В треугольнике abc проведены биссектрисы bm и cn оказалось что точки

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

В треугольнике abc проведены биссектрисы bm и cn оказалось что точки

В треугольнике ABC проведены биссектрисы BM и CN. Оказалось, что точки B, C, M и N лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Пусть P — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите площадь четырёхугольника AMPN, если MN : BC = 2 : 5, а BN = 21.

а) Вписанные углы NCM и MBN опираются на одну и ту же дугу, следовательно, они равны. Поскольку

получаем то есть треугольник ABC равнобедренный.

получаем, что и прямая MN параллельна прямой BC. Отрезок BC равен

Пусть AK — биссектриса, медиана и высота треугольника ABC. Прямая AK проходит через точку P — центр вписанной окружности. Треугольник ANM подобен треугольнику ABC, следовательно,

Площадь треугольника ABС равна

В четырёхугольнике AMPN диагонали AP и MN перпендикулярны, следовательно, его площадь равна

Ответ: б)

Источник

В треугольнике abc проведены биссектрисы bm и cn оказалось что точки

В треугольнике ABC проведены BK — медиана, BE — биссектриса, AD — высота. Известно, что прямые BK и BE делят отрезок AD на три равные части.

а) Докажите, что треугольник ABC — тупоугольный.

б) Найти длину стороны AC, если AB = 4.

а) Пусть треугольник ABC не является тупоугольным. Тогда его высота AD лежит внутри треугольника или совпадает с его стороной. Тогда BD ⩽ AB. Пусть прямая BE пересекает AD в точке F, прямая BK пересекает AD в точке G. По свойству биссектрисы Тогда Применим к треугольнику ACD и секущей BG теорему Менелая: откуда что невозможно. Получаем противоречие, значит, треугольник ABC тупоугольный.

б) По свойству биссектрисы откуда BD = 2, поэтому угол ABC = 60°. Применим к треугольнику ACD и секущей BG теорему Менелая:

Осталось применить для треугольника ABC теорему косинусов:

Ответ: б)

Источник

В треугольнике abc проведены биссектрисы bm и cn оказалось что точки

Задание 16. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и CC1, K и M — основания перпендикуляров, опущенных из точки B на прямые AA1 и CC1.

а) Докажите, что .

б) Найдите площадь треугольника KBM, если известно, что AC = 10, BC = 6, AB = 8.

Решение представлено Григорием Пожидаевым

а) Продолжим BK и BM до пересечения с AC. Получим точки K1 и M1 соответственно (см. рисунок ниже). Рассмотрим треугольник ABM1, в котором AM – биссектриса и высота одновременно, следовательно, ABM1 – равнобедренный треугольник, а AM – его медиана. А это значит, что BM=MM1.

По аналогии для треугольника CBK1, в котором CK – биссектриса и высота, следовательно, CBK1 – равнобедренный треугольник с медианой CK и, следовательно, BK=KK1. Таким образом, получаем, что MK – это средняя линия треугольника K1BM1, откуда следует, что .

б) Треугольник ABC является прямоугольным с углом B=90°, так как для его сторон выполняется теорема Пифагора:

Тогда, для треугольника ABC будет справедливо:

Найдем теперь длины сторон BM и BK, получим:

Так как треугольник ABC прямоугольный, то

.

Также углы как накрест лежащие. А сумма углов , следовательно, вокруг четырехугольника BKOM можно описать окружность. Углы , так как опираются на дугу KO, а углы , так как опираются на дугу MO. Отсюда следует, что .

Площадь треугольника KBM вычислим по формуле

Источник

• ← В треугольнике abc проведена медиана bm если то чему равно значение k
• В треугольнике abc проведены высоты aa1 и bb1 докажите что углы равны →