Что такое мантисса целого числа

Арифметика с плавающей запятой

Числа с плавающей запятой — один из возможных способов предсталения действительных чисел, который является компромиссом между точностью и диапазоном принимаемых значений.

Число с плавающей запятой состоит из набора отдельных разрядов, условно разделенных на знак, экспоненту порядок и мантиссу. Порядок и мантисса — целые числа, которые вместе со знаком дают представление числа с плавающей запятой в следующем виде:

Нужно еще разобраться.

Математически это записывается так:

Основание определяет систему счисления разрядов. Математически доказано, что числа с плавающей запятой с базой B=2 (двоичное представление) наиболее устойчивы к ошибкам округления, поэтому на практике встречаются только базы 2 и, реже, 10. Для дальнейшего изложения будем всегда полагать B=2, и формула числа с плавающей запятой будет иметь вид:

Что такое мантисса и порядок?

Мантисса – это целое число фиксированной длины, которое представляет старшие разряды действительного числа. Допустим наша мантисса состоит из трех бит (|M|=3). Возьмем, например, число «5», которое в двоичной системе будет равно 101₂. Старший бит соответствует 2 2 =4, средний (который у нас равен нулю) 2 1 =2, а младший 2 0 =1.

Порядок – это степень базы (двойки) старшего разряда. В нашем случае E=2. Такие числа удобно записывать в так называемом стандартном виде, например «1.01e+2». Сразу видно, что мантисса состоит из трех знаков, а порядок равен двум.

3. Представление чисел с плавающей запятой сегодня

В числах одинарной точности (float/single) порядок состоит из 8 бит, а мантисса – из 23. Эффективный порядок определяется как E-127. Например, число 0,15625 будет записано в памяти как

Рисунок взят из Википедии

Чуть более подробное объяснение:

3.1 Специальные числа: ноль, бесконечность и неопределенность

Неопределенность или NaN (от not a number) – это представление, придуманное для того, чтобы арифметическая операция могла всегда вернуть какое-то не бессмысленное значение. В IEEE754 NaN представлен как число, в котором E=E_max+1, а мантисса не нулевая. Любая операция с NaN возвращает NaN. При желании в мантиссу можно записывать информацию, которую программа сможет интерпретировать. Стандартом это не оговорено и мантисса чаще всего игнорируется.

Как можно получить NaN? Одним из следующих способов:

Источник

Что такое мантисса и порядок в информатике

Содержание статьи

Значение мантиссы

Мантисса – одна из частей числа, которое представлено форматом с плавающей точкой. Второй частью этого числа является показатель степени. По сути, это дробная составляющая логарифма.

Значение мантиссы в том, что по ней находится число, которое является источником логарифма. Целая часть показывает только степень десяти или тривиальный множитель, тогда как сама мантисса показывает, какое именно число должно быть умножено на тривиальный множитель, который имеет вид 0,001 или 100.

Экспоненциальная запись представляет это в следующем виде: N = M*n^p, где мантиссой является M. Для примера можно взять число 3600 и представить его в экспоненциальной записи. Получится следующее: 3600 = 3,6*10^3. Учитывая вышесказанное, мантиссой будет являться число 3,6.

Важно понимать, что число, имеющее плавающую запятую, также имеет изменяющуюся абсолютную точность и фиксированную относительную точность. Использование чисел с плавающей запятой лучше, чем представление чисел с фиксированной запятой, так как есть возможность применения большого диапазона значений, тогда как относительная точность не меняется. Это поможет понять следующий пример: форма, имеющая фиксированную запятую, позволяет представить число, которое занимает 2 разряда после запятой и 8 разрядов в целой части, в виде 8765,43; 123456,78 и так далее. Если же брать формат, имеющий плавающую запятую, можно произвести следующую запись: 1,2345678; 0,000012345678 и так далее. Однако для того, чтобы так сделать, важно иметь двухразрядное дополнительное поле, позволяющее записать показатели степени 10, начиная от 0 и кончая 1610. Общее число разрядов составит 10, то есть 8+2.

Мантисса, как для отрицательных, так и для положительных чисел, выражается в прямом коде. Различие в знаке будет отражено лишь в значении знакового разряда. Однако мантисса числа не может превышать единицы. Обычно точка в мантиссе располагается с левой стороны от старшего разряда. Для того, чтоб получить истинное значение числа, нужно умножить мантиссу на 16 в степени порядка. Порядок, полученный этим путем, называется характеристикой. Получается, что характеристика, которая отсчитывается от 64, будет всегда положительной.

В нормальной записи мантисса числа — всегда правильная дробь. Ее запись в ячейку производится так же, как запись числа с запятой в ячейку машины. Запятая фиксируется перед первым разрядом цифрового вида.

Мантисса числа, имеющая плавающую запятую, выражается шестнадцатеричными цифрами, при этом запятая располагается слева от самой высокой цифры мантиссы

Форма мантиссы

Есть две формы, позволяющие понять место применения мантиссы. Первая — нормальная форма числа. Эта форма, которая имеет мантиссу без учета знака на полуинтервале, то есть [0; 1) (0le a

Число с плавающей запятой состоит из:

* Мантиссы (выражающей значение числа без учёта порядка)
* Знака мантиссы (указывающего на отрицательность или положительность числа)
* Порядка (выражающего степень основания числа, на которое умножается мантисса)
* Знака порядка

[править] Нормальная форма и нормализованная форма

Что ты хочешь узнать?

Ответ

Нормализация мантиссы позволяет сэкономить один разряд в ее двоичном представлении. В обоих случаях заранее известно, что первый значащий разряд равен единице, поэтому его можно не хранить. Иногда это называется использованием неявного старшего бита.

Нормализация мантиссы результата независимо от режима не выполняется.

Нормализация мантиссы результата заключается в повторении операции сдвига мантиссы на один десятичный разряд с обнулением младшего разряда, а также в уменьшении порядка на единицу до тех пор, пока в знаковом разряде К2 ( Д9) не будет находиться наибольшая значащая цифра мантиссы. При переполнении разрядной сетки в области мантиссы выполнение этой процедуры может привести к переполнению разрядной сетки в области порядка.

00111001000100100000000000000000 – нули слева убираем:
111001000100100000000000000000 – нормализуем мантиссу:
1.11001000100100000000000000000 х 2^29.

Источник

Что нужно знать про арифметику с плавающей запятой

В далекие времена, для IT-индустрии это 70-е годы прошлого века, ученые-математики (так раньше назывались программисты) сражались как Дон-Кихоты в неравном бою с компьютерами, которые тогда были размером с маленькие ветряные мельницы. Задачи ставились серьезные: поиск вражеских подлодок в океане по снимкам с орбиты, расчет баллистики ракет дальнего действия, и прочее. Для их решения компьютер должен оперировать действительными числами, которых, как известно, континуум, тогда как память конечна. Поэтому приходится отображать этот континуум на конечное множество нулей и единиц. В поисках компромисса между скоростью, размером и точностью представления ученые предложили числа с плавающей запятой (или плавающей точкой, если по-буржуйски).

Арифметика с плавающей запятой почему-то считается экзотической областью компьютерных наук, учитывая, что соответствующие типы данных присутствуют в каждом языке программирования. Я сам, если честно, никогда не придавал особого значения компьютерной арифметике, пока решая одну и ту же задачу на CPU и GPU получил разный результат. Оказалось, что в потайных углах этой области скрываются очень любопытные и странные явления: некоммутативность и неассоциативность арифметических операций, ноль со знаком, разность неравных чисел дает ноль, и прочее. Корни этого айсберга уходят глубоко в математику, а я под катом постараюсь обрисовать лишь то, что лежит на поверхности.

1. Основы

Множество целых чисел бесконечно, но мы всегда можем подобрать такое число бит, чтобы представить любое целое число, возникающее при решении конкретной задачи. Множество действительных чисел не только бесконечно, но еще и непрерывно, поэтому, сколько бы мы не взяли бит, мы неизбежно столкнемся с числами, которые не имеют точного представления. Числа с плавающей запятой — один из возможных способов предсталения действительных чисел, который является компромиссом между точностью и диапазоном принимаемых значений.

Число с плавающей запятой состоит из набора отдельных разрядов, условно разделенных на знак, экспоненту порядок и мантиссу. Порядок и мантисса — целые числа, которые вместе со знаком дают представление числа с плавающей запятой в следующем виде:

Математически это записывается так:

Основание определяет систему счисления разрядов. Математически доказано, что числа с плавающей запятой с базой B=2 (двоичное представление) наиболее устойчивы к ошибкам округления, поэтому на практике встречаются только базы 2 и, реже, 10. Для дальнейшего изложения будем всегда полагать B=2, и формула числа с плавающей запятой будет иметь вид:

Что такое мантисса и порядок? Мантисса – это целое число фиксированной длины, которое представляет старшие разряды действительного числа. Допустим наша мантисса состоит из трех бит (|M|=3). Возьмем, например, число «5», которое в двоичной системе будет равно 101₂. Старший бит соответствует 2 2 =4, средний (который у нас равен нулю) 2 1 =2, а младший 2 0 =1. Порядок – это степень базы (двойки) старшего разряда. В нашем случае E=2. Такие числа удобно записывать в так называемом «научном» стандартном виде, например «1.01e+2». Сразу видно, что мантисса состоит из трех знаков, а порядок равен двум.

Допустим мы хотим получить дробное число, используя те же 3 бита мантиссы. Мы можем это сделать, если возьмем, скажем, E=1. Тогда наше число будет равно

2 = 10 (в двоичной системе) = 1.000e+1 = 0.100e+2 = 0.010e+3. (E=1, E=2, E=3 соответственно)

Обратите внимание, что одно и то же число имеет несколько представлений. Это не удобно для оборудования, т.к. нужно учитывать множественность представлния при сравнении чисел и при выполнении над ними арифметических операций. Кроме того, это не экономично, поскольку число представлений — конечное, а повторения уменьшают множество чисел, которые вообще могут быть представлены. Поэтому уже в самых первых машинах начали использовать трюк, делая первый бит мантиссы всегда положительным. Такое предаставление назвали нормализованным.

Это экономит один бит, так как неявную единицу не нужно хранить в памяти, и обеспечивает уникальность представления числа. В нашем примере «2» имеет единственное нормализованное представление («1.000e+1»), а мантисса хранится в памяти как «000», т.к. старшая единица подразумевается неявно. Но в нормализованном представлении чисел возникает новая проблема — в такой форме невозможно представить ноль.

Строго говоря, нормализованное число имеет следующий вид:

Качество решения задач во многом зависит от выбора представления чисел с плавающей запятой. Мы плавно подошли к проблеме стандартизации такого представления.

2. Немного истории

В 60-е и 70-е годы не было единого стандарта представления чисел с плавающей запятой, способов округления, арифметических операций. В результате программы были крайне не портабельны. Но еще большей проблемой было то, что у разных компьютеров были свои «странности» и их нужно было знать и учитывать в программе. Например, разница двух не равных чисел возвращала ноль. В результате выражения «X=Y» и «X-Y=0» вступали в противоречие. Умельцы обходили эту проблему очень хитрыми трюками, например, делали присваивание «X=(X-X)+X» перед операциями умножения и деления, чтобы избежать проблем.

Инициатива создать единый стандарт для представления чисел с плавающей запятой подозрительно совпала с попытками в 1976 году компанией Intel разработать «лучшую» арифметику для новых сопроцессоров к 8086 и i432. За разработку взялись ученые киты в этой области, проф. Джон Палмер и Уильям Кэхэн. Последний в своем интервью высказал мнение, что серьезность, с которой Intel разрабатывала свою арифметику, заставила другие компании объединиться и начать процесс стандартизации.

Все были настроены серьезно, ведь очень выгодно продвинуть свою архитектуру и сделать ее стандартной. Свои предложения представили компании DEC, National Superconductor, Zilog, Motorola. Производители мейнфреймов Cray и IBM наблюдали со стороны. Компания Intel, разумеется, тоже представила свою новую арифметику. Авторами предложенной спецификации стали Уильям Кэхэн, Джероми Кунен и Гарольд Стоун и их предложение сразу прозвали «K-C-S».

Практически сразу же были отброшены все предложения, кроме двух: VAX от DEC и «K-C-S» от Intel. Спецификация VAX была значительно проще, уже была реализована в компьютерах PDP-11, и было понятно, как на ней получить максимальную производительность. С другой стороны в «K-C-S» содержалось много полезной функциональности, такой как «специальные» и «денормализованные» числа (подробности ниже).

В «K-C-S» все арифметические алгоритмы заданы строго и требуется, чтобы в реализации результат с ними совпадал. Это позволяет выводить строгие выкладки в рамках этой спецификации. Если раньше математик решал задачу численными методами и доказывал свойства решения, не было никакой гарантии, что эти свойства сохранятся в программе. Строгость арифметики «K-C-S» сделала возможным доказательство теорем, опираясь на арифметику с плавающей запятой.

Компания DEC сделала все, чтобы ее спецификацию сделали стандартом. Она даже заручилась поддержкой некоторых авторитетных ученых в том, что арифметика «K-C-S» в принципе не может достигнуть такой же производительности, как у DEC. Ирония в том, что Intel знала, как сделать свою спецификацию такой же производительной, но эти хитрости были коммерческой тайной. Если бы Intel не уступила и не открыла часть секретов, она бы не смогла сдержать натиск DEC.

Подробнее о баталиях при стандартизации смотрите в интервью профессора Кэхэна, а мы рассмотрим, как выглядит представление чисел с плавающей запятой сейчас.

3. Представление чисел с плавающей запятой сегодня

Разработчики «K-C-S» победили и теперь их детище воплотилось в стандарт IEEE754. Числа с плавающей запятой в нем представлены в виде знака (s), мантиссы (M) и порядка (E) следующим образом:

Замечание. В новом стандарте IEE754-2008 кроме чисел с основанием 2 присутствуют числа с основанием 10, так называемые десятичные (decimal) числа с плавающей запятой.

Чтобы не загромождать читателя чрезмерной информацией, которую можно найти в Википедии, рассмотрим только один тип данных, с одинарной точностью (float). Числа с половинной, двойной и расширенной точностью обладают теми же особенностями, но имеют другой диапазон порядка и мантиссы. В числах одинарной точности (float/single) порядок состоит из 8 бит, а мантисса – из 23. Эффективный порядок определяется как E-127. Например, число 0,15625 будет записано в памяти как

Рисунок взят из Википедии

3.1 Специальные числа: ноль, бесконечность и неопределенность

Неопределенность или NaN (от not a number) – это представление, придуманное для того, чтобы арифметическая операция могла всегда вернуть какое-то не бессмысленное значение. В IEEE754 NaN представлен как число, в котором E=E_max+1, а мантисса не нулевая. Любая операция с NaN возвращает NaN. При желании в мантиссу можно записывать информацию, которую программа сможет интерпретировать. Стандартом это не оговорено и мантисса чаще всего игнорируется.

Вернемся к примеру. Наш E_min=-1. Введем новое значение порядка, E=-2, при котором числа являются денормализованными. В результате получаем новое представление чисел:

Интервал от 0 до 0,5 заполняют денормализованные числа, что дает возможность не проваливаться в 0 рассмотренных выше примерах (0,5-0,25 и 1,5-1,25). Это сделало представление более устойчиво к ошибкам округления для чисел, близких к нулю.

Но роскошь использования денормализованного представления чисел в процессоре не дается бесплатно. Из-за того, что такие числа нужно обрабатывать по-другому во всех арифметических операциях, трудно сделать работу в такой арифметике эффективной. Это накладывает дополнительные сложности при реализации АЛУ в процессоре. И хоть денормализованные числа очень полезны, они не являются панацеей и за округлением до нуля все равно нужно следить. Поэтому эта функциональность стала камнем преткновения при разработке стандарта и встретила самое сильное сопротивление.

3.4 Очередность чисел в IEEE754

Одна из удивительных особенностей представления чисел в формате IEEE754 состоит в том, что порядок и мантисса расположены друг за другом таким образом, что вместе образуют последовательность целых чисел для которых выполняется:

4.2 Неассоциативность арифметических операций

В арифметике с плавающей запятой правило (a*b)*c = a*(b*c) не выполняется для любых арифметических операций. Например,

Допустим у нас есть программа суммирования чисел.

Некоторые компиляторы по умолчанию могут переписать код для использования нескольких АЛУ одновременно (будем считать, что n делится на 2):

Так как операции суммирования не ассоциативны, эти две программы могут выдать различный результат.

4.3 Числовые константы

Помните, что не все десятичные числа имеют двоичное представление с плавающей запятой. Например, число «0,2» будет представлено как «0,200000003» в одинарной точности. Соответственно, «0,2 + 0,2 ≈ 0,4». Абсолютная погрешность в отдельном
случае может и не высока, но если использовать такую константу в цикле, можем получить накопленную погрешность.

4.4 Выбор минимума из двух значений

4.5 Сравнение чисел

Очень распространенная ошибка при работе с float-ами возникает при проверке на равенство. Например,

Ошибка здесь, во-первых, в том, что 0,2 не имеет точного двоичного представления, а во-вторых 0,2 – это константа двойной точности, а переменная fValue – одинарной, и никакой гарантии о поведении этого сравнения нет.

Лучший, но все равно ошибочный способ, это сравнивать разницу с допустимой абсолютной погрешностью:

Недостаток такого подхода в том, что погрешность представления числа увеличивается с ростом самого этого числа. Так, если программа ожидает «10000», то приведенное равенство не будет выполняться для ближайшего соседнего числа (10000,000977). Это особенно актуально, если в программе имеется преобразование из одинарной точности в двойную.

Выбрать правильную процедуру сравнения сложно и заинтересованных читателей я отсылаю к статье Брюса Доусона. В ней предлагается сравнивать числа с плавающей запятой преобразованием к целочисленной переменной. Это — лучший, хотя и не портабельный способ:

5. Проверка полноты поддержки IEE754

Думаете, что если процессоры полностью соответствуют стандарту IEEE754, то любая программа, использующая стандартные типы данных (такие как float/double в Си), будет выдавать один и тот же результат на разных компьютерах? Ошибаетесь. На портабельность и соответствие стандарту влияет компилятор и опции оптимизации. Уильям Кэхэн написал программу на Си (есть версия и для Фортрана), которая позволяет проверить удовлетворяет ли связка «архитектура+компилятор+опции» IEEE754. Называется она «Floating point paranoia» и ее исходные тексты доступны для скачивания. Аналогичная программа доступна для GPU. Так, например, компилятор Intel (icc) по умолчанию использует «расслабленную» модель IEEE754, и в результате не все тесты выполняются. Опция «-fp-model precise» позволяет компилировать программу с точным соответствием стандарту. В компиляторе GCC есть опция «-ffast-math», использование которой приводит к несоответствию IEEE754.

Заключение

Напоследок поучительная история. Когда я работал над тестовым проектом на GPU, у меня была последовательная и параллельная версия одной программы. Сравнив время выполнения, я был очень обрадован, так как получил ускорение в 300 раз. Но позже оказалось, что вычисления на GPU «разваливались» и обращались в NaN, а работа с ними в GPU была быстрее, чем с обычными числами. Интересно было другое — одна и та же программа на эмуляторе GPU (на CPU) выдавала корректный результат, а на самом GPU – нет. Позже оказалось, что проблема была в том, что этот GPU не поддерживал полностью стандарт IEEE754 и прямой подход не сработал.

Сейчас арифметика с плавающей запятой почти совершенна. Практически всегда наивный подход сработает, и программа, не учитывающая все ее особенности, выдаст правильный результат, а описанные подводные камни касаются только экзотических случаев. Но нужно всегда оставаться бдительным: в таком вопросе как компьютерная математика легко наступить на грабли.

Источник

Представление вещественных чисел

Вещественные числа обычно представляются в виде чисел с плавающей запятой. Числа с плавающей запятой — один из возможных способов представления действительных чисел, который является компромиссом между точностью и диапазоном принимаемых значений, его можно считать аналогом экспоненциальной записи чисел, но только в памяти компьютера.

Число с плавающей запятой состоит из набора отдельных двоичных разрядов, условно разделенных на так называемые знак (англ. sign), порядок (англ. exponent) и мантиссу (англ. mantis). В наиболее распространённом формате (стандарт IEEE 754) число с плавающей запятой представляется в виде набора битов, часть из которых кодирует собой мантиссу числа, другая часть — показатель степени, и ещё один бит используется для указания знака числа ( [math]0[/math] — если число положительное, [math]1[/math] — если число отрицательное). При этом порядок записывается как целое число в коде со сдвигом, а мантисса — в нормализованном виде, своей дробной частью в двоичной системе счисления. Вот пример такого числа из [math]16[/math] двоичных разрядов:

Знак — один бит, указывающий знак всего числа с плавающей точкой. Порядок и мантисса — целые числа, которые вместе со знаком дают представление числа с плавающей запятой в следующем виде:

Порядок также иногда называют экспонентой или просто показателем степени.

При этом лишь некоторые из вещественных чисел могут быть представлены в памяти компьютера точным значением, в то время как остальные числа представляются приближёнными значениями.

Более простым вариантом представления вещественных чисел является вариант с фиксированной точкой, когда целая и вещественная части хранятся отдельно. Например, на целую часть отводится всегда [math]X[/math] бит и на дробную отводится всегда [math]Y[/math] бит. Такой способ в архитектурах процессоров не присутствует. Отдаётся предпочтение числам с плавающей запятой, как компромиссу между диапазоном допустимых значений и точностью.

Содержание

Нормальная и нормализованная форма [ править ]

Типы чисел с плавающей точкой (по IEEE 754) [ править ]

Число половинной точности (Binary16, Half precision) [ править ]

Число́ полови́нной то́чности — компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти половину машинного слова (в случае 32-битного компьютера — [math]16[/math] бит или [math]2[/math] байта). В силу невысокой точности этот формат представления чисел с плавающей запятой обычно используется в видеокартах, где небольшой размер и высокая скорость работы важнее точности вычислений.

Число одинарной точности (Binary32, Single precision, float) [ править ]

Число́ одина́рной то́чности — компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти одно машинное слово (в случае 32-битного компьютера — [math]32[/math] бита или [math]4[/math] байта). Используется для работы с вещественными числами везде, где не нужна очень высокая точность.

Число двойной точности (Binary64, Double precision, double) [ править ]

Число́ двойно́й то́чности — компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти два машинных слова (в случае 32-битного компьютера — [math]64[/math] бита или [math]8[/math] байт). Часто используется благодаря своей неплохой точности, даже несмотря на двойной расход памяти и сетевого трафика относительно чисел одинарной точности.

Число четверной точности (Binary128, Quadruple precision) [ править ]

Число́ четверно́й то́чности — компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти четыре машинных слова (в случае 32-битного компьютера — [math]128[/math] бит или [math]16[/math] байт). Используется в случае необходимости крайне высокой точности.

Обычно этот формат реализуется программно, случаи аппаратной реализации крайне редки. Также не гарантируется поддержка этого типа в языках программирования, хотя кое-где она и реализована (например, компилятор gcc для архитектуры x86 позволяет использовать тип __float128, являющийся программной реализацией числа с четверной точностью). В совокупности эти факторы делают Quadruple весьма экзотичным и редко встречающимся форматом чисел с плавающей запятой.

Диапазон значений чисел с плавающей запятой [ править ]

Данная таблица только лишь примерно указывает границы допустимых значений, без учета возрастающей погрешности с ростом абсолютного значения и существования денормализованных чисел.

Особые значения чисел с плавающей точкой [ править ]

Ноль (со знаком) [ править ]

Как уже было оговорено выше, в нормализованной форме числа с плавающей точкой невозможно представить ноль. Поэтому для его представления зарезервированы специальные значения мантиссы и порядка — число считается нулём, если все его биты, кроме знакового, равны нулю. При этом в зависимости от значения бита знака ноль может быть как положительным, так и отрицательным.

Арифметика нуля со знаком
Арифметика отрицательного нуля аналогична таковой для любого отрицательного числа и понятна интуитивно. Вот несколько примеров:

Неопределенность (NaN) [ править ]

NaN — это аббревиатура от фразы «not a number«. NaN является результатом арифметических операций, если во время их выполнения произошла ошибка (примеры см. ниже). В IEEE 754 NaN представлен как число, в котором все двоичные разряды порядка — единицы, а мантисса не нулевая.

Любая операция с NaN возвращает NaN. При желании в мантиссу можно записывать информацию, которую программа сможет интерпретировать. Стандартом это не оговорено и мантисса чаще всего игнорируется.

Как можно получить NaN?

Есть и другие способы получения NaN, подробности можно найти по ссылкам в соответствующем разделе.

По определению NaN ≠ NaN, поэтому, для проверки значения переменной нужно просто сравнить ее с собой.

Бесконечности [ править ]

Денормализованные числа [ править ]

То есть число с плавающей запятой, при учете вышесказанного, можно задать следующим образом:

В современных процессорах обработка денормализованных чисел происходит в десятки раз медленнее, чем обработка нормализованных чисел. Ниже приведена часть таблицы из статьи Isaac Dooley, Laxmikant Kale «Quantifying the Interference Caused by Subnormal Floating-Point Values» [1]

В таблице приведены наихудшие результаты тестирования среди всех использованных компиляторов (gcc, icc, xlc) со всеми доступными флагами оптимизации. Исследователи утверждают, что различие среднего случая с худшим незначительно.

Поскольку в стандартных форматах (одинарной и двойной точности) денормализованные числа получаются действительно очень маленькими и практически никак не влияют на результат некоторых вычислений (при этом заметно замедляя их скорость), то иногда они просто игнорируются. При этом используются два простых механизма, получивших называние Flush-to-zero (FTZ) и Denormals-are-zero (DAZ). Первый механизм заставляет операции возвращать ноль, как только становится ясно, что результат будет денормализованным. Второй механизм заставляет операции рассматривать поступающие на вход денормализованные числа как нули.
Ярким примером подобного «отсечения» денормализованных чисел могут послужить видеокарты, в которых резкое падение скорости вычислений в сотню раз недопустимо. Так же, например, в областях, связанных с обработкой звука, нет нужды в очень маленьких числах, поскольку они представляют столь тихий звук, что его не способно воспринять человеческое ухо.

В версии стандарта IEEE 754-2008 денормализованные числа (denormal или denormalized numbers) были переименованы в subnormal numbers, то есть в числа, меньшие «нормальных». Поэтому их иногда еще называют «субнормальными«.

Действия с числами с плавающей запятой [ править ]

Умножение и деление [ править ]

Самыми простыми для восприятия арифметическими операциями над числами с плавающей запятой являются умножение и деление. Для того, чтобы умножить два вещественных числа в нормализованной форме необходимо перемножить их мантиссы, сложить порядки, округлить и нормализовать полученное число.

Соответственно, чтобы произвести деление нужно разделить мантиссу делимого на мантиссу делителя и вычесть из порядка делимого порядок делителя. Затем точно так же округлить мантиссу результата и привести его к нормализованной форме.

Сложение и вычитание [ править ]

Идея метода сложения и вычитания чисел с плавающей точкой заключается в приведении их к одному порядку. Сначала выбирается оптимальный порядок, затем мантиссы обоих чисел представляются в соответствии с новым порядком, затем над ними производится сложение/вычитание, мантисса результата округляется и, если нужно, результат приводится к нормализированной форме. Пример:

Алгоритм получения представления вещественного числа в памяти ЭВМ [ править ]

Покажем преобразование действительного числа для представления его в памяти ЭВМ на примере величины типа Double.

Как видно из таблицы, величина этого типа занимает в памяти [math]8[/math] байт. На рисунке ниже показано, как здесь представлены поля мантиссы и порядка (нумерация битов осуществляется справа налево):

Таким образом, из вышесказанного вытекает следующий алгоритм для получения представления действительного числа в памяти ЭВМ:

Очевидно, что более компактно полученный код стоит записать следующим образом: C073850000000000₍₁₆₎.

Другой пример иллюстрирует обратный переход от кода действительного числа к самому числу.

Пример. Пусть дан код 3FEC600000000000₍₁₆₎ или

0	01111111110	1100011000000000000000000000000000000000000000000000
63	62..52	51..0

Источник