Что такое коэффициент затухания

1.6. Свободные затухающие колебания

Гармонические колебания, существующие вечно, являются одной из физических абстракций. В реальных системах колебания по прошествии некоторого времени затухают из-за диссипации энергии. Таким образом, представлением о гармонических колебаниях можно пользоваться лишь для времен, малых по сравнению с характерным временем затухания. Затухание колебаний всегда будет наблюдаться в системах с трением.

Уравнение затухающих колебаний

Рассмотрим в качестве примера пружинный маятник, помещенный в вязкую среду. Помимо силы упругости на тело будет действовать сила сопротивления, пропорциональная скорости

где r — соответствующий коэффициент, зависящий от вязкости среды, размеров и формы тела. Поэтому уравнение движения примет вид:

Здесь новый, дополнительный параметр системы, называемый коэффициентом затухания. Колебания незатухающие, если .

Другой пример — электромагнитный контур. Если помимо конденсатора С и индуктивности L в контуре имеется еще и активное сопротивление R, то ЭДС самоиндукции равна сумме напряжения на конденсаторе и падения напряжения на сопротивлении. Поэтому уравнения (1.15) примут теперь вид:

Подставляем первое уравнение во второе:

Напомним, что комбинация L/R уже встречалась нам в теории электромагнетизма, где она характеризовала характерное время затухания (появления) экстратоков замыкания-размыкания. Таким образом, величина b имеет размерность обратного времени, совпадающую с размерностью циклической частоты.

Анализ решений

Итак, в обоих рассмотренных случаях дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы имеет вид:

Дифференцируя функцию x(t), получаем:

Подставляем эти выражения в (1.67):

Выражение в квадратных скобках должно быть равно нулю. Замечаем, что в этом выражении сокращаются члены с первой производной . Получаем в итоге дифференциальное уравнение для функции X(t):

Здесь возможны два случая. Пусть сначала . Тогда можно ввести параметр

так что уравнение (1.71) примет вид:

Но это — стандартное уравнение гармонических колебаний, общее решение которого мы знаем:

Значит, мы нашли общее решение уравнения затухающих колебаний (1.67):

Во многих системах коэффициент затухания мал по сравнению с собственной частотой колебаний: . Тогда движение системы можно рассматривать как почти гармоническое колебание с частотой и с амплитудой, изменяющейся по закону (рис. 1.22)

Рис. 1.22. Свободные затухающие колебания

Коэффициент затухания определяет скорость уменьшения амплитуды колебаний: он обратен по величине промежутку времени, за который амплитуда уменьшается в e раз.

Период затухающих колебаний равен:

Пусть первое наибольшее положительное отклонение достигается в момент времени . Последующие наибольшие отклонения того же знака (A’, A», A»’ и т.д. — см. рис. 1.22) образуют геометрическую прогрессию:

Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно:

Это соотношение называется декрементом затухания. Логарифм этого отношения называется логарифмическим декрементом затухания:

Определим количество колебаний, которое совершит система за время . За это время амплитуда уменьшается в е раз, а число колебаний равно:

Следовательно, логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в е раз.

Для характеристики колебательной системы часто употребляется величина, называемая добротностью:

которая пропорциональна числу колебаний N_е, совершаемых системой за то время , за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Например, для электромагнитного контура при находим:

Мы видели, что полная энергия в колеблющейся системе пропорциональна квадрату амплитуды. При малом затухании () имеем:

где E₀ — значение полной энергии колеблющейся системы в начальный момент времени. Можно определить убыль энергии за период Т:

то есть при слабом затухании добротность, с точностью до множителя , равна отношению полной энергии, запасенной в колебательной системе в данный момент времени, к убыли энергии за один период колебаний.

При увеличении затухания частота колебаний

стремится к нулю, а период колебаний растет. В предельном случае

период обращается в бесконечность, то есть движение перестает быть периодическим. Соответствующий математический анализ показывает, что при движение носит апериодический характер — выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний.

Источник

Физика Б1.Б8.

Электронное учебное пособие по разделу курса физики Механика

Механика – это раздел физики, который изучает наиболее простой вид движения материи – механическое движение и причины, вызывающие или изменяющие это движение.

Механика состоит из трех разделов: кинематики, динамики и статики. Кинематика дает математическое описание движения, не касаясь причин, которыми вызвано движение. Динамика – основной раздел механики, она изучает законы движения тел и причины, которыми вывзывается движение и его изменение. Статика изучает законы равновесия системы тел под действием приложенных сил. Мы ограничимся изучением двух основных разделов – кинематики и динамики.

Введение

Механическое движение – это изменение во времени взаимного расположения тел или частей одного и того же тела. Причиной, вызывающей механическое движение тела или его изменение, является воздействие со стороны других тел.

Развитие механики началось еще в древние времена, однако, как наука она формировалась в средние века. Основные законы механики установлены итальянским физиком и астрономом Г. Галилеем (1564-1642) и английским ученым И. Ньютоном (1643-1727).

Механику Галилея-Ньютона принято называть классической механикой. В ней изучается движение макроскопических тел, скорости которых значительно меньше скорости света с в вакууме. Законы движения тел со скоростями, близкими к скорости света сформулированы А. Эйнштейном (1879-1955), они отличаются от законов классической механики. Теория Эйнштейна называется специальной теорией относительности и лежит в основе релятивистской механики. Законы классической механики неприемлемы к описанию движения микроскопических тел (элементарных частиц – электронов, протонов, нейтронов, атомных ядер, самих атомов и т.д.) их движение описывается законами квантовой механики.

В механике для описания движения в зависимости от условий решаемой задачи пользуются различными упрощающими моделями: материальная точка, абсолютно твердое тело, абсолютно упругое тело, абсолютно неупругое тело, и т.д. Выбор той или иной модели диктуется необходимостью учесть в задаче все существенные особенности реального движения и отбросить несущественные, усложняющие решение.

Материальная точка – это тело обладающее массой, размеры и форма которого несущественны в данной задаче. Любое твердое тело или систему тел можно рассматривать как систему материальных точек. Для этого любое тело или тела системы нужно мысленно разбить на большое число частей так, чтобы размеры каждой части были пренебрежимо малы по сравнению с размерами самих тел.

Абсолютно твердое тело – это тело, расстояние между любыми точками которого остается неизменным в процессе движения или взаимодействия. Эта модель пригодна, когда можно пренебречь деформацией тел в процессе движения.

Абсолютно упругое и абсолютно неупругое тело – это два предельных случая реальных тел, деформациями которых можно и нельзя пренебречь в изучаемых процессах.

Любое движение рассматривается в пространстве и времени. В пространстве определяется местоположение тела, во времени происходит смена местоположений или состояний тела в пространстве, время выражает длительность состояния движения или процесса. Пространство и время –это два фундаментальных понятия, без которых теряется смысл понятия движения: движения не может быть вне времени и пространства.

Источник