В треугольнике провели биссектрису известно что найдите

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

В треугольнике провели биссектрису известно что найдите

На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.

а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.

б) Известно, что В каком отношении прямая DL делит сторону AB?

а) Обозначим тогда

поэтому

и треугольник LCD — равнобедренный.

б) Пусть DL пересекает в точке Тогда

поэтому треугольники HLB и LCB подобны по двум углам. Отсюда

Поскольку получаем Пусть тогда AB = 2x, BC = 3x. Поскольку AL : LC = AB : BC, находим Следовательно,

Значит, откуда

Ответ: 21 : 4 (или 4 : 21).

Приведём решение Александра Шевкина (Москва).

а) Пусть в треугольнике ABC половина угла B равна α (см. рис.). Тогда В равнобедренном треугольнике BLD имеем: По свойству внешнего угла треугольника поэтому треугольник DCL равнобедренный что и требовалось доказать.

б) Пусть Так как находим, что По свойству биссектрисы угла треугольника, поэтому Тогда

В треугольнике ABC по теореме Менелая Так как получаем, что тогда

Можно привести ещё одно решение пункта б). Воспользуемся результатами, полученными выше:

Проведём и пусть В треугольнике DCL: в подобном ему треугольнике ECA: Значит, Тогда по теореме о пропорциональных отрезках:

Приведём решение пункта б) Сергея Фефелова (Москва).

Пусть СМ биссектриса ABC, тогда по свойству биссектрисы Поскольку HL — биссектриса ALM, тогда а значит,

Аналоги к заданию № 514717: 513277 Все

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке A. Прямая, проходящая через точку A, пересекает первую окружность в точке B, а вторую — в точке C. Касательная к первой окружности, проходящая через точку B, пересекает вторую окружность в точках D и E (D лежит между B и E). Известно, что AB = 5, AC = 4. Точка O — центр окружности, касающейся отрезка AD и продолжений отрезков ED и EA за точки D и A соответственно.

а) Докажите, что

б) Найдите длину отрезка CE.

Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе угла. Для решения задачи докажем следующую лемму.

Лемма: точка O принадлежит стороне AB, то есть AB является биссектрисой угла DAF.

Доказательство: во-первых, из свойств секущих к окружности получим:

Тогда треугольники ABD и EBC подобны (угол ABD общий). Тогда ∠BDA = ∠BCE = β, ∠BAD = ∠BEC = γ.

Во-вторых, угол между дугой и касательной равен вписанному углу, опирающемуся на данную хорду, откуда ∠BFA = ∠ABD = α.

Далее, центральный угол AO₂B в 2 раза больше вписанного угла AFB, поэтому Так как треугольник AO₂B равнобедренный (AO₂ = O₂B = R₁), то

Аналогично для угла ACE:

Углы и равны, как вертикальные, и потому получаем:

Отсюда получаем, что а значит точка O лежит на стороне AB. Лемма доказана.

Тогда и треугольники AEC и EBC подобны по 2-м углам, откуда выпишем соотношения:

Из равенства первой и третьей дробей получим:

Тогда

Проведем дополнительно отрезок EO — он является биссектрисой угла BEA, а значит и биссектрисой треугольника ABE. Тогда по свойству биссектрисы в треугольнике имеем:

В треугольнике АВС AB = BC = 10, AC = 12. Биссектриса угла ВАС пересекает сторону BC в точке D и описанную около треугольника окружность в точке P.

а) Докажите, что ∠ABP = ∠BDP.

б) Найдите отношение площадей треугольников ADB и BDP.

а) Угол ABP — вписанный. Он измеряется половиной градусной меры дуги АСР. Угол BDP как угол между двумя пересекающимися хордами окружности измеряется градусной мерой полусуммы дуг ВnР и АqС.

Но градусные меры дуг ВnР и РmС равны, поскольку на них опираются равные вписанные углы ВАР и САР. А сумма дуг AqC и CmP составляет дугу ACР.

Таким образом, углы ABP и BDP измеряются градусной мерой одной и той же дуги и одной и той же окружности. Значит, что и требовалось доказать.

б) Пусть ВD = x, тогда СD = 10 – х. По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника будем иметь: AB : AC = BD : CD, т. е.

Итак,

Вычислим длину биссектрисы AD треугольника АВС. Как известно, ее квадрат можно вычислить по формуле:

Известно также свойство двух пересекающихся хорд одной и той же окружности, согласно которому Откуда:

Треугольники ADB и BDP с основаниями AD и PD имеют общую высоту, проведенную к этим основаниям или к продолжению одного из них. Следовательно,

1. Предположим, что мы не помним (не знаем) формулы квадрата биссектрисы. В таком случае как можно найти длину биссектрисы AD при решении данной задачи?

Проведем высоту ВК треугольника АВС к основанию АС. Это с одной стороны.

Но с другой же стороны, если то:

(числа 3; 4 и 5 – пифагорова тройка).

