Понятие шара в метрическом пространстве естественным образом обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.
Радиус AO и диаметр AB находят тем же способом, что и для окружности.
Сфера является поверхностью (границей) шара с центром и радиусом, как у сферы.
Шар — это тело правильно геометрической формы, ограниченное поверхностью шара. Шар возможно получить, методом вращения полукруга/круга около диаметра.
Любое плоское сечение шара является кругом. Чем ближе секущая плоскость к центру шара, тем радиус круга становится больше. Самый большой круг оказывается при прохождении плоскости через центр O. Этот круг разделяет шар на две равные части и он называется большим кругом. Радиус большого круга равен радиусу шара.
Меридианы шара (сферы).
Сквозь 2 точки шара, которые лежат на концах общего диаметра, возможно провести бесконечное число больших кругов — меридианов. Через 2 точки, которые не на концах общего диаметра шара возможно провести всего лишь 1 большой круг.
Основные геометрические формулы шара (сферы).
Площадь поверхности S и объём V шара радиуса r, диаметра d можно определить по формулам:
Определения, связанные с понятием шара.
Предположим, дано метрическое пространство (X, ρ). Значит:
Замкнутый шар с центром в x0 и радиусом r можно выразить так:
Свойства шара.
Sцил и Vцил – полная поверхность и объём описанного цилиндра вокруг шара.
Части шара.
Формулу объёма шара можно объяснить следующими рассуждениями. В шаре возможно разместить огромное количество пирамид с очень маленькими основаниями, разместив пирамиды таким образом, чтобы их вершины располагались в центре шара, а основания лежали бы на поверхности шара и эти пирамиды соприкасались бы боковыми гранями.
Высота любой построенной пирамиды приблизительно равна радиусу (R) шара. Если не обращать внимание различиями этих длин, то объём (v) всех пирамид отдельно можно представить такой формулой:
Сумма (S’) очень близка к площади поверхности шара (S).
Сумма объёмов всех пирамид (V’) приблизительно равна объёму (V) шара. Если не обращать внимание на незначительные различия в этих величинах, тогда получится такая формула:
которая показывает, что объём шара соответствует 1/3 произведения площади поверхности шара на длину радиуса. Зачастую озвучивают так: объём шара равен 1/3 произведения поверхности шара на его радиус.
где D — диаметр шара.
Примечание. В формуле V = 1/3 SR поставлен знак точного, а не приближённого равенства, хотя на основании проведённых рассуждений можно было принять его приближённым, хотя в старших классах средней школы доказываем, что равенство V = 1/3 SR точное, а не приближённое.
Окружность – множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки. Данная точка называется центром окружности, расстояние от центра до любой точки окружности называется радиусом окружности.
Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.
Сфера – это поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром.
Тело, ограниченное сферой, называется шаром.
Шар можно описать и иначе. Шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.
– уравнение сферы радиуса R и центром С(x0; y0; z0).
Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания.
Сектором называется часть шара, ограниченная совокупностью всех лучей, исходящих из центра шара О и образующих круг на его поверхности с радиусом r.
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255, сс. 136-142.
Шарыгин И.Ф., Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений– М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 77-84.
Открытые электронные ресурсы:
Теоретический материал для самостоятельного изучения
1. Основные теоретические факты
По аналогии с окружностью сферу рассматривают как множество всех точек равноудалённых от заданной точки, но только всех точек не плоскости, а пространства.
Рисунок 1 – Сфера с центром в точке О и радиусом R
Данная точка О называется центром сферы, а заданное расстояние – радиусом сферы (обозначается R). Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр, называется диаметром (обозначается D). D=2R.
Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром.
Тело, ограниченное сферой, называется шаром.
Шар можно описать и иначе. Шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.
Прежде чем вывести уравнение сферы введем понятие уравнения поверхности в пространстве. Для этого рассмотрим прямоугольную систему координат Oxyz и некоторую поверхность F. Уравнение с тремя переменными x, y, z называется уравнением поверхности F, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой другой точки.
Пусть сфера имеет центром точку С (x0; y0; z0) и радиус R. Расстояние от любой точки М (x; y; z) до точки С вычисляется по формуле:
МС=
.
Это выражение называют уравнением сферы радиуса R и центром С(x0; y0; z0).
3. Взаимное расположение сферы и плоскости
Взаимное расположение сферы и плоскости зависит от соотношения между радиусом сферы R и расстояния от центра сферы до плоскости d.
1. Пусть dR. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, тогда сфера и плоскость пересекаются, и сечение сферы плоскостью есть окружность.
2. Пусть d=R. Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы тогда сфера и плоскость имеют только одну общую точку, и в этом случае говорят, что плоскость касается сферы.
3. Пусть dR. Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.
Рассмотрим случай касания более подробно.
Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания.
