В правильном шестиугольнике abcdef известно что ab a af b найдите векторы

07.09.202310.09.2023 admin 0 Comments

Векторы: правила сложения и вычитания (страница 2)

Вектор \(\overrightarrow\) можно рассматривать как перемещение точки из положения \(A\) (начало движения) в положение \(B\) (конец движения). То есть траектория движения в этом случае не важна, важны только начало и конец!

\(\blacktriangleright\) Два вектора коллинеарны, если они лежат на одной прямой или на двух параллельных прямых.
В противном случае векторы называются неколлинеарными.

\(\blacktriangleright\) Два коллинеарных вектора называются сонаправленными, если их направления совпадают.
Если их направления противоположны, то они называются противоположно направленными.

Правила сложения коллинеарных векторов:

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы сложить два сонаправленных вектора, можно отложить второй вектор от конца первого. Тогда их сумма – вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом второго (рис. 1).

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы сложить два противоположно направленных вектора, можно отложить второй вектор от начала первого. Тогда их сумма – вектор, начало которого совпадает с началом обоих векторов, длина равна разности длин векторов, направление совпадает с направлением большего по длине вектора (рис. 2).

Правила сложения неколлинеарных векторов \(\overrightarrow \) и \(\overrightarrow\) :

\(\blacktriangleright\) Правило треугольника (рис. 3).
\(\blacktriangleright\) Правило параллелограмма (рис. 4).
Источник
В правильном шестиугольнике abcdef известно что ab a af b найдите векторы
Без метода (3 шт.)
Свойства медиан (1 шт.)
Теорема Менелая (1 шт.)
Теорема синусов (1 шт.)
Версия для печати и копирования в MS Word
Точка O — центр правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 7. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников BOD, DOF и BOF.
Заметим, что CB = CO = CD, поэтому вершина C — центр окружности, описанной около треугольника BOD. Аналогично, точки A и E — центры окружностей, описанных около треугольников BOF и DOF соответственно.
Возможны два случая: либо искомая окружность касается всех трех данных внутренним образом (рис. 1), либо одной из данных — внутренним образом, а двух других — внешним (рис. 2).
Рассмотрим первый случай. Продолжим отрезки OA, OC и OE за точки A, C и E до пересечения с соответствующими окружностями в точках A₁, C₁, E₁. Тогда OA₁ = OC₁ = OE₁ = 14 — диаметры данных окружностей. Окружность S, проходящая через точки A₁, C₁ и E₁, касается внутренним образом окружности, описанной около треугольника BOF, так как расстояние между центрами этих окружностей равно разности их радиусов. Аналогично, окружность S касается остальных двух окружностей.
Рассмотрим второй случай. Пусть Q — центр окружности радиуса x, касающейся внутренним образом описанной окружности треугольника BOD и внешним образом — описанных окружностей треугольников BOF и DOF. Пусть M — основание перпендикуляра, опущенного из центра A описанной окружности треугольника BOF на хорду OF. Тогда AM — высота равностороннего треугольника AOF, поэтому Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому
По теореме Пифагора или

Точка О — центр правильного шестиугольника ABCDEF, в котором AC = 10,5. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников AOB, COD и EOF.
Угол при вершине B равнобедренного треугольника ABС равен 120°, а основание AC = 10,5, значит,
Треугольники AOB, COD, и EOF — равносторонние со стороной поэтому радиусы окружностей, описанных около этих треугольников, равны
Возможны два случая: либо искомая окружность касается всех трех данных внутренним образом (рис. 1), либо одной из данных — внутренним образом, а двух других — внешним (рис. 2).
Рассмотрим первый случай. Пусть ОK, ОL и ОM — диаметры описанных окружностей треугольников AOB, СOD и EOF соответственно, OK = OL = OM = 7. Окружность S с центром O, проходящая через точки K, L и M, касается внутренним образом окружностей, описанных около треугольников AOB, COD и EOF, так как расстояние между центрами этих окружностей равно разности их радиусов.
Рассмотрим второй случай. Пусть Q — центр окружности радиуса x, касающейся внутренним образом описанной окружности треугольника CОD и внешним образом — описанных окружностей треугольников AOB и EОF. Пусть P — основание перпендикуляра, опущенного из центра N описанной окружности треугольника AOB на прямую OL. Тогда

Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому По теореме Пифагора или
откуда находим x = 3.
Аналоги к заданию № 500195: 500476 511339 Все
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 4, BC = 7 и AC = 8.
а) Пусть Из рисунка видно, что площадь шестиугольника равна сумме площадей Поскольку треугольник A₁B₁C₁ подобен треугольнику ABC c коэффициентом подобия его площадь Пусть K — точка пересечения медианы AA₁ и средней линии B₁C₁. Медиана и средняя линия делят друг друга пополам, поскольку они являются диагоналями параллелограмма AB₁A₁C₁. Откуда — медиана треугольника AB₁C₁. Заметим, что
то есть точка A₂ делит медиану AK треугольника AB₁C₁ в отношении 2 : 1. Значит, это точка пересечения медиан треугольника AB₁C₁. Площадь треугольника B₁C₁A₂ равна трети площади треугольника AB₁C₁, то есть равна Аналогично площади треугольников A₁C₁B₂ и A₁B₁C₂ равны Откуда площадь шестиугольника A₁B₂C₁A₂B₁C₂ равна
б) Пусть длины сторон BC, AC, AB треугольника ABC равны a, b, c. Докажем, что квадрат медианы AA₁ равен Для доказательства на продолжении отрезка AA₁ за точку A₁ отложим отрезок A₁P = AA₁. Получим параллелограмм ACPB со сторонами AC = PB = b и AB = CP = c и диагоналями BC = a и AP = 2AA₁. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:
Аналогично а Пусть L — середина отрезка AB₁. Поскольку A₂ — точка пересечения медиан треугольника AB₁C₁, она лежит на отрезке C₁L и делит его в отношении 2 : 1, считая от точки C₁. Значит, Но треугольники AB₁C₁ и ABC подобны с коэффициентом 1/2, поэтому и Повторяя те же рассуждения для треугольника A₁B₁C получаем, что отрезок A₁C₂ равен Применяя аналогичные рассуждения, получим что стороны шестиугольника втрое меньше медиан треугольника ABC: Следовательно, сумма квадратов сторон шестиугольника равна:
Подставляя числовые значения получаем, что сумма квадратов шести сторон треугольника равна
Источник