Что такое непрерывная функция

23.09.202329.09.2023 admin 0 Comments

Непрерывность функции в точке, разрывы первого и второго рода

Процесс исследования функции на непрерывность неразрывно связан с навыком нахождения односторонних пределов функции. Поэтому, чтобы приступить к изучению материала данной статьи, желательно предварительно разобрать тему предела функции.

Непрерывность функции в точке

Данное определение позволяет вывести следствие: значение предела функции в точках непрерывности совпадает со значением функции в этих точках.

Решение

Соответствующая последовательность значений функций выглядит так:

на чертеже они обозначены зеленым цветом.

Соответствующая последовательность функций:

на рисунке обозначена синим цветом.

После вычисления значения функции в заданной точке очевидно выполнение равенства:

Устранимый разрыв первого рода

Решение

Ответ: пределы справа и слева являются равными, а заданная функция в точке х 0 = 5 не определена, т.е. в этой точке функция имеет устранимый разрыв первого рода.

Неустранимый разрыв первого рода

Неустранимый разрыв первого рода также определяется точкой скачка функции.

Решение

Определим пределы справа и слева от этих точек и значение заданной функции в этих точках:

Ответ: в конечном счете мы получили:

Нам остается только подготовить чертеж данного задания.

Разрыв второго рода (бесконечный разрыв)

Решение

Зададим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к х 0 слева. К примеру:

Ей соответствует последовательность значений функции:

Источник

Непрерывность функции и точки разрыва

п.1. Приращение аргумента и приращение функции

Что такое непрерывная функция. Смотреть фото Что такое непрерывная функция. Смотреть картинку Что такое непрерывная функция. Картинка про Что такое непрерывная функция. Фото Что такое непрерывная функция

Пусть \(y=3x-1\)
\(x_0=1,\ x=1,1 \)

п.2. Непрерывность функции в точке и на промежутке

На «языке ε-δ» определение непрерывности будет следующим:

ε-δ определение непрерывности похоже на ε-δ определение предела функции, с той разницей, что модуль \(|x-x_0|\) может быть равен 0 для непрерывной функции, т.е. сама точка \(x_0\) входит в δ-окрестность.

Все три представленных определения непрерывности функции в точке эквивалентны.
Существуют и другие эквивалентные определения. Мы дадим ещё одно из них дальше, в этом же параграфе.

п.3. Непрерывность функции на промежутке

Промежуток – это интервал, отрезок, луч и т.п. (см. §16 справочника для 8 класса).

График непрерывной функции – это непрерывная линия.
Кроме непрерывности, эта линия еще и «плавная», без «заломов».
При наличии заломов функция называется кусочно-непрерывной.

Непрерывная функция

Кусочно-непрерывная функция

п.4. Односторонние пределы

Рассмотрим гиперболу \(y=\frac<1>\).

Теперь рассмотрим параболу \(y=x^2-2\)
Областью определения параболы является вся числовая прямая \(x\in\mathbb\)

Это еще одно определение непрерывности, которым удобно пользоваться на практике.

п.5. Классификация точек разрыва

Точки разрыва	1-го рода Односторонние пределы существуют и конечны	Устранимые Односторонние пределы равны между собой, но не равны \(f(x_0)\)
		Неустранимые (скачок) Односторонние пределы не равны между собой
	2-го рода Хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует

п.6. Точки разрыва первого рода

\(y= \begin x+1,\ x\lt 2\\ 3-x^2,\ x\geq 2 \end , x_0=2\)
Односторонние пределы: \begin \lim_f(x)= \lim_(x+1)=3\\ \lim_f(x)= \lim_(3-x^2)=-1 \end Пределы не равны, но конечны.

п.7. Точки разрыва второго рода

В точках разрыва 2-го рода хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует.

\(y=e^\frac1x, x_0=0\)

Точка \(x_0=0\) – точка разрыва второго рода.

На практике, при моделировании реальных процессов, разрывы 2-го рода в функциональных зависимостях встречаются довольно часто. Их положено заботливо анализировать и тщательно обходить, выбирая рабочие участки характеристических кривых, – чтобы «система не пошла в разнос».

п.8. Алгоритм исследования функции на непрерывность

На входе: функция \(y=f(x)\)
Шаг 1. Найти ОДЗ функции, определить точки и промежутки, не принадлежащие ОДЗ.
Шаг 2. Составить множество точек, в которое входят точки и границы промежутков, не принадлежащие ОДЗ, а также – для кусочно-непрерывных функций – точки сшивания. Полученное множество состоит из точек, подозрительных на разрыв.
Шаг 3. Исследовать каждую из точек, подозрительных на разрыв, с помощью односторонних пределов. Если разрыв обнаружен, определить тип разрыва.
На выходе: список точек разрыва и тип разрыва для каждой точки.