Теорема (свойство касательной плоскости).
Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.
Теорема (признак касательной плоскости):
Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащей на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.
4. Основные формулы
Соотношение между радиусом сферы, радиусом сечения и расстоянием от центра сферы до плоскости сечения:
Формула для вычисления площади поверхности сферы и ее элементов:
S=4πR 2 – площадь сферы.
S = 2πRh – площадь поверхности сегмента сферы радиуса R с высотой h.
– площадь поверхности сектора с высотой h.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
1. Площадь сечения шара, проходящего через его центр, равна 9 кв. м. Найдите площадь поверхности шара.
2. Вычислите радиус круга, площадь которого равна площади сферы радиуса 5.
По условию площадь круга некоторого радиуса r также равна 100π. Значит, r 2 =100, то есть r=10.
3. Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5. Найти расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ=13, ВС=14, СА=15
Окружность, вписанная в треугольник, является сечением сферы.
Площадь треугольника с известными сторонами можно вычислить по формуле Герона:
С другой стороны, S=p·r.
Теперь найдем расстояние от центра шара до секущей плоскости.
4. Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10. Найти расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16.
Так как вершины прямоугольника лежат на сфере, то окружность, описанная около прямоугольника, является сечением сферы.
Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен половине его диагонали, то есть r=8.
Что такое шар (сфера): определение, свойства, формулы
В публикации мы рассмотрим определение и основные свойства шара и сферы, а также формулы, с помощью которых можно найти площадь поверхности и объем данных геометрических фигур.
Определение шара и сферы
Шар – это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, которые находятся на расстоянии не больше заданного от точки, называемой центром шара (на рисунке ниже – это точка O). Другими словами, это совокупность точек, ограниченных сферой.
Шар образуется путем вращения круга вокруг своего диаметра (оси) на 180° или полукруга – на 360°.
Сфера – это поверхность шара. Образуется путем вращения окружности вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности – на 360°.
Различают два вида шаров:
Радиус шара (сферы) – расстояние между центром и точками, лежащими на его поверхности. На рисунке выше обозначен буквой R.
Диаметр шара (сферы) – отрезок, проходящий через центр шара и соединяющие две противоположные точки на его поверхности. Совпадает с осью шара, обычно обозначается буквой d.
Полюсы шара (сферы) – точки A и B, расположенные на концах его диаметра.
Свойства шара и сферы
Свойство 1
Любое сечение шара плоскостью является кругом.
Свойство 2
Любое сечение сферы плоскостью является окружностью.
Свойство 3
Все точки сферы равноудалены от ее центра.
Свойство 4
Сфера имеет самый большой объем среди всех фигур в пространстве, имеющих одинаковую площадь поверхности.
Свойство 5
Через две любые диаметрально противоположные точки (максимально отдаленные друг от друга точки на окружности) можно провести неограниченное количество кругов для шара или окружностей для сфер радиусом, равным радиусу шара/сферы.
Примечание: если точки не диаметрально противоположны, то провести можно только один круг (окружность).
Части шара
Сегмент шара – это часть шара, отсекаемая плоскостью. Иногда называется шаровым сегментом. На рисунке ниже окрашен в зеленый цвет.
Срез шара – часть шара между двумя параллельными плоскостями, пересекающими его. Также может называться шаровым слоем. На рисунке ниже закрашен желтым.
Сектор шара – состоит из шарового сегмента и конуса, вершина которого находится центре шара, а основание совпадает с основанием сегмента. На рисунке ниже сектор залит оранжевым.
Формулы для шара/сферы
В формулах ниже используется как радиус (R), так и диаметр фигур (d). Число π в расчетах обычно округляется до двух знаков после запятой и приблизительно равняется 3,14.
Прежде чем погружаться в последовательность расчетов, важно понять разницу между понятиями.
Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра, которая лежит в той же плоскости.
Круг — часть плоскости, лежащая внутри окружности, а также сама окружность.
Если говорить проще, окружность — это замкнутая линия, как, например, обруч и велосипедное колесо. Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью, как апельсин 🍊 и тарелка.
Диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр.
Радиус — отрезок, который соединяет центр окружности и любую точку на ней.
Как узнать диаметр. Формулы
В данной теме нам предстоит узнать три формулы:
1. Общая формула.
Исходя из основных определений нам известно, что значение диаметра равно двум радиусам: D = 2 × R, где D — диаметр, R — радиус.
2. Если перед нами стоит задача найти диаметр по длине окружности
D = C : π, где C — длина, π — это константа, которая равна отношению длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.
Чтобы получить правильный ответ, можно поделить столбиком или использовать онлайн-калькулятор.
3. Если есть чертеж окружности
Эти простые формулы могут пригодиться не только на школьных уроках, но и если вы решите освоить профессию дизайнера интерьера, архитектора или модельера одежды.
