Что такое компонент связности графа

Рис. 14: а – ориентированный псевдограф, б – ассоциированный с ним псевдограф

Орграф называется слабо связным, если связным является ассоциированный с ним псевдограф. Если граф (орграф) не является связным (слабо связным), то он называется несвязным.

Компонентой связности (сильной связности) графа G (орграфа D) называется его связный (сильно связный) подграф, не являющийся собственным подграфом никакого другого связного (сильно связного) подграфа графа G (орграфа D).

Примеры: 1. У графа, изображенного на рис. 15, три компоненты связности.

2. У графа, изображенного на рис. 16, три компоненты сильной связности, показанные на рис. 17а, 17б.

Рис. 15 Рис. 16 Рис. 17

3. На рис. 18 показаны диаграммы сильно, односторонне и слабо связных графов.

Утверждение 3. Пусть r – отношение достижимости на множестве V вершин псевдографа G, то есть v rw тогда и только тогда, когда либо v = w, либо существует маршрут, соединяющий v, w, тогда:

1) r – эквивалентность на V;

2) v rw тогда и только тогда, когда вершины v, w принадлежат одной компоненте связности псевдографа G;

3) для любого класса эквивалентности Vi Î V/r псевдограф Gi, порожденный множеством Vi, является компонентой связности псевдографа G;

4) для любой компоненты связности псевдографа Gi = (Vi, Еi) псевдографа G выполняется Vi Î V/r.

1) r₁ рефлексивно, транзитивно;

3) v r₂w только тогда, когда вершины v, w принадлежат одной компоненте сильной связности ориентированного псевдографа D;

4) для любого класса эквивалентности Vi Î V/r₂ ориентированный псевдограф Di, порожденный множеством Vi, является компонентой сильной связности ориентированного псевдографа D;

5) для любой компоненты сильной связности Di = (Vi, Еi) ориентированного псевдографа D выполняется Vi Î V/r₂.

Под операцией удаления вершины из графа (орграфа) понимают операцию, заключающуюся в удалении некоторой вершины вместе с инцидентными ей ребрами (дугами).

Вершина графа, удаление которой увеличивает число компонент связности, называется разделяющей или точкой сочленения.

Матрица связности

Пусть D = (V, E) – орграф, где V = < v₁, …, v_n>. Матрицей достижимости орграфа D называется квадратная матрица Т(D) = [t_i,j] порядка n, у которой t_i,j =1, если вершина vj достижима из vi и t_i,j = 0 – в противном случае. Матрицей сильной связности орграфа D называется квадратная матрица S(D) = [s_i,j] порядка n, у которой s_i,j =1, если вершина vi достижима из vj и одновременно вершина vj достижима из vi и s_i,j = 0 – в противном случае, то есть s_i,j = 1 тогда и только тогда, когда вершины vi, vj принадлежат одной компоненте сильной связности орграфа D.

Задания

Для аудиторных занятий

1. Для графов, изображенных на рис. 4, записать последовательности, состоящие из вершин и ребер, являющиеся маршрутами длины 5, 4, 3 и 2 соответственно.

2. Для графов, изображенных на рис. 9а, 9б, 9в, записать последовательности, состоящие из вершин и ребер, являющиеся цепью, простой цепью.

3. Для графов, изображенных на рис. 9а, 9б, 9в, записать последовательности, состоящие из вершин и ребер, являющиеся циклом, контуром.

4. Для орграфа D, представленногона рис. 19, записать матрицу достижимости и матрицу сильной связности.

5. Для графа G (рис. 20) записать матрицу связности.

6. Можно ли утверждать, что сильно связный граф всегда содержит контур?

7. Сколько компонент связности содержит граф G (рис. 20)?

8. Какие вершины графа (рис. 21) являются точками сочленения?

9. Задано отношение достижимости r на множестве V. Какими свойствами обладает отношение r (рефлексивность, симметричность, транзитивность)?

10. Доказать, что в связном графе, содержащем по крайней мере две вершины, найдется вершина, не являющаяся точкой сочленения.

Для самостоятельной работы

1. Сколько компонент связности содержит граф D (рис. 19)?

2. Какие вершины графа (рис. 20) являются точками сочленения?

3. Сколько компонент связности содержит граф G (рис. 21)?

4. Для графа G, изображенного на рис. 21, записать матрицу связности.

5. Какие из следующих графов являются полно связными (рис. 22)?

6. Сколько компонент связности у заданного графа?

7. Определить матрицы достижимости для орграфов с матрицами смежности.

8. Определить матрицы сильной связности для орграфов с матрицами смежности.

9. Сколько компонент связности у орграфов из заданий 7 и 8?

10. Какими свойствами обладают графы из заданий 7 и 8 (рефлексивность, симметричность, транзитивность)?

Литература

1. Новиков, Ф. А. Дискретная математика для программистов: учебник для вузов / Ф. А. Новиков. – СПб.: Питер, 2001. – 304 с.

2. Акимов, О. Е. Дискретная математика. Логика, группы, графы – 2-е изд., доп. / О. Е. Акимов. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. – 367 с.

3. Гаврилов, Г. П. Задачи и упражнения по курсу дискретной математики: учеб. пособие / Г. П. Гаврилов, А. А. Сапоженко. – М.: Наука, 1992. – 408 с.

Практическое занятие № 8

Тема: «Планарные графы»

Цель занятия :

усвоение таких понятий, как планарный граф, плоский граф, грани графа, эйлерова характеристика, гамма-алгоритм укладки графа.

Пояснение к работе

Время выполнения практического задания – 2 часа.

1. Руководствуясь приведенным теоретическим материалом, ответить на следующие вопросы:

Какое соотношение называется эйлеровой характеристикой поверхности?

Какой граф является планарным?

Какие вершины называются контактными?

Что такое сегмент плоского графа?

В чем заключается гамма-алгоритм укладки графа?

2. Дать определение следующих понятий:

– грань в плоском графе:

– внешняя грань в плоском графе.

3. Записать первое и второе следствие из формулы Эйлера.

4. Выполнить задания для аудиторных занятий.

5. Выполнить задания для самостоятельной работы.

Планарные графы

Помимо использования в дискретной математике, графы находят применение и в непрерывной математике, особенно в топологии. При этом графы представляют геометрические объекты на некоторой поверхности (часто на плоскости или на поверхности сферы).

Существует правило изображения графов на поверхности: рёбра графа должны пересекаться только своими концами, то есть в точках, представляющих вершины графа. Для графа, который может быть изображён подобным образом на плоскости, существует название: плоский граф.

Рассмотрим задачу о возможности нарисовать тот или иной граф без самопересечений, то есть нарисовать граф так, чтобы его ребра не имели общих внутренних точек. Поставленную задачу принято называть задачей о плоской укладке графа. Область применения результата, который мы получим, очень обширна. Одна из них – это изготовление электронных схем. Электрические цепи печатным способом наносятся на плату из изолирующего материала. Так как наносимые цепи не изолированы, то они не должны пересекаться. Отсюда вытекает вопрос, как расположить контакты на схеме, чтобы можно было без пересечений нанести цепи на плату. А если так сделать нельзя, то каким минимальным числом плат (слоев графа) можно обойтись?

Плоский граф – это граф, нарисованный таким образом, что его ребра не пересекаются. Говорят, что граф допускает плоскую укладку, если его можно нарисовать как плоский. Также плоские графы называют планарными (рис. 23).

Существуют и непланарные графы. На рис. 24 показаны два таких графа: полный пятивершинник и полный двудольный граф. Для них есть специальные обозначения: K₅ и K_3,3, соответственно.

Рис. 23	Рис. 24

В планарном графе можно говорить не только о вершинах и ребрах, но и о гранях.

Грань – это часть плоскости, окруженная простым циклом и не содержащая внутри себя других элементов графа. Внешняя грань – это вся плоскость, окружающая плоский граф.

Эйлерова характеристика

Для графов, уложенных на некоторой поверхности, справедливо определенное соотношение между числом вершин, ребер и граней. Это соотношение называется эйлеровой характеристикой поверхности.

Теорема (формула Эйлера). В связном планарном графе справедливо следующее соотношение: p – q + r = 2, где р – число вершин, q – число ребер, r – число граней с учетом внутренних и внешних граней.

Каждая грань ограничена по крайней мере тремя ребрами, каждое ребро ограничивает не более трех граней, отсюда 3r £ 2q. Имеем:

2. Рассмотрим К_3,3. Имеем: p = 6, q = 9. В этом графе нет треугольников, значит, если этот граф планарен, то в его плоской укладке каждая грань ограничена не менее чем четырьмя ребрами и, следовательно, 4r £ 2q или 2r £ q. По формуле Эйлера, 6 – 9 + r = 2, откуда r = 5. Имеем: 2r = 2×5 = 10 £ q = 9 – противоречие.

Замечание. Граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит в качестве подграфов ни К₅, ни К_3,3.

Следствие. В любом планарном графе существует вершина, степень которой не больше 5.

Задача о плоской укладке

Задача. Определить, является ли граф планарным, и, если да, то произвести его плоскую укладку.

Если на ребра планарного графа нанести произвольное число вершин степени 2, то он останется планарным; равным образом, если на ребра непланарного графа нанести вершины степени 2, то он планарным не станет.

Теорема (Понтрягин-Куратовский). Граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит в качестве частей графы К₅ и К_3,3 (быть может, с добавочными вершинами степени 2).

Гамма-алгоритм

Для плоской укладки графа и попутной проверки, планарен ли он, удобно пользоваться гамма-алгоритмом. На вход подаются графы, обладающие следующими свойствами: 1) граф связный; 2) граф имеет хотя бы один цикл; 3) граф не имеет мостиков, т. е. ребер, после удаления которых граф распадается на две компоненты связности.

Если нарушено свойство (1), то граф нужно укладывать отдельно по компонентам связности. Если нарушено свойство (2), то граф – дерево и нарисовать его плоскую укладку тривиально.

Случай нарушения свойства (3) рассмотрим более подробно. Если в графе есть мостики, то их нужно разрезать, провести отдельно плоскую укладку каждой компоненты связности, а затем соединить их мостиками. Здесь может возникнуть трудность: в процессе укладки концевые вершины мостика могут спрятаться внутри плоского графа. Нарисуем одну компоненту связности и будем присоединять к ней другие последовательно. Каждую новую компоненту связности будем рисовать в той грани, в которой лежит концевая вершина соответствующего мостика. Так как граф связности мостиками компонент связности является деревом, мы сумеем получить плоскую укладку.

Сначала изложим алгоритм на конкретном примере. Пусть дан граф G (рис. 25). Инициализация алгоритма производится так: выбираем любой простой цикл; в нашем примере <1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8>и получаем две грани: Γ1 – внешнюю и Γ2 – внутреннюю (рис. 26). Обозначим выбранный цикл как G′. На каждом шаге будем строить множество сегментов. Каждый сегмент S относительно уже построенного графа G′ представляет собой одно из двух: ребро, оба конца которого принадлежат G′, но само оно не принадлежит G′; связную компоненту графа G–G′, дополненную всеми ребрами графа G, один из концов которых принадлежит связной компоненте, а второй из графа G′.

Те вершины, которые одновременно принадлежат G′ и какому-то сегменту, назовем контактными. Для нашего примера сегменты и вершины изображены на рис. 27. Контактные вершины обведены в квадрат.

Рис. 25	Рис. 26	Рис. 27

Если бы в каком-нибудь сегменте не было ни одной контактной вершины, то граф до разрезания был бы несвязный; если бы была только одна, то граф имел бы мостик. Эти возможности заранее исключены, так что каждый сегмент имеет не менее двух контактных вершин. Поэтому в каждом сегменте имеется цепь между любой парой таких вершин.

Если все контактные вершины сегмента S имеют номера вершин какой-то грани Γ, то мы будем говорить, что грань Γ вмещает этот сегмент. Может быть, имеется не одна такая грань, вмещающая сегмент S, множество таких граней обозначим Γ(S), а их число – |Γ(S)|.

Общий шаг алгоритма следующий: обозреваются все сегменты Si и определяются числа |Γ(Si)|. Если хоть одно из них равно 0, то граф не планарен, конец. Иначе выбираем сегмент, для которого число |Γ(S)| минимально, или один из множества, если таких сегментов несколько. В этом сегменте найдем цепь между двумя контактными вершинами и уложим ее в любую из граней множества Γ(S), совместив контактные вершины сегмента с соответствующими вершинами грани. При этом данная грань разобьется на две.

В результате повторения общего шага либо будет получена плоская укладка, когда множество сегментов станет пустым, либо будет получено, что граф G не является планарным. Вернемся к нашему примеру. Пока для любого i: Si Î<Γ1, Γ2>, |Γ(Si)| = 2. Поэтому возьмем первый по номеру сегмент Si и цепь <4, 8>вставим в грань Γ2. Получим увеличенную часть G′ и уменьшенную систему сегментов (рис. 28a, b).

Определим, какие грани вмещают новые сегменты. Теперь сегменты S1 и S2 вмещаются только в одну грань Γ1, в то время как сегмент S3 вмещается в две грани Γ1 и Γ3. Поэтому берем S1. Возьмем в нем цепь между контактными вершинами, например <2, 7>, и уложим ее в Γ1. Получим увеличенную часть G′ и уменьшенную систему сегментов (рис. 29a, b). Продолжая таким образом, в итоге получим плоскую укладку G (рис. 30).

