В семье двое детей какова вероятность что старший ребенок мальчик

Основные формулы теории вероятностей

Задача 1. В ящике 10 красных и 5 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность, что пуговицы будут одноцветными?

Решение. Событие A= <вынуты пуговицы одного цвета>можно представить в виде суммы , где события и означают выбор пуговиц красного и синего цвета соответственно. Вероятность вытащить две красные пуговицы равна , а вероятность вытащить две синие пуговицы . Так как события и не могут произойти одновременно, то в силу теоремы сложения

Задача 2. Среди сотрудников фирмы 28% знают английский язык, 30% – немецкий, 42% – французский; английский и немецкий – 8%, английский и французский – 10%, немецкий и французский – 5%, все три языка – 3%. Найти вероятность того, что случайно выбранный сотрудник фирмы: а) знает английский или немецкий; б) знает английский, немецкий или французский; в) не знает ни один из перечисленных языков.

Решение. Обозначим через A, B и С события, заключающиеся в том, что случайно выбранный сотрудник фирмы владеет английским, немецким или французским соответственно. Очевидно, доли сотрудников фирмы, владеющих теми или иными языками, определяют вероятности этих событий. Получаем:

Задача 3.В семье – двое детей. Какова вероятность, что старший ребенок – мальчик, если известно, что в семье есть дети обоего пола?

Решение. Пусть А=<старший ребенок – мальчик>, B=<в семье есть дети обоего пола>. Будем считать, что рождение мальчика и рождение девочки – равновероятные события. Если рождение мальчика обозначить буквой М, а рождение девочки – Д, то пространство всех элементарных исходов состоит из четырех пар: . В этом пространстве лишь два исхода (МД и ДМ) отвечают событию B. Событие AB означает, что в семье есть дети обоего пола. Старший ребенок – мальчик, следовательно, второй (младший) ребенок – девочка. Этому событию AB отвечает один исход – МД. Таким образом, |AB|=1, |B|=2 и

Задача 4. Мастер, имея 10 деталей, из которых 3 – нестандартных, проверяет детали одну за другой, пока ему не попадется стандартная. Какова вероятность, что он проверит ровно две детали?

Решение. Событие А= <мастер проверил ровно две детали>означает, что при такой проверке первая деталь оказалась нестандартной, а вторая – стандартная. Значит, , где = < первая деталь оказалась нестандартной >и =<вторая деталь – стандартная>. Очевидно, что вероятность события А₁ равна кроме того, , так как перед взятием второй детали у мастера осталось 9 деталей, из которых только 2 нестандартные и 7 стандартных. По теореме умножения

Задача 5.В одном ящике 3 белых и 5 черных шаров, в другом ящике – 6 белых и 4 черных шара. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.

Решение. Событие A= <хотя бы из одного ящика вынут белый шар>можно представить в виде суммы , где события и означают появление белого шара из первого и второго ящика соответственно. Вероятность вытащить белый шар из первого ящика равна , а вероятность вытащить белый шар из второго ящика . Кроме того, в силу независимости и имеем: . По теореме сложения получаем: .

Задача 6. Три экзаменатора принимают экзамен по некоторому предмету у группы в 30 человек, причем первый опрашивает 6 студентов, второй — 3 студентов, а третий — 21 студента (выбор студентов производится случайным образом из списка). Отношение трех экзаменаторов к слабо подготовившимся различное: шансы таких студентов сдать экзамен у первого преподавателя равны 40%, у второго — только 10%, у третьего — 70%. Найти вероятность того, что слабо подготовившийся студент сдаст экзамен.

Решение. Обозначим через гипотезы, состоящие в том, что слабо подготовившийся студент отвечал первому, второму и третьему экзаменатору соответственно. По условию задачи

, , .

Пусть событие A=<слабо подготовившийся студент сдал экзамен>. Тогда снова в силу условия задачи

, , .

По формуле полной вероятности получаем:

.

Задача 7. Фирма имеет три источника поставки комплектующих – фирмы А, B, С. На долю фирмы А приходится 50% общего объема поставок, В – 30% и С – 20%. Из практики известно, что среди поставляемых фирмой А деталей 10% бракованных, фирмой В – 5% и фирмой С – 6%. Какова вероятность, что взятая наугад деталь окажется годной?

Решение. Пусть событие G – появление годной детали. Вероятности гипотез о том, что деталь поставлена фирмами А, B, С, равны сответственно Р(А)=0,5, Р(В)=0,3, Р(С)=0,2. Условные вероятности появления при этом годной детали равны Р(G|A)=0,9, P(G|B)=0,95, P(G|C)=0,94 (как вероятности противоположных событий к появлению бракованной). По формуле полной вероятности получаем:

Задача 8 (см. задачу 6). Пусть известно, что студент не сдал экзамен, т.е. получил оценку «неудовлетворительно». Кому из трех преподавателей вероятнее всего он отвечал?

Решение. Вероятность получить «неуд» равна . Требуется вычислить условные вероятности. По формулам Байеса получаем:

, и аналогично,

, .

Отсюда следует, что, вероятнее всего, слабо подготовившийся студент сдавал экзамен третьему экзаменатору.

Дата добавления: 2015-01-29 ; просмотров: 316 ; Нарушение авторских прав

Источник

Теория Вероятности: две простые и интересные задачи

Как утверждал Цицерон: «Вероятностные знания — вот предел человеческого разумения». Действительно, как показывает мой опыт именно с этим разделом математики связаны наибольшие затруднения у студентов, да и не только, даже у отцов основателей этой науки нередко возникали проблемы с пониманием некоторых моментов.
Рассмотрим две задачи, для начало попробуйте решить их самостоятельно, ниже я приведу решение и пояснения к ним.

Задача 1.
Какова вероятность того, что в семье из двух детей оба ребенка будут мальчиками?

Задача 2.
В семье из двух детей младший ребенок мальчик, какова вероятность того, что старший тоже мальчик?

Давай те рассмотрим решения данных задач, но для начала вспомним элементарное определение вероятности.

Вероятностью наступления события А называется отношение n — числа благоприятных исходов, к m — общему числу исходов.

Каково множество всех исходов для первой задачи?
1 – M M
2 – М Д
3 – Д М
4 – Д Д
m=4

Каково множество благоприятных исходов?
1 – М М
n=1
Нетрудно видеть, что ответ для первой задачи будет P(A)=n/m =1/4

Для второй задачи множество исходов будет составлять:
1 – Д М
2 – М М
m=2

Множество благоприятных событий всего одно М и М. Итого: ответ для второй задачи будет P(b)=n/m=1/2

Резюме.
Задачи, казалось бы, имеют очень схожий смысл, но необходимо внимательно относиться к условиям. Подобного типа задачи вызывают «ужас» у многих людей тем, что после оглашения результатов складывается ощущение, что в них был заложен подвох. Хочу закончить простыми советами:

1) Пытайтесь дробить задачу на простые части, в данном случае это определение множеств (благоприятных и всех).
2) Перепроверяйте себя, ответ который пришел в вашу голову за первые секунды скорее всего не верный.
3) Верьте в себя.

Источник

Логические задачи и головоломки

Мистер Смит сообщает, что у него двое детей и по крайней мере один из них мальчик. Какова вероятность того, что второй ребенок мистера Смита тоже мальчик?

Комментарии

Есть только 2 варианта: м-м и д-м(дм и мд одно и тоже). Один мальчик присутствует 100%, второй ребенок определяется с вероятностью 50%

75% мальчик уже есть это 50% остаеться один шансы пополам т.е. 50 + 25 = 75%

Акха, а вы учитываете что 1.мальчиков рождается больше. 2.Если уже есть мальчик, то вероятность второго мальчика гораздо выше так как у отца подвижны Y-сперматозоиды.
Я за мальчика. )))

в ответе конечно логика есть, но мне кажется автор сам запутался.
т.к. нам действительно не важно старше мальчик или нет.
всего есть 3 варианта ММ, ДД, МД (он же ДМ т.к. очереднасть нам не важна, а важен сам факт М или Д оставшийся ребенок).
ДД исключаем. остается 2 варианта, т.е. 50%

обшибка )
нам действительно не важно МД или ДМ но кол-во комбинаци МД=ДМ=ММ=ДД
раз ДД мы исключили, а МД или ДМ не важно то получается что на долю ММ остается 1/3 и 2/3 на долю МД или ДМ.
вобщем автор прав )

вот еще что пришло в голову.
после того как Смит сообщил нам что по крайней мере один ребенок мальчик, вероятность того что и второй мальчик 1/3.
но мы вдруг спросили мистера Смита «Тот мальчик о котором вы сказали старший?».
получается что не зависимо от его ответа вероятность того что второй ребенок мальчик увеличивается и становится 1/2.
так ли это? 🙂

Чтобы не портить задачу, мы должны спросить так: «Тот мальчик о котором вы сказали старший ребенок?»

Мне кажется так: любой внятный ответ Смита («да» либо «нет») сводит наши шансы найти второго мальчика до 0%. Ибо такой конкретный ответ выдаст, что лишь одного из детей он может внести под категорию «тот мальчик».

Я твою логику. Ты вообще понял, что написал?! Читай внимательно, что ты написал. Всего 4 варианта: ДД, ДМ, МД, ММ. Теперь ты исключил вариант ДД, т.е. осталось ДМ, МД, ММ. Ты также написал, что не важно МД или ДМ, тогда я выбераю МД. Остаются 2 варианта: МД и ММ. 1/2 вероятность того, что второй ребенок мальчик. т.е. второй ребенок либо мальчик, либо девочка. Автор тоже ошибся. В вариантах МД и ДМ, позиция не имеет значения. В обоих случаях мальчик с девочкой.

На каждый из равнозначных вариантов МД и ДМ приходится одинаковая доля вероятности

Если учитывать возраст М., то помимо Мд, Дм будут варианты Мм, мМ. Т.о. верояьносьь М.=2/4=1/2.

Ответы не очень=) А ответ автора вообще не в тему!
Начнем с самого начала, и так какой шанс что родиться девочка или мальчик да правильно по 50%, значит шанс что родиться 2 мальчик или девочки подряд 25%. Значит всего может быть 3 варианта ММ-25%, ДД-25% и ДМ-50%.Значит если есть один мальчик то вероятность что второй ребенок девочка 75% или 3\4.

Варианта только 2. (ММ)и(МД или ДМ).то есть 50/50
Если известно что мальчик один уже точно есть, то отнимаем М.
(М) и (Д) = 50/50
ответ:50%

Варианта три. (ММ),(МД) и (ДМ).

Нам не важно, что сказали об одном из детей, на вероятность принадлежности к тому или иному полу другого ребёнка это не относится.

Итак, второе дитя может быть равновероятно или мальчиком, или девочкой, так? Раз РАВНОвероятно, то p = 50%

А я не согласен с автором, ведь нам не важны эти комбинации. Оставшийся ребёнок либо мальчик либо девочка 1/2. имхо

ИМХО Если очерёдность не учитывать то ММ МД и вероятность 50%
Усли учитывать то Мм мМ Мд мД и вероятность 50%.
Но вероятно автор знает о чём говорит.

Не первый, а «по крайней мере один».

Ответ неверен, есть первый и второй ребенок, один их них мальчик, возможны два варианта Мх и хМ где х неизвестный пол, в каждом случае х может быть либо М либо Ж. Получаем четыре варианта ММ МД ММ ДМ, на устраивают 2 варианта из 4. Ответ 1\2. Вы учли вероятность что второй будет мальчик если первый мальчик, но не учли что первый будет мальчиком, если второй мальчик. То есть варианта ММ должно быть два, а не один.

Не нужно быть знатоком генетики чтобы знать, что мужской набор-ХУ, а женский-ХХ.Вероятность того, что ребенок будет мальчикок=50%,так как возможны 4 комбинации- ХХ, ХУ, ХХ, ХУ.С двумя детьми вероятность станет 0,5*0,5=0,25
Возможны 4 комбинации-мд,мм,дм,дд.Но так как в Условии ясно сказано, что один из детей-мальчик, у нас остаётся три комбинации. Так как в самом начале комментария я сказал, что все наборы имеют равную вероятность, то получаем ответ 33%, что и было написано в решении

Кто не согласен учите теорию вероятности

Давайте представим что в неком городе живет 100 семей с 2-я детьми под фамилией Смит.

Сделаем три допущения.
Допущение 1. В этом городе вероятность рождения мальчика или девочки одинаковая и =1/2.
Допущение 2. В этом городе дети в каждой семье рождаются не одновременно (т.е. один ребенок младший, другой старший.
Допущение 3(для наглядности). В этом городе состав семей по детям в точности совпадает с вероятностной моделью.

Из этих 75 семей только в 25 семьях оба мальчики.
Следовательно искомая вероятность равна 25/75= 1/3.

Надеюсь, что получилось наглядно.))

Неверный ответ 1/2, возникает из-за того, что не осознается, что семей, где есть девочка и мальчик, вдвое больше чем семей, где оба мальчики.

Мой ответ совпал с решением автора, потом возникли сомнения: в условиях не оговаривается очередность (старшинство), поэтому, возможно, варианты М-Д и Д-М идентичны и составляют одно, тогда вероятность 1/2.

Старшинство не важно. Просто если объединять варианты МД и ДМ в один, то его вероятность в обществе составит 0.5, а у ММ и ДД по 0.25. Поэтому проще считать эти варианты раздельными и тогда у каждого из 4 вариантов вероятность 0.25. И ответ задачи действительно 1/3.

Источник

В семье двое детей какова вероятность что старший ребенок мальчик

В 1959 году Мартин Гарднер задал вопрос: “У мистера Смита двое детей. Хотя бы один ребёнок — мальчик. Какова вероятность того, что оба ребёнка мальчики?”. Интуитивно многие люди рассуждают так: вероятность рождения мальчика или девочки примерно равны (в уточнениях к задаче об этом обычно говорится), пол одного ребенка не зависит от пола второго ребенка, информации о том, что оба ребенка однояйцовые близнецы, нет, да и о чем спрашивать в таком случае, т.е. вероятность, что второй ребенок – тоже мальчик 50%, что дает нам 50% вероятность, что оба ребенка мальчики.

Но сам Гарднер и другие математики после него предлагают рассмотреть ситуацию чуть иначе. Коли у нас имеется семья из двух детей, то мы имеем всего четыре пары детей:

Поскольку по условию задачи один из детей мальчик, то вариант с двумя девочками исключается, что оставляет нас с тремя вариантами. Оба мальчика – это один из трех вариантов с вероятностью, равной каждому из оставшихся сценариев, что дает нам ответ в 33.33% вероятности.

Для ее решения предлагается рассмотреть все возможные варианты рождения детей при такой же вероятностной раскладке детей по каждому дню, как на приведенной выше схеме, но если не получается соответствие условию – сын, рожденный во вторник, – то вариант делается совсем блеклым и в подсчетах он не учитывается:

Если подсчитать все пары детей, то оба мальчика будут в 13 из 27 вариантов, т.е. вероятность 13/27.

Неправда-ли, несколько странно, что вероятность пола ребенка зависит от дня недели, когда он родился? Да и объяснение первой задачи оставляет несколько странное ощущение…

Итак, давайте вернемся к первой задаче. Вы знаете, что у Смита двое детей, однажды встречаете его на улице с мальчиком: “Это – Джонни, мой сын”. Или в разговоре с Вами Смит упоминает своего сына, или некий общий знакомый Джонс упоминает сына Смита.
Логика и базовые знания биологии заставляют предположить пол второго ребенка как с вероятностью 1/2 мужской и 1/2 женский. Однако Вы же прочитали объяснения выше и против трех равновероятных сценариев (мальчик-девочка, девочка-мальчик и мальчик-мальчик) возразить нечего.

Но это ловушка. Давайте посмотрим на обведенные на самой верхней схеме три сценария. Что-то интересное заметили? Давайте подсчитаем, сколько там всего мальчиков. Четыре. Сколько мальчиков имеют сестер? Двое. То есть шанс каждого увиденного Вами сына мистера Смитом иметь брата точно такой же, как и иметь сестру, т.е. в половине случаев оба ребенка будут мальчиками.
В чем была ловушка? В том, что шанс увидеть рядом со Смитом сына из пары в два мальчика вдвое выше, чем в случае наличия сына и дочери.

То есть здравый смысл и биологию выбрасывать на помойку совсем не надо 🙂

Теперь давайте перейдем ко второй задачке. Если Вы посмотрите на предлагаемую выше схему, то обнаружите достаточно четкую логику: в колонке “Вторник” каждый день имеет 2 подходящих сценария с (младшим) сыном, рожденным во вторник – дочь и сын и оба сына, тогда как в ряду “вторник” на каждый день недели тоже есть два подходящих варианта (старший) сын и дочь и два сына. То есть вероятность появления двух сыновей, рожденных во вторник, вдвое выше вероятности двух сыновей, когда один рожден во вторник, а второй – в любой другой день недели. Подчеркну – в заданных задачей рамках.

Так что у нас 28 вариантов всего, из коих в 14 оба мальчика, т.е. вероятность двух мальчиков, если хотя бы один из них рожден во вторник, нормальные 50%.

Секундочку, скажет внимательный читатель, но ведь в задаче говорится об одном рожденном во вторник сыне, а нам предлагают двух! Как только мы исключаем вариант двух рожденных во вторник сыновей, мы остаемся с вероятностью 12/26 (46%). Да, ниже 50%, но из-за ограничивающего условия, чтобы только один из них был рожден во вторник.

Из вышесказанного ни в коей мере не следует, что математика лжет, заводит не туда или не может применяться в жизни. Математика по сути язык, который, увы, не всегда точно соответствует тем языкам, кои мы используем в разговоре. Когда задача не совсем точно сформулирована, допускает разные истолкования, ее перевод на язык математики будет столь же ущербным и странным, как попытка перевести идиомы, не зная их точного значения, но опираясь только на основной перевод значения каждого из входящих в идиому слов.
Например, если переводить “give up” как “давать + вверх”, смысла в предложении не будет совсем, т.к. значение идиомы – “оставить”, “отказаться”, “уступить”, “бросить”, – и близко не похоже на буквальный перевод.

Не в математике проблема, а в жаждущих найти якобы научное объяснение, но по сути уподобляющихся профессору лингвистики из анекдота, который на конференции рассказал о племени, чей язык состоит из одного слова. Профессор указывал на разные предметы и неизменно получал один ответ: “тыящегв”. Весь конференцзал встает и дико аплодирует. После чего просит слова один старичок, который говорит, что однажды проходил через деревню племени и согласно его записям “тыящегв” означает всего-лишь палец.

Источник

Условная вероятность, закон умножения вероятностей

Условная вероятность события В – это вероятность события В, найденная при условии, что событие А произошло. Обозначается Р(В|А).

В коробке содержится 3 белых и 3 желтых таблетки. Из коробки дважды вынимают наугад по одной таблетке, не возвращая их в коробку. Найти вероятность появления белых таблеток при втором испытании (событие В), если при первом испытании была извлечена желтая таблетка (событие А).

Решение: После первого испытания в коробке осталось 5 таблеток, из них 3 белых. Искомое условие вероятности: Р(В/А) = = 0,6.

В коробке находится 8 красных и 6 белых таблеток. Из коробки последовательно без возвращения извлекают 3 таблетки. Найти вероятность того, что все 3 таблетки белые.

Обозначим; А₁ – первая таблетка белая, А₂ – вторая таблетка белая, А₃ – третья таблетка белая.

Р(A₁A₂A₃)=P(A₁)P(A₂/A₁) P(A₃/A₁A₂);

P(A₁)= ; P(A₂/A₁)= ; P(A₃/A₁A₂)= ;

P(A) = P(A₁A₂A₃)= .

Произведение двух событий – это событие, состоящее в совместном появлении этих событий А и В.

Событие В называются независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности появления события В.

Вероятность появления нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р(А В)=Р(А) Р(В).

Для зависимых событий:

Р(АВ)=Р(А) Р(В/А).

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло.

Вероятность того, что у взрослого пациента все зубы сохранились равна 0,67. Какова вероятность того, что у двух не имеющих отношения друг к другу больных, ожидающих приема в кабинете стоматолога, есть все зубы?

Решение: Р(А В) = Р(А) Р(В) = 0,67 0,67 = 0,45.

