Что такое дробно рациональное уравнение
Дробно рациональные уравнения
Для того, чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо вспомнить, что такое ОДЗ и когда оно возникает.
ОДЗ – область допустимых значений переменной.
В выражении вида f ( x ) g ( x ) = 0
ОДЗ: g ( x ) ≠ 0 (знаменатель дроби не может быть равен нулю).
Алгоритм решения дробно рационального уравнения:
Пример решения дробного рационального уравнения:
Решить дробно рациональное уравнение x 2 − 4 2 − x = 1.
Решение:
Будем действовать в соответствии с алгоритмом.
Переносим единичку в левую часть, записываем к ней дополнительный множитель, чтобы привести оба слагаемых к одному общему знаменателю:
x 2 − 4 2 − x − 1 \ 2 − x = 0
x 2 − 4 2 − x − 2 − x 2 − x = 0
x 2 − 4 − ( 2 − x ) 2 − x = 0
x 2 − 4 − 2 + x 2 − x = 0
Первый шаг алгоритма выполнен успешно.
Обводим в рамочку ОДЗ, не забываем про него: x ≠ 2
x 2 + x − 6 = 0 – Квадратное уравнение. Решаем через дискриминант.
D = b 2 − 4 a c = 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 1 + 24 = 25
D > 0 – будет два различных корня.
x 1,2 = − b ± D 2 a = − 1 ± 25 2 ⋅ 1 = − 1 ± 5 2 = [ − 1 + 5 2 = 4 2 = 2 − 1 − 5 2 = − 6 2 = − 3
Корни, полученные на предыдущем шаге:
Значит, в ответ идет только один корень, x = − 3.
Задания для самостоятельного решения
Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение:
[ x − 19 ≠ 0 x − 3 ≠ 0 ⇒ [ x ≠ 19 x ≠ 3
Приводим обе дроби к общему знаменателю, записываем дополнительные множители к числителям:
3 \ ( x − 3 ) x − 19 − 19 \ ( x − 19 ) x − 3 = 0
3 ( x − 3 ) − 19 ( x − 19 ) ( x − 19 ) ( x − 3 ) = 0
В соответствии с алгоритмом, приравниваем числитель к нулю:
3 x − 9 − 19 x + 361 = 0
x = − 352 − 16 = − 352 16 = 22
Полученный корень не входит в ОДЗ, так что смело можем его включать в ответ.
№2. Решите уравнение x − 4 x − 6 = 2.
Решение:
Можно решать эту задачу способом, который использовался при решении задачи №8. Но сейчас мы используем еще один способ решения таких уравнений.
Воспользуемся основным свойством пропорции :
произведение крайних членов равно произведению средних (правило «креста»):
a b = c d ⇒ a ⋅ d = b ⋅ c
x − 4 x − 6 = 2 1 ⇒ ( x − 4 ) ⋅ 1 = ( x − 6 ) ⋅ 2
Полученный корень не входит в ОДЗ, так что смело можем его включать в ответ.
Рациональные уравнения (ЕГЭ 2022)
Рациональные уравнения – это уравнения, в которых и левая, и правая части – рациональные выражения.
Ну… Это было сухое математическое определение, и слово-то какое: «рациональные». А по сути, рациональные выражения – это просто целые и дробные выражения без знака корня.
А получается, что под пугающим «рациональным уравнением» скрывается всего лишь уравнение, в котором могут присутствовать сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень с целым показателем, но НЕ корень из переменной.
Рациональные уравнения — коротко о главном
Определение рационального уравнения:
Рациональное уравнение – это равенство двух рациональных (без знака корня) выражений.
Дробно-рациональное уравнение – рациональное (без знака корня) уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями.
Алгоритм решения рациональных уравнений:
Система для решения дробно рациональных уравнений:
Что такое рациональные уравнения?
Давай научимся отличать рациональные уравнения от иррациональных! Зачем? Рациональные уравнения решать проще.
А зачем работать больше, если можно работать меньше?
Надеюсь, теперь ты сможешь различать, к какому виду относится уравнение. (И не поедешь из Москвы в Петербург через Магадан, решая рациональные уравнения как нерациональные).
Целые рациональные уравнения
Важно знать, что рациональные уравнения в свою очередь тоже разные бывают.
Если в дроби нет деления на переменную (то есть на \( \displaystyle x\), \( \displaystyle y\) и т.д.), тогда рациональное уравнение будет называться целым (или линейным) уравнением, вот примеры:
Умеешь такие решать? – конечно, умеешь, упрощаешь и находишь неизвестное, тема-то 5-ого или 6-ого класса.
Ну, рассмотрим первый из примеров на всякий случай и по порядочку. Все неизвестные переносим влево, все известные вправо:
Какой наименьший общий знаменатель будет?
Правильно \( \displaystyle 6\)!
Чтоб к нему привести домножаем и числитель и знаменатель первого слагаемое на \( \displaystyle 2\), а второго на \( \displaystyle 3\), этого делать не запрещено, если и числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же значение, то дробь от этого не изменится, т.к. ее можно будет сократить на то же число.
А \( \displaystyle 13\) не трогаем, оно нам не мешает, имеем:
А теперь делим обе части на \( \displaystyle 13\):
Поскольку уравнение целое, что мы уже определили, то и ограничений никаких нет, \( \displaystyle 6\), так \( \displaystyle 6\), ну можно для верности подставить этот ответ в исходное уравнение, получим \( \displaystyle 0=0\), значит все верно и ответ подходит (ты можешь пересчитать, а вообще должно сойтись).
Дробно-рациональные уравнения
А вот еще одно уравнение \( \displaystyle \frac<5>
Это уравнение целое? НЕТ. Тут есть деление на переменную \( \displaystyle x\), а это говорит о том, что уравнение не целое. Тогда какое же оно? Это дробно рациональное уравнение.
Дробно-рациональное уравнение – рациональное (без знака корня) уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями.
На первый взгляд особой разницы не видно, ну давай попробуем решать его как мы решали целое (линейное) уравнение.
Для начала найдем наименьший общий знаменатель, это будет \( \displaystyle (x+1)\cdot (x+3)\).
Важный момент!
В предыдущем примере, где было целое уравнение мы не стали свободный член \( \displaystyle 13\) приводить к знаменателю, т.к. умножали все на числа без переменных, но тут-то наименьший общий знаменатель \( \displaystyle (x+1)\cdot (x+3)\).
А это тебе не шутки, переменная в знаменателе!
Решая дробно-рациональное уравнение, обе его части умножаем на наименьший общий знаменатель!
Это надеюсь, ты запомнишь, но давай посмотрим что вышло:
Что-то оно огромное получилось, надо все посокращать:
\( \displaystyle 5(x+3)+(4
Раскроем скобки и приведем подобные члены:
Ну как, это уже попроще выглядит, чем в начале было?
Выносим за скобку общий множитель: \( \displaystyle 3x\cdot (x+1)=0\)
У этого уравнения два решения, его левая сторона принимает нулевое значение при \( \displaystyle x=0\) и \( \displaystyle x=-1\).
Вроде бы все, ну ладно давайте напоследок подставим корни \( \displaystyle x=0\) и \( \displaystyle x=-1\) в исходное уравнение, чтобы проверить, нет ли ошибок. Сначала подставим \( \displaystyle 0\), получается \( \displaystyle 3=3\) –нет претензий?
Но ведь это же будет ноль!
На ноль делить нельзя, это все знают, в чем же дело.
Дело в ОДЗ — Области Допустимых Значений!
Всякий раз когда ты видишь уравнение, где есть переменные (\( \displaystyle x,y\) и т.д.) в знаменателе, прежде всего, нужно найти ОДЗ, найти какие значения может принимать икс.
Хотя удобнее в ОДЗ написать, чему икс НЕ может быть равен, ведь таких значений не так много, как правило.
Просто запомни, что на ноль делить нельзя! И перед тем как решать наше уравнение нам следовало сделать так:
Если бы мы сразу так написали, то заранее бы знали, что эти ответы стоит исключить и так, из полученных нами \( \displaystyle x=0\) и \( \displaystyle x=-1\) мы смело исключаем \( \displaystyle x=-1\), т.к. он противоречит ОДЗ.
Значит, какой ответ будет у решенного уравнения?
В ответ стоит написать только один корень, \( \displaystyle x=0\).
Стоит заметить, что ОДЗ не всегда сказывается на ответе, возможны случаи, когда корни, которые мы получили, не попадают под ограничения ОДЗ.
Но писать ОДЗ в дробно рациональных уравнениях стоит всегда – так просто спокойнее, что ты ничего не упустил и да,
ВСЕГДА по окончании решения сверяй свои корни и область допустимых значений!
Алгоритм решения рационального уравнения
Усвоил, говоришь? А ты докажи! 🙂 Вот тебе примеры на закрепление. Попробуй решить сам, а потом сверься с ответом.
Дробно-рациональные уравнения
Что такое дробно-рациональные уравнения
Дробно-рациональными уравнениями называют такие выражения, которые представляется возможным записать, как:
при P ( x ) и Q ( x ) в виде выражений, содержащих переменную.
Таким образом, дробно-рациональные уравнения обязательно содержат как минимум одну дробь с переменной в знаменателе с любым модулем.
1 2 x + x x + 1 = 1 2
Уравнения, которые не являются дробно-рациональными:
Как решаются дробно-рациональные уравнения
В процессе решения дробно-рациональных уравнений обязательным действием является определение области допустимых значений. Найденные корни следует проверить на допустимость, чтобы исключить посторонние решения.
Алгоритм действий при стандартном способе решения:
Разберем предложенный алгоритм на практическом примере. Предположим, что имеется дробно-рациональное уравнение, которое требуется решить:
Начать следует с области допустимых значений:
Воспользуемся правилом сокращенного умножения:
В результате общим знаменателем дробей является:
Выполним умножение каждого из членов выражения на общий знаменатель:
После сокращения избавимся от скобок и приведем подобные слагаемые:
Осталось решить квадратное уравнение:
Согласно ОДЗ, первый корень является лишним, так как не удовлетворяет условию, по которому корень не равен 2. Тогда в ответе можно записать:
Примеры задач с ответами для 9 класса
Требуется решить дробно-рациональное уравнение:
Определим область допустимых значений:
Квадратный трехчлен x 2 + 7 x + 10 следует разложить на множители, руководствуясь формулой:
Сократим дроби, избавимся от скобок, приведем подобные слагаемые:
Потребуется решить квадратное уравнение:
Первый корень не удовлетворяет условиям ОДЗ, поэтому в ответ нужно записать только второй корень.
Дано дробно-рациональное уравнение, корни которого требуется найти:
В первую очередь следует переместить все слагаемые влево и привести дроби к минимальному единому знаменателю:
Заметим, что получилось нулевое значение для дроби. Известно, что дробь может равняться нулю, если в числителе нуль, а знаменатель не равен нулю. На основании этого можно составить систему:
Следует определить такие значения для переменной, при которых в дроби знаменатель будет обращаться в нуль. Такие значения необходимо удалить из ОДЗ:
Далее можно определить значения для переменных, которые при подстановке в уравнение обращают числитель в нуль:
Получилось квадратное уравнение, которое можно решить:
Сравнив корни с условиями области допустимых значений, можно сделать вывод, что оба корня являются решениями данного уравнения.
Нужно решить дробно-рациональное уравнение:
На первом шаге следует перенести все слагаемые в одну сторону и привести дроби к минимальному единому знаменателю:
Перечисленные значения переменной обращают знаменатель в нуль. По этой причине их необходимо удалить из области допустимых значений.
Корни квадратного уравнения:
Заметим, что второй корень не соответствует ОДЗ. Таким образом, в ответе остается только первый корень.
Найти корни уравнения:
Согласно стандартному алгоритму решения дробно-рациональных уравнений, выполним перенос всех слагаемых в одну сторону. Далее необходимо привести к дроби к наименьшему общему знаменателю:
Такое значение переменной, при котором знаменатель становится равным нулю, нужно исключить из области допустимых значений:
Заметим, что это частный случай линейного уравнения, которое обладает бесконечным множеством корней. При подстановке какого-либо числа на место переменной х в любом случае числовое равенство будет справедливым. Единственным недопустимым значением для х в данном задании является число 3, которое не входит в ОДЗ.
Ответ: х — любое число, за исключением 3.
Требуется вычислить корни дробно-рационального уравнения:
На первом этапе необходимо выполнить перенос всех слагаемых влево, привести дроби к минимальному единому знаменателю:
Данные значения переменной х являются недопустимыми, так как в этом случае теряется смысл дроби в связи с тем, что знаменатель принимает нулевое значение.
Заметим, что 2 не входит в область допустимых значений. В связи с этим, можно заключить, что у уравнения отсутствуют корни.
Ответ: корни отсутствуют
Нужно найти корни уравнения:
Начнем с определения ОДЗ:
При умножении обеих частей уравнения на единый знаменатель всех дробей и сокращении аналогичных выражений, которые записаны в числителе и знаменателе, получим:
Прибегая к арифметическим преобразованиям, можно записать уравнение в упрощенной форме:
Второе значение не соответствует области допустимых значений.
Дробно-рациональные уравнения
Дробн0-рациональные уравнения (дробные рациональные уравнения или просто дробные уравнения) — это уравнения c одной переменной вида
где f(x) и g(x) — рациональные выражения, хотя бы одно из которых содержит алгебраическую дробь (то есть в таких уравнениях в знаменателе есть переменная).
В общем виде дробно-рациональные уравнения решают по следующей схеме:
1) Все слагаемые переносим в одну сторону.
2) Дроби приводим к НОЗ (наименьшему общему знаменателю).
3) После упрощения решаем уравнение типа «дробь равна нулю«.
В частных случаях дробно-рациональные уравнения могут быть решены с помощью замены переменной либо разложением на множители.
Начнем с рассмотрения примеров общего случая.
Решить дробно-рациональные уравнения:
Переносим все слагаемые в левую часть уравнения и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:
Пришли к уравнению типа «дробь равна нулю» Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, поэтому это уравнение равносильно системе:
Находим значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль, и исключаем их из области допустимых значений:
Теперь находим значения переменных, при которых числитель обращается в нуль:
Это — квадратное уравнение. Его корни
Переносим все слагаемые в одну сторону и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:
— при этих значениях переменной знаменатель обращается в нуль, поэтому их исключаем из ОДЗ.
Из двух корней квадратного уравнения
— второй не входит в ОДЗ. Поэтому в ответ включаем лишь первый корень.
Переносим все слагаемые в одну сторону и приводим дроби к НОЗ:
Значение переменной, при котором знаменатель обращается в нуль, исключаем из ОДЗ:
— частный случай линейного уравнения. Оно имеет бесконечное множество решений: какое бы число мы не подставили вместо x, получим верное числовое равенство. Единственное значение x, который не входит в множество решений данного уравнения — 3.
Ответ: x — любое число, кроме 3.
Переносим все слагаемые в левую часть и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:
— при этих значениях переменной дробь не имеет смысла, поскольку знаменатель обращается в нуль.
Так как 2 не входит в ОДЗ, данное уравнение не имеет корней.
11 комментариев
Можно ли не переносить все слагаемые в левую часть уравнения, а сразу привести к общему знаменателю и решить полученное целое уравнение?