Рис. 29	Рис. 30

Задания

Для аудиторных занятий

1. Построить попарно неизоморфные непланарные графы без петель и кратных ребер, содержащие 6 вершин и 11 ребер.

2. Построить однородный 9-вершинный граф без петель и кратных ребер, который не планарен вместе со своим дополнением.

3. Используя формулу Эйлера, доказать непланарность следующих графов:

4. Существует ли планарный граф без петель и кратных ребер, у которого:

а) 7 вершин и 16 ребер; б) 8 вершин и 17 ребер.

5. Какое наибольшее число граней может быть у плоского 5-вершинного графа, не имеющего петель и кратных ребер? Изобразить такой граф.

6. Какое наименьшее число вершин нужно удалить из графа G, чтобы получить планарный граф, если:

а) G – граф Петерсена (рис. 32а); б) G – граф, изображенный на рис. 33.

7. Какое наименьшее число ребер нужно удалить из графа G, чтобы получить планарный граф, если:

8. Существует ли плоский 6-вершинный граф без петель и кратных ребер, у которого 9 граней?

9. Построить все попарно неизоморфные плоские 6-вершинные графы без петель и кратных ребер, имеющие 8 граней.

10. Доказать, что в каждом планарном графе без петель и кратных ребер есть вершина степени не больше, чем 5.

Для самостоятельной работы

1. Доказать, что в любом планарном графе без петель и кратных ребер, имеющем не менее 4 вершин, найдутся хотя бы 4 вершины, степени которых не больше, чем 5.

2. Какое наименьшее число вершин необходимо удалить, чтобы граф стал планарным (рис. 32б).

3. Какой из графов G может быть планарным:

а) граф, состоящий из 7 вершин и 16 ребер;

б) граф, состоящий из 8 вершин и 17 ребер;

в) граф, состоящий из 5 вершин и 10 ребер.

4. Используя формулу Эйлера, определить, планарен ли следующий граф:

5.Дать определение плоского графа:

а) плоский граф – это граф, нарисованный на плоскости таким образом, что его ребра пересекаются;

б) плоский граф – это граф, нарисованный на плоскости таким образом, что его ребра не пересекаются;

в) плоский граф – это граф, уложенный на плоскости.

6. Сколько граней имеет заданный плоский граф?

7. Какие вершины плоского графа называются контактными:

а) вершины, которые одновременно принадлежат плоскому графу G′ и какому-то сегменту;

б) вершины, которые одновременно принадлежат графу G и одному из сегментов;

в) вершины, которые одновременно не принадлежат плоскому графу G′ и какому-то сегменту.

8. Дать определение планарного графа:

а) планарный граф – это граф, нарисованный на плоскости таким образом, что его ребра пересекаются;

б) планарный граф – это граф, уложенный на плоскости;

в) планарный граф – это граф, нарисованный на плоскости таким образом, что его ребра не пересекаются.

9. Какой граф представлен записью K_3,3:

10. С помощью гамма-алгоритма укладки графа на плоскости определить планарнрсть графа (рис. 32б).

Литература

Практическое занятие № 9

Тема: «Деревья»

Цель занятия :

усвоение таких понятий, как связные деревья, бинарные деревья, ориентированные деревья, высота, глубина дерева, упорядоченные и изоморфные деревья.

Пояснение к работе

Время выполнения практического задания – 2 часа.

1. Руководствуясь приведенным теоретическим материалом, ответить на следующие вопросы:

Какое дерево называется остовным? Привести пример.

Как определяется цикломатическое число графа?

Какой граф является ориентированным деревом?

Как определяются высота ордерева и высота вершины ордерева?

Какое дерево называется упорядоченным?

Как определяется глубина вершины?

Что такое уровень вершины ордерева?

Какие деревья являются изоморфными?

2. Дать определение следующих понятий:

3. Выполнить задания для аудиторных занятий.

4. Выполнить задания для самостоятельной работы.

9.1. Основные определения

Неориентированным деревом (или просто деревом) называется связный граф без циклов. Этому определению эквивалентны, как легко показать, следующие определения:

а) дерево есть связный граф, содержащий р вершин и р – 1 ребер;

б) дерево есть граф, любые две вершины которого можно соединить простой цепью.

Пример. Графы, изображенные на рис. 34, являются деревьями.

Если граф несвязный и не имеет циклов, то каждая его связная компонента будет деревом. Такой граф называется лесом.