В терапевтическом отделении больницы 70 % пациентов — женщины, а 21 % — курящие мужчины. Наугад выбирают пациента. Он оказывается мужчиной. Какова вероятность, что он курит?

Решение: Пусть М означает, что пациент — мужчина, а К — что пациент курит. Тогда в силу условия задачи Р(М) = 0,3, а Р(МК) = 0,21. Поэтому условная вероятность

Р(ММ) = Р(М) Р(М) = 0,515 0,515 = 0,265;

Р(ДД) = 0,485 0,485 = 0,235;

Р(МД) = 0,515 0,485 = 0,25.

Решение: Вероятность иметь дизиготных близнецов равна:

P(A)= ;

1–P(B)= .

Вероятность того, что студент в летнюю сессию сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй – 0,9; третий – 0,8. Найти вероятность того, что студентом будут сданы: 1) только второй экзамен; 2) все три экзамена.

Решение: l) P(B) = P( A₂ ) = P( ) P(A₂) P( ) = 0,1 0,9 0,2 = 0,018;

2) Р(A₁A₂A₃)=P(A₁) P(A₂) P(A₃) = 0,9 0,9 0,8 = 0,648.

В группе обследуемых 1000 человек. Из них 600 курящих и 400 некурящих. Среди курящих 240 человек имеют те или иные заболевания легких. Среди некурящих легочных больных 120 человек. Являются ли курение и заболевание легких независимыми событиями?

Решение. Пусть событие А – обследуемый курит, событие В – обследуемый страдает заболеванием легких.

Тогда согласно условию задачи

Так как 0,36 ≠ 0,4, события А и В зависимы.

Вероятность выживания одного организма в течение 20 минут Р = 0,7. В пробирке с благоприятными для существования этих организмов условиями находятся только что родившиеся 2 организма. Какова вероятность того, что через 20 минут они будут живы?

Решение. Пусть событие А — первый организм жив через 20 мин, событие В — второй организм жив через 20 мин. Будем считать, что между организмами нет внутривидовой конкуренции, т. е. события А и В независимы. Событие, что оба организма живы, есть событие АВ. Получаем:

Решение: Вероятность того, что в мишень попадет первый стрелок и не попадет второй, равна:

P(A₁ ) = 0,7 (1 – 0,8) = 0,7 0,2 = 0,14.

Вероятность того, что попадет второй стрелок в мишень и не попадет первый, равна:

P( A₂ ) = (1 – 0,7) 0,8 = 0,3 0,8 = 0,24.

Вероятность того, что в мишень попадет только один стрелок, равна сумме этих вероятностей:

P(A₁ ) + P( A₂ ) = 0,14 + 0,24 = 0,38.

Сколько должна планировать пара иметь детей, чтобы вероятность хотя бы одного мальчика была выше 90% (вероятность рождения мальчика и девочки 0,5).

Решение: Пусть вероятность того, что все девочки:

Вероятность того, что не все девочки:

P(хотя бы один мальчик) = .

Варианты заданий

№ 12.1. В одном аквариуме находятся: 3 белые, 3 красные и 3 голубые рыбки. Трех случайно выбранных рыбок переносят в другой аквариум. Какова вероятность того, что все 3 рыбки белые?

№ 12.2. Студент изучает биологию, химию и физику. Он оценивает, что вероятность получить «пятерку» по этим предметам равна соответственно: Р(Б) = ; Р(X) = ; Р(Ф) = . Предположим, что оценки студента по трем предметам независимы. Какова вероятность, что он: 1) Не получит ни одной «пятерки»? 2) Получит «пятерку» только по биологии?

№ 12.4. На лекции по биофизике во втором семестре присутствуют 124 студента. Из них на экзамене по высшей математике в зимнюю сессию получили оценку «отлично» 19 человек, «хорошо» – 50 человек, «удовлетворительно» – 24 и не сдали экзамен 31 человек. Какова вероятность того, что вызванные наугад один за другим два студента из числа присутствующих на лекции не имеют задолженности по высшей математике?

№ 12.5. Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов только 24. Какова вероятность сдать зачет, если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос?

№ 12.6. Вероятность того, что в течение одного рабочего дня возникнет неполадка в определенном медицинском приборе равна 0,05. Какова вероятность того, что не произойдет ни одной неполадки за 3 рабочих дня?

№ 12.8. В коробке содержится 3 белых и 3 желтых таблетки. Из коробки дважды вынимают наудачу по одной таблетке, не возвращая в коробку. Найти вероятность появления белой таблетки при втором испытании (событие В), если при первом испытании была извлечена желтая таблетка (событие A).

№ 12.9. В коробке содержится 8 красных и 6 белых таблеток. Из коробки последовательно без возвращения извлекаются 3 таблетки. Найти вероятность того, что все таблетки белые.

№ 12.12. Отдел технического контроля проверяет медицинское изделие на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.

№ 12.13. Какова вероятность того, что у девочки, о которой известно, что она растет в семье, где четыре ребенка, есть старший брат?

№ 12.14. а) Сколько должна планировать супружеская пара иметь детей, чтобы вероятность хотя бы одного мальчика была выше 90%?

б) Сколько должна планировать супружеская пара иметь детей, чтобы вероятность хотя бы одного мальчика и одной девочки была выше 70%?

№ 12.15. а) Найдите вероятность того, что в семье из шестерых детей три мальчика и три девочки.

б) Найдите вероятность того, что в семье из шестерых детей все дети одного и того же пола.

№ 12.16. Представим, что в одной семье есть восемь детей — четыре мальчика и четыре девочки. Какова вероятность того, что старший ребенок – мальчик? Какова вероятность того, что все четыре мальчика старше четырех девочек?

№ 12.17. У пары три ребенка. Определим события А (первый ребенок – девочка), В (второй ребенок – мальчик), С (третий ребенок – мальчик), D (первые два ребенка – мальчики) и Е (хотя бы один ребенок –мальчик).

а) Вычислите вероятности этих пяти событий.

б) Являются ли независимыми А и D; А и Е; В и E?

в) Являются ли независимыми события В, С и E?

№ 12.18. Некоторая вакцина эффективна на 75% в формировании иммунитета. Вакцинировалось два человека. Пусть А и В — события, состоящие в том, что соответственно первый и второй человек приобретает иммунитет. Являются ли независимыми А и В; А и ; и В; и ? Найти вероятности этих пар событий.

№ 12.19. Три врача независимо друг от друга осмотрели одного и того же больного. Вероятность того, что 1-ый врач допустит ошибку при установлении диагноза, равна 0,01. Для 2-го и 3-го – 0,015 0,02 соответственно. Найти вероятность того, что хотя бы один из врачей допустит ошибку в диагнозе.

№ 12.20. Три крысы обучаются выполнению трех различных заданий (по одной крысе на каждое задание). Вероятности того, что крысы выполняют свои задания за 1 мин, составляют соответственно 2/3, 1/2 и 1/3. Какова вероятность того, что все три крысы выполнят свои задания за 1 мин? Что выполнят только две? Что выполнят хотя бы две?

№ 12.21. В одном городе вероятность грозы в любой данный день в течение августа составляет 0,25, а вероятность града — 0,1. Вероятность града во время грозы равна 0,3.

а) Являются ли независимыми события «град» и «гроза»?

б) Какова вероятность града в такой день, когда нет грозы?

№ 12.22. На трех фермах A, В и С произошла вспышка заболевания ящуром. Доля зараженного скота составляют соответственно 1/6, 1/4 и 1/3. Из каждой фермы случайным образом выбирают по одной корове.

а) Какова вероятность того, что заболевание имеется только у одной коровы?

б) Если заражена только одна корова, то какова вероятность, что эта корова выбрана из фермы A?

№ 12.23. Медицинский прибор проходит 3 стадии обработки. Вероятность получения брака на первой стадии равна 0,02; на второй – 0,03; на третьей – 0,02. Найдите вероятность получения прибора без брака после 3 стадий, предполагая, что получения брака на отдельных стадиях являются независимыми событиями.

№ 12.24. Студент успел подготовить к экзаменам 20 вопросов из 25. Какова вероятность того, что из 3 наудачу выбранных вопросов студент знает не менее 2?

№ 12.25. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках, равна соответственно 0,6, 0,7 и 0,8. Найти вероятность того, что эта формула содержится не менее чем в двух справочниках.

Источник