п.9. Примеры

Источник

Непрерывность функций с примерами решения и образцами выполнения

Непрерывность функции:

Непрерывные функции, точки разрыва и их классификация, действия над непрерывными функциями, свойства функций, непрерывных на сегменте.

Определение:

Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х₀, если:

Если в точке x₀ функция непрерывна, то точка x₀ называется точкой непрерывности функции.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию в точке х = 1.

Решение:

Чтобы доказать, что функция непрерывна в точке х = 1, необходимо проверить выполнение трех следующих условий (определение непрерывности):

Таким образом, доказано, что функция непрерывна в точке х = 1.

Замечание:

Формулу (10.1) можно записать в виде
(10.2)
так как . Это значит, что при нахождении предела непрерывной функции можно переходить к пределу под знаком функции.

Введем понятие непрерывности функции в точке х₀ справа и слева.
Если, существует f(x) = f(x₀), то функция называется непрерывной в точке x₀ слева. Аналогично определяется непрерывность функции справа.

Так как ∆x = x-x₀, a ∆y = f(x)-(x₀), то условие (10.1) равносильно следующему:

Определение:

Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х₀, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции
(10.3)

Пример:

Показать, что функция у = х³ непрерывна для любого значения аргумента х.

Решение:

Найдем приращение функции ∆y.

Используя теоремы о пределе суммы и произведения функции, получим
(3x²∆x 4- 3x∆x² + ∆x³) = 0.

Следовательно, функция у = х³ непрерывна при — ∞ Точки разрыва функции и их классификация

Определение:

Точка х₀ называется точкой разрыва функции у = f(x), если она принадлежит области определения функции или ее границе и не является точкой непрерывности.

Так, например, функция (рис. 89) терпит разрыв при х = 1. Эта функция не определена в точке х = 1, и не существует предела функции в этой точке.

Рис. 89. График функции

Определение:

Точка разрыва x₀ функции у = f(x) называется точкой устранимого разрыва, если существуют оба односторонних предела в точке x₀ и они равны, т. е.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

В точке x=-1 функция не определена, так как, выполнив подстановку, получаем неопределенность . В других точках дробь можно сократить на (1 + х), так как в них 1 + х ≠ 0. Легко видеть, что односторонние пределы слева и справа в точке х = — 1 равны между собой и их можно вычислить:

Определение:

Если в точке x₀ односторонние пределы слева и справа существуют, но не равны, точка x₀ называется точкой разрыва I рода.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию
(рис. 90).

Рис. 90. График функции

Решение: Вычислим односторонние пределы функции в точке ее разрыва х = 4.

Предел слева —.
Предел справа — .
Пределы слева и справа существуют, но не равны, следовательно, точка x = 4 для данной функции — точка разрыва I рода (точка скачка).

Определение:

Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва I рода, называются точками разрыва II рода.

В точках разрыва II рода не существует хотя бы один из односторонних пределов. Функция , представленная на рис. 89, не имеет ни левого, ни правого конечного предела в точке х = 1. Следовательно, для данной функции x = 1 является точкой разрыва II рода.

Действия над непрерывными функциями

Теорема:

Непрерывность суммы, произведения и частного непрерывных функций. Если функции ϕ(x) и ψ(x) непрерывны в точке Хо, то их сумма и произведение также непрерывны в точке x₀. Если, кроме того, знаменатель в рассматриваемой точке не равен нулю, то частное непрерывных функций есть функция непрерывная.

Докажем непрерывность произведения.

Дано: непрерывность функций в точке x₀:
и

Доказать, что f(x) — ϕ(x) ∙ ψ(x) есть функция непрерывная в точке x₀, т. е. f(x) — f(x₀).

Доказательство:
f(x) = [ϕ(x) ∙ ψ(x)] = ϕ(x) ∙ ψ(x) = ϕ(x₀) ∙ ψ(x₀) = f(x₀).

Можно строго доказать, что все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях х, для которых они определены.

Например, степенная у = xⁿ, показательная у = , тригонометрические у = sin х и у = cos х функции непрерывны на всей числовой оси (х ∈ R), логарифмическая функция непрерывна при х > 0, а тригонометрическая у = tg x непрерывна в каждом из интервалов и терпит разрыв II рода в точках (k = 0; ±1; ±2;…).

Теорема:

Непрерывность сложной функции. Если функция и = ϕ(x) непрерывна в точке x₀, а функция у = f(u) непрерывна в точке и₀ = ϕ(x₀), то сложная функция у = f [ϕ(x)] непрерывна в точке x₀.

В заключение этого раздела рассмотрим два предела, которые нам понадобятся в дальнейшем.

Пример:

Вычислить

Решение:

Заметим, что при х → 0 числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида . Выполним преобразование

Так как данная логарифмическая функция непрерывна в окрестности точки х = 0, то можно перейти к пределу под знаком функции ( f(x)= f (x)).

но — второй замечательный предел.

Следовательно,
(10.4)

В частности, при а = е
(10.5)

Таким образом, у = ln( 1 + х) и у = х — эквивалентные бесконечно малые функции при х → 0.

Пример:

Вычислить

Решение:

Здесь мы имеем дело с неопределенностью вида . Для нахождения предела сделаем замену переменной, положив — 1 = t. Тогда . При х → 0 также и t → 0.

Так как на основании результата, полученного в предыдущем примере, то
(10.6)

В частности, если а = е, имеем

т.е. у = — 1 и y = x — эквивалентные бесконечно малые функции при х → 0.

Свойства функций, непрерывных на сегменте

Определение:

Функция у = f(x) непрерывна на сегменте [а, b], если она непрерывна во всех внутренних точках Этого сегмента, а на концах сегмента (в точках a и b) непрерывна соответственно справа и слева.

Теорема:

Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [а, b], то она достигает на этом сегменте своего наибольшего и(или) наименьшего значения.

Простым доказательством этой теоремы, является геометрическая иллюстрация функции у = f(x) на рисунке 91. Непрерывная на сегменте [α, b] функция достигает наименьшего своего значения в точке х = x₁= а, а наибольшего значения в точке х₂.

Рис. 91. Геометрическая иллюстрация условий теоремы 10.3

Следствие:

Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [a, b], то она ограничена на этом сегменте.

Действительно, если по теореме 10.3 функция достигает на сегменте наибольшего M и наименьшего т значений, то имеет место неравенство m ≤ f(x) ≤ M для всех значений функции на рассматриваемом сегменте. Т. е. |f(x)| ≤ M и, следовательно, функция у = f(x) ограничена на сегменте [а, b].

Теорема:

Теорема Больцано-Коши. Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [а, b] и на ее концах принимает значения разных знаков, то внутри этого сегмента найдется, по крайней мере, одна тонка С, в которой функция равна нулю.

Геометрический смысл теоремы заключается в следующем: если точки графика функции у = f(x), соответствующие концам сегмента [a, b], лежат по разные стороны от оси ОХ, то этот график хотя бы в одной точке сегмента пересекает ось OX. На данном рисунке 92 это три точки x₁, x₂, x₃.

Рис. 92. Геометрическая иллюстрация условий теоремы 10.4

Теорема:

О промежуточных значениях функции. Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [α, b] и f(α) = A и f(b) = В, то для любого числа С, заключенного между A и B, найдется внутри этого сегмента такая точка с, что f(c) = С.

Из графика на рисунке 93 видно, что непрерывная функция, переходя от одного значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения.

Рис. 93. Геометрическая иллюстрация условий теоремы 10.5

Теорема:

О непрерывности обратной функции.) Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [а, b] в возрастает (убывает) на этом сегменте, то обратная функция х = f⁻¹(y) на соответствующем сегменте оси OY существует и является также непрерывной возрастающей (убывающей) функцией.

Эту теорему мы принимаем без доказательства.

Решение на тему: Непрерывная функция

Пример:

Показать, что функция у = 4x² непрерывна в точке х = 2.

Решение:

Для этого необходимо показать, что в точке х = 2 выполняется все три условия непрерывности функции:

1) функция у = 4х² определена в точке х = 2 ⇒ f(2) = 16;
2) существует f(x) = 4x²= 16;
3) этот предел равен значению функции в точке х = 2

f(x) = f(2) = 16.

Пример:

Показать, что функция у = sin x непрерывна для любого значения аргумента х.

Решение:

Найдем приращение функции ∆y, используя формулы тригонометрических тождеств

Так как то при любом х имеем

Эта функция (рис. 94) определена во всех точках сегмента [0,4] и ее значение при х = 3 ⇒ у = 2. Функция терпит разрыв, так как она не имеет предела при х → 3 :

Следовательно, точка х = 3, точка разрыва первого рода. При этом в граничных точках исследуемого сегмента [0,4], функция f(x) непрерывна справа (х = 0) и непрерывна слева (х = 4).

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

В точке х = 5 функция не определена, т.к., выполнив подстановку, получаем неопределенность вида 0/0. Легко доказать, что

Следовательно, точка х = 5 точка устранимого разрыва.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

В точке х = 0 функция (рис. 95) терпит разрыв, так как она не определена в этой точке. Пределы функции слева и справа от точки х = 0 равны ∞. Следовательно, точка х = 0 для данной функции является точкой разрыва второго

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию