В прямоугольном параллелепипеде известно что ав 9 вс 8 аа1 6

Решение №1070 В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1C1D1 известно, что АВ = 9‚ ВС = 6 …

В прямоугольном параллелепипеде АВСDА₁В₁C₁D₁ известно, что АВ = 9‚ ВС = 6‚ АА₁ = 5. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, D, А₁, В₁.

Объём параллелепипеда АВСDА₁В₁C₁D₁ равен:

Объём многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, D, А₁, В₁ в два раза меньше объём параллелепипеда АВСDА₁В₁C₁D₁:

Ответ: 135.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 5 / 5. Количество оценок: 2

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время

В отзыве оставляйте контакт для связи, если хотите, что бы я вам ответил.

Источник

Решение №1095 В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 известно, что АВ = 9, ВС = 8‚ АА1 = 6.

В прямоугольном параллелепипеде АВСDА₁В₁С₁D₁ известно, что АВ = 9, ВС = 8‚ АА₁ = 6. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, В₁.

Многоугольник с вершинами А, В, С, В₁ треугольная пирамида, объём находится по формуле:

Высота это ВВ₁ = АА₁ = 6.
Площадь основания – прямоугольного треугольника АВС:

Объём многоугольника:

Ответ: 72.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 4.7 / 5. Количество оценок: 6

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время

В отзыве оставляйте контакт для связи, если хотите, что бы я вам ответил.

Источник

В прямоугольном параллелепипеде известно что ав 9 вс 8 аа1 6

В прямоугольном параллелепипеде известно, что Найдите длину ребра

По теореме Пифагора

Тогда длина ребра равна AB

В пространстве с L2-метрикой просто выражаете один из компонентов вектора через его длину, ну, типа,

Так мы так и делаем, только длину одной из компонент предварительно ищем по теореме Пифагора.

В прямоугольном параллелепипеде известно, что Найдите длину ребра

По теореме Пифагора

Тогда длина ребра BA равна

В прямоугольном параллелепипеде известно, что Найдите длину ребра

По теореме Пифагора

Тогда длина ребра CD равна

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений. По условию даны длины двух измерений и длина диагонали. Осталось подставить в формулу и сосчитать.

На картинке показана диагональ BD1, ее подразумевают в решении, но пишут другую-DB1

Эти диагонали равны.

В прямоугольном параллелепипеде известно, что Найдите длину ребра

По теореме Пифагора

Тогда длина ребра равна

Приведем другое решение.

В прямоугольном параллелепипеде известно, что Найдите длину ребра

Найдем диагональ BD прямоугольника ABCD по теореме Пифагора:

Рассмотрим прямоугольный треугольник По теореме Пифагора

Таким образом,

В прямоугольном параллелепипеде известно, что Найдите длину ребра

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

В прямоугольном параллелепипеде известно, что Найдите длину ребра

Найдем диагональ BD прямоугольника ABCD по теореме Пифагора:

Рассмотрим прямоугольный треугольник По теореме Пифагора

Источник

В прямоугольном параллелепипеде известно что ав 9 вс 8 аа1 6

а) Докажите, что плоскость КМР перпендикулярна прямой DВ₁.

б) Найдите объем пирамиды, основанием которой является сечение параллелепипеда плоскостью КМР, а вершиной — точка D.

Введем координаты с началом в точке A и с осями направленными вдоль прямых соответственно. Тогда координаты точек будут такими: Допустим уравнение плоскости KMP имеет вид тогда

Пусть тогда и получаем уравнение

а) Поскольку вектор имеет координаты он перпендикулярен данной плоскости (ее вектор нормали ).

б) Продлевая прямую KM до пересечения с прямыми DC и DA и соединяя затем полученные точки с точкой P мы получим требуемое сечение. То есть оно представляет собой пятиугольник с вершинами и еще двумя на ребрах и Поэтому его проекция на плоскость ABCD — пятиугольник ADCMK площади Кроме того,

Тогда

Ответ:

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны ребра АВ = 6, AD = 12, AA₁ = 10. Точка Е принадлежит отрезку BD, причем ВЕ : ED = 1 : 2. Плоскость α проходит через точки А, Е и середину ребра ВВ₁.

а) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью α является равнобедренным треугольником.

б) Найдите расстояние от точки В₁ до плоскости сечения.

а) Пусть продолжение AE пересекает ребро BC в точке Тогда сечение — треугольник Треугольники EAB и END подобны с коэффициентом Значит, тогда и треугольник равнобедренный.

б) где O — середина AN, поскольку перпендикуляр из B к MO перпендикулярен и к AN (его проекция — BO — перпендикулярна к AN).

Ответ: б)

а) Докажите, что прямые ВС и КС₁ перпендикулярны.

б) Найдите отношение объемов, на которые делится прямоугольный параллелепипед плоскостью ВКС₁.

а) Очевидно проекция на плоскость нижнего основания — прямая DC, перпендикулярная По теореме о трех перпендикулярах что и требовалось.

б) Пусть T — середина AD, тогда поэтому — сечение. Вычислим объем одной из частей по формуле для объема усеченной пирамиды.

поэтому отношение объемов Размеры параллелепипеда в этой задаче неважны.

Ответ:

а) Докажите, что прямая BD₁ параллельна плоскости CKM.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью CKM.

а) Поместим заданный параллелепипед в декартову систему координат, как показано на рисунке. Найдем координаты точек: K(3; 0; 0), C(0; 8; 0), M(0; 0; 4), B(6; 8; 0), D₁(0; 0; 12).

Будем искать уравнение плоскости CKM.

Нормальный вектор (CKM):

Таким образом, а это значит, что

б) Теперь найдем косинус угла между плоскостью CKM и нижним основанием параллелепипеда, уравнение которого имеет вид: z = 0. Нормальный вектор этой плоскости, т. е. нижнего основания параллелепипеда:

Если φ — искомый угол, то:

Ответ: б)

а) Докажите, что плоскость MPC делит объем параллелепипеда в отношении 1 : 11.

б) Найдите расстояние от точки D до плоскости MPC.

а) Построим последовательно:

2. Продолжим отрезок СР до пересечения с прямой AD. CP ∩ AD = K.

4. Отрезок PQ. PQMC — искомое сечение. Так как точки М, Р, С по построению лежат в плоскости сечения, то полученное сечение удовлетворяет условию задачи.

Плоскость МРС делит параллелепипед на два тела. Назовем их условно: нижнее и верхнее. Нижнее тело состоит из двух пирамид: четырехугольной PAQMD (основание AQMD, высота AP) и треугольной MDPC (основание Δ DPC, высота MD ).

Вычислим объем каждой из названных пирамид.

AQMD — трапеция, у которой основания AQ = 1; MD = 2, высота AP = 3.

=

Теперь найдем искомое отношение. что и требовалось доказать.

б) Для нахождения расстояния от точки D до плоскости МРС воспользуемся методом объемов. Выше мы уже рассматривали пирамиду MDPC. Если за ее основание принять Δ MPC, то ее высота и будет расстоянием от точки D до плоскости MPC.

Найдем площадь Δ MPC.

Ответ: б)

а) Докажите, что прямая ВD₁ параллельна плоскости MPC.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью MPC.

Введем координаты с началом в точке A и осями, направленными вдоль ребер AB, AD, Тогда нетрудно найти координаты точек

а) Составим уравнение плоскости Пусть это тогда, подставляя все три точки, находим: Возьмем Тогда и уравнение плоскости Ее вектор нормали а координаты вектора это Поэтому их скалярное произведение равно они перпендикулярны, и прямая параллельна плоскости.

б) Пусть — точка пересечения плоскости с ребром Подставляя в уравнение плоскости, получаем: Сечение — четырехугольник Его проекция на плоскость ABCD — четырехугольник PADC, площадь которого равна Косинус угла между плоскостью сечения и плоскостью основания равен:

Значит, по теореме о площади проекции фигуры.

Ответ: б)

Комментарий. Очевидно, KMCP — трапеция (прямая MC параллельна прямой KP как прямые пересечения плоскости с параллельными плоскостями), все стороны которой можно вычислить, а зная стороны трапеции можно найти ее площадь. Но поскольку вся подготовительная работа уже проделана в пункте а) — глупо было бы им не пользоваться. Найти точку K стоило — без нее мы не были уверены в форме сечения.

Источник