Можно. Только при этом нужно начать с ОДЗ, то есть знаменатель должен быть отличен от нуля.
Это одно и то же решение, просто разные способы оформления.
Скажите, пожалуйста, как решить это дробно-рациональное уравнение с параметром: x-1/x-a=0
Приводим левую часть к общему знаменателю
при любом значении a имеет два различных корня, так как дискриминант
0\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>
удовлетворяют условию x≠0.
подскажите пожалуйста как решить это уравнение: (х2-х-2)/(х2-2х-3)
Валя, уравнения нет. Если (х²-х-2)/(х²-2х-3)=0, то числитель должен быть равным нулю, а знаменатель отличен от нуля.
х²-х-2=0 и х²-2х-3≠0.
1)х²-2х-3≠0. Решаем квадратное уравнение х²-2х-3=0 и исключаем полученные корни: x≠3, x≠-1.
2) Решаем квадратное уравнение х²-х-2=0. Его корни x=2, x=-1.
Второй из корней не удовлетворяет условию x≠-1. Поэтому в ответ записываем только первый корень.
Ответ: x=2.
очень трудно дается эта тема
Не переживайте, пару десятков уравнений решите, станет легко.
Решение целых и дробно рациональных уравнений
Давайте познакомимся с рациональными и дробными рациональными уравнениями, дадим их определение, приведем примеры, а также разберем наиболее распространенные типы задач.
Рациональное уравнение: определение и примеры
Знакомство с рациональными выражениями начинается в 8 классе школы. В это время на уроках алгебры учащиеся все чаще начинают встречать задания с уравнениями, которые содержат рациональные выражения в своих записях. Давайте освежим в памяти, что это такое.
Рациональное уравнение – это такое уравнение, в обеих частях которого содержатся рациональные выражения.
В различных пособиях можно встретить еще одну формулировку.
Рациональное уравнение – это такое уравнение, запись левой части которого содержит рациональное выражение, а правая – нуль.
Определения, которые мы привели для рациональных уравнений, являются равнозначными, так как говорят об одно и том же. Подтверждает правильность наших слов тот факт, что для любых рациональных выражений P и Q уравнения P = Q и P − Q = 0 будут равносильными выражениями.
А теперь обратимся к примерам.
Рациональные уравнения точно также, как и уравнения других видов, могут содержать любое количество переменных от 1 до нескольких. Для начала мы рассмотрим простые примеры, в которых уравнения будут содержать только одну переменную. А затем начнем постепенно усложнять задачу.
Рациональные уравнения делятся на две большие группы: целые и дробные. Посмотрим, какие уравнения будут относиться к каждой из групп.
Рациональное уравнение будет являться целым в том случае, если в записи левой и правой его частей содержатся целые рациональные выражения.
Рациональное уравнение будет являться дробным в том случае, если одна или обе его части содержат дробь.
Дробно рациональные уравнения в обязательном порядке содержат деление на переменную или же переменная имеется в знаменателе. В записи целых уравнений такого деления нет.
К числу целых рациональных уравнений можно отнести линейные и квадратные уравнения.
Решение целых уравнений
Решение таких уравнений обычно сводится к преобразованию их в равносильные алгебраические уравнения. Достичь этого можно путем проведения равносильных преобразований уравнений в соответствии со следующим алгоритмом:
Решение
Теперь проведем преобразование выражения, которое находится в левой части в многочлен стандартного вида и произведем необходимые действия с этим многочленом:
3 · ( x + 1 ) · ( x − 3 ) − x · ( 2 · x − 1 ) + 3 = ( 3 · x + 3 ) · ( x − 3 ) − 2 · x 2 + x + 3 = = 3 · x 2 − 9 · x + 3 · x − 9 − 2 · x 2 + x + 3 = x 2 − 5 · x − 6
Давайте разберем, что значит «степень целого уравнения». С этим термином мы будем часто встречаться в тех случаях, когда нам надо будет представить целое уравнение в виде алгебраического. Дадим определение понятию.
Степень целого уравнения – это степень алгебраического уравнения, равносильного исходному целому уравнению.
Если посмотреть на уравнения из примера, приведенного выше, можно установить: степень данного целого уравнения вторая.
Если бы наш курс ограничивался решением уравнений второй степени, то рассмотрение темы на этом можно было бы закончить. Но все не так просто. Решение уравнений третьей степени сопряжено с трудностями. А для уравнений выше четвертой степени и вовсе не существует общих формул корней. В связи с этим решение целых уравнений третьей, четвертой и других степеней требует от нас применения целого ряда других приемов и методов.
Чаще прочих используется подход к решению целых рациональных уравнений, который основан на методе разложения на множители. Алгоритм действий в этом случае следующий:
Решение
Точно также мы можем использовать метод введения новой переменной. Этот метод позволяет нам переходить к равносильным уравнениям со степенями ниже, чем были степени в исходном целом уравнении.
Решение
Целые уравнения высоких степеней попадаются в задачах достаточно часто. Пугаться их не нужно. Нужно быть готовым применить нестандартный метод их решения, в том числе и ряд искусственных преобразований.
Решение дробно рациональных уравнений
Если это условие выполняется, то найденный корень является корнем исходного уравнения. Если нет, то корень не является решением задачи.
Решение
Условие выполняется. Это значит, что x = 2 3 является корнем исходного уравнения.
Решение
Ответ: x = 1 ± 2 3
Решение
Проведем проверку полученных корней. Определить ОДЗ в данном случае нам сложно, так как для этого придется провести решение алгебраического уравнения пятой степени. Проще будет проверить условие, по которому знаменатель дроби, которая находится в левой части уравнения, не должен обращаться в нуль.
По очереди подставим корни на место переменной х в выражение x 5 − 15 · x 4 + 57 · x 3 − 13 · x 2 + 26 · x + 112 и вычислим его значение:
1 2 5 − 15 · 1 2 4 + 57 · 1 2 3 − 13 · 1 2 2 + 26 · 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠ 0 ;
6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;
7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;
( − 2 ) 5 − 15 · ( − 2 ) 4 + 57 · ( − 2 ) 3 − 13 · ( − 2 ) 2 + 26 · ( − 2 ) + 112 = − 720 ≠ 0 ;
Решение
Разберем отдельно случаи, когда в числителе дробного рационального уравнения вида p ( x ) q ( x ) = 0 находится число. В таких случаях, если в числителе находится число, отличное от нуля, то уравнение не будет иметь корней. Если это число будет равно нулю, то корнем уравнения будет любое число из ОДЗ.
Решение
Данное уравнение не будет иметь корней, так как в числителе дроби из левой части уравнения находится отличное от нуля число. Это значит, что ни при каких значениях x значение приведенной в условии задачи дроби не будет равняться нулю.
Ответ: нет корней.
Решение
Чтобы облегчить вам работу по изучению темы, мы обобщили всю информацию в алгритм решения дробного рационального уравнения вида r ( x ) = s ( x ) :
Визуально цепочка действий будет выглядеть следующим образом:
Решение
Для этого нам придется привести рациональные дроби к общему знаменателю и упростить выражение:
Нам осталось выполнить проверку любым из методов. Рассмотрим их оба.
Решение
Мы имеем дело с дробным рациональным уравнением. Следовательно, будем действовать по алгоритму.
Ответ: нет корней.
Если мы не включили в алгоритм другие равносильные преобразования, то это вовсе не значит, что ими нельзя пользоваться. Алгоритм универсален, но он создан для того, чтобы помогать, а не ограничивать.
Решение
Проще всего будет решить приведенное дробное рациональное уравнение согласно алгоритму. Но есть и другой путь. Рассмотрим его.
Проведем проверку для того, чтобы установить, являются ли найденные корни корнями исходного уравнения.