Что такое модуль волновой функции

Что такое модуль волновой функции

Экспериментальное подтверждение идеи Луи де Бройля об универсальности корпускулярно-волнового дуализма, ограниченность применения классической механики к микрообъектам, диктуемая соотношением неопределенностей, а также противоречия ряда экспериментов с применяемыми в начале XX века теориями привели к новому этапу развития квантовой физики – созданию квантовой механики, описывающей законы движения и взаимодействия микрочастиц с учетом их волновых свойств. Ее создание и развитие охватывает период с 1900 г. (формулировка Планком квантовой гипотезы) до 20-х годов XX века и связано, прежде всего, с работами австрийского физика Э. Шредингера, немецкого физика В. Гейзенберга и английского физика П. Дирака.

Необходимость вероятностного подхода к описанию микрочастиц является важнейшей отличительной особенностью квантовой теории. Можно ли волны де Бройля истолковывать как волны вероятности, т.е. считать, что вероятность обнаружить микрочастицу в различных точках пространства меняется по волновому закону? Такое толкование волн де Бройля уже неверно, хотя бы потому, что тогда вероятность обнаружить частицу в некоторых точках пространства может быть отрицательна, что не имеет смысла.

Чтобы устранить эти трудности, немецкий физик М. Борн в 1926 г. предположил, что по волновому закону меняется не сама вероятность, а величина, названная амплитудой вероятности и обозначаемая . Эту величину называют также волновой функцией (или -функцией). Амплитуда вероятности может быть комплексной, и вероятность W пропорциональна квадрату ее модуля:

где , где – функция комплексно-сопряженная с Ψ.

Таким образом, описание состояния микрообъекта с помощью волновой функции имеет статистический, вероятностный характер: квадрат модуля волновой функции (квадрат модуля амплитуды волны де Бройля) определяет вероятность нахождения частицы в момент времени в области с координатами x и dx, y и dy, z и dz.

Итак, в квантовой механике состояние частицы описывается принципиально по-новому – с помощью волновой функции, которая является основным носителем информации об их корпускулярных и волновых

Величина (квадрат модуля Ψ-функции) имеет смысл плотности вероятности, т.е. определяет вероятность нахождения частицы в единице объема в окрестности точки, имеющей координаты x, y, z. Таким образом, физический смысл имеет не сама Ψ-функция, а квадрат ее модуля , которым определяется интенсивность волн де Бройля.

Вероятность найти частицу в момент времени t в конечном объеме V, согласно теореме о сложении вероятностей, равна:

.

Т.к. определяется как вероятность, то необходимо волновую функцию Ψ представить так, чтобы вероятность достоверного события обращалась в единицу, если за объем V принять бесконечный объем всего пространства. Это означает, что при данном условии частица должна находиться где-то в пространстве. Следовательно, условие нормировки вероятностей:

где данный интеграл вычисляется по всему бесконечному пространству, т.е. по координатам x, y, z от до . Таким образом, условие нормировки говорит об объективном существовании частицы во времени и пространстве.

Чтобы волновая функция являлась объективной характеристикой состояния микрочастицы, она должна удовлетворять ряду ограничительных условий. Функция Ψ, характеризующая вероятность обнаружения микрочастицы в элементе объема, должна быть:

· конечной (вероятность не может быть больше единицы);

· однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной);

· непрерывной (вероятность не может меняться скачком).

Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции: если система может находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями , , … , то она может находиться в состоянии, описываемом линейной комбинацией этих функций:

,

где (n = 1, 2, 3…) – произвольные, вообще говоря, комплексные числа.

Сложение волновых функций (амплитуд вероятностей, определяемых квадратами модулей волновых функций) принципиально отличает квантовую теорию от классической статистической теории, в которой для независимых событий справедлива теорема сложения вероятностей.

Волновая функция Ψ является основной характеристикой состояния микрообъектов. Например, среднее расстояние электрона от ядра вычисляется по формуле

,

где вычисления проводятся, как и в случае (4.3.3).

Источник

Что такое модуль волновой функции

Важным этапом в создании квантовой механики явилось обнаружение волновых свойств микрочастиц. Идея о волновых свойствах была первоначально высказана как гипотеза французским физиком Луи де Бройлем.

В физике в течение многих лет господствовала теория, согласно которой свет есть электромагнитная волна. Однако после работ Планка (тепловое излучение), Эйнштейна (фотоэффект) и других стало очевидным, что свет обладает корпускулярными свойствами.

Чтобы объяснить некоторые физические явления, необходимо рассматривать свет как поток частиц-фотонов. Корпускулярные свойства света не отвергают, а дополняют его волновые свойства.

Итак, фотон-элементарная частица света, обладающая волновыми свойствами.

Логично считать, что и другие частицы-электроны, нейтроны- обладают волновыми свойствами.

Формула для импульса фотона

была использована для других микрочастиц массой m, движущихся со скоростью v:

К.Дэвиссон и Л.Джермер впервые наблюдали дифракцию электронов на монокристалле никеля.

Может возникнуть вопрос: что происходит с отдельными частицами, как образуются максимумы и минимумы при дифракции отдельных частиц?

Опыты по дифракции пучков электронов очень малой интенсивности, то есть как бы отдельных частиц, показали, что при этом электрон не «размазывается» по разным направлениям, а ведет себя как целая частица. Однако вероятность отклонения электрона по отдельным направлениям в результате взаимодействия с объектом дифракции различная. Наиболее вероятно попадание электронов в те места, которые по расчету соответствуют максимумам дифракции, менее вероятно их попадание в места минимумов. Таким образом, волновые свойства присущи не только коллективу электронов, но и каждому электрону в отдельности.

4.4.2. Волновая функция и ее физический смысл

Если силовое поле, действующее на частицу, является стационарным, то есть не зависящим от времени, то ψ-функцию можно представить в виде произведения двух сомножителей, один из которых зависит от времени, а другой от координат:

В дальнейшем будем рассматривать только стационарные состояния; ψ-функция является вероятностной характеристикой состояния частицы. Поясним смысл этого утверждения.

Отсюда следует физический смысл волновой функции:

Интегрируя выражение (4.4.5) по некоторому объему V, находим вероятность нахождения частицы в этом объеме:

4.4.3. Соотношение неопределенностей

Одним из важных положений квантовой механики являются соотношения неопределенностей, предложенные В.Гейзенбергом.

В классической физике нет каких-либо ограничений, запрещающих с любой степенью точности одновременно измерить как одну, так и другую величину, то есть Δx→0 и Δр x→ 0.

Таким образом, чем точнее определена координата x (Δx→0), тем не менее точно определена проекция р x (Δp x→ ± ), и наоборот. Аналогично,

Поясним их одним модельным экспериментом.

При изучении явления дифракции было обращено внимание на то, что уменьшение ширины щели при дифракции приводит к увеличению ширины центрального максимума. Аналогичное явление будет и при дифракции электронов на щели в модельном опыте. Уменьшение ширины щели означает уменьшение Δ x (рис. 4.4.1), это приводит к большему «размазыванию» пучка электронов, то есть к большей неопределенности импульса и скорости частиц.

Рис. 4.4.1.Пояснение к соотношению неопределенности.

Соотношение неопределенностей можно представить в виде

«Размытость» уровней приводит к неопределенности энергии ΔE излучаемого фотона и его частоты Δν при переходе системы с одного энергетического уровня на другой:

Это проявляется в уширении спектральных линий.

4.4.4.Уравнение Шредингера

Применительно к стационарным состояниям уравнение Шредингера может быть записано так:

где m- масса частицы; ; Е и Е n –ее полная и потенциальная энергии (потенциальная энергия определяется силовым полем, в котором находится частица, и для стационарного случая не зависит от времени)

Если частица перемещается только вдоль некоторой линии, например вдоль оси ОХ (одномерный случай), то уравнение Шредингера существенно упрощается и принимает вид

Одним из наиболее простых примеров на использование уравнения Шредингера является решение задачи о движении частицы в одномерной потенциальной яме.

4.4.5. Применение уравнения Шредингера к атому водорода. Квантовые числа

Описание состояний атомов и молекул с помощью уравнения Шредингера является достаточно сложной задачей. Наиболее просто она решается для одного электрона, находящегося в поле ядра. Такие системы соответствуют атому водорода и водородоподобным ионам (однократно ионизированный атом гелия, двукратно ионизированный атом лития и т.п.). Однако и в этом случае решение задачи является сложным, поэтому ограничимся лишь качественным изложением вопроса.

Состояние электрона в атоме характеризуется не одним, а несколькими квантовыми числами.

Это выражение является решением уравнения Шредингера и полностью совпадает с соответствующей формулой теории Бора (4.2.30)

Рис. 4.4.3. Показаны уровни возможных значений полной энергии атома водорода
и график зависимости потенциальной энергии от расстояния r между электроном и ядром.

Состояние электрона в атоме с заданными n и l обозначают следующим образом: 1s, 2s, 2p, 3s и т.д. Здесь цифра указывает значение главного квантового числа, а буква – орбитальное квантовое число: символам s, p, d, f, соответствуют значения l=0, 1, 2. 3 и т.д.

© ФГОУ ВПО Красноярский государственный аграрный университет, 2015

Источник

Волновая функция

Вариант названия «амплитуда вероятности» связан со статистической интерпретацией волновой функции: вероятность нахождения частицы (или физической системы) в данном состоянии равна квадрату абсолютного значения амплитуды вероятности этого состояния.

Содержание

Физический смысл квадрата модуля волновой функции

зависит от координат (или обобщённых координат) системы и формируется таким образом, чтобы квадрат её модуля

представлял собой плотность вероятности (для дискретных спектров — просто вероятность) обнаружить систему в положении, описываемом координатами

.

Если волновая функция, например, электрона в атоме, задана в координатном представлении, то квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности обнаружить электрон в той или иной точке пространства. Если эта же волновая функция задана в импульсном представлении, то квадрат её модуля представляет собой плотность вероятности обнаружить тот или иной импульс.

при любых комплексных и . См. также Квантовая суперпозиция.

Матричная и векторная формулировки

Любая функция может быть представлена, как бесконечная таблица из её значений, соответствующих каждому аргументу. Если представить в таком виде волновую функцию, то она станет столбцом координат бесконечномерного вектора в Гильбертовом пространстве, то есть, матрицей.

Одна и та же волновая функция в различных представлениях — будет соответствовать выражению одного и того же вектора в разных системах координат. Остальные операции с волновыми функциями так же будут иметь аналоги на языке векторов.

Функциональная (волновая), матричная и векторная формулировки математически эквивалентны.

Философский смысл волновой функции

Волновая функция представляет собой наиболее полное возможное описание квантовомеханической системы, за исключением, быть может, матрицы плотности, предложенной Л.Д.Ландау, с помощью которой можно описывать системы систем, что невозможно при использовании волновой функции (в случае обычной системы матрица плотности есть тот же квадрат модуля волновой фукнции) скоростей всех её частиц и это описание позволяло описать всё будущее и прошлое системы, то в квантовой механике некоторые параметры описать принципиально невозможно. Согласно квантовой механике, описание системы заканчивается на уровне волновой функции (и матрицы плотности) и только на уровне волновой функции (и матрицы плотности) возможно описать будущее и прошлое системы. Более подробное описание системы, например, с точностью до указания местоположений и скоростей всех её частиц — невозможно, и значения этих параметров оказываются более или менее случайными.

Следует понимать, что проблема, которую решает квантовая механика, — это проблема самой сути научного метода познания мира. Если представить себе бильярдный стол, закрытый непроницаемой крышкой, и единственным способом исследования вопроса, есть ли на нём бильярдные шары, предположить закатывание в стол других шаров, то мы и получаем ту самую проблему, для решения которой привлечён метод квантовой механики. Пока вброшенный шар проходит сквозь стол без изменения траектории, предсказуемо, мы можем сделать вывод о том, что на траектории шара других шаров нет. Если в результате взаимодействия шаров на столе мы получаем выкатившиеся несколько шаров с различными конечными импульсами и точками, в которых шары покинули стол, то мы можем лишь предполагать о том, каким образом происходило взаимодействие в системе. Если же лузы в бильярдном столе ограничивают возможность шаров покидать стол (энергетический барьер), то система запутывается ещё больше.

Подобный пример с бильярдом очень наглядно демонстрирует те трудности, с которыми сталкиваются исследователи, разрабатывая инструменты квантовой механики.

См. также

Выделить Волновая функция и найти в:

Источник

Квантовая теория. Вселенная из волн вероятностей

Квантовая теория является одной из самых точных моделей, описывающих окружающий нас мир, а технические решения, разработанные благодаря применению аппарата квантовой механики, прочно вошли в повседневную жизнь современного общества. И тем удивительнее, что понимание даже базовых концепций этой сферы знаний вступает в серьезные противоречия с интуицией, не только людей далеких от науки, но и самих исследователей, подтверждением чему является большое количество различных интерпретаций. В этой статье, предлагаю рассмотреть основные понятия квантовой теории с показавшейся автору наиболее интуитивно-понятной точки зрения, несколько модифицированной теории вероятностей.

Что будет, если по аналогии с двущелевым опытом, все пространство на пути частицы до экрана будет заполнено щелями?

«Теория вероятности — единственный доступный математический инструмент, помогающий составить карту неизвестного и неконтролируемого.»

«Фрактальная геометрия природы» — Бенуа Мандельброт

Введение: Демон Лапласа или Бог Эйнштейна

В начале 19-го века, в научной картине мира доминировал детерминизм — учение о том, что начальные параметры системы полностью определяют её дальнейшее развитие. Ньютоновская механика, позволяла очень точно предсказывать поведение не слишком больших тел, двигающихся со скоростями намного меньшими скорости света, а появившиеся затем специальная и общая теория относительности сделали возможным подобные расчёты и для очень массивных объектов, двигающихся со скоростями близкими к скоростям света.

И только вопросом времени казалось создание демона Лапласа — гипотетического вычислительного устройства, которое будет способно получить на вход изначальные параметры любой системы и вычислить её состояние в любой момент. Учёные уже начали предвкушать практически полную победу над неопределенностью и торжество человеческого разума, хотя парадоксы, связанные с самой возможностью существования демона Лапласа, уже тогда вызывали большие сомнения.

Но примерно в то же время попытки исследователей проникнуть в устройство природы на крайне малых пространственных и временных масштабах принесли плохие новости для детерминизма. Так, одно из основных утверждений новой квантовой теории — принцип неопределенности, гласил, что если у системы существуют связанные (коммутирующие) параметры, то, чем точнее мы измеряем один из них, то тем с меньшей определенностью мы можем определить другой.

Исходя из этих представлений, ни одно событие нельзя было предсказать с абсолютной точностью, поскольку в любых измерениях оставалась некоторая неопределенность и этот факт пришелся не по душе многим участникам научного сообщества того времени. Лагерь критиков возглавлял, уже имевший в то время мировой авторитет, Альберт Эйнштейн, который в переписке со своим оппонентом и коллегой Гейзенберга — Максом Борном, так отозвался о возможности существования принципа неопределенности: «… Во всяком случае, я убеждён, что [Бог] не играет в кости.»

Принцип неопределенности, татуировка и каллиграфия

Действие принципа неопределенности часто списывают на свойства самого процесса измерения, но есть и более фундаментальные причины и проще всего их продемонстрировать на примере двух параметров: импульса и координаты частицы. Подобно тому, как один и тот же рисунок можно выполнить двумя принципиально разными способами: векторным и растровым, то есть либо в виде линий, как, например, в каллиграфии, либо в виде набора точек, как в случае с татуировкой. Также и движение частицы можно описать двумя альтернативными способами: с помощью импульса — вектора массы-скорости или с помощью набора пространственно-временных координат .

Слева: мастер каллиграфии рисует символ Энсо (яп. 円相,), источник. Справа: процесс нанесения татуировки на кожу человека, источник.

И согласно принципу неопределенности, чем точнее мы будем фиксировать координату объекта в пространстве-времени , тем меньше информации мы сможем получить о его импульсе. Представьте, что подброшенный вверх мячик, фотографируют несколько фотографов, у каждого на фотоаппарате стоит разная выдержка. Если выдержка большая, то на фотографии положение мяча получится смазанным, но зато будет хорошо виден вектор его движения. А чем меньше будет выдержка, тем чётче будет локализация объекта съемки и в пределе мы получим четкий подвешенный в воздухе мяч и совершенно ничего не сможем сказать о том, по какой траектории он двигался.

Три альтернативных снимка движущегося объекта, слева направо, показано как с увеличением пространственно-временного интервала (выдержки фотоаппарата), уменьшается количество информации об импульсе (траектории частицы).

В мире макроскопических объектов, этот эффект не составляет большой проблемы, и если мы захотим задать координату автомобиля с точностью, сопоставимой с размерами самого автомобиля, то никаких проблем не будет — машина может спокойно заехать в тоннель и при этом сохранить свою предсказуемую траекторию. Но если мы попробуем проделать тоже самое, например, с фотонами и начнем пропускать их через уменьшающуюся щель, то сначала пятно света ожидаемо будет становиться все более узким, но когда размер щели станет сопоставим с длиной волны фотона, то траектории фотонов на выходе из щели станут все менее предсказуемыми и световое пятно начнет расплываться в ширину. Иными словами, чем точнее мы будем знать где пролетела частица, тем меньше мы будем знать о том, куда она двинется дальше.

Вверху, слева направо: интерференционные картины получаемые при последовательном уменьшении щели, источник. Внизу: схема экспериментальной установки, источник.

Волны материи и их амплитуды

Но интерференцией луча света сложно кого-то удивить, ведь все и так знают, что свет — это волна, а каждая точка волнового фронта тоже будет являться источником волны и уменьшая щель мы, согласно принципу Гюйгенса — Френеля, получаем вторичный фронт, который с уменьшением размера щели все больше будет походить на волну от точечного источника.

Дифракция прямого волнового фронта, проходящего через отверстие, источник.

Действительно, любая волна по своей геометрической природе не локализуется в одной точке, ведь для создания даже самой простой волны необходимо два измерения — амплитуда волны (высота) и длина волны (ширина). И если мы начнем сжимать волну по высоте, то она будет расползаться в длину и наоборот. Но более интересно, что подобные эксперименты были поставлены и с частицами материи: электронами, атомами и даже с органическими молекулами и все они также демонстрировали волновую дифракцию.

Впервые идею о том, что не только фотоны, а вообще любая материя обладает волновыми свойствами высказал в 1923 году, французский физик Луи де Бройль в своей работе «Волны и кванты». Эта гипотеза была частично подтверждена уже в 1927 году, в результате опыта Дэвиссона-Гермера, который показал волновую дифракцию электронов, что принесло Луи де Бройлю заслуженную нобелевскую премию по физике в 1929 году.

Позднее с электронами был поставлен и известный двущелевой опыт который показал, что волны частиц материи могут не только испытывать дисперсию, образуя вторичные волновые фронты, но и эти вторичные волны могут усиливать друг друга, встречаясь в одной фазе или наоборот, взаимно гаситься, встречаясь в противофазе, создавая интерференционную картину, подобно тому как ведут себя макроскопические волны на воде или акустические звуковые волны.

Слева: интерференция волн на воде, источник. Справа: интерференционная картина, полученная в результате регистрации одиночных электронов, проходящих через двойную щель источник.

Но если волны на воде — это колебательные движения частиц воды вверх и вниз, звуковые волны — это аналогичные движения молекул воздуха, то колебанием чего является волна материи, которая может быть фотоном, атомом, молекулой, человеком? Формально, физики так и не пришли к единому мнению на этот счет, тем не менее научились вычислять функцию, которая эту волну описывает в зависимости от координаты или любого другого параметра, который можно измерить и обнаружили, что квадрат модуля этой функции являет собой точную оценку вероятности результатов измерения. Поэтому многие учёные, в числе которых был и выдающийся физик Ричард Фейнман, так и называли волновые функции — амплитудами вероятности. И это может показаться довольно странным, что вся материя и излучение являются волнами каких-то абстрактных математических понятий, но как мы постараемся показать далее, приняв это утверждение можно получить довольно понятное объяснение многих квантовых эффектов.

Комплексные числа и фаза вероятности

Демонстрация принципа интерференции волн. Слева: конструктивная интерференция — встреча пиков волн совпадающей фазе даёт более высокую результирующую амплитуду. Справа: деструктивная интерференция при встрече пиков волн в противоположной фазе. Источник.

И если мы определим вероятность события, как отношение количества исходов, приводящих к событию, к общему количеству всех возможных исходов, то получим, что вероятность — это положительное число, на отрезке от нуля до единицы, но тогда, если мы возьмем два любых графика плотности вероятности нахождения частицы в точке, то увидим, что сложение амплитуд этих графиков всегда будет больше, чем каждый из них по отдельности и никакой деструктивной интерференции не получится.

А что, если мы добавим волнам вероятности такое свойство, благодаря которому они смогут интерферировать? Представим прямую и каждая точка на ней будет соответствовать координате частицы, тогда от каждой точки перпендикулярно будем откладывать вероятность соответствующую нахождению частицы в этой точке. Соединив точку и соответствующую ей вероятность мы получим вектор — чем больше длина вектора, тем больше вероятность, нахождения частицы в этой точке, а чтобы эти векторы могли взаимодействовать, к длине еще добавим угол поворота и будем учитывать его при сложении.

Наверное, вы уже догадались что такая конструкция очень напоминает комплексные числа, которые так же имеют модуль — длину и фазу — угол. Тогда каждой координате будет соответствовать комплексная плоскость, в которой вектора вероятностей будут крутится как стрелки часов и если они будут смотреть в одном направлении, то они будут складываться, а если в противоположных, то наоборот вычитаться. Соединив концы этих стрелок, мы получим форму волновой функции или амплитуду вероятности для движения частицы по прямой в одном измерении.

Анимация последовательных преобразований, которые позволяют получить волновую функцию как сумму амплитуд вероятности в точках на пути частицы (зеленая линия), сначала задается вещественная часть амплитуды, а затем фаза (угол поворота) в комплексной плоскости. Источник.

Комплексные числа имеют вид , где первая часть — называется вещественной, а вторая — — мнимой. Эти две компоненты никогда не смешиваются, а в остальном подчиняются тем же правилам, что и обычные вещественные числа, с тем учётом, что — это мнимая единица и равна .

Одна из основных аксиом квантовой теории, под названием правило Борна, утверждает, что квадрат модуля волновой функции — даёт нам функцию плотности вероятности, то есть в нашем примере — распределение вероятностей нахождения частицы в зависимости от координаты.

Кратко освежим в памяти, модуль комплексного числа — это расстояние от начала координат — до точки с координатами , то есть: , видно, что , но не будем пока списывать мнимую единицу, а найдем квадрат модуля:

Где: — комплексно сопряженное число

Реальный мир из мнимых единиц

Вот что мы уже поняли: волновая функция ставит в соответствие каждой координате некоторое комплексное число. Собственно, это и есть то, чем занимаются волновые функции — ставят в соответствие какому-то измеряемому параметру комплексное число, угол поворота которого называется фазой. Фазы комлексных чисел отвечают за эффекты интерференции усиления и ослабления вероятностей, которые получаются путем умножения волновой функции на её же зеркальное отражение — комплексное сопряжение.

На вопрос почему квадрат модуля волновой функции даёт плотности вероятности, квантовая теория, обычно отвечает — заткнись и считай потому, что квадрат модуля делает из комплексного числа вещественное. Конечно такой ответ нас совершенно не устраивает, ведь из комплексного числа можно получить вещественное и просто взяв его модуль, поэтому хотелось бы понять смысл возведения модуля в квадрат.

Представим, что мы ничего не знаем ни о волновой функции, ни о функции плотности вероятности, а просто провели много наблюдений и отметили точками где и с какой частотой появляется частица. При этом мы понимаем, что получившееся распределение должно описываться каким-то графиком функции плотности вероятности и было бы крайне полезно узнать саму эту функцию.

Чтобы узнать какая функция соответствует нашим точкам, пойдем самым простым путём и начнем подгонять ответ под данные, то есть подбирать полиномы, которые будут проходить через максимальное количество имеющихся точек. Начнем с двух точек и подберём для них коэффициенты полинома первой степени, то есть линейной функции ведь линия точно пройдет через наши две точки. Если остаются точки которые не лежат на этой прямой, то мы возьмем полином второго порядка графиком которого являются различные параболы, подобрав коэффициенты мы гарантировано попадём, как минимум в три точки, одна из которых будет вершиной, а две других будут лежать на сторонах. Затем снова проверим остались ли еще точки лежащие вне графика если да – повторим увеличив степень полинома еще на единицу и так далее, логика понятна, полином степени гарантировано проходит через точек и в результате мы можем подобрать полином, который покроет все наши точки. Есть даже специальная теорема — апроксимационная теорема Вейерштрасса, которая подтверждает, что это возможно.

Пример подгонки точек, взятых из функции плотности вероятности нормального распределения, полиномами различной степени, от линейного, до полинома 18-й степени, с использованием функции numpy.polyfit. Можно убедится, что степень полинома соответствует количеству точек, через которые проходит его график.

А раз плотность вероятности можно приблизить многочленом, то наверняка у этого многочлена есть и корни и еще одна замечательная теорема основная теорема алгебры говорит, что таки да — любой полином обязательно имеет решения в комплексных числах, а если корни вещественные, то это значит просто, что мнимая часть равна нулю (вектора будут иметь нулевой угол поворота), поскольку множество вещественных чисел полностью содержится во множестве комплексных .

И если любое комплексное число является корнем какого-либо полинома, то автоматически корнем этого же уравнения является и сопряженное ему число , об этом нам говорит еще одна теорема — теорема о комплексно-сопряженных корнях.

Для примера представим, что плотность вероятности описывается полином второй степени и найдем его корни. По формуле корней квадратного уравнения , подставив коэффициенты и получим в виде решения два сопряженных комплексных числа , , как нам и утверждала теорема о сопряженных корнях.

С другой стороны, зная корни и воспользовавшись формулами Виета мы можем разложить тот же квадратный трехчлен следующим образом: легко проверить, что это верно, подставив полученные значения и раскрыв скобки мы получим исходный полином. Но в тоже время в правой части формулы Виета мы получили произведение двух сопряженных комплексных чисел, что есть квадрат модуля. В принципе эту же логику можно расширить и на остальные степени полиномов, главное, что всегда корни будут идти в паре, а для получения исходного полинома будет использоваться их перемножение.

Конечно это очень нестрогие рассуждения, призванные как-то осмыслить происходящее и на простом примере показать, что комплексные числа вполне обоснованы, а их сопряженные произведения могут давать что-то похожее на плотность вероятности.

Комикс с шуткой на тему действительных чисел (англ. real numbers) и умножения волновой функции на собственное комплексное сопряжение. Источник

Хорошо, будем считать, что у нас появилось некоторое представление о том, как устроены амплитуды вероятностей, почему они комплексные и как из них получаются обычные вероятности. И мы можем перейти к вопросу о том, что нам предсказывают эти вероятности, то есть о результатах измерений.

Волновая функция и плотность вероятности

Получая плотность вероятности нахождения частицы в определенной координате, мы предсказываем то, с какой частотой мы будем наблюдать частицу в разных точках. Например, если плотность вероятности будет описываться гауссовой кривой, как на левой части рисунка ниже, то в случаев мы увидим, что частица появится на отрезке от до , а в случаев на отрезке от до и так далее. Что в случае двумерного симметричного распределения, показанного справа, даст большую плотность обнаружения частицы в некотором круглом участке в центре и низкую плотность по мере удаления от центра:

Довольно понятная схема: волновая функция от координаты задаёт форму распределения, которая затем говорит нам вероятности измерения частицы в точке пространства. Тем не менее такая интерпретация может приводить к странным противоречиям и иногда более естественно думать о частицах, как о волнах амплитуд вероятности. Например, на картинке ниже, слева показано, как выглядит плотность вероятности для электрона, находящегося во взаимодействии с ядром водорода. В соответствие с этим графиком можно получить форму, так называемых, электронных орбиталей — областей вокруг ядра атома, в которых взаимодействие с электроном наиболее вероятно, показанных справа:

Слева: кривые плотности вероятности нахождения электрона вокруг единичного протона, для трёх энергетических уровней . Справа: показан пример как выглядели бы распределения точек при проведении измерения координаты электрона. Источник.

На рисунке выше можно заметить, как меняются формы орбиталей в зависимости от энергетического уровня электрона — чем выше энергия электрона, тем, во первых, больше радиус оболочки, что вполне понятно, ведь чем больше энергия, тем сильнее электрон может сопротивляться притяжению ядра и тем дальше от ядра он может взаимодействовать, но вместе с этим, к каждому новому уровню энергии добавляется участок с нулевой вероятностью, называемый узлом (node), так, например, орбиталь электрона на 3 энергетическом уровне имеет форму слоеной сферы, содержащей внутри себя две зоны, вероятность обнаружения электрона в которых равна нулю.

Контур вероятности нахождения электрона в окрестности ядра атома водорода для трех энергетических уровней слева направо: 1s, 2,s 3s. Источник.

Такое распределение вероятности выглядит очень странно, ведь попасть из одной сферы в другую, не пересекая вложенную между ними — невозможно.

Но если думать об электроне, как об амплитуде вероятности, то все объясняется вполне естественно, на картинке ниже волновая функция от радиуса электрона вокруг ядра водорода, рассчитанная в одном измерении, для трех энергетических уровней.

Глядя на графики волновой функции легче понять, что электрон удерживаемый ядром атома представляет собой стоячую волну и как у любой стоячей волны, у неё будут появляться, так называемые, узлы (node) — зоны где амплитуда в результате интерференции с отраженной волной будет нулевой.

Пример образования узлов интерференции (красные точки) в одномерной стоячей волне, источник.

И если одномерная волна, как на анимации выше, всё еще не напоминает форму слоёной трёхмерной электронной оболочки атома водорода, то предлагаю представить волну на двумерной плоскости, распространяющуюся от точечного источника. Так, чтобы увидеть полную форму такой двумерной волны потребуется смотреть на неё в трех измерениях. А для жителя двумерного мира такая волна будет просто набором расходящихся от центра кругов. Аналогично и с трехмерными волнами — живут они в четырех измерениях, но для нас они будут выглядеть расходящимися трехмерными сферами.

Справа: анимация волны, распространяющейся по двумерной поверхности. Слева: пример того, как будет выглядеть проекция этой волны на плоскость.

Квантовый шлагбаум декогеренции

«Вы правда считаете, что Луна существует только тогда, когда вы на неё смотрите?» (Rev. Mod. Phys. 51, 863–914 (1979), p. 907).

И действительно древняя философская дилемма о существовании объективной реальности, с открытием квантовых свойств нашего мира стала еще актуальнее. Волновая функция даёт возможность с необходимой точностью предсказать результат измерения, но существует ли она в отрыве от контекста измерения и наблюдателя и как это проверить?

Прежде всего необходимо определить, что такое наблюдение и измерение. Чтобы измерить размер объекта, мы прикладываем к нему линейку, чтобы измерить температуру — прикладываем градусник, чтобы измерить скорость — отправляем навстречу электромагнитную волну.

Во всех этих случаях нам необходимо взаимодействие измеряемого объекта с каким-то другим объектом, состояние которого мы можем предварительно подготовить, такой объект назовем измерительной системой. Стряхнули градусник — подготовили измерительную систему, поставили подмышку — произвели взаимодействие, и затем оценили насколько изменилось состояние контрольной системы. Это общий принцип, любое измерение — это взаимодействие измеряемой системы с контрольной.

Любое наблюдение также является измерением, наблюдая что-либо мы получаем информацию об объекте с помощью встроенных в наше тело измерительных систем, которые также взаимодействуют с объектом. Если мы смотрим на предмет — значит взаимодействуем с фотонами испущенными этим объектом, которые, попадая на сетчатку глаза, приводят к сложному каскаду взаимодействий и запуску нервного сигнала, поступающего в мозг.

«Тогда какова размерность клубка ниток? … С большого расстояния клубок представляет собой не более чем точку с нулевыми размерами. Приближаясь, можно увидеть, что это шар, который заполняет пространство в трех измерениях. Еще ближе можно увидеть саму нить, и объект становится фактически одномерным… Мандельброт без математики апеллировал к теории относительности: “Представление о том, что числовой результат должен зависеть от отношения объекта к наблюдателю, в духе физики нашего столетия и даже является образцовой её иллюстрацией”».

«Хаос. Создание новой науки» — Джеймс Глейк

Принцип суперпозиции волн говорит нам, что когда две или более волн встречаются в одной точке пространства, то результатом взаимодействия будет новая волна, являющаяся суммой их амплитуд. Тогда, результатом измерения всегда будет некоторая суперпозиция волновых функций измеряемой и измерительной системы.

Теперь возникает резонный вопрос: если мы примем утверждение о том, что все состоит из волн амплитуд вероятности, то почему мы так скучно живем не наблюдаем волновых свойств таких, как суперпозиция и интерференции у макроскопических объектов, окружающих нас?

Чтобы ответить на этот вопрос, снова взглянем на двухщелевой опыт: электроны по одному пролетают через двойную щель и попадая на экран, отмечаются на нем точкой, при многократном повторении этого процесса, точки образуют интерференционную картину, которая соответствует прохождению волны через две щели.

Слева: анимация интерференционной картины от прохождения волны через двойную щель, источник. Справа: результаты эксперимента по регистрации одиночных электронов после прохождения двойной щели. Источник: New Journal of Physics, Volume 15, March 2013.

Карикатура, высмеивающая разделение явлений на квантовые и классические. Источник (http://www.bourbaphy.fr/zurek.pdf)

А что если мы применим только принцип суперпозиции, сможем ли мы получить те же наблюдаемые эффекты? Так если сначала мы имеем волновую функцию, которая описывает координату взаимодействия одиночного электрона с экраном , то после прохождения через двойную щель, она будет представлять собой сумму двух волновых функций — прошедшей через щель и через щель , тогда общее состояние можно записать как суперпозицию этих двух состояний .

В случае с одной волновой функцией, чтобы найти вероятность взаимодействия частицы в точке мы умножаем значение волновой функции в этой точке на собственное комплексное сопряжение, мнимые единицы при этом сокращаются, и мы получаем классическую вероятность:

В случае с суперпозицией двух возможных маршрутов мы перемножаем уже сумму волновых функций:

Черной стрелкой показано сравнение «скорости вращения» фаз двух волновых пакетов с разной частотой источник.

Поскольку две альтернативные волновые функции, получены в результате деления одной исходной, то разумно предположить, что их частота и длина волны будут одинаковыми и стрелки полученных волн будут вращаться с одинаковой скоростью. Исходя из этого, разность фаз, при встрече в точке на экране, будет зависеть только от разности расстояния пройденного волной до этой точки.

А значит, в точке, находящейся на равном удалении от каждого из отверстий, волны будут встречаться с одинаковым положением стрелок, то есть в одной фазе и в этом месте мы увидим пик в интерференционной картине, а в точке, где разность пройденных расстояний составит половину длинны волны — стрелки волн встретятся в противоположных положениях и произойдет деструктивная интерференция, что даст тёмное пятно. Если сместиться еще немного в точку, где разность составит целую длину волны, стрелки снова совпадут и так далее.

Появление двух альтернативных возможностей попадания на экран, приводит к разделению исходной волновой функции на две с одинаковыми фазами, показанными в виде циферблата со стрелкой. Одинаковая фаза подразумевает одинаковую скорость вращения стрелки. При попадании в точку на экране в момент одинакового положения стрелок волны интерферируют конструктивно, если же стрелки направлены в противоположные стороны происходит деструктивная интерференция.

Куда исчезает интерференция, когда мы проводим измерение, того через какую щель проходит электрон? После прохождения детектора появляется уже не две, а намного больше различных альтернативных вариантов волновой функции, поскольку даже если детектор микроскопический, он все равно будет состоять из огромного количества атомов, например даже в одной сотой грамма железа содержится порядка атомов, но конкретное число нам сейчас не важно, главное, что появляется огромное разнообразие разных вариантов взаимодействия, которые зависят от конкретного состояния частиц детектора, и каждое альтернативное состояние будет давать свою альтернативную версию волновой функции.

Также возьмем — вероятность попадания электрона в координату на экране, после прохождения детектора и снова распишем эту вероятность через суперпозицию всех возможных альтернативных траекторий:

, где — очень большое количество различных вариантов состояния детектора.

Итого мы получили — классических вероятностей по диагонали и итерференционных членов, и все это в сумме даёт вероятность попадания электрона для одной точки. Но в этом случае интерференционные члены уже не будут иметь одинаковую фазу, как в предыдущем случае, когда волна либо проходила через щель без взаимодействия, либо полностью отражалась. Сейчас, проходя через детектор, состоящий из различных не синхронизированных друг с другом частиц, получившиеся в результате волновые функции, будут иметь также случайные — некогерентные фазы.

Такие рассинхронизированные состояния называют смешанным (mixed states). И хотя волновые функции смешанных состояний тоже будут интерферировать, но результат интерференции уже не будет зависеть от пройденного волной расстояния и в каждой точке экрана можно ожидать одинаковое и очень большое количество как конструктивно, так и деструктивно интерферирующих слагаемых, что в среднем будет давать их нулевой вклад. Подобно тому, как удары молекул газа не сдвигают предмет с места, поскольку в каждый момент времени на предмет приходится примерно равное количество ударов со всех сторон.

Потеря когерентности волновой функции после прохождения детектора приводит к обнулению вклада интерференционных членов в точках на экране и появлению картины соответствующей наложению двух гауссовых пиков.

В общем случае любое взаимодействие квантовой системы с внешней средой неизбежно и очень быстро приводит к смешиванию состояний, и в результате к рассинхронизации фазы и усреднению альтернативных состояний — декогеренции.

Поэтому наш вариант ответа на вопрос: почему мы не наблюдаем квантовых эффектов в макроскопических объектах в нормальных условиях — потому, что для получения суперпозиции состояний макроскопического объекта, необходимо полностью изолировать его от взаимодействия с внешней средой, включая помещение в полный вакуум, охлаждение до сверхнизких температур и экранирования от различных полей, что на практике очень трудно реализуемо. Иными словами, кот Шредингера погиб бы еще при подготовке условий необходимых для создания его суперпозиции, задолго до того, как распалась бы радиоактивная частица, разбивающая ампулу с ядом.

Немного квантовой криптографии

Декогеренция также виновна в том, что в вашем смартфоне, до сих пор не стоит квантовый процессор. Ведь даже самые современные из реализаций квантовых компьютеров занимают целую комнату и основную часть объема их конструкций составляют системы криогенного охлаждения и экранирования.

Схема конструкции квантового компьютера D-Wave 2000Q, источник.

Но если при создании квантовых компьютеров декогеренция является большой проблемой, то в криптографии неизбежное изменение волновой функции при измерении пришлось очень кстати и позволяет достоверно выявлять прослушивание канала связи, что бывает очень полезно при обмене ключами шифрования.

Кратко разберём, как это работает, для начала важно понять отличие в кодировании квантового бита (кубита) от обычного. Например, если мы возьмем в качестве квантового бита фотон, то в зависимости от угла его поляризации можем выбрать два различных варианта кодировки нуля и единицы:

Тогда если фотон пролетит поляризатор и попадет детектор — значит мы точно знаем что это был горизонтально поляризованный , а если не пролетит — вертикальный — . Аналогично если развернуть поляризационный фильтр в вертикальное положение, то он будет блокировать горизонтально поляризованных фотонов.

Слева: вертикально ориентированный фотон блокируется линейным поляризационным фильтром. Справа: при повороте поляризационного фильтра на вертикально поляризационный фотон проходит свободно. Источник.

В левой части: диагональный фотон (красная стрелка) представленный в виде композиции горизонтальной и вертикальной компоненты (розовая и фиолетовая стрелка) электромагнитного поля. В правой части: линейный поляризационный фильтр блокирует вертикальную компоненту диагонального фотона и на выходе получается горизонтально поляризованный фотон. Источник

Проходя через вертикальный линейный поляризатор, диагональный и антидиагональный фотоны теряют горизонтальную компоненту и на выходе получается горизонтальный фотон с амплитудой от исходной. Источник.

На этом принципе основан первый протокол квантовой криптографии — , позволяющий передавать ключ шифрования по открытому каналу. Так если Алисе нужно передать Бобу сообщение состоящее из n символов, то самым надежным способом будет перевести каждый из символов двоичный код, а затем взять такую же по длине последовательность случайных нулей и единиц и выполнить операцию побитового сложения XOR, то есть если символы с одинаковыми индексами совпадают то в результате получаем 0, а если различаются то .

Так, Алиса получает зашифрованное сообщение и ключ, если у получателя Боба также есть ключ, то он может сделать снова операцию XOR и получить исходное сообщение. Квантовая криптография физика как раз позволяет обменяться ключом, так в алгоритме генерируется не одна а сразу две последовательности случайных битов с некоторым запасом относительно сообщения. Первая последовательность указывает на то, в каком базисе будет кодироваться фотон, являющийся квантовым битом ключа, отправляемого Алисой-Бобу. Затем Боб, получая фотоны, также с помощью случайной последовательности выбирает в каком базисе измерять каждый фотон, при этом он будет получать неверный результат с вероятностью .

После завершения передачи квантового ключа, необходимо избавиться от ошибок, для этого применяется процедура так называемого просеивания ключа, когда Алиса отправляет Бобу последовательность базисов, в которых кодировался ключ просто по классическому каналу, после чего Боб сверяет эту последовательность с той, в которой он измерял фотоны при получении ключа и отправляет обратно Алисе те позиции, которые оказались ошибочными. Алиса вычеркивает ошибочные позиции и полученный ключ используется дальше при шифровании.

Квантовый фокус состоит в том, что если к каналу подключился подслушиватель, скажем — Ева, которая будет перехватывать фотон измерять его направлять дальше Бобу, то измеряя перехваченные фотоны при неправильно выбранном базисе она также неизбежно будет разрушать суперпозицию. Таким образом, даже после просеивания, в ключе Боба все еще останутся ошибки, которые можно будет выявить в процессе сверки, когда Алиса отправляет Бобу по классическому каналу фрагмент своего ключа, если в результате сверки ошибок не будет выявлено, то можно будет с уверенностью пользоваться ключом для обмена сообщениями.

Логическая схема алгоритма шифрования . Источник.

Заключение

Надеюсь, что из этой статьи вам удалось почерпнуть, некоторую новую информацию и получить общее впечатление о том, как квантовая теория из экстравагантной идеи стала одной из самых полных и точных физических моделей нашей Вселенной. В завершение, для желающих более глубоко погружения в тему хотелось бы порекомендовать несколько ресурсов и книг:

Источник