понятно?

Напиши внизу в комментариях!

А если остались вопросы, задай их! Мы непременно ответим тебе!

Удачи на экзаменах!

Добавить комментарий Отменить ответ

Один комментарий

Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

Дарья Сулейманова
15 января 2018
Сидела и готовилась к зачёту по геометрии около двух часов, заходила на множество разных сайтов. И только на вашем сайте всё написано понятным языком, без заумных терминов. Спасибо!

Александр (админ)
15 января 2018
Дарья, спасибо! Всей нашей команде очень приятно это слышать. Мы, консультанты, убеждали математиков использовать «человеческий» язык. И они справились очень хорошо. В результате получилось то, что всем нравится. Мы каждый день получаем благодарности. Еще раз спасибо и удачи на зачете!

Олеся
06 апреля 2018
Готовится с внуком к ОГЭ. Школу закончила 45 лет назад. Учили в то время просто отлично. Многое помню хорошо, но некоторые нюансы забылись. Ваш сайт очень помог. Все лаконично, по существу и без лишних заумных оборотов. Скачала ла себе на телефон. В свободное время просматриваю. С удовольствием решаю задачи. Спасибо Вам.

Александр (админ)
06 апреля 2018
Олеся, спасибо за такой отзыв и удачи Вашему внуку на всех экзаменах. А сайт я лично попросил математиков написать «человеческим языком» ) Судя по отзывам, они справились.

Ольга
15 февраля 2019
А как бы еще доказать подобие треугольников HcHHa и АНС Можно без окружностей

Дмитрий
10 февраля 2020
Скажите, прав ли я. (Задание «Угол между высотами») Что не может угол Фи быть = углу В Так как, угол В это 180 минус угол А+С И угол Н это 180 минус угол А+С Значит В и Н равны, следовательно угол Фи это 180 — Н или минус В, что априори не может быть равным не В не Н.

Алексей Шевчук
13 февраля 2020
Дмитрий, угол H — это угол в треугольнике AHC, но в этом треугольнике углы A и С не равны углам A и C треугольника ABC. Чтобы не возникало такой путаницы, важно (а на экзаменах даже обязательно) писать углы полностью (тремя вершинами): ∠AHC = 180 — (∠HAC + ∠HCA); ∠ABC = 180 — (∠BAC + ∠BCA) — и теперь сразу видно, что это не одно и то же.

Андрей
08 апреля 2020
Очень доходчивый язык учебника. Как в старой советской школе. Я просто в восторге

Александр (админ)
08 апреля 2020
Андрей, спасибо большое! Очень приятно слышать! Сравнение лестное! ))

Источник

Треугольники общего вида

Треугольники общего вида.

Основные свойства треугольников:

Свойства медиан:

1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, т.е. на два треугольника, у которых площади равны.

2. Медианы пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении два к одному, считая от вершины.

3. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы и радиусу описанной около этого треугольника окружности.

Свойства высот:

1. Три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

2. Угол между высотами в остроугольном треугольнике равен углу между сторонами, к которым эти высоты проведены.

3. Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:

Прямоугольный треугольник и его свойства:

В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов.

2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

3. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности (R)

4. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями которых являются катеты данного треугольника.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

Тригонометрические тождества:

1. Основное тригонометрическое тождество:

2. Связь между тангенсом и косинусом одного и того же угла:

3. Связь между котангенсом и синусом одного и того же угла:

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.

Признаки подобия треугольников:

Теорема синусов

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

Воспользуемся теоремой синусов:

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности

Теорема косинусов

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Источник

Формулы для нахождения высоты треугольника

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Нахождение высоты треугольника

Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

1. Через площадь и длину стороны

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

4. Через стороны и радиус описанной окружности

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты h_a, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

2. Через стороны треугольника

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

Примеры задач

Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

Источник