Обратите внимание на предметы, изображенные на рисунке:
Давайте подумаем, что же их может объединять?
Очевидно, что цвет и фактура у этих объектов различна, но если вы обратите внимание на форму, то заметите явное сходство.
В математике (геометрии) важную роль при описании и представлении тела играет его геометрическая форма.
Все представленные объекты на рисунке объемные тела (т.е. их в реальности можно посмотреть и потрогать со всех сторон).
Отметим еще одну важную общую черту: у всех изображенных объектов отсутствуют углы (т.е. в действительности они шарообразной, или еще называют: сферической формы, их свободно можно покатать в любые стороны).
Давайте же разберемся, что такое шар, а что называют сферой.
Определим, какими элементами описывают данные геометрические фигуры, какими они свойствами обладают.
Узнаем, как определить площадь сферы, объем круга и рассмотрим примеры решения задач.
Шар и сфера
Примеры сфер: мыльный пузырь, мяч, глобус. Эти тела состоят из оболочки, но внутри пустые.
Шар внутри заполнен.
Примеры шаров: арбуз, пушечное ядро, бильярдный шар. Эти тела заполненные внутри.
Центр шара (сферы) обозначают обычно заглавной буквой О.
Сфера и шар пространственные фигуры, но определяются такими же элементами, что и окружность, и круг на плоскости.
Радиус шара— это отрезок, соединяющий точку поверхности шара (шаровой поверхности) с его центром.
Радиус обозначается строчной латинской буквой r или заглавной R.
Для шара можно провести столько же радиусов, сколько точек имеет поверхность шара, при этом все эти радиусы равны.
Диаметром шара называют отрезок, проходящий через центр шара и соединяющий две точки шаровой поверхности.
Обычно диаметр обозначают строчной латинской буквой d или заглавной D.
По величине диаметр равен двум радиусам, лежащим на одной прямой.
d = 2r
r = d : 2
Точки сферы, являющиеся концами диаметра сферы, называют диаметрально противоположными.
Для сферы характерны те же элементы, которые используют для описания шара.
При построении изображений пространственных (объемных) фигур на листе бумаги или иной плоской поверхности, приходится рисовать рисунок так, чтобы он казался объемным- для этого линии, которые не видны глазу человека, изображают штрихпунктирной линией.
Рассмотрим, как выглядят шар, сфера и элементы, их характеризующие, на плоскости.
Сфера и шар- это фигуры вращения.
Подобно секущей прямой для круга, для шара существует секущая плоскость.
Рассмотрим, как могут быть расположены по отношению друг к другу плоскость и шар (сфера) в пространстве:
1. Если расстояние от центра шара (сферы) до плоскости больше длины радиуса шара (сферы), то шар (сфера) и плоскость не имеют ни одной общей точки.
Для данного случая m > r
2. Если расстояние от центра шара (сферы) до плоскости равно длине радиуса шара (сферы), то шар (сфера) и плоскость имеют единственную общую точку.
Для данного случая m = r
Точка А общая для плоскости сечения и шара
3. Если расстояние от центра шара (сферы) до плоскости меньше длины радиуса, то плоскость пересекает шар (сферу).
Для данного случая m r1
Сечения шара (сферы), удаленные на равные расстояния от центра, имеют равные радиусы:
Сечение шара с радиусом сечения r2 и сечение шара с радиусом сечения r3 удаленные на равные расстояния от центра шара, имеют равные радиусы (r2 = r3)
Сфера и шар- фигуры вращения
Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра- оси шара.
Сфера является фигурой вращения, образованной при вращении полуокружности вокруг своего неподвижного диаметра.
АВ— это ось вращения шара (сферы).
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Во все времена к шару и сфере относились с большим интересом.
Удивительно совершенные формы шара и сферы издавна привлекали ученых, философов, мыслителей, которые с помощью сферы и шара пытались объяснить гармонию создания и существования окружающего мира.
Так, например, поражало то, что шар имеет точку равновесия в любой точке своей поверхности, в отличие от других пространственных геометрических фигур.
А при равных объемах площадь сферической поверхности меньше площади любого другого отличного по форме геометрического тела.
Многие ученые, философы, астрономы занимались изучением объектов сферической и шарообразной формы и объяснением их свойств.
В XI веке древнегреческий математик Евклид в знаменитом теоретическом трактате по математике «Начала» в своих рассуждениях открыл многое об объемных телах. Так, например, он определил и описал шар как фигуру вращения, образованную вращением полукруга вокруг неподвижного диаметра.
Позже древнегреческий физик-математик Архимед вычислил площадь поверхности шара, объем шара и его сегментов
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Площадь сферы, объем шара
Если посмотреть вокруг, мы можем заметить множество объектов, имеющих или принимающих форму шара (сферы).
Так, например, падающая микроскопическая капля дождя или капля жидкости, находящаяся в невесомости, принимают форму шара.
Это происходит потому, что давление вокруг жидкости и в самой жидкости примерно равны (т.е. со всех сторон давление на каплю одинаковое), в результате получается шарообразная форма.
Сферической формой обладают мыльные пузыри или пузыри в воде.
Происходит это благодаря поверхностному натяжению, свойственному жидкостям (своего рода, «невидимая» оболочка жидкости).
Силы поверхностного натяжения стремятся придать мыльному пузырю оптимальную форму, а этой формой и является шар, так как в шарообразной форме воздух внутри пузыря равномерно давит на все участки его внутренней стенки.
Многие ягоды и фрукты, икринки рыбы, жемчужины и др. в природе являются обладателями шарообразных и сферических форм.
Представления о планетах и небесных телах, молекулах и некоторых элементарных частицах в связи с определенными свойствами и поведением сводятся к модели шара и сферы.
Существует множество примеров использования свойств и характеристик шара (сферы) в науке, технике и производстве.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Например, резервуары для хранения легковоспламеняющихся жидкостей, различных видов газа и т.п. имеют сферическую форму.
Шаровая форма емкостей является наиболее экономически выгодной для хранения легковоспламеняющихся продуктов, так как сферическая форма резервуара обеспечивает равномерное распределение напряжения внутреннего давления на стенки металлической сферы, минимизируя опасность взрыва.
Преимущество шаровых резервуаров еще в том, что они имеют минимальную площадь поверхности, по сравнению с цилиндрическими резервуарами такого же объема.
Сферические формы применяют в шаровых подшипниках, используемых для обеспечения свободного вращения, качения, перемещения с минимальным сопротивлением, без последствий износа деталей и их разрушений (например, в автомобилях, бытовой технике, спортивном инвентаре).
Металлические шарики в этом устройстве самый основной элемент, сферическая форма позволяет им вращаться свободно во всевозможных направлениях.
Так как они идеально гладкой сферической формы, то у них очень маленькая площадь контакта, что обеспечивает беспрепятственное вращение.
Подобные свойства шарообразных тел применяется в шариковой ручке.
Она состоит из стержня, откуда поступают густые чернила. На конце рцучкинаходится наконечник (пишущий узел).
Пишущий узел состоит из маленького металлического шарика, который благодаря идеальной гладкой форме (подобно шаровому подшипнику) свободно вращается в разные стороны.
Прикасаясь к бумаге, шарик с попадающими на него чернилами, оставляет след на бумаге.
Благодаря своей шарообразной форме, обладает хорошими аэродинамическими свойствами.
Мяч хорошо катится, летит в любом направлении на большие расстояния и легко закручивается в разные стороны, позволяя тем самым искривлять траекторию полета.
Благодаря сферической форме у мяча отсутствуют углы и выступы, что снижает риск травм.
Сферических и шарообразных форм в жизни огромное множество, они прекрасно демонстрируют в своих закономерностях и проявлениях законы физики и математики.
Приводя примеры объектов сферической и шарообразной формы, мы много говорили о площади и объеме этих тел.
Давайте посмотрим, как определить площадь поверхности сферы и объем шара.
Площадь поверхности сферы (площадь поверхности шара) находят по формуле:
S— площадь поверхности сферы (шара)
r— радиус сферы (шара)
\(\mathbf<\pi>\)- постоянная величина, равная приблизительно 3,14
Задача 1
Найдите площадь поверхности сферы, радиус которой равен 8 см.
Решение:
Число \(\mathbf<\pi>\) округлить до десятых.
r = 8 см
Площадь поверхности сферы, зная радиус сферы, определяют по формуле:
Подставим известные значения радиуса сферы и постоянной величины \(\mathbf<\pi>\), получим
Ответ:S = 793,6 (см 2 ).
Задача 2
Найдите площадь поверхности сферы, диаметр которой равен 6 см.
Решение:
Число \(\mathbf<\pi>\) округлить до десятых.
d = 6 см
Площадь поверхности сферы, зная диаметр этой сферы, определяют по формуле:
Ответ:S = 111,6 (см 2 ).
Объем шара определяется по формуле:
V— объем шара
r— радиус шара
\(\mathbf<\pi>\)- постоянная величина, равная приблизительно 3,14
Вспомним, что означает r3
Задача 3
Найдите объем шара, если радиус шара 5 м.
Решение:
Число \(\mathbf<\pi>\) округлить до целых.
r= 5 м
Объем шара определяется по формуле:
Ответ: V = 500 м 3
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Заключительный тест
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
– уравнение сферы радиуса R и центром С(x0; y0; z0).
.
R. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, тогда сфера и плоскость пересекаются, и сечение сферы плоскостью есть окружность.
R. Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.
– площадь поверхности сектора с высотой h.
