В треугольнике abc проведена биссектриса bd докажите что ab ad

В треугольнике abc проведена биссектриса bd докажите что ab ad

Решение

а) Первый способ. Докажем утверждение для биссектрисы внутреннего угла. Проведём через точку C прямую, параллельную BD, до пересечения с прямой AB в точке E. Так как ∠BEC = ∠ABD = ∠CBD = ∠BCE, то треугольник CBE – равнобедренный (BC = BE). По теореме Фалеса
AD : DC = AB : BE = AB : BC.

Для биссектрисы внешнего угла доказательство аналогично.

Второй способ. Точка равноудалена D от прямых AB и BC. Поэтому AD : DC = S_ABD : S_BCD = AB : BC.

Источники и прецеденты использования

Источник

В треугольнике ABC провели биссектрису BE

В треугольнике ABC провели биссектрису BE и прямая m (серединный перпендикуляр) не проходит через вершину С. Оказалось, что BE = EC, а прямая m пересекает сторону BC. Докажите, что угол C меньше 36 градусов.

допустим что угол С = 36

ВЕС равнобедренный и тогдда угол ЕВС 36 тогда угол АВС 72 тогда угол ВАС 72 треугольник АВС равнобедренный тк два угла равны

ВЕ это биссектрисса в равнобедренном АВС значит она и медиана АЕ = ЕС но также ВЕ = ЕС по условию значит АЕ=ВЕ=ЕС значит АВС прямоугольный по признаку прямоугольного треугольника

значит угол В 90 градусов и угол С равен 45 но такого быть не может тк мы его взяли 36 противоречие

Задайте свой вопрос по математике
профессионалам

Другие вопросы на эту тему:

ABCD — выпуклый четырёхугольник

ABCD — выпуклый четырёхугольник, где AB = 7, BC = 4, AD = DC,
угол ABD = угол DBC. Точка E на отрезке AB такова, что угол DEB = 90 градусов. Найдите
длину отрезка AE.

Математика

График функции f(x)=1/12х²+ах +b пересекает ось Ох в точках А и С, а ось Оу — в точке В, как изображено на рисунке. Оказалось, что для точки Т с координатами (3; 3) выполнено условие ТА=ТВ=TC. Найдите b.

Внутри треугольника

Задача по геометрии

Несколько задач по геометрии

Несколько задач по геометрии.
1.Периметр прямоугольного треугольника равен 132, а сумма квадратов сторон раына 6050. Найти стороны.

2.Найти биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катетами 24 и 18.

3.Перпендикуляр к боковой стороне АВ трапеции АВСD, проходящей через её середину К, пересекает сторону СD в точке L.Известно, что площадь четырехугольника АКLD в 5 раз больше площади четырехугольника BKLC, СL=3, DL=15, KC=4. Найти длину отрезка KD.

Источник

В треугольнике abc проведена биссектриса bd докажите что ab ad

В треугольнике ABC проведены BK — медиана, BE — биссектриса, AD — высота. Известно, что прямые BK и BE делят отрезок AD на три равные части.

а) Докажите, что треугольник ABC — тупоугольный.

б) Найти длину стороны AC, если AB = 4.

а) Пусть треугольник ABC не является тупоугольным. Тогда его высота AD лежит внутри треугольника или совпадает с его стороной. Тогда BD ⩽ AB. Пусть прямая BE пересекает AD в точке F, прямая BK пересекает AD в точке G. По свойству биссектрисы Тогда Применим к треугольнику ACD и секущей BG теорему Менелая: откуда что невозможно. Получаем противоречие, значит, треугольник ABC тупоугольный.

б) По свойству биссектрисы откуда BD = 2, поэтому угол ABC = 60°. Применим к треугольнику ACD и секущей BG теорему Менелая:

Осталось применить для треугольника ABC теорему косинусов:

Ответ: б)

Источник