Что такое общая касательная
Общие касательные
Выясним сколько общих касательных имеют две окружности и как эти общие касательные могут быть расположены.
Если две окружности не пересекаются и окружность меньшего радиуса лежит внутри окружности большего радиуса, то они не имеют общих касательных.
В другом случае не пересекающиеся окружности имеют четыре общие касательные.
внешние общие касательные
При этом, если обе окружности лежат по одну сторону от касательной (в одной полуплоскости), то такая касательная называется внешней.
внутренние общие касательные
Если окружности лежат по разные стороны от общей касательной (в разных полуплоскостях), то такая касательная называется внутренней.
Если две окружности имеют внутреннее касание, то у них есть одна общая касательная.
При внешнем касании две окружности имеют три общие касательные.
Две пересекающиеся окружности имеют две общие касательные.
Касательные к окружности
В обычной жизни ты очень хорошо представляешь себе, что значит слово «коснуться».
И вот представь себе, в математике тоже существует такое понятие.
В этой теме мы разберёмся с выражениями «прямая касается окружности» и «две окружности касаются».
Касательные к окружности. Коротко о главном
Касательная – прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку.
Касательная окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, которая находится внутри угла: \( \displaystyle \angle CAB=\frac<1><2>\angle AOB\), где:
Касание окружностей: если две окружности касаются, то точка касания лежит на прямой, соединяющей их центры. Кроме того, эта прямая перпендикулярна касательной, проведённой в точку касания окружностей:
Внешнее касание
Внутреннее касание
Для двух окружностей с центрами \( \displaystyle <
Касательные к окружности. Определения и основная теорема
Прямая касается окружности, если имеет с ней ровно одну общую точку.
Такая прямая называется касательной к данной окружности.
Посмотри-ка внимательно: очень похоже на жизнь, не правда ли? Прямая на картинке лишь чуть-чуть дотрагивается до окружности, касается ее.
Ну вот, и точно так же:
Две окружности касаются, если имеют ровно одну общую точку.
Что же тебе нужно знать о касательных и касающихся окружности?
Самая важная теорема гласит, что:
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Запомни это прямо как таблицу умножения! Все остальные факты о касательных и касающихся окружностях основаны именно на этой теореме.
Доказывать её мы здесь не будем, а вот как эта самая важная теорема работает, увидим сейчас несколько раз.
Угол между касательной и хордой
Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, которая находится внутри угла.
Прежде всего: как это понимать? Подробнее о том, что такое «градусная мера дуги», написано в теме «Окружность. Вписанный угол».
Здесь напомним только, что в дуге столько же градусов, сколько в центральном угле, заключающем эту дугу.
То есть «градусная мера дуги» – это «сколько градусов в центральном угле» – и всё!
Ну вот, как говорит Карлсон, продолжаем разговор. Рисуем ещё раз теорему об угле между касательной и хордой.
Смотри, хорда \( \displaystyle AB\) разбила окружность на две дуги. Одна дуга находится ВНУТРИ угла \( \displaystyle BAC\), а другая дуга – внутри угла \( \displaystyle BAD\).
И теорема об угле между касательной и хордой говорит, что \( \displaystyle \angle CAB\) равен ПОЛОВИНЕ угла \( \displaystyle AOB\), \( \displaystyle \angle DAB\) равен ПОЛОВИНЕ большего (на рисунке — зеленого) угла \( \displaystyle AOB\).
При чем же тут тот факт, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной?
Сейчас и увидим. \( \displaystyle OA\) – радиус, \( \displaystyle AC\) – касательная.
Значит, \( \displaystyle \angle OAC=90<>^\circ \).
И осталось вспомнить, что сумма углов треугольника \( \displaystyle AOB\) равна \( \displaystyle 180<>^\circ \).
Здорово, правда? И самым главным оказалось то, что \( \displaystyle \angle OAC=90<>^\circ \).
Равенство отрезков касательных
Задумывался ли ты над вопросом «а сколько касательных можно провести из одной точки к одной окружности»? Вот, представь себе, ровно две! Вот так:
А ещё более удивительный факт состоит в том, что:
Отрезки касательных, проведённых из одной точки к одной окружности, равны.
То есть, на нашем рисунке, \( \displaystyle AB=AC\).
И для этого факта тоже самым главным является то, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Проведём радиусы \( \displaystyle OB\) и \( \displaystyle OC\) и соединим \( \displaystyle O\) и \( \displaystyle A\).
\( \displaystyle OB\) – радиус.
\( \displaystyle AB\) – касательная, значит, \( \displaystyle OB\bot AB\).
Ну, и так же \( \displaystyle OC\bot AC\).
Получилось два прямоугольных треугольника \( \displaystyle AOB\) и \( \displaystyle AOC\), у которых:
(заглядываем в тему «Прямоугольный треугольник«, если не помним, когда бывают равны прямоугольные треугольники).
Но раз \( \displaystyle \Delta AOB=\Delta AOC,\) то\( \displaystyle AB=AC\). УРА!
И ещё раз повторим – этот факт тоже очень важный:
Отрезки касательных, проведённых из одной точки, – равны.
И есть ещё один факт, который мы здесь не будем доказывать, но он может оказаться тебе полезен при решении задач.
Для любой прямой \( \displaystyle AD\), пересекающей окружность,\( \displaystyle AD\cdot AC=A<^<2>>\), где \( \displaystyle AB\) – отрезок касательной.
Хитроумными словами об этом говорят так:
«Квадрат длины отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть».
Страшно? Не бойся, помни только, что в буквах это:
Общая касательная к двум окружностям
Прямая, которая касается двух окружностей, называется их общей касательной.
Общие касательные бывают внешние и внутренние. Смотри на картинки.
Две внутренние общие касательные:
Две внешние общие касательные:
А всего – четыре! Не больше, но может быть меньше.
Есть только две внешние общие касательные.
Или так: одна внутренняя и две внешних.
А может быть вообще так:
Только одна общая касательная.
И снова факты:
Длины отрезков двух внутренних общих касательных равны
Длины отрезков двух внешних общих касательных равны.
НО! При этом: внешние и внутренние касательные – разные! (а некоторых, может, и вообще нет…)
Касающиеся окружности
Касание окружностей бывает внешним и внутренним.
Вот такая картинка называется «окружности касаются внешним образом»:
А вот такая картинка называется «окружности касаются внутренним образом»:
Что же самое главное нужно знать?
Если две окружности касаются, то точка касания лежит на прямой, соединяющей центры. Кроме того, эта прямая перпендикулярна касательной, проведённой в точку касания окружностей.
Если тебе показалось слишком длинно – посмотри картинку. Может быть ещё так:
Ура, теперь ты полностью вооружён на борьбу с касательными – дерзай! 🙂
Две окружности на плоскости.
Общие касательные к двум окружностям
 Взаимное расположение двух окружностей |
| Общие касательные к двум окружностям |
| Формулы для длин общих касательных и общей хорды |
| Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды |
Взаимное расположение двух окружностей
| Фигура | Рисунок | Свойства |
| Две окружности на плоскости |  | |
| Каждая из окружностей лежит вне другой |  | |
| Внутреннее касание двух окружностей |  | |
| Окружности пересекаются в двух точках |  |  |
| Каждая из окружностей лежит вне другой | ||
| ||
| Внешнее касание двух окружностей | ||
 | ||
| Внутреннее касание двух окружностей | ||
| ||
| Окружности пересекаются в двух точках | ||
| ||
| ||
| Каждая из окружностей лежит вне другой | ||
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов | ||
| Внешнее касание двух окружностей | ||
Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов
Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов | ||
| Окружности пересекаются в двух точках | ||
Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов r1 – r2 лежит внутри другой | ||
| Внутренняя касательная к двум окружностям |  | |
| Внутреннее касание двух окружностей |  | |
| Окружности пересекаются в двух точках |  | |
| Внешнее касание двух окружностей |  | |
 | ||
 | ||
| Внешняя касательная к двум окружностям | |
 | |
| Внутренняя касательная к двум окружностям | |
| |
| Внутреннее касание двух окружностей | |
| |
| Окружности пересекаются в двух точках | |
| |
| Внешнее касание двух окружностей | |
| |
| |
| Каждая из окружностей лежит вне другой | |
| |
Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.
Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.
Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет
