Что такое модулярная форма

Модульная форма

Кроме того, она называется куспидом, если удовлетворяет следующему условию роста:

Как разделы линейного пакета

Стандартное определение

Модульная форма веса k для модулярной группы

Определение в терминах решеток или эллиптических кривых

Модульная форма может быть эквивалентно определена как функция F от множества решеток в C до множества комплексных чисел, удовлетворяющих определенным условиям:

Примеры

Серия Эйзенштейна

Тэта-функции четных унимодулярных решеток

хотя решетки L ₈ × L ₈ и L ₁₆ не похожи. Джон Милнор заметил, что 16-мерные торы, полученные делением R 16 на эти две решетки, являются, следовательно, примерами компактных римановых многообразий, которые изоспектральны, но не изометричны (см. Слушание формы барабана ).

Модульный дискриминант

Эта функция Дедекинда определяется как

Модульный блок представляет собой модульную функцию, полюсы и нули ограничивается остриями. [4]

Риманова поверхность G \ H ∗

Важными примерами являются для любого натурального числа N любая из подгрупп сравнения

Определение

Последствия

Пакеты линий

К модульным формам также можно с успехом подойти с этого геометрического направления, как сечения линейных пучков на пространстве модулей эллиптических кривых.

Целые формы

Новые формы

Бугорчатые формы

Параболическая форма представляет собой модульную форму с коэффициентом нулевого постоянной в ее ряда Фурье. Это называется куспидом, потому что форма исчезает на всех куспидах.

Существует ряд других употреблений термина «модульная функция», помимо этого классического; например, в теории мер Хаара это функция Δ ( g ), определяемая действием сопряжения.

Модулярные формы Зигеля связаны с большими симплектическими группами так же, как классические модулярные формы связаны с SL (2, R ) ; другими словами, они связаны с абелевыми многообразиями в том же смысле, что классические модулярные формы (которые иногда называют эллиптическими модулярными формами, чтобы подчеркнуть суть) связаны с эллиптическими кривыми.

Термин «модульная форма», как систематическое описание, обычно приписывают Гекке.

Источник

Римановы поверхности и модулярные формы

Владимир Успенский

Курс посвящен римановым поверхностям, модулярным формам и некоторым их приложениям. Эти фундаментальные понятия, играющие важную роль в самых разных разделах математики, можно определить при помощи верхней полуплоскости – множества комплексных чисел с положительной мнимой частью, – которую мы будем рассматривать как модель Пуанкаре плоскости Лобачевского.

Соответствующие определения будут даны в курсе. Будет показано, что движения плоскости Лобачевского совпадают с дробно-линейным преобразованиями полуплоскости, а дискретные группы движений приводят к замощениям плоскости Лобачевского конгруэнтными многоугольниками (сторонами которых, с точки зрения евклидовой геометрии, являются дуги окружностей). Отождествляя между собой подходящие стороны одного из таких многоугольников (или отождествляя точки, лежащие на одной орбите относительно заданной дискретной группы движений), мы получаем риманову поверхность («сферу с ручками» с числом ручек не менее двух).

Мы увидим, что подгруппам группы целочисленных матриц размера 2×2 с определителем единица соответствуют римановы поверхности, и изучение функций на таких поверхностях приводит к понятию модулярной формы. Модулярные формы – это функции на верхней полуплоскости, удовлетворяющие определенным функциональным уравнениям, связанным с рассматриваемой группой.

Этот подход к понятиям римановой поверхности и модулярной формы будет подробно описан в начале курса.

Затем мы увидим, что некоторые поразительные числовые тождества получают естественное объяснение на языке модулярных форм. Общий принцип здесь такой: модулярных форм мало, поэтому между ними можно ожидать нетривиальных соотношений.

Модулярные формы возникают в самых разных областях математики. Например, Великая Теорема Ферма была доказана в качестве следствия гипотезы Таниямы–Шимуры–Вейля (ныне имееющей статус теоремы) о связи эллиптических кривых с модулярными формами.

Мы рассмотрим некоторые применения модулярных форм. В частности, мы докажем единственность решетки Лича – замечательной решетки в 24-мерном пространстве.

От слушателей предполагается знакомство с комплексными числами и началами анализа.

Успенский Владимир Владимирович.

Летняя школа «Современная математика», г. Дубна
20-28 июля 2015 г.

Источник

Доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры

Гипотеза Таниямы-Шимуры: «Каждой эллиптической кривой соответствует определённая модулярная форма».

называются кубическими уравнениями эллиптических кривых, которые известны математикам с античных времён. На правой стороне уравнение имеет четыре члена. Но членов в нём может быть три, два и один. Особенностью уравнения можно считать то, что его правая сторона однозначно задаёт бесконечный ряд слагаемых специального вида. Бесконечный ряд его слагаемых называется Е-рядом

К кубическим эллиптическим уравнениям и их Е-рядам имел особый интерес японский математик Ютака Танияма (12 ноября 1927 — 17 ноября 1958). И такой же интерес он имел к модулярным формам. Модулярная форма является математическим объектом, который математики открыли, как принято считать, в 19-м веке.

Особенностью модулярных форм является то, что они обладают предельно возможной симметрией. Их можно сдвигать, или параллельно переносить в любом направлении и на любое расстояние. Их можно зеркально отражать, поворачивать бесконечно многими способами, перестраивать и при этом они не изменяют своей первоначальной формы. По определению, модулярные формы являются чисто математическим объектом, который невозможно изобразить графически, выразить уравнением и даже нельзя наглядно себе представить.

Ютака Танияма однажды установил, что отдельная модулярная форма может быть задана бесконечным рядом слагаемых специального вида, членами М-ряда, точно так же как может быть задана эллиптическая кривая кубического уравнения (1). Вычислив ещё несколько членов модулярной формы, он обнаружил в точности такие же члены в Е-ряду кубического уравнения эллиптической кривой.

На других примерах модулярных форм М-ряда Танияма обнаружил точное совпадение членов М-ряда модулярных форм с членами Е-ряда кубического эллиптического уравнения. На этом основании он предположил, что модулярная форма может находиться во взаимно однозначном соответствии с некоторым кубическим уравнением эллиптической кривой. Так появилась предпосылка для появления гипотезы, которая позже была названа его именем.

На Международном симпозиуме в Токио Танияма в 1955 году предложил вниманию присутствующих молодых математиков четыре задачи. В задачах присутствовали примеры, наглядно показывающие взаимно однозначное соответствие и связь между кубическими уравнениями и модулярными формами, то есть между членами Е-ряда и членами М-ряда. Он продемонстрировал наличие связи между несколькими эллиптическими кривыми и определёнными модулярными формами. Взаимно однозначное соответствие между кубическими уравнениями и модулярными формами на конкретных примерах было установлено и другим японским математиком, другом Таниямы, продолжившим его работу, Горо Шимурой (Goro Shimura — род. 23 февраля 1930).

Выполненной работы Таниямы и Шимуры хватало для получения отдельных примеров, но её явно было недостаточно для логического обобщения полученных примеров связи эллиптических кривых и модулярных форм. Отдельные примеры Таниямы не могли представлять собой без обобщения логически обоснованного доказательства существования общей связи между кубическими уравнениями эллиптических кривых и модулярными формами. Примеры совпадения членов Е-ряда и членов М-ряда, являлись лишь основанием для гипотезы: «Каждой эллиптической кривой соответствует определённая модулярная форма».

Причина совпадений членов Е-ряда и членов М-ряда продолжительное время оставалась непонятой и не имеющей объяснения. Связь между этими математическими объектами казалась совершенно невероятной.

До недавнего времени в сознании математиков коренилось убеждение в том, что модулярные формы, открытые в 19 веке, существуют в четырёхмерном пространстве, что их нельзя ни выразить с помощью символов, ни нарисовать, ни наглядно себе представить, и что кубические уравнения эллиптических кривых и модулярные формы являются несопоставимыми математическим объектами. Когда я впервые с ними познакомился, то они мне показались не очень интересными.

Интерес к нему меня появился позже, когда мне стало известно утверждение немецкого математика Герхарда Фрея о том, что доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры связано с доказательством великой теоремы Ферма. Интерес значительно возрос, потому, что утверждение Фрея получило активную поддержку Саймона Сингха в его книге «Великая теорема Ферма».

Герхард Фрей, как оказалось, заменил уравнение великой теоремы Ферма:

По форме оно было похожим на уравнение теоремы Ферма (2) а по смыслу оно было прямо противоположным. Фрей предположил, что его уравнение (3) имеет решение в целых положительных числах. Замена уравнения (2) уравнением (3) противоположного смысла, но аналогичным ему по форме, явилось скрытым неблаговидным приёмом, позволяющим выдавать не равносильные уравнения (2) и (3) как равносильные. То, что в уравнении (2) требовалось доказать, в уравнении (3) принималось Фреем баз доказательства как данное.

Одно дело, если бы Фрей своё предположение открыто противопоставил уравнению (2) теоремы Ферма и открыто заявил о том, что он доказывает теорему методом от противного, и совсем другое дело, если он делает это же самое, без намёка на использование метода доказательства от противного.

Дело в том, что доказывать великую теорему Ферма методом от противного не имеет смысла. Методом от противного могут доказываться только обратные теоремы и только после доказательства прямой теоремы обычным методом.

Фокус-покус Фрея с заменой уравнения (2) неравносильным уравнением (3), но фигурирующим в качестве равносильного уравнения, не заметил Саймон Сингх и принял подлог за чистую монету.

«Фрей, – писал Саймон Сингх, – не имел ни малейшего представления о том, каким могло бы быть его гипотетическое (и еретическое) решение, поэтому неизвестные целые числа, якобы удовлетворяющие уравнению Ферма, он обозначил буквами A, B и C. Тем самым он предположил, что для некоторого N выполнено равенство:

Затем Фрей приступил к «преобразованию» уравнения (3). Это строгая математическая процедура, изменяющая вид уравнения, оставляя неизменной его сущность. С помощью искусных и сложных маневров Фрею удалось преобразовать исходное уравнение Ферма к виду

Замаскированный обман Фрея, содержащийся в цитируемом абзаце, Сингх принял за строгую математическую процедуру, которая не только изменяет вид уравнения, но изменяет и его сущность.

Фрей с помощью искусных и сложных манёвров «преобразовал» форму своего ложного предположения в форму истинного предположения. В результате уравнение (3) кажется не «якобы» удовлетворяющим уравнению (2), а точно ему удовлетворяющим. По Фрею, уравнение (3) существует тогда и только тогда, когда уравнение (2) допускает решение в целых числах.

Но ведь в теореме Ферма требуется доказать, что уравнение (2) не допускает решения в целых числах, из чего следует, что уравнение (3) может не существовать и что с ним невозможны не только искусные и сложные манёвры, а вообще не имеет смысла иметь дело. Заодно с этим, Фрей использует аналогичный приём в области логики. В этом можно убедиться, если обратить должное внимание на логическое отношение определяемого Фреем уравнения (2) определяющим уравнением (4).

По утверждению Фрея, если уравнение (2) допускает решение в целых числах, то и уравнение (4) допускает решение в целых числах. А если уравнение (4) не допускает решение в целых числах, то и уравнение (2) не допускает решения в целых числах. Уравнения (2) и (4) выдаются как равносильные, а на самом деле доказывается, что уравнение (2) не допускает решения в целых числах, а уравнение (4) допускает решение в целых числах по предположению как данное.

Логика Фрея хромает на обе ноги. Например, логическое определение таково: Иван – человек, но человек — не Иван. Человек – не только имеет одно единственное конкретное имя Иван. На целом свете имён Иван много, а других имён ещё больше. Если человек – Иван, то о нём ничего конкретного сказать невозможно.

Определение понятия означает его логическое подведение под более общее понятие, которое, определяя менее общее понятие, само остаётся неопределённым понятием. Если уравнение (2) определяется уравнением (3), а уравнение (3) преобразуется в уравнение (4), то уравнение (4) является более общим уравнением, которое, определяя менее общее уравнение (2), само остаётся неопределённым уравнением, доказательство которого не имеет смысла. Его следует заменить хотя бы одним единственным решением в целых числах. Только так и никак иначе.

Единственного решения в целых числах уравнения (4) Фрей не находит и заменяет его утверждением: если доказать гипотезу Таниямы-Шимуры, что уравнение (4) имеет модулярную форму, то оно не имеет решений в целых числах. А если уравнение (4) не имеет решений в целых числах, то и уравнение (2) не имеет решений в целых числах, из чего следует, что великая теорема Ферма доказана. Наконец, стало ясно, что без доказательства гипотезы Таниямы, невозможно проверить истинно или ложно утверждение Герхарда Фрея.

Первое, что мне потребовалось сделать, это установить, что модулярные формы возникли не в 19 веке и не в чётырёхмерном пространстве, а ещё при Пифагоре в двухмерном пространстве, на плоскости. Модулярные формы можно и нарисовать и наглядно себе представить.

Первую модулярную форму открыл Пифагор. Её представляла собой диагональ квадрата, которая обладает предельно возможной симметрией. Диагональ квадрата можно сдвигать, или параллельно переносить в любом направлении и на любое расстояние, отражать зеркально, менять местом фрагменты, поворачивать бесконечно многими способами, перестраивать, рассматривать в отдельности от сторон квадрата. При этом диагональ не изменяет своей формы.

При стороне квадрата, равной а = 1, и диагонали, равной d = √2, диагональ не может выражаться ни целым числом, ни дробью с целым числителем и знаменателем.

Длина диагонали d = √2 квадрата выражается в форме М-ряда:

√2 = (1 + 4/10 +1/10 2 + 4 /10 3 + 2/10 4 +1/10 5 +3/10 6 + …) (5)

Если на диагонали d = √2 как на стороне квадрата построен квадрат, а на квадрате построен куб, то объём куба может быть выражен кубическим уравнением эллиптической кривой V=2 √2. Кубическое уравнением заключает в себе форму Е-ряда:

Члены Е-ряда в точности совпадают с соответствующими членами М-ряда.

Следовательно, в рассматриваемом примере модулярная форма присутствует не в четырёхмерном пространств, а в обычном и привычном двухмерном евклидовом пространстве на плоскости. Её можно нарисовать и наглядно себе представить. Она стала известным математическим объектом не в 19 веке, а значительно раньше, когда стала известной теорема Пифагора.

Выражение объёма пирамиды будет заключать в себе Е-ряд (6), тождественный М-ряду (5), который выражает собой диагональ квадратного основания.

На месте того же квадрата могла бы быть построена усечённая пирамида, имеющая высоту h = √2. Выражение объёма усечённой пирамиды будет заключать в себе Е-ряд (6), тождественный М-ряду (5). Их совпадение мы наблюдаем визуально, так что нет и тени сомнения в том, что оба ряда и их члены реально существуют во взаимно однозначном соответствии, и что Е-ряд и М-ряд являются тождественными.

Можно заключить, что окружность радиуса R = 1, является модулярной формой по определению.

Выражение длины окружности L = 2R π при R = 1 заключает в себе М-ряд:

L =	8 (1 —	1	+	1	—	1	+	1	—	1	+ …)	(7)
		3		5		7		9		11

Окружность радиуса можно рассматривать как сечение поверхности шара этого же радиуса. Поверхность шара заключает в себе объём шара V = 4/3R 2 π. Выражение объёма шара радиуса заключает в себе форму Е-ряда:

V =	1/3 (1 —	1	+	1	—	1	+	1	—	1	+ …)	(8)
		3		5		7		9		11

Члены Е-ряда (8) в точности совпадают с соответствующими членами М-ряда (7). Объём шара V = 4/3R 2 π связан с длиной окружности L = 2R π радиуса R = 1, то есть кубическое уравнение эллиптической кривой, связано с модулярной формой.

Следовательно, в рассматриваемом конкретном примере объём шара определённого радиуса связан с кубическим эллиптическим уравнением, а уравнение связано универсальной связью с модулярной формой, которую собой представляет окружность, того же радиуса, который имеет шар. На месте шара вполне может быть круглый прямой конус V = 1/3πR 2 h, который имеет радиус R = 1 и высоту h = 1. Выражение объёма конуса заключает в себе число π, из чего следует, что он заключает в себе форму Е-ряда (8), тождественного М-ряду, который заключает в себе выражение дины окружности L = 2R π.

Число π, независимо от места его нахождения в той или иной аналитической форме, может быть выражено в форме бесконечной суммы слагаемых специального вида, как в виде Е-ряда, так и в виде тождественного ему М-ряда.

Гипотеза Таниямы утверждает, что описательное уравнение двух соответствующих друг другу разных математических объектов можно разложить в одни и те же математические ряды.

За примером 2 могут следовать четыре задачи-примера, которые в сентябре 1955 года в Токио на международном симпозиуме предложил Танияма участникам симпозиума с просьбой их прокомментировать. Задачи-примеры Таниямы указывали на связь между модулярными формами и кубическими эллиптическими уравнениями. За ними могут следовать примеры Шимуры, подтверждающие связь между модулярными формами и кубическими эллиптическими уравнениями. За ними могут следовать примеры математиков, которые могли появиться в последнее время и так же подтверждают взаимно однозначное соответствие членов Е-ряда и членов М-ряда модулярных форм и кубических уравнений эллиптических кривых. Полагаю, что гипотеза Таниямы доказана, и не мне судить о качестве доказательства.

Источник

Эллиптические кривые, модулярные формы и представления Галуа

Занятия проходят в ауд. 311-312, Вавилова 7, факультет математики по вторникам с 15:30 до 16:50

Эллиптические кривые – удивительно красивый математический объект. Они сочетают в себе наглядность (задаются очень простыми уравнениями) и необыкновенную сложность. Многие проблемы, связанные с эллиптическими кривыми не решены до сих пор (например, гипотеза Бёрча-Суиннертона-Дайера или гипотеза Ленга-Троттера) или решены совсем недавно (гипотеза Таниямы-Шимуры-Вейля, гипотеза Сато-Тейта).

Теория модулярных форм – необычайно богатая область математики. Чтобы оценить, насколько она многогранна, достаточно сказать, что в ней используются методы из таких далеких, на первый взгляд, частей математики как теория чисел, алгебраическая геометрия, теория алгебраических групп, теория представлений, функциональный анализ, уравнения с частными производными…

Между эллиптическими кривыми и модулярными формами имеется очень тесная и нередко весьма удивительная связь. Она может проявляться непосредственно: модулярных формы – это сечения пучков на пространствах модулей эллиптических кривых с дополнительной структурой. Такая интерпретация полезна во многих результатах, например, в теореме Мазура о группе кручения эллиптических кривых над Q. Иногда же связь эта предстает в очень тонком и неожиданном виде: гипотеза Таниямы-Шимуры-Вейля (т. е. теорема Тейлора-Уайлса), которая является ключом ко многим проблемам в современной теории чисел от теоремы Ферма, до результатов Загье, Колывагина и других.

Самым продуктивным инструментом для доказательства результатов, подобных теореме Тейлора-Уайлса (гипотезы Серра, гипотеза Сато-Тейта и т. д.) является теория представлений Галуа. Она служит своеобразным мостом между объектами геометрическими (такими как эллиптические кривые) и аналитическими (модулярные формы). Теория представлений Галуа является фундаментальной частью программы Ленглендса – удивительная теория, включающая в себя множество теоретико-числовых сюжетов от теории полей классов до гипотезы Таниямы-Шимуры-Вейля и её обобщений. Цель семинара – дать введение в этот круг вопросов. Первые занятия планируются обзорными и не повлияют на дальнейшее понимание.

1. Модулярные формы относительно фуксовых подгрупп SL_2(R). Размерность пространства модулярных форм.

2. Примеры модулярных форм: ряды Эйзенштейна, ряды Пуанкаре, тета-функции.

3. Операторы Гекке и теория Аткина-Ленера новых форм.

4. Эллиптические кривые – набросок теории: групповой закон, точки на эллиптических кривых над C, F_p, Q_p, Q, редукция эллиптических кривых, модуль Тейта и соответствующее представление Галуа.

5. Модулярные кривые – аналитика, алгебра, геометрия.

6. Теория Эйхлера-Шимуры, представления Галуа, связанные с модулярными формами.

8. Когомологии Галуа.

9. Представления Галуа и их деформация.

10. Гипотеза Таниямы-Шимуры-Вейля

1. Ю. И. Манин, А. А. Панчишкин “Введение в современную теорию чисел”

2. П. Сарнак “Модулярные формы и их приложения”

3. Ж.-П. Серр “Курс арифметики”

4. Г. Шимура “Введение в арифметическую теорию автоморфных функций”

5. N. Boston “The proof of Fermat’s last theorem”

6. G. Cornell, J. H. Silverman, G. Stevens “Modular forms and Fermat last theorem”

7. F. Diamond, J. Shurman “A first course in modular forms”

8. H. Hida “Geometric modular forms and elliptic curves”

9. H. Hida “Modular forms and Galois cohomology”

10. J. S. Milne “Modular functions and modular forms”

11. J. H. Silverman “The arithmetic of elliptic curves”

Источник