Итак,

Ответ:

В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AC = 3 и BC = 2 проведены медиана CM и биссектриса CL.

а) Докажите, что площадь треугольника CML составляет одну десятую часть от площади треугольника ABC.

б) Найдите угол MCL.

Геометрический способ решения.

а) По теореме Пифагора:

По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе,

По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника:

Если то значит, точка L лежит между M и В.

Так как треугольники CML и ABC с основаниями ML и AB соответственно имеют равные высоты, проведенные к этим сторонам из их общей вершины С, то:

что и требовалось доказать.

б) Проведем MD — среднюю линию треугольника ACB. Тогда

Координатно-векторный способ решения.

Поместим заданный треугольник в декартову систему координат, как показано на рис. Выпишем координаты некоторых точек: A(0; 3), B(2; 0).

а) По теореме Пифагора:

По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе:

По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника:

Найдем координаты точки L используя формулы деление отрезка в данном отношении

что и требовалось доказать.

б)

Ответ: б)

В прямоугольном неравнобедренном треугольнике ABC из вершины С прямого угла проведены высота CH, медиана СМ и биссектриса СL.

а) Докажите, что СL является биссектрисой угла MCH.

б) Найдите длину биссектрисы СL, если СН = 3, СМ = 5.

Пусть тогда точки лежат в таком порядке A, H, L, M, B.

а) что и требовалось (во втором равенстве использовалось свойство медианы прямоугольного треугольнике).

б) Рассмотрим треугольник CHM. По свойству биссектрисы треугольника откуда и

Ответ:

К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.

а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.

б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM : MB = 1 : 3?

а) Пусть окружность, вписанная в квадрат, касается его стороны AB в точке M₁, стороны AD — в точке N₁, а прямой MN — в точке T. По свойству касательных и Тогда

б) Положим Тогда

По теореме Пифагора то есть

Отсюда находим, что Тогда и Пусть O — центр окружности, а прямая PO пересекает стороны AD и BC в точках L и H соответственно. Из равенства треугольников DOL и BOH следует, что DL = BH, поэтому Окружность вписана в угол MPC, значит, PL — биссектриса треугольника DPN, который подобен треугольнику AMN. Используя свойство биссектрисы и подобие, находим:

учитывая, что находим, что

Приведем решение пункта б) предложенное нашим читателем Дмитрием.

Часть б) можно решить проще, доказав, что Оттуда сразу следует, что при любом положении точки M. Действительно, а — угол между касательными и соответствующими им радиусами. Далее, PH — биссектриса — биссектриса Следовательно, Треугольники OHB и OMA равны по второму признаку.

Приведем решение пункта б) Максима Волкова.

Пусть O — центр окружности, T — точка касания окружности и прямой MN.

Положим AB = 12a, тогда радиус окружности R = 6a, MT = MM₁ =3a.

Пусть

Заметим, что PO и TO — биссектрисы внутренних односторонних углов, образованных при пересечении параллельных прямых AB и PC секущей MN, следовательно, тогда

Пусть F — точка касания окружности со стороной CD, тогда

В треугольнике POF тогда PC = 12a + 6a = 18a.

В треугольнике PHC

Следовательно, BH = 12a&nbsp− 9a = 3a, тогда

Комментарий к решению Дмитрия. Очень хорошее, на первый взгляд решение, но почему точки Т, А, О лежат на одной прямой? Это не верно.

Это, конечно верно, но этим, конечно, Дмитрий не пользуется в своем решении.

В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно АМ, пересекает сторону АС в точке N. АВ = 6; ВС = 5; АС = 9.

а) докажите, что биссектриса угла С делит отрезок МN пополам

б) пусть Р — точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Найдите отношение АР : РN.

а) Обозначим K точку пересечения отрезков AM и BN. Треугольник ABN равнобедренный, так как в нем AK является биссектрисой и высотой. Следовательно, AK является и медианой, то есть K — середина BN. Получаем, что AN = AB = 6, откуда NC = AC − AN = 3.

Рассмотрим треугольник ABC, биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: BM : MC = AB : AC, учитывая, что длина BC равна 5, получаем: BM = 2; MC = 3.

В треугольнике MNC стороны NC и MC равны, следовательно, треугольник MNC — равнобедренный, с основанием MN. Значит, биссектриса угла C также является медианой и высотой. Таким образом, получаем, что биссектриса угла С делит отрезок MN пополам.

б) Рассмотрим треугольник PMN: отрезок PO перпендикулярен прямой MN и делит её пополам, следовательно, треугольник PMN — равнобедренный с основанием MN. Значит, PM = PN и отношение AP : PN = AP : PM.

В треугольнике AMC отрезок CP — биссектриса, поэтому AP : PM = AC : MC = 3 : 1.

Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причём ∠BEC = 120°.

а) Докажите, что ∠CBE = ∠COE.

б) Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, если известно, что BE = 40 и CE = 24.

а) По теореме о внешнем угле треугольника,

Значит, точки B, E, C, O лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы CBE и COE опираются на одну и ту же дугу, следовательно, ∠CBE = ∠COE.

б) По теореме косинусов,

Вписанные углы BEO и CEO опираются на равные хорды BO и CO, значит, EO — биссектриса угла BEC. Пусть M — точка её пересечения со стороной BC. По формуле для биссектрисы треугольника получаем:

По свойству биссектрисы треугольника значит,

По теореме о произведении пересекающихся хорд EM · MO = BM · CM, откуда находим, что

Треугольники COM и AOK равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому OK = OM. Следовательно, EK = EM + 2OM = 15 + 98 = 113.

Зная длину отрезка СМ = 21, можно искать ME, применяя теорему косинусов к треугольнику СМЕ. Пусть в нем МЕ = х, тогда

Поскольку треугольник СМЕ остроугольный, решение х = 9 постороннее. Посторонние корни появляются из-за того, что по стороне, прилежащему к ней углу и противолежащей данному углу стороне треугольник определен неоднозначно. Аналогично для треугольника BME: можно найти два корня уравнения на длину EM: 15 и 25, больший корень является посторонним.

Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причём

а) Докажите, что

б) Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, если известно, что BE = 20 и CE = 12.

а) По теореме о внешнем угле треугольника Поэтому

Значит, точки B, E, C, O лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы CBE и COE опираются на одну и ту же дугу, следовательно,

б) По теореме косинусов

Вписанные углы BEO и CEO опираются на равные хорды BO и CO, значит, EO — биссектриса угла BEC. Пусть M — точка её пересечения со стороной BC. По формуле для биссектрисы треугольника получаем:

По свойству биссектрисы треугольника значит,

По теореме о произведении пересекающихся хорд откуда находим, что Треугольники COM и AOK равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому OK = OM. Следовательно, EK = EM + 2OM =

Ответ:

Аналоги к заданию № 507262: 511418 Все

К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.

а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.

б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM : MB = 1 : 3?

а) Пусть окружность, вписанная в квадрат, касается его стороны AB в точке M₁, стороны AD — в точке N₁, а прямой MN — в точке T. По свойству касательных и Тогда

б) Положим Тогда

По теореме Пифагора то есть

Отсюда находим, что Тогда и Пусть O — центр окружности, а прямая PO пересекает стороны AD и BC в точках L и H соответственно. Из равенства треугольников DOL и BOH следует, что DL = BH, поэтому Окружность вписана в угол MPC, значит, PL — биссектриса треугольника DPN, который подобен треугольнику AMN. Используя свойство биссектрисы и подобие, находим:

учитывая, что находим, что

Приведем решение пункта б) предложенное нашим читателем Дмитрием.

Часть б) можно решить проще, доказав, что Оттуда сразу следует, что при любом положении точки M. Действительно, а — угол между касательными и соответствующими им радиусами. Далее, PH — биссектриса — биссектриса Следовательно, Треугольники OHB и OMA равны по второму признаку.

Аналоги к заданию № 514372: 519900 Все

Сторона АВ треугольника АВС равна 3, ВС = 2АС, Е — точка пересечения продолжения биссектрисы CD данного треугольника с описанной около него окружностью, причем DE = 1.

а) Докажите, что AE || BC.

б) Найдите длину стороны АС.

а) Пусть По свойству биссектрисы поэтому По свойству пересекающихся хорд откуда Значит, (опираются на дугу BE описанной окружности), откуда

б) По формуле для биссектрисы имеем откуда

Ответ: б)

В неравнобедренном треугольнике ABC угол BAC равен 45°. Продолжение биссектрисы CD треугольника пересекает описанную около него окружность ω₁ в точке Е. Окружность ω₂, описанная около треугольника АDE, пересекает продолжение стороны АС в точке F.

А) Докажите, что DE — биссектриса угла FDB.

Б) Найдите радиус окружности ω₂, если известно, что АС = 6, АF = 2.

а) Угол Угол опирается на дугу равную сумме дуг и то есть сумме дуг и (поскольку E лежит на биссектрисе ACB). Следовательно, (они оба равны полусумме дуг CA и BE). Итак, что и требовалось доказать.

б) В силу того, что четырехугольник FADE является вписанным, получаем Тогда треугольники и равны по второму признаку (общая сторона и равные углы, прилежащие к ней, см. п.а). То есть Тогда треугольники и равны по стороне и двум углам так как оба угла равны а поскольку CD — биссектриса). Итак, По теореме косинусов, обозначая получим

(второй корень отрицательный).

По свойству биссектрисы Тогда по теореме синусов для треугольника FDE:

Ответ: б)

Источник

• ← В треугольнике проведены высоты и известно что
• В треугольнике равны две медианы докажите что он равнобедренный →