В треугольнике известно что найдите площадь треугольника
Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен 30°.
Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними. Поэтому
Площадь треугольника ABC равна 4, DE — средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь треугольника CDE.
Средняя линия отсекает от треугольника подобный ему с коэффициентом подобия 
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. Тогда
У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?
Выразим площадь двумя способами:
Тогда, 
В треугольнике ABC угол A равен 
внешний угол при вершине B равен 
Найдите угол 
Ответ дайте в градусах.
Внешний угол треугольника равен сумме несмежных с ним углов этого треугольника. Поэтому
В треугольнике известно что найдите площадь треугольника
В треугольнике одна из сторон равна 10, а опущенная на нее высота — 5. Найдите площадь треугольника.
Площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание. Таким образом:
В треугольнике одна из сторон равна 10, другая равна 
, а угол между ними равен 60°. Найдите площадь треугольника.
Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними. Имеем:
Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.
Заметим, что треугольник со сторонами 24, 32 и 40 подобен египетскому треугольнику со сторонами 3, 4, 5 с коэффициентом 8. Следовательно, этот треугольник прямоугольный, а отрезок длины 24 — высота изображенного на рисунке треугольника. Тогда его площадь можно найти как половину произведения основания на высоту:
В треугольнике ABC отрезок DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 97. Найдите площадь треугольника ABC.
Треугольники ABC и DEC подобны по двум углам. Коэффициент подобия k = 2, так как 
Значит, 
На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD = 3, DC = 7. Площадь треугольника ABC равна 20. Найдите площадь треугольника BCD.
Площадь треугольника равняется половине произведения сторон на синус угла между ними: 
так как 
значит, 
поэтому
Выразим через 
площадь треугольника BCD:
Приведем другое решение.
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, следовательно, можно найти высоту треугольника ABC:
тогда 
Треугольник BCD имеет такую же высоту, что и треугольник ABC, следовательно,
Приведем еще одно решение.
Треугольники ABC и BCD имеют общую вершину B, а их основания лежат на одной прямой, следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований:
тогда 
В треугольнике известно что найдите площадь треугольника
В треугольнике ABC отрезок DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 97. Найдите площадь треугольника ABC.
Треугольники ABC и DEC подобны по двум углам. Коэффициент подобия k = 2, так как Значит,
В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 2. Найдите площадь четырёхугольника ABMN.
MN − средняя линия треугольника ABC. Треугольники ABC и NMC подобны по двум углам. Коэффициент подобия k = 2. Значит, 
, а 
В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 20. Найдите площадь четырёхугольника ABMN.
MN − средняя линия треугольника ABC. Треугольники ABC и NMC подобны по двум углам. Коэффициент подобия k = 2. Значит, 
, а 
В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 76. Найдите площадь четырёхугольника ABMN.
MN − средняя линия треугольника ABC. Треугольники ABC и NMC подобны по двум углам. Коэффициент подобия k = 2. Значит, 
, а 
В треугольнике ABC DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 9. Найдите площадь треугольника ABC.
Поскольку DE — средняя линия, 
Рассмотрим треугольники ABC и CDE, углы CDE и CAB равны как соответственные при параллельных прямых, угол C — общий, следовательно, треугольники подобны с коэффициентом подобия 
Площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициентов подобия, поэтому 
В треугольнике ABC известно, что DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 25. Найдите площадь треугольника ABC.
Поскольку DE — средняя линия, Рассмотрим треугольники ABC и CDE, углы CDE и CAB равны как соответственные при параллельных прямых, угол C — общий, следовательно, треугольники подобны с коэффициентом подобия Площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициентов подобия, поэтому 
В треугольнике известно что найдите площадь треугольника
В треугольнике ABC стороны AC = 37,5, BC = 20, угол C равен 90°. Найдите радиус вписанной окружности.
В треугольнике ABC известно, что 
угол C равен 
Найдите радиус вписанной окружности.
В треугольнике ABC известно, что 
угол C равен Найдите радиус вписанной окружности.
Именно так и вычислили
В треугольнике ABC стороны AC = 12, BC = 5, угол C равен 90°. Найдите радиус вписанной окружности.
В треугольнике ABC стороны AC = 24, BC = 10, угол C равен 90°. Найдите радиус вписанной окружности.
В треугольнике ABC 
угол C равен 90°. Найдите радиус вписанной окружности.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
В треугольнике ABC стороны AC = 4, BC = 3, угол C равен 90°. Найдите радиус вписанной окружности.
Приведем решение Айши Гучиговой.
Найдем гипотенузу треугольника: 
Площадь треугольника ABC равна 
С другой стороны, 
откуда
В треугольнике ABC 
угол C равен 90°. Найдите радиус вписанной окружности.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
В треугольнике ABC стороны AC = 4, BC = 3, угол C равен 90°. Найдите радиус вписанной окружности.
Приведем решение Айши Гучиговой.
Найдем гипотенузу треугольника:
Площадь треугольника ABC равна С другой стороны, откуда
В треугольнике ABC 
угол C равен 90°. Найдите радиус вписанной окружности.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
В треугольнике ABC стороны AC = 4, BC = 3, угол C равен 90°. Найдите радиус вписанной окружности.
Приведем решение Айши Гучиговой.
Найдем гипотенузу треугольника:
Площадь треугольника ABC равна С другой стороны, откуда
В треугольнике ABC 
угол C равен 90°. Найдите радиус вписанной окружности.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
В треугольнике ABC стороны AC = 4, BC = 3, угол C равен 90°. Найдите радиус вписанной окружности.
Приведем решение Айши Гучиговой.
Найдем гипотенузу треугольника:
Площадь треугольника ABC равна С другой стороны, откуда
В треугольнике ABC 
угол C равен 90°. Найдите радиус вписанной окружности.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
В треугольнике ABC стороны AC = 4, BC = 3, угол C равен 90°. Найдите радиус вписанной окружности.
Приведем решение Айши Гучиговой.
Найдем гипотенузу треугольника:
Площадь треугольника ABC равна С другой стороны, откуда
В треугольнике ABC 
угол C равен 90°. Найдите радиус вписанной окружности.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
В треугольнике ABC стороны AC = 4, BC = 3, угол C равен 90°. Найдите радиус вписанной окружности.
Приведем решение Айши Гучиговой.
Найдем гипотенузу треугольника:
Площадь треугольника ABC равна С другой стороны, откуда
В треугольнике известно что найдите площадь треугольника
Биссектриса CD угла ACB при основании равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) делит сторону AB так, что AD = BC = 2.
а) Докажите, что CD = BC.
б) Найдите площадь треугольника ABC.
а) По свойству биссектрисы получим:
Воспользуемся теоремой синусов для треугольника ABC:
Осталось по теореме косинусов найти CD из треугольника BCD:
Таким образом, CD = BC = 2. Что и требовалось доказать.
б) Найдем площадь треугольника по формуле Герона:
Ответ: 
Примечание: в данной задаче получилось, что ADC равнобедренный, откуда 
откуда 
Площадь треугольника АВС равна 12. На прямой АС взята точка D так, что точка С является серединой отрезка AD. Точка K — середина стороны AB, прямая KD пересекает сторону BC в точке L.
a) Докажите, что BL : LC = 2 : 1.
б) Найдите площадь треугольника BLK.
а) Соединим отрезками точки B и D, A и L. Рассмотрим треугольник АВD. Ясно, что L — точка пересечения медиан этого треугольника. Отсюда BL : LC = 2 : 1, что и требовалось доказать.
б) Как известно, медианы треугольника, пересекаясь в одной точке, делят его на 6 равновеликих треугольников. Учитывая то, что L — точка пересечения медиан 
а также 
получим:
Точка D делит сторону AC в отношении AD : DC = 1 : 2.
а) Докажите, что в треугольнике ABD найдётся медиана, равная одной из медиан треугольника DBC.
б) Найдите длину этой медианы в случае, если AB = 7, BC = 8, и AC = 9.
а) Обозначим середины отрезков BA, BD, BC за E, F, G соответственно. Тогда EG — средняя линия треугольника ABC, и точка F лежит на ней. Поскольку FG — средняя линия DBC, то 
Итак, в четырехугольнике AFGD две стороны равны и параллельны, значит, он параллелограмм и 
б) По теореме косинусов в треугольнике ABC имеем 
откуда 
По теореме косинусов в треугольнике DGC имеем 
откуда 
Ответ: 
На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC отложены соответственно отрезки 
а) Докажите, что 
где 
б) Найдите, какую часть от площади треугольника ABC составляет площадь треугольника MNK.
а) Напишем теорему Менелая для треугольника ABF и прямой MKC. Получим
Аналогично площади остальных треугольников равны 
Ответ: 
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CD. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD, равны 0,6 и 0,8.
а) Докажите подобие треугольников ACD и BCD, ACD и ABC.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
а) Пусть в прямоугольном треугольнике ABC проведена высота к гипотенузе CD. Треугольники ACD и ABC подобны по двум углам ( 
общий, 
) с коэффициентом 
и в таком же отношении находятся их радиусы вписанных окружностей.
По тем же причинам подобны треугольники BCD и ABC ( 
общий, 
). Значит, и треугольники ACD и BCD подобны.
б) Как следует из первого пункта, в треугольниках ACD, BCD, ABC одинаково отношение гипотенузы к радиусу вписанной окружности. Обозначим это отношение за x. Тогда 
Тогда по теореме Пифагора 
откуда 
