Что такое магнитный момент витка с током

Магнитный момент витка. Определение. Формула. Опыт.

Магнитный момент витка с током это физическая величина, как и любой другой магнитный момент, характеризует магнитные свойства данной системы. В нашем случае систему представляет круговой виток с током. Этот ток создает магнитное поле, которое взаимодействует с внешним магнитным полем. Это может быть как поле земли, так и поле постоянного или электромагнита.

Круговой виток с током можно представить в виде короткого магнита. Причем этот магнит будет направлен перпендикулярно плоскости витка. Расположение полюсов такого магнита определяется с помощью правила буравчика. Согласно которому северный плюс будет находиться за плоскостью витка, если ток в нем будет двигаться по часовой стрелке.

На этот магнит, то есть на наш круговой виток с током, как и на любой другой магнит, будет воздействовать внешнее магнитное поле. Если это поле будет однородным, то возникнет вращающий момент, который будет стремиться развернуть виток. Поле буде поворачивать виток так чтобы его ось расположилась вдоль поля. При этом силовые линии самого витка, как маленького магнита, должны совпасть по направлению с внешним полем.

Если же внешнее поле будет не однородным, то к вращающему моменту добавится и поступательное движение. Это движение возникнет вследствие того что участки поля с большей индукцией будут притягивать наш магнит в виде витка больше чем участки с меньшей индукцией. И виток начнет двигаться в сторону поля с большей индукцией.

Величину магнитного момента кругового витка с током можно определить по формуле.

Где, I ток протекающий по витку

S площадь витка с током

n нормаль к плоскости в которой находится виток

Таким образом, из формулы видно, что магнитный момент витка это векторная величина. То есть кроме величины силы, то есть ее модуля он обладает еще и направлением. Данное свойство магнитный момент получил из-за того что в его состав входит вектор нормали к плоскости витка.

Для закрепления материала можно провести несложный опыт. Для этого нам понадобится круговой виток, из медной проволоки подключённый к батареи питания. При этом подводящие провода должны быть достаточно тонкими и желательно свиты между собой. Это уменьшит их влияние на опыт.

Теперь подвесим виток на подводящих проводах в однородном магнитном поле, созданном скажем постоянными магнитами. Виток пока обесточен, и его плоскость располагается параллельно силовым линиям поля. При этом его ось и полюса воображаемого магнита будут перпендикулярны линиям внешнего поля.

При подаче тока на виток его плоскость повернется перпендикулярно силовым линиям постоянного магнита, а ось станет им параллельна. Причем направление поворота витка будет определяться правилом буравчика. А строго говоря, направлением, в котором течет ток по витку.

Источник

Элементарный ток и его магнитный момент

Вы будете перенаправлены на Автор24

Определение элементарного замкнутого тока

Элементарным замкнутым током называют линейный ток, который обтекает поверхность с бесконечно малыми в физическом смысле линейными размерами.

Итак, элементарным током мы будем называть замкнутый ток, который удовлетворяет следующим условиям:

Векторный потенциал элементарного тока

Так как параллелограмм маленький, то значение r можно считать постоянным и равным расстоянию от середины стороны параллелограмма до точки, в которой ищем поле. Соответственно перепишем уравнение (1):

Для того чтобы преобразовать выражение (2) найдем:

где бесконечно малыми величинами высоких порядков пренебрегаем. На рис.1 показаны геометрические построения для разъяснения того как получены равенства:

Из равенства (5) получим:

Из уравнения (6) получим:

где использовано известное равенство их векторной алгебры:

Используем то, что вектор элемента поверхности, которая обтекается током, равна:

Перепишем уравнение (8), получим:

Магнитный момент элементарного тока

называется магнитным моментом элементарного тока.

Из (12) очевидно, что эта величина по модулю равна произведению силы тока, который течет в контуре на площадь, которая охвачена им. Направление магнитного момента совпадает с положительной нормалью к поверхности S. Если использовать в записи векторного магнитного потенциала магнитный момент элементарного тока, то выражение (11) примет вид:

За основу решения задачи примем определение модуля магнитного момента витка с током:

Площадь витка S равна:

Из (1.1) выразим силу тока, подставим S из выражения (1.2) получим:

Данные в условии задачи представлены в системе СИ, следовательно, можно провести вычисления:

Подставим (2.1) в (2.2) получим:

Используя принцип суперпозиции найдем полное поле, которое создает элементарный ток (виток с током) в точке А:

Магнитный момент контура определен как:

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 10 02 2021

Источник

Что такое магнитный момент витка с током

В 1820 году датский ученый Ганс Христиан Эрстед свершил выдающееся открытие – магнитное действие электрического тока. Эстафету исследований и открытий в области электромагнетизма подхватили французские ученые: Араго, Био, Савар, и, конечно же, Андре Мари Ампер.

Направление силовых линий магнитного поля

Эрстед обнаружил, что если проводник установить вертикально и вокруг него расположить небольшие магнитные стрелки на подставках, то при прохождении тока в проводнике, стрелки повернутся так, что полюс одной из них будет направлен на противоположный полюс другой. Если стрелки мысленно соединить линией, проходящей через полюсы, то линия окажется замкнутой окружностью. Это наблюдение позволяет делать вывод о вихревом характере магнитного поля вокруг проводника с током (рис. 1).

Рис. 1. Магнитное поле вокруг проводника с током

Теперь посмотрим, что будет, если изменить направление тока. Стрелки по-прежнему образуют круг, но развернулись на 180 градусов. Значит, можно говорить о направлении вихрей, которые образуют магнитные линии.

Исследуя этот феномен, Ампер предложил считать за направление силовых линий направление от северного полюса магнита к южному полюсу. Это предложение позволяет связать между собой направление магнитных линий вокруг проводника с током и направление тока в проводнике.

Соединим нижний конец проводника с положительным полюсом источника (+), а верхний – с отрицательным (–). Таким образом, мы знаем направление тока в проводнике. Замкнем цепь. Обратим внимание, как расположились стрелки. Теперь, если обхватить проводник пальцами правой руки по линии, соединяющей северный полюс одной стрелки с южным полюсом другой стрелки, то отставленный вдоль проводника большой палец будет как раз указывать направление тока – от плюса к минусу.

Наверное, приблизительно так рассуждая, Андре-Мари Ампер предложил правило «правой руки» (рис. 2).

Если обхватить проводник правой рукой, направив отогнутый большой палец по направлению тока, то направление обхвата проводника покажет направление линий магнитного поля.

Рис. 2. Правило правой руки

Еще один способ определения взаимосвязи направления тока и направления линий магнитного поля называется правилом буравчика (рис. 3).

Если ввинчивать буравчик по направлению тока в проводнике, то направление движения рукоятки буравчика укажет направление линий магнитного поля.

Рис. 3. Правило буравчика

Взаимодействие токов. Закон Ампера

Одним из следующих серьезных шагов Ампера было открытие взаимодействия двух параллельных проводников.

Ампер выяснил, что два параллельных проводника с током притягиваются, если токи в них направлены в одном направлении, и отталкиваются, если тоги направлены в разных направлениях (рис. 4).

Рис. 4. Взаимодействие параллельных проводников

Таким образом, гениальная догадка Ампера о том, что магнитные взаимодействия есть взаимодействия электрических токов, высказанная Ампером в первый же день знакомства с опытами Эрстеда, подтвердилась экспериментально.

Это открытие позволило Амперу изучить силу взаимодействия токов и вывести известный закон (закон Ампера). В наиболее простом случае он имеет вид:

,

Сила взаимодействия двух параллельных проводников с токами пропорциональна величинам токов в элементарных отрезках и обратно пропорциональна расстоянию между элементами проводников.

Закон Ампера в простом его виде для прямых однородных проводников позволяет установить единицу силы тока на основе прямых измерений. Действительно, измеряя силы взаимодействия проводников и зная расстояние между ними, мы можем точно определить величину тока в проводниках и таким образом установить ток в один ампер.

Ампер есть сила неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 метр один от другого, вызвал бы на каждом участке проводника длиной 1 метр силу взаимодействия, равную 2·10 −7 ньютона.

В формуле коэффициент k – коэффициент пропорциональности, численное значение которого зависит от выбора системы единиц. В СИ этот коэффициент имеет следующее выражение: (здесь «мю нулевое» – это магнитная постоянная).

Магнитное поле кругового тока (виток с током)

Затем Ампер исследовал, как будет вести себя проводник, скрученный в кольцо – виток. Оказалось, что виток с током ведет себя подобно магнитной стрелке (рис. 5).

Рис. 5. Виток с током

Это значит, что на виток с током в магнитном поле, скажем, между двумя полюсами магнита, будет действовать момент сил, стремящийся развернуть виток с током так, чтобы его плоскость была перпендикулярна магнитным линиям. Опыт показывает, что угол разворота рамки с током зависит от величины тока в рамке и от самих магнитов, или силы магнитного поля. Следовательно, такой виток с током, или как говорят, круговой ток, можно использовать для анализа силовых свойств магнитного поля (рис. 6).

Рис. 6. Рамка с током в магнитном поле

Вектор магнитной индукции

Разместим виток с током в пространстве между полюсами магнитов. Крутящий момент , действующий на виток с током, будет прямо пропорционален площади витка и величине тока, проходящего по витку, что следует из опытов. Получается, что отношение момента сил, действующих на виток, к произведению площади витка на величину тока остается величиной постоянной для данной пары магнитов.

Следовательно, величина, равная этому отношению, характеризует не виток с током, а силовые свойства той области пространства, где действует магнитное поле на виток с током.

Эта величина называется магнитной индукцией. Очевидно, это векторная величина. Вектор магнитной индукции является касательной к каждой точке магнитных линий (рис. 7).

Рис. 7. Вектор магнитной индукции

Размерность этой величины: – Ньютон делить на ампер, умноженный на метр. Её название – Тесла.

Вектор магнитной индукции – это силовая характеристика магнитного поля. Направление вектора магнитной индукции совпадает с направлением северного полюса свободной магнитной стрелки в данной точке пространства. Виток с током ведет себя в магнитном поле подобно стрелке, следовательно, у самого витка с током есть свое магнитное поле. Направление вектора магнитной индукции вдоль оси витка можно определить по правилу правой руки.

Если четырьмя пальцами правой руки обхватить виток так, чтобы пальцы указывали направление тока в витке, то отставленный на 90 градусов большой палец укажет направление вектора магнитной индукции.

Величина вектора магнитной индукции в центре витка с током будет определяться исключительно величиной тока и размерами самого витка

.

В заключение рассмотрим систему из нескольких витков – катушку, или, как еще ее называют, соленоид (рис. 8).

Примечательно то, что внутри соленоида магнитные линии будут параллельными и прямыми линиями. Значит, магнитные линии будут совпадать с вектором магнитной индукции. При этом значение модуля вектора магнитной индукции внутри соленоида будет одинаковым. Такое поле, как мы помним из электростатики, называется однородным. Таким образом, внутри катушки с током, или, как говорят, соленоида, магнитное поле однородно.

Модуль вектора магнитной индукции будет зависеть не только от величины тока, но и от числа витков и длины соленоида .

Источник

Магнитный момент

3.4. Магнитный момент

3.4.1. По круговому витку радиусом R = 5 см течёт постоянный ток силой I = 10 А. Определить магнитный момент витка.

1. Магнитный момент контура с током определяется уравнением

, (1)

. (2)

3.4.2. Короткая квадратная катушка с длиной стороны а = 0,1 м содержит N = 1000 витков тонкого провода. Определить магнитный момент катушки при силе тока I = 1 А.

1. Магнитный момент N витков будет равен сумме магнитных моментов всех витков, составляющих данную измерительную катушку

. (1)

3.4.3. Магнитный момент витка с током равен pm = 0,2 Дж/Тл. Определить силу тока в витке, если его радиус равен R = 5 см.

1. Запишем уравнение магнитного момента кругового витка с током и определим из него величину силы тока

. (1)

3.4.4. Напряжённость магнитного поля кругового витка с током составляет Н = 200 А/м. Магнитный момент витка равен pm = 1 А×м2. Определить силу тока в витке и его радиус.

1. Напряжённость кругового витка с током и его магнитный момент определяются следующими уравнениями

(1)

2. Выразим из уравнения напряжённости магнитного поля силу тока и подставим её в уравнение магнитного момента, что позволит найти его радиус

. (2)

3. Так как, из уравнения напряжённости , то

. (3)

3.4.5. На оси кольца с током I на расстоянии r = 1 м от его центра напряжённость магнитного поля составляет В = 10 нТл. Считая радиус кольца много меньшим заданного расстояния R > R

, (1)

и выразим силу тока

. (2)

2. Подставим значение силы тока в уравнение магнитного момента

. (3)

3.4.6. Электрон в невозбуждённом атоме водорода движется по круговой орбите радиусом R = 50 пм. Найти величину магнитного момента pm эквивалентного кругового тока и механический момент сил Mz(F), относительно оси вращения электрона при помещении атома в магнитное поле индукцией В = 0,1 Тл. Вектор магнитной индукции параллелен плоскости орбиты вращающегося электрона.

1. Силу эквивалентного тока определим, воспользовавшись уравнением (4), полученном в задаче 3.2.1

, (1)

2. Магнитный момент такого эквивалентного тока определится как

. (2)

3. Механический момент относительно оси вращения z, действующий на атом водорода, помещённый в магнитное поле с индукцией В, равен

, (2)

Поскольку вектор магнитного момента перпендикулярен плоскости орбиты, то , другими словами

. (3)

3.4.7. Электрон в атоме водорода движется по круговой орбите известного радиуса. Найти отношение магнитного момента pm к моменту импульса L орбитального движения электрона.

1. Орбитальную скорость электрона определим из условия его нахождения на стационарной круговой орбите

, (1)

2. Сила эквивалентного тока при круговом движении электрона

. (2)

3. Магнитный момент кругового тока

. (3)

4. Момент импульса электрона при его орбитальном движении

. (4)

5. Отношение магнитного момента к моменту импульса

. (5)

3.4.8. Тонкий стержень длиной l = 0,2 м несёт распределённый заряд Q = 240 нКл. Стержень вращается с постоянной угловой скоростью w = 10 рад/с вокруг оси перпендикулярной стержню и проходящей через его середину. Определить магнитный момент рm, возникающий при вращении заряженного стержня и отношение магнитного момента к его моменту количества движения L, если масса стержня составляет m = 12 г.

1. Распределённый заряд стержня можно представить в виде сосредоточенного заряда, создающего эквивалентный q = Q/3, сила тока в этом случае определится как

. (1)

2. Магнитный момент эквивалентного кругового тока

. (2)

3. Для определения отношения магнитного момента к моменту импульса воспользуемся уравнением (5) предыдущей задачи

. (3)

3.4.9. Тонкое кольцо радиусом R = 10 см несёт заряд Q = 10 нКл. Кольцо вращается равномерно с частотой n = 10 с -1 относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр. Определить магнитный момент, создаваемый круговым током pm и отношение магнитного момента к моменту импульса кольца pm/L, если его масса равна m = 10 г

1. Если выделить вспомогательную площадку d, расположив её перпендикулярно сечению кольца, то можно видеть, что через это сечение в единицу времени будет протекать заряд Q. Эквивалентная сила тока, вызванная вращением заряженного кольца, определится как

, (1)

2. Магнитный момент вращающегося заряженного кольца в этом случае будет равен

. (2)

3. Момент импульса кольца относительно оси вращения Оz

. (3)

4. Отношение магнитного момента кольца к моменту импульса

. (4)

3.4.10. Кольцо, геометрические параметры которого и заряд соответствуют предыдущей задаче, вращается с частотой n = 10 c — 1 вокруг оси, проходящей через один из его диаметров. Определить магнитный момент заряженного вращающегося кольца pm и отношение магнитного момента к моменту количества движения pm/L.

1. В данном случае, в виду симметрии кольца относительно оси вращения, распределённый заряд кольца Q можно представить в виде двух сосредоточенных зарядов q = Q/2, расположенных в диаметрально противоположных точках. Сила эквивалентного тока в этом случае запишется следующим образом

. (1)

2. Магнитный момент вращающегося таким образом заряженного кольца определится уравнением

. (2)

. (3)

3.4.11. Диск радиусом R = 10 см несёт равномерно распределённый по поверхности заряд Q = 0,2 мкКл. Диск равномерно вращается с частотой n = 20 с — 1 относительно оси, проходящей через центр диска и перпендикулярной его плоскости. Определить магнитный момент pm кругового тока, создаваемого диском и отношение магнитного момента к моменту импульса диска pm/L, если масса диска равна m = 0,1 кг.

1. На одной поверхности диска распределён заряд q = Q/2, поэтому эквивалентный ток, создаваемый вращающимся диском определится как

. (1)

2. Магнитный момент эквивалентного тока, создаваемого вращающимся диском, несущим заряд, определится в этом случае как

. (2)

3. Момент импульса вращающегося диска равен произведению момента инерции диска на его угловую скорость

. (3)

4. Отношение магнитного момента диска к его моменту импульса равно

. (4)

3.4.12. Тонкостенная металлическая сфера радиусом R = 0,1 м с равномерно распределённым по поверхности зарядом Q = 3 мкКл. Сфера вращается равномерно вокруг с угловой скоростью w = 10 рад/с относительно оси, проходящей через центр сферы. Найти магнитный момент pm кругового тока, создаваемый вращением сферы и отношение магнитного момента к моменту импульса, если масса сферы m = 0,1 кг.

1. Магнитный момент эквивалентного тока вращающейся заряженной сферической оболочки

. (1)

2. Отношение магнитного момента к моменту импульса

. (2)

3.14.13. Сплошной шар радиусом R = 10 см несёт заряд Q = 200 нКл, равномерно распределённый по объёму. Шар вращается относительно оси, проходящей через центр шара, с угловой скоростью w = 10 рад/с. Определить магнитный момент эквивалентного кругового тока, создаваемого вращающимся заряженным шаром и сферы и отношение магнитного момента к моменту импульса, если масса сферы m = 100 кг.

1. Эквивалентный заряд, создающий круговой ток определится как

. (1)

2. Эквивалентный электрический ток, возникающий при вращении заряженного шара

. (2)

3. Магнитный момент, создаваемый равномерно заряженной вращающейся сферой

. (3)

4. Момент импульса сплошного шара определяется его моментом инерции J и угловой скоростью w

. (4)

5. Отношение магнитного момента заряженного вращающегося шара к его моменту импульса

. (5)

3.5. Контур в магнитном поле

3.5.1. Круговой контур радиусом R = 5 см, по которому течёт ток силой I = 4 A, находится в магнитном поле напряжённостью Н = 2 кА/м. Плоскость витка составляет угол a = 600 с направлением вектора напряжённости. Определить механический момент, действующий на контур.

1. Определим величину магнитной индукции поля

. (1)

2. Механический момент, действующий на круговой виток с током

, (2)

. (3)

3.5.2. Круговой контур радиусом R = 0,1 м закреплён так, что может вращаться вокруг оси, совпадающей с одним из его диаметров, совпадающим с магнитным меридианом поля Земли. Горизонтальная составляющая магнитной индукции нашей планеты равна Вх = 20 мкТл. По контуру пустили ток силой I = 10 А. Какой момент сил Mz(F) должен быть приложен к контуру, чтобы сохранялась его первоначальная ориентация?

1. При пропускании по контуру тока возникнет собственное магнитное поле и появится магнитный момент pm

, (1)

наличие которого обусловит его взаимодействие в внешним магнитным полем, в данном случае, горизонтальной составляющей магнитного поля Земли. Такое взаимодействие количественно можно охарактеризовать механическим моментом сил

,

. (2)

3.5.3. Измерительная часть гальванометра представляющая собой квадратную рамку с размерами а = 4 см и b = 1,5 см, на которую намотано N = 200 витков провода. Рамка помещена в магнитное поле с индукцией В = 0,1 Тл, так что плоскость рамки параллельна вектору индукции внешнего поля. Определить механический момент Mz(F), приложенный к рамке и величину магнитного момента рамки при пропускании по проводнику тока силой I = 1 мА.

1. Определим величину магнитного момента рамки при пропускании заданного тока

. (1)

2. Найдём величину механического момента сил, возникающего при взаимодействии собственного магнитного поля рамки с внешним полем

, (1)

поскольку вектор магнитного момента контура совпадает с направлением нормали к плоскости, в которой располагается контур, то угол между векторами pm и B равен 900, другими словами

. (2)

3.5.4. Короткая катушка площадью поперечного сечения s = 150 см2, содержит N = 200 витков провода, по которому пропускается ток силой I = 4 A. Катушка помещена в магнитное поле напряжённостью Н = 8 кА/м. Определить магнитный момент катушки рm и момент сил, действующий на катушку со стороны внешнего поля, если ось катушки составляет с линиями индукции угол a = 600.

1. Магнитный момент катушки

. (1)

2. Механический момент сил, действующий на рамку

, (2)

. (3)

3.5.5. Рамка гальванометра, содержащая N = 200 витков тонкого провода, подвешена на упругой нити. Поперечное сечение рамки равно s = 1 см2. Нормаль к плоскости кольца перпендикулярна линиям магнитной индукции внешнего поля с В = 5 мТл. При пропускании через гальванометр постоянного тока силой I = 2 мкА рамка повернулась на угол j = 300. Определить постоянную кручения нити С (коэффициент упругости).

1. Найдём величину магнитного момента рамки при пропускании по ней тока

. (1)

2. Определим величину механического момента под действием, которого рамка повернётся на заданный угол j

. (2)

3. Крутящий момент, действующий на нить пропорционален углу закручивания j и упругой постоянной С

. (3)

3.5.6. По рамке квадратной формы из тонкой проволоки массой m = 2×10 — 3 кг пропускают постоянный ток, силой I = 6 А. Рамка подвешена за середину одной из сторон на неупругой нити. Определить период малых колебаний рамки Т в магнитном поле с индукцией В = 2 мкТл, считая затухание не существенным.

1. Малые колебания рамки с током в магнитном поле будут возникать вследствие преобразования потенциальной энергии поля в кинетическую энергию крутильных колебаний, т. е. вращательного движения. Считая систему консервативной, закон сохранения энергии можно записать так

(1)

2. Перепишем уравнение закона сохранения энергии с учётом полученных значений потенциальной и кинетической энергии

. (2)

3. Найдём период малых крутильных колебаний рамки

. (3)

2.5.7. Проволочное кольцо массой m = 3 г подвешено на неупругой нити в однородном магнитном поле. По кольцу течёт постоянный ток силой I = 2 А. Период малых крутильных колебаний кольца вокруг вертикальной оси составляет Т = 1,2 с. Определить величину магнитной индукции.

1. Закон сохранения механической энергии применительно к колеблющемуся кольцу представляется как процесс преобразования потенциальной энергии взаимодействия магнитных полей в кинетическую энергию вращательного движения

, (1)

2. Потенциальная энергия будет максимальной, как это видно из уравнения (1), при совпадении по направлению векторов магнитного момента кольца и вектора индукции магнитного поля

, (2)

. (3)

3.6. Магнитный диполь

3.6.1. По бесконечно длинному проводнику пропускают постоянный ток силой I = 100 A. На расстоянии r = 0,1 м в плоскости проводника расположен магнитный диполь, вектор магнитного момента которого pm = 1 мА×м2 перпендикулярен проводнику. Найти силу F, действующую на магнитный диполь.

1. Магнитный диполь, помещённый в однородное поле, под действием механического момента сил будет менять свою ориентацию. Запишем уравнение механического момента и выразим действующую силу F

, (1)

. (2)

2. Определим величину магнитной индукции поля В, создаваемого бесконечным проводником с током в точке расположения магнитного диполя

. (3)

3. Подставим в уравнение (2) величину В и значение механического момента, с учётом того что вектор pm перпендикулярен вектору магнитной индукции

. (4)

3.6.2. Определить неоднородность магнитного поля , в котором максимальная сила, действующая на точечный диполь равна Fmax = 1 мН. Магнитный момент диполя составляет pm = 2 мА×м2.

1. Сила, действующая на диполь в магнитном поле, определяется уравнением

. (1)

2. Поскольку, по условию задачи задано максимальное значение силы Fmax, то , другими словами

. (2)

3.6.3. Круговой контур радиусом R = 0,2 м расположен в плоскости меридиана. В центре контура расположена магнитная стрелка, которая при пропускании по витку тока отклонилась на угол a = 90 от плоскости магнитного меридиана. Определить силу тока I, протекающего по контуру. Величину горизонтальной составляющей индукции магнитного поля Земли принять равной Вх = 20 мкТл.

1. В отсутствии собственного магнитного поля контура стрелка компаса реагирует только на магнитное поле Земли, на её горизонтальную составляющую Вх. При пропускании по контуру постоянного электрического тока, возникает собственное магнитное поле контура с индукцией

. (1)

2. На магнитную стрелку, таким образом, будут действовать два поля, под действием которых она займёт положение, соответствующее условию равновесия полей. Математически это можно выразить из соотношения модулей векторов индукции, угол между линиями действия которых составляет a = 90

. (2)

3.6.4. Определить число витков катушки N тангенс — гальванометра, при котором сила тока, текущего по обмотке, численно равна тангенсу угла отклонения магнитной стрелки, помещённой в центре обмотки. Радиус катушки равен R = 0,25 м. Ось катушки перпендикулярна плоскости магнитного меридиана Земли.

. (1)

2. Условие равновесного положения стрелки компаса запишем по аналогии с уравнением (2) предыдущей задачи

, (2)

. (3)

3.6.5. Длинный прямолинейный соленоид содержит n = 5 витков на каждый сантиметр длины. Соленоид расположен перпендикулярно плоскости магнитного меридиана Земли (Вх = 20 мкТл). Внутри соленоида, в его центре находится магнитная стрелка, ориентированная первоначально по магнитному полю планеты. При пропускании по обмотке соленоида постоянного электрического тока стрелка отклоняется на угол a = 600. Найти силу тока.

1. Определим величину магнитной индукции поля, создаваемого соленоидом

. (1)

2. При возникновении в соленоиде магнитного поля стрелка компаса изменит свою ориентацию, повернувшись относительно оси вращения на угол a, новое положение стрелки будет характеризоваться равновесием между магнитными полями Земли и соленоида. Это условие равновесия можно охарактеризовать уравнением (2) предыдущей задачи

. (2)

3.7. Заряд, движущийся в магнитном поле

3.7.1. Найти величину силы Лоренца, приложенную к электрону, влетевшему в магнитное поле со скоростью v = 4×106 м/с в однородное магнитное поле под углом a = 300 к линии индукции. Магнитная индукция составляет B = 0,2 Тл.

1. Сила Лоренца, возникающая в магнитном поле при перемещении там заряда, определяется уравнением

, (1)

. (2)

3.7.2. Вычислить радиус дуги окружности R, которую опишет протон в магнитном поле с индукцией В = 15 мТл, если скорость протона перпендикулярна вектору индукции и равна v = 2 Мм/с.

1. Нахождение электрона на криволинейной траектории характеризуется следующим уравнением равновесия сил

, (1)

2. Выразим из уравнения (1) радиус кривизны

. (2)

3.7.3. Дважды ионизированный атом гелия, именуемый в простонародии a — частицей, движется в магнитном поле напряжённостью Н = 100 кА/м по окружности радиусом R = 0,1 м. Определить скорость частицы.

(1)

. (2)

, (3)

. (4)

3.7.4. Ион, несущий один элементарный заряд, движется в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,015 Тл по круговой траектории радиусом R = 0,1 м. Определить импульс иона р.

1. Перепишем уравнение (3) предыдущей задачи применительно к рассматриваемому в настоящей задаче случаю

. (1)

3.7.5. Некая частица, несущая заряд, эквивалентный одному электрону, влетает в магнитное поле с индукцией В = 0,5 Тл. Определить момент импульса L, которым обладает частица при движении по дуге окружности радиусом R = 0,2 см.

1. Запишем уравнение, определяющее нахождение частицы на криволинейной траектории

. (1)

2. Момент импульса относительно мгновенной оси вращения численно равен произведению импульса частицы на радиус кривизны траектории

, (2)

чтобы в уравнении (1) образовать момент импульса, необходимо обе части этого уравнения умножить на R2

. (3)

3.7.6. Электрон движется в магнитном поле с индукцией В = 0,02 Тл по круговой траектории радиусом R = 0,01 м. Определить кинетическую энергию электрона, выразив её в джоулях и электрон-вольтах.

1. Запишем условие движения электрона по круговой траектории

, (1)

и определим его линейную скорость

. (2)

2. Кинетическая энергия электрона

. (3)

3. Выразим значение энергии в электрон-вольтах

. (4)

3.7.7. Частица, несущая на себе электрический заряд, влетает в среду, пронизанную линиями индукции однородного магнитного поля. В результате взаимодействия с атомами вещества, частица теряет половину своей первоначальной энергии. Во сколько раз будет отличаться радиус кривизны траектории z в начале и конце пути?

1. Запишем силовое условие нахождения движущейся заряженной частицы на криволинейной траектории при её вхождении в область пространства, занятого магнитным полем перпендикулярно линиям магнитной индукции

, (1)

2. При перемещении в среде, занятой неизменным магнитным полем (B = const) в уравнении (1) будут изменяться две величины: скорость v и кривизна траектории z. С другой стороны по условию задачи известно, что кинетическая энергия уменьшается в два раза. При постоянстве массы частицы, это означает, что для скорости частицы можно записать следующие соотношения

. (2)

3. Решим уравнение (1) относительно скорости

. (3)

4. Запишем уравнение (2) для начального и конечного положения частицы на криволинейной траектории

(4)

5. Поделим уравнения системы (4) почленно

. (5)

3.7.8. Заряженная частица, летящая в однородном магнитном поле по дуге окружности с радиусом кривизны z1 = 2 см, попадает в свинцовую мишень в виде пластины. При выходе из пластины, вследствие потери энергии радиус кривизны траектории уменьшился до величины z2 = 1 см. Найти относительное изменение энергии частицы.

1. При попадании частицы в свинец (Pb), при прочих равных условиях будет, вследствие взаимодействия с ионами и электронами свинца, уменьшаться её скорость. Перепишем систему уравнений (4) применительно к рассматриваемому случаю

, (1)

отношение кинетических энергий частицы в начальном и конечном положениях будет равно отношению квадратов радиусов кривизны.

2. Определим далее относительное изменение кинетической энергии

, (2)

. (3)

3.7.9. Протон, будучи разогнан ускоряющей разностью потенциалов U = 600 B попал в однородное магнитное поле с величиной магнитной индукции В = 0,3 Тл и начал двигаться по круговой траектории. Вычислить радиус окружности R по которой движется протон.

1. Протон обладает положительным элементарным зарядом q = |e| =1,6×1Кл и массой m = 1,67×1кг. Проходя ускоряющую разность потенциалов, протон приобретает скорость

. (1)

2. Запишем далее условия нахождения протона на круговой траектории радиуса R

(2)

. (3)

3.7.10. Заряженная частица со скоростью v = 2×106 м/с влетает в однородное магнитное поле с индукцией B = 0,52 Тл. Определить, что это за частица, если известно, что она описала в магнитном поле окружность радиусом R = 4 см.

1. Запишем условие движения заряженной частицы в магнитном поле по круговой траектории

. (1)

2. Для частицы фиксированной величиной является удельный заряд, т. е. отношение заряда частицы к её массе. Определим это отношение для заданных условий

. (2)

3. Очевидно, что частицей является протон, обладающий зарядом |e| @ 1,6×1Кл и массой mp @ 1,67×1кг, потому что

. (3)

3.7.11. Заряженная частица, пройдя ускоряющую разность потенциалов U = 2000 В, движется в однородном магнитном поле с индукцией В = 15,1 мТл перпендикулярно линиям индукции. Найти удельный заряд частицы, если радиус окружности, которую она описала в поле, равен R = 1 см.

1. Запишем уравнение скорости, с которой частица влетает в магнитное поле, с учётом её разгона в электрическом поле

. (1)

2. Условие нахождения частицы на круговой орбите позволяет определить удельный заряд частицы и её линейную скорость

(2)

, (3)

3.7.12. Частица, несущая электрический заряд, перемещается в однородном магнитном поле по круговой траектории радиуса R = 1 мм обладая при этом кинетической энергией К = 1 кэВ. Определить силу F, действующую на частицу со стороны поля.

1. Запишем уравнение кинетической энергии частицы и силовое условие её движения по круговой траектории

, (1)

. (2)

2. Сравнивая уравнения (1) и (2), можно видеть, что из уравнения (1) можно выразить комбинацию величин mv2 и подставить в уравнение (2)

. (3)

3.7.13. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл перпендикулярно линиям индукции по траектории с радиусом кривизны z = 0,5 см. Определить силу Лоренца, действующую на частицу

1. Запишем условие нахождения электрона на криволинейной траектории и выразим из него скорость

. (1)

2. Подставим значение скорости в уравнение силы Лоренца

, (2)

3. Подставим величины, заданные по условию задачи и табличные данные в уравнение (2)

. (3)

3.7.14. Протон с кинетической энергией К = 1 МэВ влетел в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции (В = 1 Тл). Какое расстояние должен пройти электрон в области, занятой магнитным полем, чтобы изменить направление своего движения на противоположное?

1.Влетая в магнитное поле в точке А, перпендикулярно вектору магнитной индукции В, электрон начнёт под действием силы Лоренца двигаться по криволинейной траектории и описав полуокружность, в точке С будет иметь скорость противоположную по направлению начальной скорости. Задача, таким образом, сводится к определению радиуса кривизны траектории z.

2. Запишем условие нахождение протона на круговой орбите

, (2)

и выразим из него радиус кривизны z

, (3)

3. Скорость электрона найдём по величине заданной кинетической энергии

. (4)

4. Подставим значение скорости из уравнения (4) в уравнение (3)

. (5)

5. Длина полуокружности l определится как

. (6)

3.7.15. Электрон движется по круговой траектории в однородном магнитном поле напряжённостью Н = 104 А/м. Определить период вращения электрона.

1. Период вращения электрона Т связан с его линейной скоростью и радиусом окружности, по которой он путешествует

. (1)

2. Подставим значение скорости в условия нахождения электрона на круговой орбите и разрешим полученное соотношение относительно искомой величины

. (2)

3.7.16. Определить частоту вращения n электрона по круговой орбите в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,2 Тл.

1. Воспользуемся уравнением (2) предыдущей задачи, переписав его для частоты вращения n

. (2)

3.7.17. Два иона, имеющие одинаковый заряд и различные массы проходят одинаковую ускоряющую разность потенциалов, перед тем как попасть в однородное магнитное поле. При движении в пространстве, занятом полем ионы описывают окружности радиусами R1 = 5 см и R2 = 2,5 см. Найти отношение их масс m1/m2.

1. Определим скорости, приобретаемые ионами при прохождении ими ускоряющей разности потенциалов

, (1)

. (2)

2. Запишем далее условия движения электрона по круговой орбите

. (3)

3. Поскольку левые части уравнений (3) одинаковые, то их можно объединить. С учётом значения скоростей из уравнений (2), перепишем уравнение (3) следующим образом

, (4)

, (5)

. (6)

3.7.18. Электрон из состояния покоя, прошёл разность потенциалов U = 250 B и попал в однородное магнитное поле под углом a = 600 к линиям индукции (В = 0,51 Тл). Определить шаг винтовой линии h, по которой движется электрон в области пространства, занятого полем.

1. Определим величину скорости v0, приобретенную электроном при прохождении им ускоряющей разности потенциалов U

, (1)

. (2)

. (3)

3. Как это было принято в кинематике, сложное движение электрона целесообразно разложить на два более простых: на поступательное движение со скоростью vx = v0cosa и вращательное движение с линейной скоростью vy = v0sina.

4. Условие вращательного движения электрона определится в этом случае равенством

. (4)

5. Шаг спирали h, по которой движется электрон, определим из условия поступательного перемещения в течение периода

. (5)

6. Перепишем уравнение (4) таким образом, чтобы в него вошёл период Т

. (6)

7. С другой стороны, из уравнения (4) можно выразить радиус R

. (7)

8. Подставим далее значение периода обращения электрона Т из уравнения (7) в уравнение (5)

(8)

3.7.19. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией В = 9×10 — 3 Тл по винтовой линии радиусом R = 1 см и шагом h = 7,8 см. Определить период обращения электрона и его скорость.

1. Поскольку по условию задачи заданы радиус круговой орбиты и шаг винтовой линии, то электрон влетает в магнитное поле под некоторым углом по отношению к направлению вектора магнитной индукции.

2. Определим угол, под которым влетает электрон в магнитное поле из следующих соображений

, (1)

. (2)

3. Определим скорость, с которой электрон влетел в магнитное поле из условия его вращения по круговой орбите

. (3)

4. Период вращения электрона определится из чисто кинематических соображений

(4)

3.7.20. Электрон движется по круговой траектории в однородном магнитном поле со скоростью v = 0,9 c (c = 3×108 м/с — скорость света в вакууме). Магнитная индукция поля В = 0,01 Тл. Определить радиус окружности с учётом увеличения массы электрона со скоростью.

1. Масса электрона при заданной скорости, в соответствии с уравнениями специальной теории относительности будет отличаться от его массы покоя m0 @ 1×1кг

. (1)

2. Запишем далее условие нахождения электрона на круговой орбите с учётом релятивистского увеличения массы

, (2)

3. Решим уравнение (2) относительно радиуса R

. (3)

4. Без учёта релятивистского увеличения массы электрона радиус его круговой орбиты составит

. (4)

3.8. Совместное действие электрических и магнитных полей

на заряженные частицы

3.8.1. Электрическое поле возбуждено перпендикулярно магнитному полю, причём, напряжённость электрического поля Е = 105 В/м, а индукция магнитного поля — В = 0,1 Тл. Перпендикулярно полям, не отклоняясь от прямолинейной траектории, движется заряженная частица. Определить скорость частицы.

1. Описанное движение частицы, несущей положительный заряд q возможно при равенстве модулей сил Кулона и Лоренца и их противоположном направлении, когда

, (1)

. (2)

3.8.2. Заряженная частица, двигаясь перпендикулярно скрещенным под прямым углом электрическому (Е = 4×105 В/м) и магнитному (В = 0,25 Тл) не испытывая отклонения при определённом значении скорости v. Определить значение скорости и возможные отклонения Dv от этой величины, если указанные параметры полей могут обеспечиваться с точностью, не превышающей 0,2%.

1. Величину скорости, при которой будет обеспечено движение частицы без отклонения от прямолинейной траектории, определим, воспользовавшись уравнением (2) предыдущей задачи

. (1)

2. Определим далее, заданные по условию задачи, величины отклонений напряжённости электрического поля и индукции магнитного поля

(2)

. (3)

3. Диапазон скоростей Dv при которых будет обеспечиваться сохранение первоначального направления движения частицы

. (4)

3.8.3. Протон, будучи ускоренным разностью потенциалов U = 800 B, из состояния покоя, попадает в скрещенные под прямым углом поля. Магнитное поле имеет индукцию В = 50 мТл. При какой напряжённости электрического поля Е протон будет через пространство, занятое полями двигаться прямолинейно?

. (1)

2. Как показано в двух предыдущих задачах, движение частицы будет прямолинейным в том случае когда

(2)

откуда следует, что

. (3)

3.8.4. Циклотрон предназначен для разгона протонов до энергий порядка W @ 5 МэВ. Каков должен быть радиус дуантов R при индукции магнитного поля В = 1Тл?

1. Определим значение скорости протона (mp @ 1,67×1кг, |e| @ 1,6×1Кл) в циклотроне

. (1)

2. Запишем условия вращения протона по круговой орбите

. (2)

Источник