В партии лампочек в среднем 4 брака найти вероятность что среди наугад
Решение задач про выбор деталей
Общая постановка задачи примерно* следующая:
Видеоурок и шаблон Excel
Посмотрите наш ролик о решении задач про детали в схеме гипергеометрической вероятности, узнайте, как использовать Excel для решения типовых задач.
Расчетный файл Эксель из видео можно бесплатно скачать и использовать для решения своих задач.
Примеры решений задач о выборе деталей/изделий
Пример 1. В партии из 12 изделий 5 изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад 4 изделий 2 изделия являются дефектными?
Популярная задача из методички, в которой меняются только цифры, а вариантов множество. С помощью данного решения и калькулятора ниже для числовых расчетов, вы легко получите полное решение задачи. Для разнообразия сделаем подробное пояснение.
Нужная вероятность равна:
Пример 2. В ящике 16 стандартных и 7 бракованных деталей. Наудачу извлечены 6 деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных ровно 4 стандартных детали.
Пример 3. В партии из 12 изделий 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди 3 наугад взятых есть хотя бы одно нестандартное.
Тогда вероятность искомого события (что будет хотя бы одно нестандартное изделие из 3), равна:
Пример 4. Мастер для замены получил 8 однотипных деталей, из которых 3 бракованные. Он заменил 2 детали. Найти вероятность того, что замененными оказались годные детали.
Решение задач с формулировкой «хотя бы один»
Поговорим о задачах, в которых встречается фраза «хотя бы один». Наверняка вы встречали такие задачи в домашних и контрольных работах, а теперь узнаете, как их решать. Сначала я расскажу об общем правиле, а потом рассмотрим частный случай независимых событий и схемы Бернулли, выпишем формулы и примеры для каждого.
Общая методика и примеры
Общая методика для решения задач, в которых встречается фраза «хотя бы один» такая:
А теперь разберем ее на примерах. Вперед!
Пример 1. В ящике находится 25 стандартных и 6 бракованных однотипных деталей. Какова вероятность того, что среди трёх наудачу выбранных деталей окажется хотя бы одна бракованная?
Действуем прямо по пунктам.
1. Записываем событие, вероятность которого надо найти прямо из условия задачи:
$A$ =(Из 3 выбранных деталей хотя бы одна бракованная).
Для первого примера запишем решение подробно, далее будем уже сокращать (а полные инструкции и калькуляторы вы найдете по ссылке выше).
4. Тогда искомая вероятность:
Пример 2. Из колоды в 36 карт берут наудачу 6 карт. Найти вероятность того, что среди взятых карт будут: хотя бы две пики.
4. Тогда искомая вероятность:
Пример 3. В урне 2 белых, 3 черных и 5 красных шаров. Три шара вынимают наугад. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров хотя бы два будут разного цвета.
4. Искомая вероятность:
Частный случай. Независимые события
Идем дальше, и приходим к классу задач, где рассматривается несколько независимых событий (стрелки попадают, лампочки перегорают, машины заводятся, рабочие болеют с разной вероятностью каждый и т.п.) и нужно «найти вероятность наступления хотя бы одного события». В вариациях это может звучать так «найти вероятность, что хотя бы один стрелок из трех попадет в цель», «найти вероятность того, что хотя бы один автобус из двух вовремя приедет на вокзал», «найти вероятность, что хотя бы один элемент в устройстве из четырех элементов откажет за год» и т.д.
Если в примерах выше речь шла о применении формулы классической вероятности, здесь мы приходим к алгебре событий, используем формулы сложения и умножения вероятностей (небольшая теория тут).
Пример 4. Узел содержит две независимо работающие детали. Вероятности отказа деталей соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа узла, если для этого достаточно, чтобы отказала хотя бы одна деталь.
Действуем аналогично. Рассмотрим основное событие
$A$ =(Формула содержится хотя бы в одном справочнике). Введем независимые события:
$A_1$ = (Формула есть в первом справочнике),
$A_2$ = (Формула есть во втором справочнике),
$A_3$ = (Формула есть в третьем справочнике).
Пример 6. Рабочий обслуживает 4 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение смены первый станок потребует внимания рабочего, равна 0,3, второй – 0,6, третий – 0,4 и четвёртый – 0,25. Найти вероятность того, что в течение смены хотя бы один станок не потребует внимания мастера.