Остовным деревом связного графа G называется любой его подграф, содержащий все вершины графа G и являющийся деревом.

Пример. Для графа, изображенного на рис. 35а, графы на рис. 35б и 35в) являются остовными деревьями.

Пусть граф G имеет р вершин и q ребер. Так как всякое дерево с р вершинами по определению имеет р – 1 ребер, то любое остовное дерево графа G получается из этого графа в результате удаления q – (р – 1) = q – р + 1 ребер. Число g = q – р + 1 называется цикломатическим числом графа.

Ориентированные деревья

Ориентированным деревом называется орграф со следующими свойствами:

1. Существует единственный узел, для которого полустепень захода равна 0.

2. Полустепень захода для остальных узлов равна 1.

3. Каждый узел достижим из корня.

4. Если в ордереве отменить ориентацию ребер, то получится свободное дерево.

5. В ордереве нет контуров.

6. Для каждого узла существует единственный путь, ведущий в этот узел из корня.

7. Если в свободном дереве любую вершину назначить корнем, то получится ордерево. Каждое свободное дерево определяет не более р ориентированных деревьев.

Рассмотрим некоторые числовые параметры, которые характеризуют ордерево. Высота ордерева – это наибольшая длина пути из корня в лист. Глубина d(v) вершины v ордерева – это длина пути из корня в эту вершину. Высота h(v) вершины v ордерева – наибольшая длина пути из данной вершины в лист. Уровеньвершины ордерева – это разность между высотой ордерева и глубиной данной вершины.

Пример. Приведем пример ориентированных деревьев (рис. 36).

Упорядоченные деревья – это деревья, в которых относительный порядок поддеревьев фиксирован.

Пример. Рассмотрим три дерева, которые выглядят различными (рис. 37).

Как упорядоченные деревья все они различны, как ориентированные деревья первое и второе одинаковы, а второе и третье различны, как свободные деревья все они изоморфны.

Задания

Для аудиторных занятий

1. Доказать, что граф является деревом тогда и только тогда, когда он связен, но после удаления любого ребра становится несвязным.

2. Доказать, что количество рёбер дерева на единицу меньше количества вершин.

3. Доказать, что связными компонентами леса являются деревья.

4. Доказать, что если в связном неориентированном графе число вершин равно числу ребер, то можно выбросить одно из ребер так, что после этого граф станет деревом.

5. Изобразить все возможные диаграммы деревьев из семи вершин.

6. Изобразить все попарно неизоморфные 4-вершинные ордеревья.

7. Для заданного дерева построить деревья, которые различны с исходным как упорядоченные деревья, одинаковые как ориентированные деревья, как свободные деревья изоморфны.

8. Для заданных деревьев (рис. 37) определить высоту ордерева, уровеньвершин.

9. Для заданных деревьев (рис. 36) определить высоту h(v) вершин, глубину d(v) вершин.

10. Для заданных деревьев (рис. 35а, 35б) построить все возможные ордеревья.

Для самостоятельной работы

1. Изобразить все попарно неизоморфные 5-вершинные деревья.

2. Доказать, что количество рёбер дерева на единицу меньше количества вершин.

3. Для заданных деревьев (рис. 26) определить высоту ордерева, уровеньвершин.

4. Для заданных деревьев (рис. 37) определить высоту h(v) вершин, глубину d(v) вершин.

5. Изобразить все возможные диаграммы деревьев из шести вершин.

6. Для заданного дерева построить деревья, которые различны с исходным как упорядоченные деревья, одинаковые как ориентированные деревья, как свободные деревья изоморфны.

7. Для заданных деревьев (рис. 37) построить все возможные ордеревья.

8. Для заданного дерева (рис. 35б) построить изоморфные ему деревья.

9. Для заданного дерева (рис. 35в) построить не изоморфные ему деревья.

10. Для заданного дерева (рис. 35б) построить деревья, которые различны с исходным как упорядоченные деревья.

Литература

1. Новиков, Ф. А. Дискретная математика для программистов: учебник для вузов / Ф. А. Новиков. – СПб.: Питер, 2001. – 304 с.

2. Горбатов, В. А. Фундаментальные основы дискретной математики / В. А. Горбатов. – М.: Наука, 2000. – 544 с.

3. Акимов, О. Е. Дискретная математика. Логика, группы, графы – 2-е изд., доп. / О. Е. Акимов. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. – 367 с.

Источник

• ← Что такое компонент образовательной программы
• Что такое компонент системы →