Думаю, вы уже уловили принцип решения, вопрос только в количестве событий, но и оно не оказывает влияния на сложность решения (в отличие от общих задач на сложение и умножение вероятностей). Только будьте внимательны, вероятности указаны для «потребует внимания», а вот вопрос задачи «хотя бы один станок НЕ потребует внимания». Вводить события нужно такие же, как и основное (в данном случае, с НЕ), чтобы пользоваться общей формулой (1).
Ответ: 0,982. Почти наверняка мастер будет отдыхать всю смену;)
Частный случай. Повторные испытания
Думаете, дальше будет сложнее? Напротив, случаи все более частные, решения и формулы все более простые.
Подробнее о схеме Бернулли можно прочитать в онлайн-учебнике, а также посмотреть статьи-калькуляторы о решении различных подтипов задач (о выстрелах, лотерейных билетах и т.п.). Ниже же будут разобраны задачи только с «хотя бы один».
Пример 7. Пусть вероятность того, что телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,9. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 3 телевизоров хотя бы один не потребует ремонта.
Пример 8. Производится 5 независимых выстрелов по некоторой цели. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что будет хотя бы одно попадание.
Думаю, с применением формулы (2) все более чем ясно (не забудьте почитать и о других задачах, решаемых в рамках схемы Бернулли, ссылки были выше). А ниже я приведу чуть более сложную задачу. Такие задачи встречаются пореже, но и их способ решения надо усвоить. Поехали!
Пример 9. Производится n независимых опытов, в каждом из которых некоторое событие A появляется с вероятностью 0,7. Сколько нужно сделать опытов для того, чтобы с вероятностью 0,95 гарантировать хотя бы одно появление события A?
Округляя, получаем что нужно провести не менее 3 опытов.
Ответ: минимально нужно сделать 3 опыта.
Полезные ссылки
В партии лампочек в среднем 4 брака найти вероятность что среди наугад
1) Брошены 2 игральные кости. Какова вероятность выпадения на двух костях в сумме не менее 9 очков? Кавова вероятность выпадения 5 очков по крайней мере на одной кости?
По классической формуле вероятности:
P = m/n, где
m — число благоприятных способов
n — число всех равновозможных способов
Число всех равновозможных способов: n = 6·6 = 36
Благоприятствующие способы заключаются в выпадении 9; 10; 11 или 12 очков. Посчитаем для каждого число способов:
9 очков = <(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)>= 4 способа
10 очков = <(4, 6), (5, 5), (6, 4)>= 3 способа
11 очков = <(5, 6), (6, 5)>= 2 способа
12 очков <(6, 6)>= 1 способ
Значит: m = 4 + 3 + 2 + 1 = 10
Тогда вероятность выпадения на двух костях в сумме не менее 9 очков:
P = m/n = 10/36 = 5/18.
Вероятность выпадения 5 очков на кости равна 1/6. Тогда при подбрасывании двух костей вероятность выпадение 5 очков по крайней мере на одной по теореме о вероятности сумме совместных событий равна:
P = 1/6 + 1/6 − (1/6)·(1/6) = 11/36.
2) Среди 20 лотерейных билетов 5 выигрышных. Наудачу взяли 10 билетов. Определить вероятность того,что среди них 3 выигрышных?
Число всевозможных способов взять 10 билетов равно число сочетаний из 20 по 10, то есть:
n = С¹⁰₂₀ = 20! / (10!·10!) = 184756.
Благоприятствующие способы: m = С³₅ · С⁷₁₅ = [5! / (3!·2!)] · [15! / (7!·8!] = 64350.
P = m/n = 64350 / 184756 = 225 / 646 ≈ 0,348
3) Внутрь круга наудачу брошены 4 точки. Найти вероятность того, что на каждый малый сегмент попало по одной точке.
По геометрической формуле вероятности:
P = measure(g) / measure(G), где
measure(g) — благоприятствующая мера области
measure(G) — вся мера области
S(круга) = πR²
S(квадрата) = (2R)² / 2 = 4R² / 2 = 2R²
Вероятность попадания в квадрат P = 2R² / πR² = 2/π. Тогда вероятность попадания в сегмент:
q = (1 − p) / 4 = (1 − 2/π) / 4 = (π − 2) / 4π
Вероятность того, что на каждый малый сегмент попало по одной точке, равна:
P = 5! · q⁴ = 5! · [(π − 2) / (4π)]⁴ ≈ 0,008